第二课时 两角和与差的正弦、余弦公式
课标要求
1.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式（逻辑推理）.
2.熟记公式的形式及符号特征，掌握公式的变形（数据分析）.
3.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简（数学运算）.
情境导入
乔布斯描述苹果电脑是“思想的自行车”——一种能够使人们的思想达到想象中任何角落的工具，并且功能多样，他用类比介绍了这一引领信息时代的创新发明.我们一旦开始给予类比密切的关注，就会发现它在生活中随处可见，类比可以推动创新.
知识点一｜两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式
问题 （1）请同学们写出两角差的余弦公式，其中α，β的取值范围是什么？
提示：cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β，α，β均可取任意实数.
（2）用两角差的余弦公式求cos[α－（－β）]的值.
提示：cos[α－（－β）]＝cos αcos（－β）＋sin α·sin（－β）＝cos αcos β－sin αsin β.
（3）怎样根据α，β的正（余）弦函数值求出sin（α＋β），sin（α－β）的值？
提示：由诱导公式五、六可知，cos（－α）＝sin α，cos（＋α）＝－sin α，可推出，sin（α－β）＝cos［－（α－β）］＝cos［（－α）＋β］＝cos（－α）cos β－sin（－α）sin β＝sin αcos β－cos αsin β，同理可推出sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β.
【知识梳理】
两角和与差的余弦、正弦公式
名称 简记符号 公式
两角差的余弦公式 C（α－β） cos（α－β）＝cos α·cos β＋sin αsin β
两角和的余弦公式 C（α＋β） cos（α＋β）＝ cos αcos β－sin αsin β
两角和的正弦公式 S（α＋β） sin（α＋β）＝ sin αcos β＋cos αsin β
两角差的正弦公式 S（α－β） sin（α－β）＝ sin αcos β－cos αsin β
提醒：注意公式的结构特征和符号规律：对于公式C（α－β），C（α＋β），可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S（α－β），S（α＋β），可记为“异名相乘，符号同”.
【例1】 （1）cos 70°cos 50°＋cos 200°cos 40°的值为（ B ）
A.－ B.－
C. D.
解析：法一 原式＝sin 20°sin 40°－cos 20°cos 40°＝－（cos 20°cos 40°－sin 20°sin 40°）＝－cos 60°＝－.
法二 原式＝cos 70°sin 40°－cos 20°cos 40°＝sin 40°cos 70°－sin 70°cos 40°＝sin（40°－70°）＝sin（－30°）＝－sin 30°＝－.
（2）的值是（ A ）
A. B.
C.1 D.
解析：原式＝
＝
＝
＝＝.
【规律方法】
解决给角求值问题的策略
（1）对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形；
（2）一般将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变形使用公式.
训练1 （1）sin 15°＋sin 75°＝；
解析：原式＝sin（45°－30°）＋sin（45°＋30°）＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＋sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝2sin 45°cos 30°＝.
（2）sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝.
解析：原式＝sin（360°－13°）cos（180°－32°）＋sin（90°－13°）cos（90°－32°）＝sin 13°cos 32°＋cos 13°sin 32°＝sin（13°＋32°）＝sin 45°＝.
知识点二｜给值求值问题
【例2】 已知sin α＝，cos β＝－，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin（α＋β）、sin（α－β）的值.
解：因为α为第一象限角，β为第二象限角，sin α＝，cos β＝－，
所以cos α＝，sin β＝，
所以sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×（－）＋×＝.
sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β
＝×（－）－×＝－.
【规律方法】
给值求值问题的解题策略
（1）在解决给值求值问题时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差；②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.
（2）解决此类问题时角的范围不容忽视，往往需要根据三角函数值缩小角的范围.
训练2 已知＜β＜α＜，cos（α－β）＝，sin（α＋β）＝－，求cos 2α与cos 2β的值.
解：因为＜β＜α＜，
所以0＜α－β＜，π＜α＋β＜.
又因为cos（α－β）＝，sin（α＋β）＝－，
所以sin（α－β）＝
＝＝，
cos（α＋β）＝－
＝－＝－.
所以cos 2α＝cos[（α＋β）＋（α－β）]
＝cos（α＋β）cos（α－β）－sin（α＋β）sin（α－β）
＝（－）×－（－）×＝－，
cos 2β＝cos[（α＋β）－（α－β）]
＝cos（α＋β）cos（α－β）＋sin（α＋β）sin（α－β）
＝（－）×＋（－）×＝－.
知识点三｜给值求角问题
【例3】 已知α，β都是锐角，且sin α＝，cos β＝，则α＋β＝.
解析：∵α，β都是锐角，∴0＜α＋β＜π，又∵sin α＝，cos β＝，∴cos α＝，sin β＝，cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝，∴α＋β＝.
变式 若本例条件改为“α，β都是钝角，且tan α＝－，cos β＝－”，则α＋β＝.
解析：∵＜α＜π，＜β＜π，∴π＜α＋β＜2π，∵tan α＝－，∴sin α＝，cos α＝，∵cos β＝－，∴sin β＝，∴cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝，∴α＋β＝.
【规律方法】
解决给值（式）求角问题的方法
解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是（0，π）或（π，2π）时，选取求余弦值，当所求角范围是（，）或（－，）时，选取求正弦值.
训练3 已知sin α－sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β－cos γ＝0，且α，β，γ均为钝角，求角α＋β的值.
解：由已知，
将两个方程两边平方，并相加得：
sin2α－2sin α·sin β＋sin2β＋cos2α＋2cos α·cos β＋cos2β＝sin2γ＋cos2γ.
整理得：2cos（α＋β）＝－1，
∴cos（α＋β）＝－，
∵＜α＜π，＜β＜π，
∴π＜α＋β＜2π，
∴α＋β＝.
1.计算sin 75°的值为（ ）
A. B.
C.－ D.－
解析：B sin 75°＝sin（45°＋30°）＝×＋×＝.故选B.
2.sin 21°cos 39°＋cos 21°sin 39°＝（ ）
A. B.
C. D.1
解析：C sin 21°cos 39°＋cos 21°sin 39°＝sin（21°＋39°）＝sin 60°＝.故选C.
3.已知角θ的终边过点P（－3，1），则sin（－θ）＝（ ）
A.－ B.
C.－ D.
解析：A 因为角θ的终边过点P（－3，1），所以sin θ＝＝，cos θ＝＝－，所以sin（－θ）＝sin ·cos θ－cos sin θ＝×（－）－×＝－，故选A.
4.＝.
解析：
＝
＝
＝＝sin 30°＝.
课堂小结
1.理清单 （1）两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式； （2）给值求值问题； （3）给值求角问题. 2.应体会 给值求值时需要构造已知与所求的关系. 3.避易错 求值或求角时忽视角的范围；求角时注意三角函数的选取.
1.化简sin（x＋）＋sin（x－）＝（ ）
A.－sin x B.sin x
C.－cos x D.cos x
解析：B sin（x＋）＋sin（x－）＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＝sin x.
2.sin－cos＝（ ）
A.0 B.－
C.2 D.
解析：B sin－cos＝2（sin－cos）＝2sin（－）＝2sin（－）＝－.
3.在△ABC中，sin A·sin B＜cos A·cos B，则这个三角形为（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形
解析：B ∵在△ABC中，sin A·sin B＜cos A·cos B，∴cos（A＋B）＞0，即cos（π－C）＞0，即－cos C＞0，∴cos C＜0，则C为钝角，故△ABC是钝角三角形.
4.已知cos（α＋β）＝，cos（α－β）＝－，则cos αcos β＝（ ）
A.0 B.
C.0或 D.0或±
解析：A cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝，cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，两式相加可得2cos αcos β＝0，即cos αcos β＝0.
5.已知α，β都是锐角，且cos α＝，cos β＝，则α＋β＝（ ）
A. B.
C.或 D.或
解析：B 因为α，β都是锐角，且cos α＝，cos β＝，所以sin α＝，sin β＝，所以cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝－＝－.又α＋β∈（0，π），所以α＋β＝，故选B.
6.〔多选〕cos α－sin α化简的结果可以是（ ）
A.cos（－α） B.2cos（＋α）
C.sin（－α） D.2sin（－α）
解析：BD cos α－sin α＝2（cos α－sin α）＝2（cos αcos－sin αsin）＝2cos（α＋）＝2sin（－α）.
7.若sin α＝，α∈（－，），则cos（＋α）＝ －
解析：因为sin α＝，α∈（－，），所以cos α＝，故cos（α＋）＝cos αcos－sin α·sin＝×（－）－×（－）＝－.
8.若cos α＝－，sin β＝－，α∈（，π），β∈（，2π），则sin（α＋β）＝.
解析：∵cos α＝－，α∈（，π），∴sin α＝＝.∵sin β＝－，β∈（，2π），∴cos β＝＝，∴sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋（－）×（－）＝.
9.已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin（α＋β）＝－.
解析：∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，∴sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1①，cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0②，①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2（sin αcos β＋cos αsin β）＝1，∴sin（α＋β）＝－.
10.化简下列各式：
（1）sin（x＋）＋2sin（x－）－cos（－x）；
（2）－2cos（α＋β）.
解：（1）原式＝sin xcos＋cos xsin＋2sin x·cos－2cos xsin－coscos x－sinsin x
＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＋cos x－sin x＝（＋1－）·sin x＋（－＋）·cos x＝0.
（2）原式＝
＝
＝＝.
11.如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED＝（ ）
A. B.
C. D.
解析：B 由题意知sin∠BEC＝，cos∠BEC＝，又∠CED＝－∠BEC，所以sin∠CED＝sin·cos∠BEC－cossin∠BEC＝×－×＝.
12.形如的式子叫做行列式，其运算法则为＝ad－bc，则行列式的值是－1.
解析：因为＝sin 15°－cos 15°＝2（sin 15°－cos 15°）＝2sin（15°－45°）＝－2sin 30°＝－1，所以的值是－1.
13.（2025·北理工附中期末）若方程12x2＋πx－12π＝0的两个根分别是α，β，则cos αcos β－sin α·cos β－cos αsin β－sin αsin β＝.
解析：由题意知α＋β＝－，所以cos α·cos β－sin α·cos β－cos αsin β－sin α·sin β＝cos（α＋β）－sin（α＋β）＝2［cos（α＋β）－sin（α＋β）］＝2sin［－（α＋β）］＝2sin（＋）＝2sin ＝.
14.已知cos α＝，sin（α－β）＝，且α，β∈（0，）.
求：（1）cos（2α－β）的值；
（2）β的值.
解：（1）因为α，β∈（0，），所以α－β∈（－，）.
又因为sin（α－β）＝＞0，所以0＜α－β＜.
所以cos（α－β）＝＝.
sin α＝＝，
所以cos（2α－β）＝cos[α＋（α－β）]
＝cos αcos（α－β）－sin αsin（α－β）
＝×－×＝.
（2）cos β＝cos[α－（α－β）]＝cos αcos（α－β）＋sin αsin（α－β）＝×＋×＝，
因为β∈（0，），所以β＝.
15.（2025·廊坊联考）已知α，β∈（0，），cos α＝，cos（α＋β）＝.
（1）求sin β的值；
（2）求2α＋β的值.
解：（1）∵α，β∈（0，），∴α＋β∈（0，π），
又cos α＝，cos（α＋β）＝，
则sin α＝＝，
sin（α＋β）＝＝，
∴sin β＝sin[（α＋β）－α]＝sin（α＋β）·cos α－cos（α＋β）sin α＝×－×＝.
（2）cos（2α＋β）＝cos[（α＋β）＋α]
＝cos（α＋β）cos α－sin αsin（α＋β）
＝×－×＝0.
由α，β∈（0，），得2α＋β∈（0，），
∴2α＋β的值为.
1 / 2第二课时 两角和与差的正弦、余弦公式
1.化简sin（x＋）＋sin（x－）＝（ ）
A.－sin x B.sin x
C.－cos x D.cos x
2.sin－cos＝（ ）
A.0 B.－
C.2 D.
3.在△ABC中，sin A·sin B＜cos A·cos B，则这个三角形为（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形
4.已知cos（α＋β）＝，cos（α－β）＝－，则cos αcos β＝（ ）
A.0 B.
C.0或 D.0或±
5.已知α，β都是锐角，且cos α＝，cos β＝，则α＋β＝（ ）
A. B.
C.或 D.或
6.〔多选〕cos α－sin α化简的结果可以是（ ）
A.cos（－α） B.2cos（＋α）
C.sin（－α） D.2sin（－α）
7.若sin α＝，α∈（－，），则cos（＋α）＝ .
8.若cos α＝－，sin β＝－，α∈（，π），β∈（，2π），则sin（α＋β）＝ .
9.已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin（α＋β）＝ .
10.化简下列各式：
（1）sin（x＋）＋2sin（x－）－cos（－x）；
（2）－2cos（α＋β）.
11.如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED＝（ ）
A. B.
C. D.
12.形如的式子叫做行列式，其运算法则为＝ad－bc，则行列式的值是 .
13.（2025·北理工附中期末）若方程12x2＋πx－12π＝0的两个根分别是α，β，则cos αcos β－sin α·cos β－cos αsin β－sin αsin β＝ .
14.已知cos α＝，sin（α－β）＝，且α，β∈（0，）.
求：（1）cos（2α－β）的值；
（2）β的值.
15.（2025·廊坊联考）已知α，β∈（0，），cos α＝，cos（α＋β）＝.
（1）求sin β的值；
（2）求2α＋β的值.
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