第四课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
课标要求
1.会用两角和（差）的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式（逻辑推理）.
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用（数学运算）.
情境导入
同学们，唐代诗人王维曾写出“独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲”，一个“倍”字道出了思念亲人的急迫心情，这里的“倍”何止二倍、三倍，更是百倍、千倍，就像大家期盼寒假一样的心情，同学们，让我们加倍努力，期待我们的成绩加倍提高，说不定，寒假时，你们的父母会对你们有加倍的奖励哦，今天，就让我们共同探究三角函数中的“二倍”关系.
知识点一｜二倍角的正弦、余弦、正切公式
问题 （1）请同学们写出两角和的正弦、余弦、正切公式.
提示：sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β，cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β，
tan（α＋β）＝（其中α，β，α＋β≠＋kπ，k∈Z）.
（2）当α＝β时，你能写出sin 2α，cos 2α，tan 2α的表达式吗？
提示：当α＝β时，sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α，tan 2α＝.
【知识梳理】
二倍角公式
函数 公式 简记符号
正弦 sin 2α＝ 2sin αcos α S2α
余弦 cos 2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝ 1－2sin2α C2α
正切 tan 2α＝ （α，2α≠＋kπ，k∈Z） T2α
提醒：倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍，也就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的.
【例1】 求下列各式的值：
（1）（cos －sin ）（cos＋sin ）；
解：原式＝cos2－sin2＝cos（2×）＝cos＝.
（2）；
解：原式＝＝＝.
（3）tan 15°＋.
解：原式＝＋＝
＝＝＝4.
【规律方法】
给角求值问题的两类解法
（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角；
（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
训练1 求下列各式的值：
（1）cos 75°cos 15°；
解：原式＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝.
（2）cos4－sin4；
解：原式＝（cos2－sin2）（cos2＋sin2）＝cos2－sin2＝cos＝.
（3）.
解：原式＝＝·＝·tan 45°＝.
知识点二｜给值求值
【例2】 已知cos（α＋）＝，≤α＜，求cos（2α＋）的值.
解：∵≤α＜，
∴≤α＋＜.
∵cos（α＋）＞0，
∴＜α＋＜.
∴sin（α＋）＝－
＝－＝－.
∴cos 2α＝sin（2α＋）＝2sin（α＋）cos（α＋）＝2×（－）×＝－，
sin 2α＝－cos（2α＋）＝1－2cos2（α＋）＝1－2×（）2＝.
∴cos（2α＋）＝cos 2α－sin 2α＝×（－－）＝－.
变式 本例条件不变，求的值.
解：原式＝＝（cos α－sin α）＝2cos（α＋）＝.
【规律方法】
解决给值求值问题的方法
解给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，即：
（1）有目标地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
（2）寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
训练2 已知＜α＜π，cos α＝－.
（1）求tan 2α的值；
解：因为cos α＝－，
可得sin2α＝1－cos2α＝，
又因为＜α＜π，
所以sin α＝，
可得tan α＝＝－，
又由tan 2α＝＝＝.
（2）求的值.
解：由cos α＝－且＜α＜π，
由（1）知sin α＝，tan 2α＝，
所以＝＝＝.
知识点三｜化简与证明
【例3】 （1）化简：；
解：原式＝
＝
＝＝＝2.
（2）证明：（1＋tan α）2＝.
证明：左边＝（1＋tan α）2
＝（1＋）2＝（）2
＝
＝＝右边，所以等式成立.
【规律方法】
1.三角函数式的化简与证明
（1）化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：（sin θ±cos θ）2＝1±sin 2θ；
（2）证明三角恒等式的方法：①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边/右边＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件.
2.二倍角公式的常见变形
（1）逆用：2sin αcos α＝sin 2α，2cos2α－1＝cos 2α，1－2sin2α＝cos 2α；
（2）变形：cos2α＝；sin2α＝；1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
训练3 （1）已知α∈（0，π），
则＝cos α；
解析：原式＝.
因为α∈（0，π），所以cos＞0，
所以原式＝
＝（cos ＋sin）（cos－sin）＝cos2－sin2＝cos α.
（2）求证：tan2x＋＝.
证明：法一（切化弦） ∵左边＝＋＝＝
＝＝＝＝＝右边，
∴等式成立.
法二（弦化切） ∵右边＝＝＝＝
＝
＝＝tan2x＋＝左边，
∴等式成立.
1.下列各式中，不一定成立的是（ ）
A.sin 8α＝2sin 4αcos 4α
B.1－cos 2α＝2sin2α
C.（sin α＋cos α）2＝1＋sin 2α
D.tan 2α＝
解析：D 由二倍角公式可知A、B、C项均一定成立，D项中的公式不一定成立.
2.已知tan α＝－，则tan 2α的值为（ ）
A. B.－
C. D.－
解析：B tan 2α＝＝＝－.
3.已知sin＋cos＝，那么sin θ＝，cos 2θ＝.
解析：因为sin＋cos＝，所以（sin＋cos ）2＝，即1＋2sincos＝，所以sin θ＝，所以cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×（）2＝.
4.已知sin 2α＝，＜α＜，求sin 4α，cos 4α的值.
解：由＜α＜，得＜2α＜π.
因为sin 2α＝，所以cos 2α＝－＝－＝－.
于是sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2××（－）＝－；
cos 4α＝1－2sin22α＝1－2×（）2＝.
课堂小结
1.理清单 （1）二倍角的正弦、余弦、正切公式； （2）给值求值； （3）化简与证明； （4）倍角公式的综合应用. 2.应体会 化简与证明过程中注意转化法. 3.避易错 （1）化简求值开根号时，忽视角的范围； （2）注意角的倍数关系.
1.若tan α＝3，则＝（ ）
A.2 B.3
C.4 D.6
解析：D ＝＝2tan α＝6.
2.已知sin α＝，则cos（π－2α）＝（ ）
A.－ B.－
C. D.
解析：B cos（π－2α）＝－cos 2α＝2sin2α－1＝－.
3.设－3π＜α＜－，化简的结果是（ ）
A.sin B.cos
C.－cos D.－sin
解析：C 因为－3π＜α＜－，所以－＜＜－，所以＝＝＝－cos.
4.＝（ ）
A. B.－ C.－1 D.1
解析：B 原式＝＝－＝－＝－.
5.已知tan（x＋）＝2，则＝（ ）
A. B.
C. D.
解析：A 由tan（x＋）＝2，可得＝2，解得tan x＝，所以tan 2x＝＝＝，所以＝＝.
6.〔多选〕下列各式中，值为的是（ ）
A.
B.cos2－sin2
C.cos 15°sin 45°－sin 15°cos 45°
D.
解析：AB 选项A，＝＝sin 60°＝；选项B，cos2－sin2＝cos＝；选项C，cos 15°sin 45°－sin 15°cos 45°＝sin（45°－15°）＝sin 30°＝；选项D，＝×＝tan 30°＝×＝.
7.化简：·＝tan 2α.
解析：原式＝·＝tan 2α.
8.＋＝4.
解析：原式＝＝＝＝＝4.
9.等腰三角形一个底角的余弦值为，那么这个三角形顶角的正弦值为.
解析：设A是等腰△ABC的顶角，则cos B＝，sin B＝＝＝.所以sin A＝sin（180°－2B）＝sin 2B＝2sin Bcos B＝2××＝.
10.已知α为锐角，且sin＋cos＝，求sin α及tan 2α的值.
解：因为sin＋cos＝，
所以sin2＋2sincos＋cos2＝（）2＝，
即1＋sin α＝，所以sin α＝.
因为α为锐角，所以cos α＝＝，
所以tan α＝＝，
所以tan 2α＝＝＝.
11.在锐角△ABC中，若B＝2A，则的取值范围是（ ）
A.（，） B.［－，］
C.（，） D.（－，）
解析：A 在锐角△ABC中，由B＝2A，可得C＝π－3A，于是解得＜A＜，所以＜cos A＜，则＝＝2cos A∈（，）.故选A.
12.数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m＝的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin 18°，则＝（ ）
A.4 B.＋1
C.2 D.－1
解析：C 由题意可知2sin 18°＝m＝，所以m2＝4sin218°，则＝
＝＝＝2.
13.已知cos（α＋β）cos（β＋）＋sin（α＋β）sin（β＋）＝，则sin（2α＋）＝－.
解析：因为cos（α＋β）cos（β＋）＋sin（α＋β）sin（β＋）＝，所以cos［（α＋β）－（β＋）］＝，即cos（α－）＝，所以cos（2α－）＝2cos2（α－）－1＝－，即cos（－2α）＝－，所以sin（2α＋）＝sin［－（－2α）］＝cos（－2α）＝－.
14.已知θ∈（0，π），且sin θ＋cos θ＝.
（1）求的值；
（2）求的值.
解：由sin θ＋cos θ＝， ①
两边平方并化简得2sin θcos θ＝－＜0，
∵θ∈（0，π），∴sin θ＞0，cos θ＜0，
sin θ－cos θ＝＝＝， ②
由①②得sin θ＝，cos θ＝－.
（1）
＝
＝－＝.
（2）＝
＝
＝2sin θcos θ＝－.
15.某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数.
cos215°＋cos215°－sin 15°sin 15°；
cos280°＋cos2（－50°）－sin 80°sin（－50°）；
cos2170°＋cos2（－140°）－sin 170°sin（－140°）.
（1）求出这个常数；
（2）结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论.
解：（1）cos215°＋cos215°－sin 15°sin 15°
＝2cos215°－sin215°
＝1＋cos 30°－（1－cos 30°）
＝1＋－（1－）＝.
（2）推广：当α＋β＝30°时，cos2α＋cos2β－sin α·sin β＝.
证明：∵α＋β＝30°，∴β＝30°－α，
cos2α＋cos2β－sin αsin β＝cos2α＋cos2（30°－α）－sin αsin（30°－α）
＝cos2α＋（cos α＋sin α）2－sin α（cos α－sin α）
＝cos2α＋cos2α＋cos αsin α＋sin2α－cos αsin α＋sin2α
＝cos2α＋sin2α＝.
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1.若tan α＝3，则＝（ ）
A.2 B.3
C.4 D.6
2.已知sin α＝，则cos（π－2α）＝（ ）
A.－ B.－
C. D.
3.设－3π＜α＜－，化简的结果是（ ）
A.sin B.cos
C.－cos D.－sin
4.＝（ ）
A. B.－
C.－1 D.1
5.已知tan（x＋）＝2，则＝（ ）
A. B.
C. D.
6.〔多选〕下列各式中，值为的是（ ）
A.
B.cos2－sin2
C.cos 15°sin 45°－sin 15°cos 45°
D.
7.化简：·＝ .
8.＋＝ .
9.等腰三角形一个底角的余弦值为，那么这个三角形顶角的正弦值为 .
10.已知α为锐角，且sin＋cos＝，求sin α及tan 2α的值.
11.在锐角△ABC中，若B＝2A，则的取值范围是（ ）
A.（，） B.［－，］
C.（，） D.（－，）
12.数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m＝的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin 18°，则＝（ ）
A.4 B.＋1
C.2 D.－1
13.已知cos（α＋β）cos（β＋）＋sin（α＋β）sin（β＋）＝，则sin（2α＋）＝ .
14.已知θ∈（0，π），且sin θ＋cos θ＝.
（1）求的值；
（2）求的值.
15.某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数.
cos215°＋cos215°－sin 15°sin 15°；
cos280°＋cos2（－50°）－sin 80°sin（－50°）；
cos2170°＋cos2（－140°）－sin 170°sin（－140°）.
（1）求出这个常数；
（2）结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论.
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