第一课时 两角差的余弦公式
课标要求
1.了解两角差的余弦公式的推导过程（逻辑推理）.
2.掌握两角差的余弦公式的应用（数学运算）.
情境导入
同学们，大家知道求一个任意角的三角函数值，我们可以利用诱导公式将它转化为锐角的三角函数值，再通过查表或使用计算器，就可以得出相应的三角函数值，但在实际应用中，我们将会遇到这样一类问题：已知α，β的三角函数值，求α－β的三角函数值，为此，我们需要有解决此类问题的办法及相应的计算公式.
知识点一｜两角差的余弦公式
问题 （1）如图所示，求P，A1，P1的坐标.
提示：P（cos（α－β），sin（α－β）），A1（cos β，sin β），P1（cos α，sin α）.
（2）已知在平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），如何求线段P1P2的长度？
提示：平面上任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离公式P1P2＝.
（3）根据AP＝A1P1可以得到什么等式？
提示：[cos（α－β）－1]2＋sin2（α－β）＝（cos α－cos β）2＋（sin α－sin β）2.
【知识梳理】
两角差的余弦公式
cos（α－β）＝ cos αcos β＋sin αsin β ，其中α，β为任意角，简记作C（α－β）.
提醒：（1）该公式对任意角都能成立；（2）公式的结构：左端为两角差的余弦，右端为这两角的同名三角函数值积的和.
【例1】 （1）cos 15°的值是（ ）
A. B.
C. D.
解析：D cos 15°＝cos（45°－30°）＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝.
（2）求下列各式的值：
①coscos＋cossin；
②cos 105°＋sin 105°.
解：①原式＝coscos＋cos（－）sin
＝coscos＋sinsin
＝cos（－）＝cos＝.
②原式＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°
＝cos（60°－105°）＝cos（－45°）＝.
【规律方法】
两角差的余弦公式常见题型及解法
（1）两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解；
（2）含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解；
（3）求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解.
训练1 （1）cos 105°＝；
解析：原式＝cos（150°－45°）＝cos 150°cos 45°＋sin 150°sin 45°＝－×＋×＝.
（2）求值：cos 80°·cos 35°＋cos 10°·cos 55°.
解：原式＝cos 80°·cos 35°＋sin 80°·sin 35°＝cos（80°－35°）＝cos 45°＝.
知识点二｜给值求值问题
【例2】 （1）已知sin α＝，α∈（，π），求cos（－α）的值；
解：因为sin α＝，α∈（，π），
所以cos α＝－＝－＝－，
所以cos（－α）＝coscos α＋sinsin α＝×（－）＋×＝.
（2）已知α，β为锐角，且cos α＝，cos（α＋β）＝－，求cos β的值.
解：因为0＜α，β＜，所以0＜α＋β＜π.
由cos（α＋β）＝－，得sin（α＋β）＝＝＝.
又因为cos α＝，所以sin α＝.
所以cos β＝cos＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sin α＝（－）×＋×＝.
【规律方法】
给值求值问题的解题策略
（1）从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换；
（2）常见角的变换：①α＝（α－β）＋β；②α＝＋；③2α＝（α＋β）＋（α－β）；④2β＝（α＋β）－（α－β）.
训练2 已知sin α＝，α∈（，π），cos β ＝－，β是第三象限角，求cos（α－β）的值.
解：由sin α＝，α∈（，π），得
cos α＝－＝－＝－.
又由cos β＝－，β是第三象限角，得
sin β＝－＝－＝－.
所以cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β
＝（－）×（－）＋×（－）＝－.
知识点三｜给值求角问题
【例3】 （1）已知α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，则α－β＝；
解析：∵α，β均为锐角，∴cos α＝，cos β＝.∴cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.又∵sin α＞sin β，∴0＜β＜α＜，∴0＜α－β＜，故α－β＝.
（2）已知cos α＝，cos（α＋β）＝－，α，β∈（0，），则β＝.
解析：∵α，β∈（0，），∴α＋β∈（0，π）.∵cos α＝，cos（α＋β）＝－，∴sin α＝，sin（α＋β）＝，∴cos β＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sin α＝（－）×＋×＝.∵0＜β＜，∴β＝.
变式 若本例（1）中“sin α”变为“cos α”，“sin β”变为“cos β”，则α－β＝－.
解析：∵α，β均为锐角，∴sin α＝，sin β＝，∴cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.又∵sin α＜sin β，∴0＜α＜β＜，∴－＜α－β＜0，故α－β＝－.
【规律方法】
已知三角函数值求角的解题步骤
（1）界定角的范围，根据条件确定所求角的范围；
（2）求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数；
（3）结合三角函数值及角的范围求角.
1.cos 20°＝（ ）
A.cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°
B.cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°
C.sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30°
D.sin 30°cos 10°＋sin 10°cos 30°
解析：B cos 20°＝cos（30°－10°）＝cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°.
2.cos（α－35°）cos（25°＋α）＋sin（α－35°）sin（25°＋α）的值为（ ）
A.－ B.
C.－ D.
解析：B 原式＝cos[（α－35°）－（α＋25°）]＝cos 60°＝.
3.已知sin（α＋60°）＝，30°＜α＜120°，则cos α＝（ ）
A. B.－
C. D.－
解析：A ∵30°＜α＜120°，∴90°＜α＋60°＜180°，又sin（α＋60°）＝，∴cos（α＋60°）＝－，∴cos α＝cos[（α＋60°）－60°]＝cos（α＋60°）cos 60°＋sin（α＋60°）sin 60°＝－×＋×＝.
4.若cos（α－β）＝，cos 2α＝，且α，β均为锐角，α＜β，则α＋β＝.
解析：因为0＜α＜，0＜β＜，α＜β.所以－＜α－β＜0.又cos（α－β）＝，所以sin（α－β）＝－＝－.又因为0＜2α＜π，cos 2α＝，所以sin 2α＝＝，所以cos（α＋β）＝cos[2α－（α－β）]＝cos 2αcos（α－β）＋sin 2αsin（α－β）＝×＋×（－）＝－，又0＜α＋β＜π，故α＋β＝.
课堂小结
1.理清单 （1）两角差的余弦公式（给角求值）； （2）给值求值问题； （3）给值求角问题. 2.应体会 运用构造法解决给值求值问题. 3.避易错 求角时忽视角的范围.
1.cos 56°cos 26°＋sin 56°cos 64°＝（ ）
A. B.－
C. D.－
解析：C 原式＝cos 56°cos 26°＋sin 56°sin 26°＝cos（56°－26°）＝cos 30°＝.
2.已知点P（1，）是角α的终边上一点，则cos（－α）＝（ ）
A. B.
C.－ D.
解析：A 由题意可得sin α＝，cos α＝，所以cos（－α）＝coscos α＋sinsin α＝×＋×＝.
3.已知A，B，C是△ABC的三个内角，且方程x2＋xcos Acos B＋sin Asin B－1＝0的两根之和与两根之积相等，则△ABC是（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.钝角三角形
解析：B 由题意得－cos Acos B＝sin Asin B－1，即cos Acos B＋sin Asin B＝1，则cos（A－B）＝1，又A，B为△ABC的内角，所以A＝B.故△ABC是等腰三角形.故选B.
4.已知cos（x－）＝－，则cos x＋cos（x－）＝（ ）
A.－ B.±
C.－1 D.±1
解析：C cos x＋cos（x－）＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝（cos x＋sin x）＝cos（x－）＝－1.
5.〔多选〕下列各式化简正确的是（ ）
A.cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60°
B.cos＝coscos＋sinsin
C.sin（α＋45°）sin α＋cos（α＋45°）cos α＝cos 45°
D.cos（α－）＝cos α＋sin α
解析：ABC 根据两角差的余弦公式A、B、C都是正确的；而对于D，cos（α－）＝cos αcos＋sin αsin＝cos α＋sin α，故D错误.
6.〔多选〕若sin x＋cos x＝cos（x－φ），则φ的一个可能值是（ ）
A. B.－
C. D.
解析：AC 因为sin x＋cos x＝cos（x－φ）＝cos xcos φ＋sin xsin φ，所以有所以φ＝＋2kπ，k∈Z，故选A、C.
7.已知cos（α－）＝cos α，则tan α＝.
解析：cos（α－）＝cos αcos＋sin αsin＝cos α＋sin α＝cos α，所以sin α＝cos α，所以＝，即tan α＝.
8.＝.
解析：原式＝＝＝＝cos 15°＝cos（60°－45°）＝.
9.（2025·永州期中）在△ABC中，sin A＝，cos B＝－，则cos（A－B）＝ －.
解析：因为cos B＝－，且0＜B＜π，所以＜B＜π，所以sin B＝＝＝，且0＜A＜，所以cos A＝＝＝，所以cos（A－B）＝cos Acos B＋sin Asin B＝×（－）＋×＝－.
10.如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点.
（1）如果A，B两点的纵坐标分别为，，求cos α和sin β的值；
（2）在（1）的条件下，求cos（β－α）的值.
解：（1）∵OA＝1，OB＝1，且点A，B的纵坐标分别为，，
∴sin α＝，sin β＝，
又∵α为锐角，∴cos α＝＝.
（2）∵β为钝角，
∴由（1）知cos β＝－＝－，
∴cos（β－α）＝cos βcos α＋sin βsin α
＝－×＋×＝.
11.（2025·郑州一中月考）已知函数f（x）＝sin 126°·sin（x－36°）＋cos 54°cos（x－36°），则函数f（x）是（ ）
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
解析：A 因为函数的定义域为R，且f（x）＝sin 126°·sin（x－36°）＋cos 54°cos（x－36°）＝cos 54°cos（x－36°）＋sin 54°sin（x－36°）＝cos[54°－（x－36°）]＝cos（90°－x）＝sin x，故函数f（x）为奇函数.
12.（2025·深圳中学期末）已知sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos（α－β）的值为（ ）
A. B.
C. D.1
解析：B 因为sin α－sin β＝1－，所以sin2α－2sin α·sin β＋sin2β＝－①.又因为cos α－cos β＝，所以cos2α－2cos αcos β＋cos2β＝②.由①＋②得，2cos（α－β）＝，所以cos（α－β）＝.
13.已知0＜α＜π，sin（α＋）＝，则cos α＝.
解析：由0＜α＜π，得＜α＋＜，又sin（α＋）＝＜，故＜α＋＜π，即位于第二象限，由同角三角函数关系得cos（α＋）＝－＝－，cos α＝cos（α＋－）＝cos（α＋）cos＋sin（α＋）sin＝－×＋×＝.
14.已知α，β为锐角且cos（α－β）＝，cos α＝，求cos β的值.
解：∵cos α＝，cos（α－β）＝，α，β为锐角，
∴sin α＝，sin（α－β）＝±.
当sin（α－β）＝时，cos β＝cos[α－（α－β）]＝cos αcos（α－β）＋sin α·sin（α－β）＝.
当sin（α－β）＝－时，cos β＝cos[α－（α－β）]＝cos αcos（α－β）＋sin α·sin（α－β）＝0.
∵β为锐角，∴cos β＝.
15.已知函数f（x）＝2cos（ωx＋）（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π.
（1）求ω的值；
（2）设α，β∈［0，］，f（5α＋）＝－，f（5β－）＝，求cos（α－β）的值.
解：（1）由于函数f（x）的最小正周期为10π，
所以10π＝，所以ω＝.
（2）因为f（5α＋）＝－，
所以2cos［（5α＋）＋］＝2cos（α＋）＝－，所以sin α＝，
又因为f（5β－）＝，
所以2cos［（5β－）＋］＝2cos β＝，
所以cos β＝，
因为α，β∈［0，］，所以cos α＝，sin β＝，
所以cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
1 / 2第一课时 两角差的余弦公式
1.cos 56°cos 26°＋sin 56°cos 64°＝（ ）
A. B.－
C. D.－
2.已知点P（1，）是角α的终边上一点，则cos（－α）＝（ ）
A. B.
C.－ D.
3.已知A，B，C是△ABC的三个内角，且方程x2＋xcos Acos B＋sin Asin B－1＝0的两根之和与两根之积相等，则△ABC是（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.钝角三角形
4.已知cos（x－）＝－，则cos x＋cos（x－）＝（ ）
A.－ B.±
C.－1 D.±1
5.〔多选〕下列各式化简正确的是（ ）
A.cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60°
B.cos＝coscos＋sinsin
C.sin（α＋45°）sin α＋cos（α＋45°）cos α＝cos 45°
D.cos（α－）＝cos α＋sin α
6.〔多选〕若sin x＋cos x＝cos（x－φ），则φ的一个可能值是（ ）
A. B.－
C. D.
7.已知cos（α－）＝cos α，则tan α＝ .
8.＝ .
9.（2025·永州期中）在△ABC中，sin A＝，cos B＝－，则cos（A－B）＝ .
10.如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点.
（1）如果A，B两点的纵坐标分别为，，求cos α和sin β的值；
（2）在（1）的条件下，求cos（β－α）的值.
11.（2025·郑州一中月考）已知函数f（x）＝sin 126°·sin（x－36°）＋cos 54°cos（x－36°），则函数f（x）是（ ）
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
12.（2025·深圳中学期末）已知sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos（α－β）的值为（ ）
A. B.
C. D.1
13.已知0＜α＜π，sin（α＋）＝，则cos α＝ .
14.已知α，β为锐角且cos（α－β）＝，cos α＝，求cos β的值.
15.已知函数f（x）＝2cos（ωx＋）（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π.
（1）求ω的值；
（2）设α，β∈［0，］，f（5α＋）＝－，f（5β－）＝，求cos（α－β）的值.
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