第三课时 两角和与差的正切公式
1.tan 75°＝（ ）
A.2＋ B.2－
C.－2＋ D.－2－
2.＝（ ）
A. B.2
C.1 D.
3.已知角α的终边上一点P的坐标为（－1，2），角β的终边与角α的终边关于x轴对称，则tan（β＋）＝（ ）
A.－ B.
C.－3 D.3
4.（2025·扬州期末）已知sin α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则α＋β的值为（ ）
A. B.
C. D.
5.〔多选〕已知cos α＝－，则tan（－α）＝（ ）
A.－ B.－7
C. D.7
6.〔多选〕已知不等式x2＋16x＋2＜0的解集为（tan α，tan β），则（ ）
A.tan α＋tan β＝16
B.tan αtan β＝2
C.tan（α＋β）＝16
D.＝－8
7.已知tan（α＋β）＝，tan α＝－2，则tan β＝ .
8.若α＋β＝，则（1＋tan α）（1＋tan β）＝ .
9.已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝ .
10.（1）化简求值：；
（2）已知△ABC中，tan Atan B－tan A－tan B＝，求C的大小.
11.（2025·抚州月考）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长l与太阳天顶距θ（0≤θ＜π）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝htan θ.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且tan（α－β）＝，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ）
A.倍 B.倍
C.倍 D.倍
12.（2025·诸暨期中）已知角A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是（ ）
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.无法确定
13.（2025·泉州期中）已知α，β，γ都是锐角，且tan α＝，tan β＝，tan γ＝，则α＋β＋γ＝ .
14.已知tan（α＋β）＝2，tan（β－α）＝3.
（1）求tan 4α的值；
（2）求tan β的值.
15.已知sin（α－β）＝，sin（α＋β）＝.
（1）证明：tan α＋5tan β＝0；
（2）计算：的值.
2 / 2第三课时 两角和与差的正切公式
课标要求
1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式（逻辑推理）.
2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明（数学运算）.
3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用（数学运算）.
情境导入
如图所示，每个小正方形的边长为1，tan α＝，tan β＝，∠COD＝α－β.
能否求出tan（α－β）和tan（α＋β）的值？
知识点一｜两角和与差的正切公式
问题 （1）请同学们写出两角和与差的正弦公式、余弦公式.
提示：cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β，cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β；
sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β，sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β.
（2）同角三角函数中的商数关系是什么？
提示：＝tan α（α≠＋kπ，k∈Z）.
（3）你能用两角和与差的正弦、余弦公式来表示两角和与差的正切公式吗？
提示：tan（α＋β）＝＝（α＋β≠＋kπ，k∈Z）.
当cos αcos β≠0时，tan（α＋β）＝，
用－β来代替tan（α＋β）中的β即可得到tan（α－β）＝.
【知识梳理】
名称 公式 简记符号 条件
两角和的 正切公式 tan（α＋β）＝ T（α＋β） α，β，α＋β≠kπ＋（k∈Z）
两角差的 正切公式 tan（α－β） ＝ T（α－β） α，β，α－β≠kπ＋（k∈Z）
提醒：（1）只有当α，β，α－β，α＋β≠kπ＋（k∈Z）时，上述公式才能成立；（2）公式的符号变化简记为“分子同，分母反”；（3）正切公式的常见变形：
tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan αtan β）；
tan α－tan β＝tan（α－β）（1＋tan αtan β）；
1－tan αtan β＝；
1＋tan αtan β＝.
【例1】 （1）tan 255°＝（ D ）
A.－2－ B.－2＋
C.2－ D.2＋
解析：tan 255°＝tan（180°＋75°）＝tan 75°＝tan（45°＋30°）＝＝＝2＋.
（2）化简＝（ B ）
A. B. C.3 D.1
解析：＝＝tan（45°－15°）＝tan 30°＝.
【规律方法】
利用正切公式化简求值的两点说明
（1）分析式子结构，正确选用公式形式：应用时先从所化简（求值）式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换；
（2）化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简（求值）的式子中出现特殊的数值“1”“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan”“＝tan”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值.
训练1 化简求值：
（1）；
解：原式＝tan（74°＋76°）＝tan 150°＝－.
（2）tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°.
解：∵tan 60°＝＝，
∴tan 23°＋tan 37°＝－tan 23°tan 37°，
∴tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝.
知识点二｜给值求值（角）
【例2】 已知sin α＝，α∈（，π），tan（π－β）＝，则tan（α－β）的值为（ ）
A.－ B. C. D.－
解析：A 因为sin α＝，α∈（，π），所以cos α＝－，即tan α＝－.因为tan（π－β）＝－tan β，故tan β＝－.所以tan（α－β）＝＝＝－.
变式 若本例条件不变，求tan（α＋β）的值.
解：因为α∈（，π），sin α＝，
所以cos α＝－，tan α＝－，又tan β＝－，
所以tan（α＋β）＝＝＝－2.
【规律方法】
1.关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解.
2.关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小.
训练2 已知tan α＝，分别求下列各式的值.
（1）tan（α＋）；
解：tan（α＋）＝＝.
因为tan α＝，
所以tan（α＋）＝＝－.
（2）tan（α－）.
解：tan（α－）＝＝.
因为tan α＝，
所以tan（α－）＝＝.
知识点三｜两角和与差的正切公式的综合应用
【例3】 设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的根，则tan（α＋β）的值为（ ）
A.－3 B.－1
C.1 D.3
解析：A 由题意知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，所以tan（α＋β）＝＝＝－3.
【规律方法】
当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan α·tan β”的形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围.
训练3 〔多选〕在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式中正确的是（ ）
A.A＋B＝2C B.tan（A＋B）＝－
C.tan A＝tan B D.cos B＝sin A
解析：CD ∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴2（A＋B）＝C，∴tan（A＋B）＝，∴选项A、B错误；∵tan A＋tan B＝（1－tan Atan B）＝，∴tan Atan B＝①，又tan A＋tan B＝②，∴联立①②解得tan A＝tan B＝，∴cos B＝sin A，故选项C、D正确.
1.已知tan α＝2，tan β＝3，则tan（α＋β）＝（ ）
A.1 B.5
C.－1 D.－5
解析：C tan（α＋β）＝＝＝－1.
2.已知α，β都是锐角，tan α＝，tan β＝，则α＋β的值为（ ）
A. B.
C. D.
解析：C tan（α＋β）＝＝＝1，由α，β都是锐角可知α＋β＝.
3.若tan＝，则tan α＝.
解析：法一 因为tan（α－）＝，所以＝，所以tan α＝.
法二 tan α＝tan
＝＝＝.
4.计算：＝1.
解析：原式＝＝tan 45°＝1.
课堂小结
1.理清单 （1）两角和与差的正切公式； （2）给值求值（角）； （3）两角和与差的正切公式的综合应用. 2.应体会 出现“tan α±tan β”与“tan α·tan β”的形式时注意运用转化法，化简求值时注意运用方程的思想. 3.避易错 公式中加减符号易记错.
1.tan 75°＝（ ）
A.2＋ B.2－
C.－2＋ D.－2－
解析：A tan 75°＝tan（45°＋30°）＝＝＝＝＝2＋.
2.＝（ ）
A. B.2
C.1 D.
解析：A ＝tan（38°＋22°）＝tan 60°＝，故选A.
3.已知角α的终边上一点P的坐标为（－1，2），角β的终边与角α的终边关于x轴对称，则tan（β＋）＝（ ）
A.－ B.
C.－3 D.3
解析：C 因为角α的终边上一点P的坐标为（－1，2），角β的终边与角α的终边关于x轴对称，所以点（－1，－2）是角β的终边上的点，所以tan β＝2，所以tan（β＋）＝＝＝－3，故选C.
4.（2025·扬州期末）已知sin α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则α＋β的值为（ ）
A. B.
C. D.
解析：B 因为sin α＝，且α为锐角，所以cos α＝，tan α＝，所以tan（α＋β）＝＝＝－1.又α＋β∈（，），故α＋β＝.
5.〔多选〕已知cos α＝－，则tan（－α）＝（ ）
A.－ B.－7
C. D.7
解析：CD 因为cos α＝－，所以sin α＝±＝±，所以tan α＝±.当tan α＝时，tan（－α）＝＝；当tan α＝－时，tan（－α）＝＝7.
6.〔多选〕已知不等式x2＋16x＋2＜0的解集为（tan α，tan β），则（ ）
A.tan α＋tan β＝16
B.tan αtan β＝2
C.tan（α＋β）＝16
D.＝－8
解析：BCD 由题意得，故A错误，B正确；由于tan（α＋β）＝＝16，故C正确；＝＝＝＝－8，故D正确.故选B、C、D.
7.已知tan（α＋β）＝，tan α＝－2，则tan β＝7.
解析：∵β＝（α＋β）－α，∴tan β＝＝7.
8.若α＋β＝，则（1＋tan α）（1＋tan β）＝2.
解析：因为α＋β＝，所以tan（α＋β）＝1，即＝1，即tan α＋tan β＝1－tan αtan β，因此（1＋tan α）（1＋tan β）＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝1＋1－tan αtan β＋tan αtan β＝2.
9.已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝.
解析：因为B为锐角，sin B＝，所以cos B＝，所以tan B＝，所以tan（A＋B）＝＝＝1.又因为0＜A＋B＜π，所以A＋B＝.
10.（1）化简求值：；
（2）已知△ABC中，tan Atan B－tan A－tan B＝，求C的大小.
解：（1）∵tan 60°＝tan（10°＋50°）
＝，
∴tan 10°＋tan 50°
＝tan 60°－tan 60°tan 10°tan 50°.
∴
＝
＝
＝－tan 60°＝－.
（2）整理可得＝－，
即tan（A＋B）＝－，
又∵0＜A＋B＜π，
∴A＋B＝π，∴C＝π－（A＋B）＝π－π＝.
11.（2025·抚州月考）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长l与太阳天顶距θ（0≤θ＜π）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝htan θ.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且tan（α－β）＝，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ）
A.倍 B.倍
C.倍 D.倍
解析：C 由第一次的“晷影长”是“表高”的3倍得tan α＝3，又tan（α－β）＝，所以tan β＝tan[α－（α－β）]＝＝＝，故第二次的“晷影长”是“表高”的倍.故选C.
12.（2025·诸暨期中）已知角A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是（ ）
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.无法确定
解析：A ∵tan A＋tan B＝，tan A·tan B＝，∴tan（A＋B）＝，∴tan C＝－tan（A＋B）＝－，∴C为钝角，即△ABC为钝角三角形.
13.（2025·泉州期中）已知α，β，γ都是锐角，且tan α＝，tan β＝，tan γ＝，则α＋β＋γ＝.
解析：因为tan α＝，tan β＝，所以tan（α＋β）＝＝＝，因为tan γ＝，所以tan（α＋β＋γ）＝＝＝1，因为α，β，γ∈（0，），所以α＋β∈（0，π），因为tan（α＋β）＝＞0，所以α＋β∈（0，），所以α＋β＋γ∈（0，π），所以α＋β＋γ＝.
14.已知tan（α＋β）＝2，tan（β－α）＝3.
（1）求tan 4α的值；
（2）求tan β的值.
解：（1）tan 2α＝tan[（α＋β）－（β－α）]＝＝＝－，
故tan 4α＝tan（2α＋2α）＝＝－.
（2）tan 2β＝tan[（α＋β）＋（β－α）]
＝＝＝－1，
则有－1＝，解得tan β＝1＋或tan β＝1－.
15.已知sin（α－β）＝，sin（α＋β）＝.
（1）证明：tan α＋5tan β＝0；
（2）计算：的值.
解：（1）证明：法一 由条件sin（α－β）＝，sin（α＋β）＝，则2sin（α－β）＝3sin（α＋β），
即2sin αcos β－2cos αsin β＝3sin αcos β＋3cos αsin β，
整理得sin αcos β＝－5cos αsin β，
也即tan α＝－5tan β，tan α＋5tan β＝0得证.
法二 由条件sin（α－β）＝，sin（α＋β）＝，
即sin αcos β－cos αsin β＝，sin αcos β＋cos αsin β＝，
得sin αcos β＝，cos αsin β＝－，
从而可得tan α＝－5tan β，tan α＋5tan β＝0得证.
（2）由于tan（α－β）＝
tan α－tan β＝tan（α－β）（1＋tan αtan β），
所以
＝
＝－＝－＝.
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