第二课时 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质
课标要求
1.会通过函数y＝Asin（ωx＋φ）的部分图象求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式（直观想象、数学运算）.
2.结合正弦函数的性质，掌握函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质（数学抽象、逻辑推理）.
情境导入
同学们，大家有没有听说过一个成语“可见一斑”，大家知道这是什么意思吗？对，它比喻见到事物的一小部分也能推知事物的整体，大家想一想，这不正是说的三角函数吗？我们知道，三角函数是周期函数，那么如果我们知道了一个周期上的三角函数的性质，这个时候是不是可以“可见一斑”了？
知识点一｜“五点法”作图
【例1】 用“五点法”画函数y＝2sin（3x＋）在一个周期内的简图.
解：令X＝3x＋，则x＝（X－），列表如下：
X 0 π 2π
x －
y 0 2 0 －2 0
描点连线，画图如下.
变式 本例中把“一个周期内”改为“［0，］”，又如何作图？
解：因为x∈［0，］，所以3x＋∈［，］，
列表如下：
3x＋ π 2π
x 0
y 1 2 0 －2 0 1
描点连线，画图如下.
【规律方法】
1.“五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象.
2.“五点法”作图的关键
作定区间上图象的关键是列表，列表的方法是：
（1）计算x取端点值时的ωx＋φ的范围；
（2）取出ωx＋φ范围内的“五点”，并计算出相应的x值；
（3）利用ωx＋φ的值计算y值；
（4）描点（x，y），连线得到函数图象.
训练1 已知函数f（x）＝cos，试作出函数f（x）在[0，π]上的图象.
解：f（x）＝cos，列表如下：
2x－ － 0 π π π
x 0 π π π π
f（x） 1 0 －1 0
图象如图.
知识点二｜由图象确定函数的解析式
问题1 如图为函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）图象的一部分，根据图象探究下面的问题.
（1）根据函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如何求A的值？
提示：根据图象的最高点（或最低点）确定A，因为最大值与最小值互为相反数，所以A＝2.
（2）根据函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如何确定ω的值？
提示：因为T＝，所以通过周期来确定ω，×＝－，所以ω＝2.
（3）根据函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如何确定φ的值？
提示：最大值对应的x值为，所以2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，所以φ＝2kπ＋，k∈Z.
【例2】 如图为y＝Asin（ωx＋φ）的图象的一段，其中A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π，求其解析式.
解：法一 以M为第一个零点，
则A＝，T＝2（－）＝π，
∴ω＝2，此时解析式为y＝sin（2x＋φ）.
∵点M（，0），∴×2＋φ＝0，∴φ＝－，
所求解析式为y＝sin（2x－）.
法二 由图象知A＝，
以M（，0）为第一个零点，P（，0）为第二个零点.
列方程组解得
∴所求解析式为y＝sin（2x－）.
变式 将本例中的图象变为如图所示，试求函数的解析式.
解：法一（最值点法） 由图象可得ω＝，A＝2，将最高点坐标（，2）代入y＝2sin（x＋φ），
得2sin（＋φ）＝2，所以＋φ＝2kπ＋（k∈Z），
所以φ＝2kπ＋（k∈Z）.
又因为｜φ｜＜π，所以φ＝，
所以此函数的解析式为y＝2sin（x＋）.
法二（起始点法） 由图象求得ω＝，x0＝－，φ＝－ωx0＝－×（－）＝.
又因为A＝2，所以此函数的解析式为
y＝2sin（x＋）.
【规律方法】
确定y＝Asin（ωx＋φ）＋B（A＞0，ω＞0）的解析式的步骤
（1）求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝；
（2）求ω，确定函数的周期T，则ω＝；
（3）求φ，常用方法有以下2种：
代入法 把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入
五点法 确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口
训练2 已知函数y＝Asin（ωx＋φ）＋B的一部分图象如图所示，若A＞0，ω＞0，｜φ｜＜，根据图中条件，写出该函数的解析式.
解：由图象可知，对称中心不在x轴上，最大值为4，最小值为0，所以A＝＝2，B＝＝2.
由T＝－＝，得T＝π，故ω＝2.
因为2×＋φ＝＋2kπ（k∈Z），｜φ｜＜，所以φ＝.
所以该函数的解析式为y＝2sin（2x＋）＋2.
知识点三｜函数y＝Asin（ωx＋φ）的有关性质
问题2 你能用正弦函数y＝sin x的性质类比函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质吗？
提示：可以，利用整体代换的思想，当A＞0，ω＞0时，用ωx＋φ整体代换正弦函数中的x即可.
【知识梳理】
函数y＝Asin（ωx＋φ），A＞0，ω＞0的有关性质
名称 性质
定义域 R
值域 [－A，A]
周期性 T＝
对称性 对称中心（，0）
对称轴 x＝ ＋
奇偶性 当φ＝kπ（k∈Z）时是 奇函数 ；当φ＝kπ＋（k∈Z）时是 偶函数
单调性 通过整体代换可求出其单调区间
【例3】 已知函数f（x）＝sin（2x＋）＋.
（1）求f（x）的单调增区间；
解：令－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以f（x）的单调增区间是［kπ－，kπ＋］，k∈Z.
（2）求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值集合.
解：当sin（2x＋）＝－1，即当2x＋＝2kπ－，k∈Z，即x＝kπ－，k∈Z时，f（x）取得最小值.
变式 本例条件不变，求函数f（x）的对称轴、对称中心.
解：令2x＋＝kπ＋（k∈Z），
则x＝＋（k∈Z），
所以对称轴方程为x＝＋（k∈Z）；
令2x＋＝kπ（k∈Z），
则x＝－（k∈Z），
所以对称中心为（－，）（k∈Z）.
【规律方法】
函数y＝Asin（ωx＋φ）（y＝Acos（ωx＋φ））（A≠0，ω≠0）的性质
首先将三角函数的和差形式转化为y＝Asin（ωx＋φ）（y＝Acos（ωx＋φ））的形式，然后再讨论性质.
（1）定义域：R；
（2）值域：[－｜A｜，｜A｜]；
（3）奇偶性：函数y＝Asin（ωx＋φ）（y＝Acos（ωx＋φ））不一定具备奇偶性，要由φ的值确定；
（4）周期性：T＝；
（5）单调区间：可把ωx＋φ看作一个整体，令z＝ωx＋φ，通过y＝Asin z（y＝Acos z）的单调区间解不等式求得；
（6）对称性：仍然以y＝Asin z（y＝Acos z）的对称轴、对称中心列方程求解，即ωx0＋φ＝kπ＋或ωx0＋φ＝kπ（k∈Z）.
训练3 已知函数f（x）＝2cos2ωx－1＋2sin ωx·cos ωx（0＜ω＜1），直线x＝是函数f（x）的图象的一条对称轴.
（1）设h（x）＝f（－x），求函数h（x）的单调递增区间；
解：f（x）＝2cos2ωx－1＋2sin ωxcos ωx＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin（2ωx＋），
因为直线x＝是函数f（x）的图象的一条对称轴，
所以ω＋＝＋kπ，k∈Z，则ω＝k＋，k∈Z，
又0＜ω＜1，所以ω＝，
所以f（x）＝2sin（x＋），
则h（x）＝f（－x）＝2sin（－x＋）＝－2sin（x－），
令＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，则＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
所以函数h（x）的单调递增区间为［＋2kπ，＋2kπ］，k∈Z.
（2）已知函数y＝g（x）的图象是由y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g（2α＋）＝，α∈（0，），求sin α的值.
解：y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得y＝2sin（x＋）的图象，
再向左平移个单位长度得y＝2sin［（x＋）＋］＝2sin（x＋）＝2cosx的图象，
即g（x）＝2cosx，
g（2α＋）＝，即cos（α＋）＝，
又α∈（0，），则α＋∈（，），
所以sin（α＋）＝，
所以sin α＝sin［（α＋）－］＝×－×＝.
知识点四｜匀速圆周运动的数学模型
【例4】 如图，一架水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，当水轮上一点P从水中浮现（图中点P0）时开始计算时间.
（1）将点P距离水面的高度z（m）表示为时间t（s）的函数；
解：如图，建立直角坐标系，设角φ（－＜φ＜0）是以Ox为始边，OP0为终边的角，OP每秒钟所转过的弧度数为＝.
又水轮的半径为4 m，圆心O距离水面2 m，
所以z＝4sin（t＋φ）＋2.
当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－，即φ＝－.
故所求的函数表达式为z＝4sin（t－）＋2.
（2）点P第一次到达最高点需要多长时间？
解：令z＝4sin（t－）＋2＝6，
得sin（t－）＝1.
取t－＝，得t＝4.
故点P第一次到达最高点需要4 s.
【规律方法】
匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式.此类问题的切入点是初始位置及其半径、周期的值，半径决定A，周期能确定ω，初始位置的不同对φ有影响，还要注意最大值、最小值与函数中参数的关系.
训练4 一架风车的半径为6 m，每12 min旋转一周，它的最低点P0离地面2 m，风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面的距离h（t）（m）与时间t（min）之间的函数关系式是（ ）
A.h（t）＝－6sint＋6 B.h（t）＝－6cost＋6
C.h（t）＝－6sint＋8 D.h（t）＝－6cost＋8
解析：D 法一 设h（t）＝Asin（ωt－）＋B＝－Acos ωt＋B（A＞0，ω＞0），因为每12 min旋转一周，所以＝12，得ω＝，所以h（t）＝－Acost＋B，当t＝0时，－A＋B＝2，①.当t＝6时，A＋B＝14，②.由①②联立解得A＝6，B＝8，所以h（t）＝－6cost＋8，故选D.
法二 当t＝0时，h（t）＝2，排除选项A、B、C，故选D.
1.用“五点法”作函数y＝cos在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标可以是（ ）
A. B. C. D.
解析：A 令4x－＝，得x＝.∴该点坐标为.
2.若函数f（x）＝3sin（ωx＋φ）对任意x都有f（＋x）＝f（－x），则f（）＝（ ）
A.3或0 B.－3或0
C.0 D.－3或3
解析：D 由f（＋x）＝f（－x）得，直线x＝是函数图象的对称轴，所以f（）＝±3.
3.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，－＜φ＜）的部分图象如图所示，则φ的值为（ ）
A.－ B.
C.－ D.
解析：B 由图象可知A＝1，＝－（－），故T＝π，ω＝2，f（x）＝sin（2x＋φ），由图象可知当x＝时，sin（2×＋φ）＝1，所以φ＝.
4.在函数y＝2sin（ωx＋φ）＋2（ω＞0）的一个周期上，当x＝时，有最大值4，当x＝时，有最小值0，则ω＝2.
解析：由题意得＝－＝，所以T＝π，又T＝＝π，解得ω＝2.
课堂小结
1.理清单 （1）“五点法”作图； （2）由图象确定函数的解析式； （3）函数y＝Asin（ωx＋φ）的有关性质； （4）匀速圆周运动的数学模型. 2.应体会 由图象确定函数的解析式需要数形结合，处理函数性质要巧妙运用整体代换法，匀速圆周运动的数学模型的构建. 3.避易错 求φ值时递增区间上的零点和递减区间上的零点的区别.易忽视实际问题中自变量的取值范围.
1.若x1＝，x2＝是函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）两个相邻的最值点，则ω＝（ ）
A.2 B.
C.1 D.
解析：A 由题意知＝x2－x1＝－＝，所以T＝π，ω＝2.
2.函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示，则（ ）
A.y＝2sin（2x－） B.y＝2sin（2x－）
C.y＝2sin（x＋） D.y＝2sin（x＋）
解析：A 由题图可知，A＝2，T＝2［－（－）］＝π，所以ω＝2.由函数图象经过点（，2）可得2sin（2×＋φ）＝2，所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－＋2kπ，k∈Z，因为｜φ｜＜，所以φ＝－，所以函数的解析式为y＝2sin（2x－）.
3.（2025·开封期中）若将函数y＝3cos（2x＋）的图象向右平移个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是（ ）
A.（，0） B.（－，0）
C.（，0） D.（－，0）
解析：A 将函数y＝3cos（2x＋）的图象向右平移个单位长度，得y＝3cos ［2（x－）＋］＝3cos（2x＋）的图象，由2x＋＝kπ＋（k∈Z），得x＝＋（k∈Z），当k＝0时，x＝，所以平移后图象的一个对称中心是（，0），故选A.
4.已知函数f（x）＝2sin（ωx－）的最小正周期为π，则函数y＝f（x）在区间［0，］上的最大值和最小值分别是（ ）
A.2和－2 B.2和0
C.2和－1 D.和－
解析：C 由题知T＝＝π，得ω＝2，即函数y＝f（x）＝2sin（2x－），又∵x∈［0，］，∴2x－∈［－，］，即sin（2x－）∈［－，1］，2sin（2x－）∈[－1，2]，故函数f（x）的最大值为2，最小值为－1.故选C.
5.〔多选〕已知函数f（x）＝Asin ωx（A＞0，ω＞0）与g（x）＝cos ωx的部分图象如图所示，则（ ）
A.A＝1 B.A＝2
C.ω＝ D.ω＝
解析：BC 由题图可得过点（0，1）的图象对应的函数解析式为g（x）＝cos ωx，即＝1，A＝2.过原点的图象对应的函数解析式为f（x）＝Asin ωx.由f（x）的图象可知，T＝＝1.5×4，可得ω＝.
6.〔多选〕将函数f（x）＝sin 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则g（x）具有性质（ ）
A.在（0，）上单调递增，为偶函数
B.最大值为1，图象关于直线x＝对称
C.在（－，）上单调递增，为奇函数
D.周期为π，图象关于点（，0）对称
解析：ABD g（x）＝sin［2（x－）］＝sin（2x－）＝－cos 2x，因为x∈（0，），则2x∈（0，），所以g（x）＝－cos 2x在上单调递增，且为偶函数，A正确，C错误；最大值为1，当x＝时，2x＝3π，所以x＝为对称轴，B正确；T＝＝π，取2x＝＋kπ，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z，当k＝1时满足，图象关于点（，0）对称，D正确.故选A、B、D.
7.若函数f（x）＝sin x＋acos x关于点（，0）对称，则a的值为－.
解析：∵（，0）为f（x）的对称中心，∴f（）＝0，即sin＋acos＝0，即＋a＝0，∴a＝－.
8.若f（x）＝cos（2x＋＋φ）（｜φ｜＜）是奇函数，则φ＝
解析：由题意可知φ＋＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z.又｜φ｜＜，故当k＝0时，得φ＝.
9.函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）＝.
解析：由图象可得A＝，周期为4×（－）＝π，所以ω＝2，将（，－）代入得2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，所以f（0）＝sin φ＝sin＝.
10.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的图象如图所示.
（1）求出函数f（x）的解析式；
（2）若将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到函数y＝g（x）的图象，求出函数y＝g（x）的单调递增区间及对称中心.
解：（1）由图可得解得
又＝2π，得T＝＝4π，所以ω＝，
由f（）＝6，得＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
而｜φ｜＜，故φ＝，
综上，f（x）＝4sin（x＋）＋2.
（2）显然g（x）＝4sin（2x＋）＋2，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得函数g（x）的单调递增区间为［kπ－，kπ＋］，k∈Z.
由2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－，k∈Z，所以函数g（x）的对称中心为（－，2），k∈Z.
11.若函数f（x）＝sin x＋cos x－2sin xcos x＋1－a在［－，－］上有零点，则实数a的取值范围为（ ）
A.[－，2] B.［－，］
C.[－2，] D.［，］
解析：A ∵函数f（x）＝sin x＋cos x－2sin xcos x＋1－a在［－，－］上有零点，∴方程a－1＝sin x＋cos x－2sin xcos x在［－，－］上有解，设t＝sin x＋cos x＝sin（x＋），∵x∈［－，－］，∴x＋∈［－，0］，∴t∈[－，0]，∵t2＝1＋2sin xcos x，∴y＝sin x＋cos x－2sin xcos x＝t－t2＋1＝－（t－）2＋，t∈[－，0]，当t＝0时，y取得最大值1；当t＝－时，y取得最小值－－1，故可得－－1≤a－1≤1，∴－≤a≤2.
12.〔多选〕（2025·福州四中期中）函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A.φ＝
B.函数f（x）的图象关于点（－，0）对称
C.函数f（x）在［－，］上单调递增
D.将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）＝sin（2x＋）的图象
解析：ABC 由题意可得＝－＝，故T＝π，则ω＝＝2，f（）＝sin（2×＋φ）＝－1，即＋φ＝－＋2kπ（k∈Z），解得φ＝－＋2kπ（k∈Z），又｜φ｜＜，即φ＝－＋2π＝，故A正确；即f（x）＝sin（2x＋），当x＝－时，有2x＋＝0，故f（x）的图象关于点（－，0）对称，故B正确；当x∈［－，］时，2x＋∈［－，］，故C正确；将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到y＝sin（2x－2×＋）＝sin（2x＋）的图象，故D错误.故选A、B、C.
13.（2025·重庆南开期中）某同学利用描点法画函数y＝Asin（ωx＋φ）（其中0＜A≤2，0＜ω＜2，－＜φ＜）的图象，列出的部分数据如下表：
x 0 1 2 3 4
y 1 0 1 －1 －2
经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式应是y＝2sin（x＋）.
解析：由题意可知（0，1），（2，1）关于对称轴对称，且对称轴为x＝1，由三角函数的对称性可知，正弦函数在对称轴处取得最值，且过（1，A），从而可得第二组（1，0）错误，把（1，A）代入可得，ω＋φ＝，（2，1），（3，－1）关于（，0）对称，所以可得（，0）是函数的对称轴x＝1相邻一个对称中心，从而函数的周期T＝4×（－1）＝6，根据周期公式T＝＝6，所以ω＝，φ＝，函数y＝Asin（x＋），把函数图象上的点（0，1）代入函数解析式可得Asin＝1，所以A＝2.
14.已知函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的图象过点P（－，0），且图象上与P点最近的一个最低点坐标为（－，－2）.
（1）求函数的解析式；
（2）若将此函数的图象向左平移个单位长度后，再向上平移2个单位长度得到g（x）的图象，求g（x）在［－，］上的值域.
解：（1）因为一个最低点的坐标为（－，－2），
所以A＝2，y＝2sin（ωx＋φ），
因为｜－＋｜＝T，所以最小正周期T＝π，ω＝＝2，y＝2sin（2x＋φ），
将点（－，－2）带入y＝2sin（2x＋φ）中，
可得－2＝2sin［2×（－）＋φ］，解得φ＝－＋2kπ（k∈Z），
因为｜φ｜＜，所以φ＝－，y＝2sin（2x－）.
（2）向左平移个单位长度后得到函数y＝2sin［2（x＋）－］＝2sin（2x＋）的图象，
再向上平移2个单位长度得到g（x）＝2sin（2x＋）＋2的图象，
因为x∈［－，］，
所以2x＋∈［－，］，sin（2x＋）∈［－，1］，g（x）∈[1，4]，
故函数g（x）在［－，］上的值域为[1，4].
15.如图为函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜，x∈R）的部分图象.
（1）求函数解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，若方程g（x）＝m在［－，0］上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围.
解：（1）由题图知，A＝2，＝－＝，
所以T＝π，ω＝＝2，
因为图象过点（，2），
所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
解得φ＝＋2kπ，k∈Z，
因为｜φ｜＜，所以φ＝，
所以函数解析式为f（x）＝2sin（2x＋）.
（2）令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以f（x）的单调递增区间为［kπ－，kπ＋］，k∈Z.
（3）由题意得g（x）＝2sin（2x－），作出g（x）在［－，0］上的图象如图所示.
当方程g（x）＝m在［－，0］上有两个不相等的实数根时，
由函数的图象可知，m∈[，2），故实数m的取值范围为[，2）.
1 / 2第二课时 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质
1.若x1＝，x2＝是函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）两个相邻的最值点，则ω＝（ ）
A.2 B.
C.1 D.
2.函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示，则（ ）
A.y＝2sin（2x－）
B.y＝2sin（2x－）
C.y＝2sin（x＋）
D.y＝2sin（x＋）
3.（2025·开封期中）若将函数y＝3cos（2x＋）的图象向右平移个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是（ ）
A.（，0） B.（－，0）
C.（，0） D.（－，0）
4.已知函数f（x）＝2sin（ωx－）的最小正周期为π，则函数y＝f（x）在区间［0，］上的最大值和最小值分别是（ ）
A.2和－2 B.2和0
C.2和－1 D.和－
5.〔多选〕已知函数f（x）＝Asin ωx（A＞0，ω＞0）与g（x）＝cos ωx的部分图象如图所示，则（ ）
A.A＝1 B.A＝2
C.ω＝ D.ω＝
6.〔多选〕将函数f（x）＝sin 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则g（x）具有性质（ ）
A.在（0，）上单调递增，为偶函数
B.最大值为1，图象关于直线x＝对称
C.在（－，）上单调递增，为奇函数
D.周期为π，图象关于点（，0）对称
7.若函数f（x）＝sin x＋acos x关于点（，0）对称，则a的值为 .
8.若f（x）＝cos（2x＋＋φ）（｜φ｜＜）是奇函数，则φ＝ .
9.函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）＝ .
10.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的图象如图所示.
（1）求出函数f（x）的解析式；
（2）若将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到函数y＝g（x）的图象，求出函数y＝g（x）的单调递增区间及对称中心.
11.若函数f（x）＝sin x＋cos x－2sin xcos x＋1－a在［－，－］上有零点，则实数a的取值范围为（ ）
A.[－，2] B.［－，］
C.[－2，] D.［，］
12.〔多选〕（2025·福州四中期中）函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A.φ＝
B.函数f（x）的图象关于点（－，0）对称
C.函数f（x）在［－，］上单调递增
D.将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）＝sin（2x＋）的图象
13.（2025·重庆南开期中）某同学利用描点法画函数y＝Asin（ωx＋φ）（其中0＜A≤2，0＜ω＜2，－＜φ＜）的图象，列出的部分数据如下表：
x 0 1 2 3 4
y 1 0 1 －1 －2
经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式应是 .
14.已知函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的图象过点P（－，0），且图象上与P点最近的一个最低点坐标为（－，－2）.
（1）求函数的解析式；
（2）若将此函数的图象向左平移个单位长度后，再向上平移2个单位长度得到g（x）的图象，求g（x）在［－，］上的值域.
15.如图为函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜，x∈R）的部分图象.
（1）求函数解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，若方程g（x）＝m在［－，0］上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围.
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