5.5.2 简单的三角恒等变换
1.已知α∈（－，0），cos α＝，则tan＝（ ）
A.3 B.－3
C. D.－
2.若sin（π－α）＝－且α∈（π，），则sin（＋）＝（ ）
A.－ B.－
C. D.
3.设－3π＜α＜－，则＝（ ）
A.sin＋cos B.－cos－sin
C.cos－sin D.sin－cos
4.设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，则有（ ）
A.c＜b＜a B.a＜b＜c
C.a＜c＜b D.b＜c＜a
5.〔多选〕下列各式与tan α相等的是（ ）
A.
B.
C.·（α∈（0，π））
D.
6.〔多选〕下列结论正确的是（ ）
A.存在实数α，使tan 2α＝2tan α
B.＝
C.已知tan α＝－4，则tan＝
D.tan 75°＝
7.sin＝ .
8.若sin θ＝，＜θ＜3π，则sin＝ .
9.化简：··＝ .
10.求证：＝tan（＋）.
11.（2025·银川一中期中）函数f（x）＝cos2x－2cos2（x∈[0，π]）的最小值为（ ）
A.1 B.－1
C. D.－
12.〔多选〕已知f（x）＝sin2（x＋），若a＝f（lg 5），b＝f（lg），则（ ）
A.a＋b＝0 B.a－b＝0
C.a＋b＝1 D.a－b＝sin（2lg 5）
13.（2025·河东期中）若｜logπ｜＜2，则使关于x的函数f（x）＝sin（x＋α）＋cos（x－α）（x∈R）为偶函数的α的个数是 .
14.已知＜α＜3π，试化简：
.
15.已知＜α＜π，tan α＋＝－.
（1）求tan α的值；
（2）求的值.
2 / 25.5.2 简单的三角恒等变换
课标要求
1.能用二倍角公式推导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想（逻辑推理）.
2.灵活运用和差的正弦、余弦公式进行相关计算及化简、证明（数学运算）.
情境导入
在利用二倍角公式解决问题时，已知角α的一个三角函数值和它所在的象限就可以求出这个角的二倍角的所有三角函数值.如果已知一个角α的一个三角函数值，能否求出这个角的半角的所有三角函数值？即由cos 30°的值能否求出sin 15°和cos 15°的值？
知识点一｜半角公式
问题 （1）角α与，角α与2α有什么关系？
提示：是α的半角，α是2α的半角；α是的二倍角，2α是α的二倍角.
（2）半角公式是如何推导出来的？
提示：半角公式的推导是利用公式cos 2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1，∴cos α＝1－2sin2，sin2＝，同理cos2＝，tan2＝.
（3）半角公式中的符号是如何确定的？
提示：（1）当给出角α的具体范围时，先求的范围，然后根据的范围确定符号；
（2）如果没有给出决定符号的条件，那么在根号前要保留正负号.
【知识梳理】
半角公式
sin＝ ± ，cos＝ ± ，tan＝ ± .
提醒：（1）半角公式中的“±”不能去掉，若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留“±”；（2）常见公式变形tan ＝＝.
【例1】 已知sin α＝，求下列条件下sin ，cos ，tan 的值：
（1）0＜α＜；
解：当0＜α＜时，0＜＜，
又sin α＝，
所以cos α＝＝＝，
所以sin＝＝＝，
cos＝＝＝，
tan＝＝＝.
（2）角α在第一象限.
解：当角α在第一象限时，2kπ＜α＜2kπ＋（k∈Z），则kπ＜＜kπ＋（k∈Z）.
当k为偶数时，角在第一象限，故由（1）可得sin ＝，cos＝，tan＝.
当k为奇数时，角在第三象限，此时有sin ＝－，cos＝－，tan＝.
【规律方法】
利用半角公式求值的思路
（1）看角：若已知角与待求角存在半角关系，求解角的三角函数值时考虑用半角公式；
（2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围.
训练1 已知sin α＝－，α∈（π，），则tan＝－.
解析：法一 因为sin α＝－，α∈（π，），所以cos α＝－.所以∈（，），所以tan＜0.所以tan＝－＝－.
法二 因为sin α＝－，α∈（π，），所以cos α＝－.所以tan＝＝＝－＝－.
知识点二｜三角函数式的化简
【例2】 化简：（0＜α＜π）.
解：因为tan＝，
所以tan（1＋cos α）＝sin α.
又因为cos（－α）＝－sin α，且1－cos α＝2sin2，所以原式＝＝＝－.
因为0＜α＜π，所以0＜＜，所以sin＞0，
所以原式＝－2cos.
【规律方法】
1.三角函数式化简的常用方法
（1）变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式；
（2）变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切；
（3）变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径.如升幂、降幂、配方、开方等.
2.化简的结果尽可能简单，也就是项数尽可能少，次数尽可能低，函数种类尽可能少，式子中尽量不含根号，能求值的一定要求值.
训练2 化简：2＋.
解：原式＝2＋＝2＋
＝2｜sin 4＋cos 4｜＋2｜cos 4｜.
由于π＜4＜，∴sin 4＜0，cos 4＜0，sin 4＋cos 4＜0，
∴原式＝－2（sin 4＋cos 4）－2cos 4＝－2sin 4－4cos 4.
提能点｜三角恒等变换的综合应用
【例3】 已知函数f（x）＝2asin xcos x－2cos2x的一个零点为.
（1）求a的值及f（x）的最小正周期；
解：由题意知2asincos－2cos2＝0，化简得a－＝0，解得a＝.
故f（x）＝2sin xcos x－2cos2x＝sin 2x－cos 2x－1＝2sin（2x－）－1，
则f（x）的最小正周期为π.
（2）若m≤f（x）≤M对x∈［0，］恒成立，求m的最大值和M的最小值.
解：由0≤x≤，可得－≤2x－≤.
故得－≤sin（2x－）≤1，即－2≤2sin（2x－）－1≤1.
当2x－＝，即x＝时，f（x）取得最大值1；
当2x－＝－，即x＝0时，f（x）取得最小值－2.
由m≤f（x）≤M对x∈［0，］恒成立，可得m≤－2，且M≥1.
即m的最大值是－2，M的最小值是1.
【规律方法】
解决三角恒等变换综合问题的思路
三角恒等变换的综合问题常见的题型有化简、求值、证明等，其解题思路为“六遇六想”，即：遇切，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降幂；遇特角，想求值；遇和式，想收缩.
训练3 已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，f（B）＝4cos B·sin2（＋）＋cos 2B－2cos B.
（1）若f（B）＝2，求角B的大小；
解：f（B）＝2cos B（1＋sin B）＋cos 2B－2cos B＝2sin Bcos B＋cos 2B＝sin 2B＋cos 2B＝2sin（2B＋）.
因为f（B）＝2，即2sin（2B＋）＝2，
所以2B＋＝＋2kπ，k∈Z.
又0＜B＜π，所以B＝.
（2）若f（B）－m＞2恒成立，求实数m的取值范围.
解：若f（B）－m＞2恒成立，
即m＜f（B）－2＝2sin（2B＋）－2恒成立，
故m＜（2sin（2B＋）－2）min.
因为0＜B＜π，
所以＜2B＋＜，
故－2≤2sin（2B＋）≤2，
因此m＜－4.
故实数m的取值范围为（－∞，－4）.
和差化积、积化和差公式
由教材第225页例8及第226页练习第4题、第5题，探究和差化积、积化和差公式的结构特征，证明（推导）及应用.
1.积化和差公式
sin αcos β＝[sin（α＋β）＋sin（α－β）]；
cos αsin β＝[sin（α＋β）－sin（α－β）]；
cos αcos β＝[cos（α＋β）＋cos（α－β）]；
sin αsin β＝－[cos（α＋β）－cos（α－β）].
2.和差化积公式
sin θ＋sin φ＝2sincos；
sin θ－sin φ＝2cossin；
cos θ＋cos φ＝2coscos；
cos θ－cos φ＝－2sinsin.
【典例】 若A＋B＝120°，则sin A＋sin B的最大值是（ ）
A.1 B. C. D.
解析：C 因为sin A＋sin B＝2sincos＝cos≤，当且仅当A＝B＝60°时，等号成立，所以sin A＋sin B的最大值为，故选C.
【规律方法】
积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法，如把α＋β看作θ，α－β看作φ，从而把包含α，β的三角函数式转化为包含θ，φ的三角函数式，或者把sin αcos β看作x，cos αsin β看作y，把等式看作x，y的方程，则原问题转化为解方程（组）求x，它们都体现了化归思想.
【迁移应用】
若cos2α－cos2β＝m，则sin（α＋β）sin（α－β）＝ .
答案：－m
解析：由m＝cos2α－cos2β＝－＝（cos 2α－cos 2β）＝－sin（α＋β）·sin（α－β），所以sin（α＋β）sin（α－β）＝－m.
1.已知cos α＝－，＜α＜π，则sin＝（ ）
A.－ B.
C.－ D.
解析：D 由＜α＜π可知＜＜，故sin＝＝.
2.化简：＝cos 1 .
解析：原式＝＝，因为0＜1＜，故原式＝cos 1.
3.sin（＋α）·cos（＋β）化为和差的结果是cos（α＋β）＋sin（α－β）.
解析：原式＝［sin（＋α＋β）＋sin（α－β）］＝cos（α＋β）＋sin（α－β）.
课堂小结
1.理清单 （1）半角公式； （2）三角函数式的化简； （3）三角恒等变换的综合应用. 2.应体会 三角函数式的化简过程中运用转化与化归思想. 3.避易错 半角公式符号的判断.
1.已知α∈（－，0），cos α＝，则tan＝（ ）
A.3 B.－3
C. D.－
解析：D 因为α∈（－，0），且cos α＝，所以∈（－，0），tan＝－＝－＝－.
2.若sin（π－α）＝－且α∈（π，），则sin（＋）＝（ ）
A.－ B.－
C. D.
解析：B 由题意知sin α＝－，α∈（π，），所以cos α＝－.因为∈（，），所以sin（＋）＝cos＝－＝－.故选B.
3.设－3π＜α＜－，则＝（ ）
A.sin＋cos B.－cos－sin
C.cos－sin D.sin－cos
解析：D ∵－3π＜α＜－，∴－＜＜－.∴sin＞0，cos＜0，＝＝＝｜sin－cos｜＝sin－cos.
4.设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，则有（ ）
A.c＜b＜a B.a＜b＜c
C.a＜c＜b D.b＜c＜a
解析：C a＝cos 6°－sin 6°＝sin（30°－6°）＝sin 24°，b＝2sin 13°cos 13°＝sin 26°，c＝＝＝（cos 20°－sin 20°）＝sin 25°，函数y＝sin x，x∈（0°，90°）单调递增，所以a＜c＜b，故选C.
5.〔多选〕下列各式与tan α相等的是（ ）
A.
B.
C.·（α∈（0，π））
D.
解析：CD A不符合，＝＝＝｜tan α｜；B不符合，＝＝tan；C符合，因为α∈（0，π），所以原式＝·＝＝tan α；D符合，＝＝tan α.
6.〔多选〕下列结论正确的是（ ）
A.存在实数α，使tan 2α＝2tan α
B.＝
C.已知tan α＝－4，则tan＝
D.tan 75°＝
解析：AC 对于A选项，取α＝0，则tan 2α＝0＝2tan α，故A正确；对于B选项，由半角公式可知＝tan 40°≠，故B错误；对于C选项，由于tan α＝－4＝，整理得2tan2－tan－2＝0，解得tan＝，故C正确；对于D选项，由正切的半角公式知tan 75°＝，故D错误.
7.sin＝.
解析：sin＝＝＝.
8.若sin θ＝，＜θ＜3π，则sin＝－.
解析：∵sin θ＝，＜θ＜3π，∴＜＜，cos θ＝－＝－，∴sin＝－＝－.
9.化简：··＝tan.
解析：原式＝··＝·＝·＝＝tan.
10.求证：＝tan（＋）.
证明：左边＝
＝＝＝
＝tan（＋）＝右边.所以原等式成立.
11.（2025·银川一中期中）函数f（x）＝cos2x－2cos2（x∈[0，π]）的最小值为（ ）
A.1 B.－1
C. D.－
解析：D 由题意，得f（x）＝cos2x－2cos2＝cos2x－（1＋cos x）＝cos2x－cos x－1，设t＝cos x（x∈[0，π]），y＝f（x），则t∈[－1，1]，y＝t2－t－1＝（t－）2－，所以当t＝，即x＝时，y取得最小值，为－，所以函数f（x）的最小值为－，故选D.
12.〔多选〕已知f（x）＝sin2（x＋），若a＝f（lg 5），b＝f（lg），则（ ）
A.a＋b＝0 B.a－b＝0
C.a＋b＝1 D.a－b＝sin（2lg 5）
解析：CD f（x）＝sin2（x＋）＝＝＝sin 2x＋.因为a＝f（lg 5），b＝f（lg）＝f（－lg 5），所以a＋b＝＋＝1，a－b＝－＝sin（2lg 5）.故选C、D.
13.（2025·河东期中）若｜logπ｜＜2，则使关于x的函数f（x）＝sin（x＋α）＋cos（x－α）（x∈R）为偶函数的α的个数是10.
解析：由已知可得＜α＜π3.f（x）＝sin（x＋α）＋cos（x－α）＝2sin（＋α）cos（－x）.若f（x）为偶函数，则f（－x）＝f（x）.则有2sin（＋α）·cos（－x）＝2sin（＋α）cos（＋x）.由于x为任意实数，所以sin（＋α）＝0.于是α＝kπ－（k∈Z）.解不等式＜kπ－＜π3可得k＝1，2，3，…，10，于是α的个数为10.
14.已知＜α＜3π，试化简：
.
解：因为＜α＜3π，所以＜＜，
所以cos α＜0，sin＜0.
故原式＝＝＝＝－sin.
15.已知＜α＜π，tan α＋＝－.
（1）求tan α的值；
（2）求的值.
解：（1）因为tan α＋＝－，
所以tan α＝－3或－，
因为＜α＜π，
所以tan α＞－1，
所以tan α＝－.
（2）
＝
＝＝＝＝－.
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