培优课 集合
1.已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为（ ）
A.1 B.1或0
C.0 D.－1或0
2.已知全集U＝R，集合M＝{x｜－2≤x－1≤2}和N＝{x｜x＝2k－1，k＝1，2，…}的关系的Venn图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）
A.3个 B.2个
C.1个 D.无穷多个
3.给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于x∈S，如果x＋1 S，x－1 S，那么x是S的一个“好元素”.由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（ ）
A.6个 B.12个
C.9个 D.5个
4.已知集合A＝{x｜x＞3}，B＝{x｜x＞m}，且A∪B＝A，则实数m的取值集合是（ ）
A.{m｜m＞3} B.{m｜m≥3}
C.{m｜m＜3} D.{m｜m≤3}
5.已知集合U＝{x∈N*｜x≤6}，A U，且同时满足：①若x∈A，则2x A；②若x∈（ UA），则2x （ UA），则集合A的个数为（ ）
A.4 B.8
C.16 D.20
6.〔多选〕已知全集U＝Z，集合A＝{x｜2x＋1≥0，x∈Z}，B＝{－1，0，1，2}，则下列结论正确的是（ ）
A.A∩B＝{0，1，2}
B.A∪B＝{x｜x≥0}
C.（ UA）∩B＝{－1}
D.A∩B的真子集个数是7
7.〔多选〕设集合M＝{x｜（x－a）（x－3）＝0}，N＝{x｜（x－4）（x－1）＝0}，则下列说法错误的是（ ）
A.若M∪N有4个元素，则M∩N≠
B.若M∩N≠ ，则M∪N有4个元素
C.若M∪N＝{1，3，4}，则M∩N≠
D.若M∩N≠ ，则M∪N＝{1，3，4}
8.设集合A＝{x｜x2－4x－5＝0}，若∈A，则a＝ .
9.设集合A＝{x｜1≤x≤3}，集合B＝{x｜x≥1}，若A C B，写出一个符合条件的集合C，则C＝ .（写出一个即可）
10.某班同学参加课外兴趣小组，有三个兴趣小组可供选择，要求每位同学至少选择一个小组，经统计有20人参加奥数小组，16人参加编程小组，10人参加书法小组，同时参加奥数小组和编程小组的有12人，同时参加奥数小组和书法小组的有6人，同时参加编程小组和书法小组的有5人，三个小组都参加的有3人，则该班学生人数为 .
11.已知全集U＝R，集合A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜0＜x≤3}.
求：（1）A∩B；
（2） U（A∪B）；
（3）A∩（ UB）.
12.已知集合A＝{x｜－2＜x＜6}，B＝{x｜2m＋1≤x≤5m－2，m∈R}.
（1）当m＝2时，求 R（A∩B）；
（2）若（ RA）∩B＝ ，求实数m的取值范围.
13.已知集合P＝{x｜x2－3x＋b＝0，x∈R}，Q＝{x｜（x＋1）（x2＋3x－4）＝0，x∈R}.
（1）若b＝4，存在集合M，使得P M Q，求出这样的集合M；
（2）P能否成为Q的一个子集？若能，求b的取值或取值范围；若不能，请说明理由.
1 / 2重点解读
1.掌握集合的基本概念及关系（逻辑推理）. 2.会进行集合的综合运算（数学运算）. 3.能运用所学知识解决集合中的创新性问题（创新迁移）.
一、集合的基本概念及关系
【例1】 （1）若U＝R，A＝{x｜x＜0}，B＝{x｜x＞1}，则（ B ）
A.A B B.B （ UA）
C.（ UA） B D.B A
解析：因为U＝R，A＝{x｜x＜0}，所以 UA＝{x｜x≥0}，又B＝{x｜x＞1}，故B （ UA），故B正确，C错误；易知－1∈A，－1 B，2∈B，2 A，所以A、D错误.
（2）已知集合A＝{x｜－＜x－＜}，B＝{x｜a＜x＜}.若B A，则实数a的取值范围是{a｜a≥0}.
解析：由题意可得，A＝{x0＜x＜}.当a≥时，B＝ ，满足B A；当a＜时，因为B A，所以0≤a＜.综上，实数a的取值范围是{a｜a≥0}.
【规律方法】
1.判断两集合关系的两种常用方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系.
2.已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系.
训练1 （1）已知集合U＝{（x，y）｜x2＋y2≤1，x∈Z，y∈Z}，则集合U中的元素的个数为（ C ）
A.3 B.4
C.5 D.6
解析：当x＝－1时，y＝0；当x＝0时，y＝－1，0，1；当x＝1时，y＝0.所以U＝{（－1，0），（0，－1），（0，0），（0，1），（1，0）}，共有5个元素.
（2）设a∈R，若集合S＝{－1，a，a2＋2}中的最大元素为3，则a＝1.
解析：因为集合S＝{－1，a，a2＋2}中的最大元素为3，所以3∈{－1，a，a2＋2}，所以a＝3或a2＝1.当a＝3时，a2＋2＝11＞3不合题意，舍去；当a＝－1时，不符合集合的互异性，舍去；当a＝1时，集合S＝{－1，a，a2＋2}中的最大元素为3.所以a＝1.
二、集合的运算
【例2】 设全集U＝R，集合A＝{x｜1≤x≤3}，B＝{x｜2＜x＜4}，C＝{x｜a≤x≤a＋1，a∈R}.
（1）分别求A∩B，A∪（ UB）；
解：A∩B＝{x｜2＜x≤3}， UB＝{x｜x≤2或x≥4}，A∪（ UB）＝{x｜x≤3或x≥4}.
（2）若B∩C＝C，求实数a的取值范围.
解：由B∩C＝C可得C B，由题可得C≠ ，
所以解得2＜a＜3，即实数a的取值范围为{a｜2＜a＜3}.
【规律方法】
集合运算问题的关注点
（1）运算口诀：交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集；
（2）数形结合法：利用Venn图或数轴解决集合的运算问题，能将复杂问题直观化.
提醒：要注意端点值是否符合题意，以免增解或漏解.
训练2 （1）已知全集U＝{x∈N｜－2≤x＜7}， U（A∪B）＝{1，5，6}，B＝{2，4}，则A∩（ UB）＝（ B ）
A.{－2，－1，0，3} B.{0，3}
C.{0，2，3，4} D.{3}
解析：全集U＝{x∈N｜－2≤x＜7}＝{0，1，2，3，4，5，6}.又 U（A∪B）＝{1，5，6}，所以A∪B＝{0，2，3，4}.又B＝{2，4}，所以A∩（ UB）＝{0，3}.
（2）已知全集U＝R，集合A＝{x｜x＜－1或x＞4}，B＝{x｜－2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为（ D ）
A.{x｜－2≤x＜4}
B.{x｜x≤3或x≥4}
C.{x｜－2≤x≤－1}
D.{x｜－1≤x≤3}
解析：由题意得，阴影部分所表示的集合为（ UA）∩B＝{x｜－1≤x≤4}∩{x｜－2≤x≤3}＝{x｜－1≤x≤3}.
（3）设全集U＝R，集合A＝{x｜x≤1或x≥3}，集合B＝{x｜k＜x＜k＋1，k∈R}，且B∩（ UA）≠ ，则（ C ）
A.k＜0或k＞3 B.2＜k＜3
C.0＜k＜3 D.－1＜k＜3
解析：∵A＝{x｜x≤1或x≥3}，∴ UA＝{x｜1＜x＜3}.若B∩（ UA）＝ ，则k＋1≤1或k≥3，即k≤0或k≥3，∴若B∩（ UA）≠ ，则0＜k＜3.
三、集合的综合应用
【例3】 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A.62% B.56%
C.46% D.42%
解析：C 设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图，则（60%－x）＋（82%－x）＋x＝96%，解得x＝46%.
【规律方法】
解决此类以生活实际为背景的集合问题，通常是先将各种对象用不同的集合表示，再借助Venn图直观分析各集合中的元素个数，最后转化为实际问题求解.
训练3 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有8人.
解析：设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图，由题意可得（26－6－x）＋6＋（15－4－6）＋4＋（13－4－x）＋x＝36，解得x＝8.即同时参加数学和化学小组的有8人.
四、集合中的创新性问题
角度1 集合的新定义问题
【例4】 若x∈A，则－x∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝{－2，－1，0，1，2，3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（ ）
A.31 B.7
C.3 D.1
解析：B 若x＝－2，则－x＝2；若x＝－1，则－x＝1；若x＝0，则－x＝0，则{－2，2}，{－1，1}，{0}，{－2，2，0}，{－1，1，0}，{－2，2，－1，1}，{－2，2，0，－1，1}为伙伴关系集合，共7个.故选B.
【规律方法】
解决集合新定义问题的策略
（1）紧扣“新”定义，首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在；
（2）按照新定义要求与已知的相关知识进行逻辑推理和计算，从而达到解决问题的目的.
角度2 集合的新运算问题
【例5】 定义A－B＝{x｜x∈A，x B}，A*B＝（A－B）∪（B－A）叫做集合的对称差，若集合A＝{x｜＜x≤}，B＝{x｜－1＜x＜3}，则A*B＝{x｜－1＜x≤或3≤x≤}.
解析：由题得A－B＝{x｜3≤x≤}，B－A＝{x｜－1＜x≤}，故A*B＝（A－B）∪（B－A）＝{x－1＜x≤或3≤x≤}.
【规律方法】
集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，这些运算规则类似于交集、并集、补集，要求按照此集合运算规则结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的.
训练4 设集合A＝{－1，0}，集合B＝{x∈N｜0≤x＜a}，若B中恰有2个元素，且定义A*B＝{（x，y）｜x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B的子集个数是8.
解析：因为集合B＝{x∈N｜0≤x＜a}且B中恰有2个元素，则1＜a≤2，所以B＝{0，1}，又A＝{－1，0}，所以A∩B＝{0}，A∪B＝{－1，0，1}，又A*B＝{（x，y）｜x∈A∩B，y∈A∪B}，所以A*B＝{（0，－1），（0，0），（0，1）}，所以A*B的子集有23＝8个.
1.已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为（ ）
A.1 B.1或0
C.0 D.－1或0
解析：C 因为－1∈A，若a－2＝－1，即a＝1时，A＝{1，－1，－1}，不符合集合元素的互异性；若a2－a－1＝－1，得a＝1（舍去）或a＝0，当a＝0时，A＝{1，－2，－1}，故a＝0.
2.已知全集U＝R，集合M＝{x｜－2≤x－1≤2}和N＝{x｜x＝2k－1，k＝1，2，…}的关系的Venn图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）
A.3个 B.2个
C.1个 D.无穷多个
解析：B 由M＝{x｜－2≤x－1≤2}得M＝{x｜－1≤x≤3}，则M∩N＝{1，3}，有2个元素.
3.给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于x∈S，如果x＋1 S，x－1 S，那么x是S的一个“好元素”.由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（ ）
A.6个 B.12个
C.9个 D.5个
解析：A 要不含“好元素”，说明这三个数必须是连续的，故不含“好元素”的集合有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个，故选A.
4.已知集合A＝{x｜x＞3}，B＝{x｜x＞m}，且A∪B＝A，则实数m的取值集合是（ ）
A.{m｜m＞3} B.{m｜m≥3}
C.{m｜m＜3} D.{m｜m≤3}
解析：B 由A＝{x｜x＞3}，B＝{x｜x＞m}，因为A∪B＝A，所以B A，则m≥3，即实数m的取值集合是{m｜m≥3}.故选B.
5.已知集合U＝{x∈N*｜x≤6}，A U，且同时满足：①若x∈A，则2x A；②若x∈（ UA），则2x （ UA），则集合A的个数为（ ）
A.4 B.8
C.16 D.20
解析：B 由题得U＝{x∈N*｜x≤6}＝{1，2，3，4，5，6}，A U，由题意可知若1∈A则2 A且4∈A，若1 A则2∈A且4 A，若3∈A则6 A，若3 A则6∈A，而元素5没有限制可5∈A或5 A.综上，集合A可为：{1，4，3}，{1，4，6}，{1，4，3，5}，{1，4，6，5}，{2，3}，{2，6}，{2，3，5}，{2，6，5}.所以集合A的个数为8.故选B.
6.〔多选〕已知全集U＝Z，集合A＝{x｜2x＋1≥0，x∈Z}，B＝{－1，0，1，2}，则下列结论正确的是（ ）
A.A∩B＝{0，1，2}
B.A∪B＝{x｜x≥0}
C.（ UA）∩B＝{－1}
D.A∩B的真子集个数是7
解析：ACD 由题得A＝{x｜2x＋1≥0，x∈Z}＝{x｜x≥－，x∈Z}，B＝{－1，0，1，2}，A∩B＝{0，1，2}，故A正确；A∪B＝{x｜x≥－1，x∈Z}，故B错误； UA＝{x｜x＜－，x∈Z}，所以（ UA）∩B＝{－1}，故C正确；由A∩B＝{0，1，2}，得A∩B的真子集个数是23－1＝7，故D正确.
7.〔多选〕设集合M＝{x｜（x－a）（x－3）＝0}，N＝{x｜（x－4）（x－1）＝0}，则下列说法错误的是（ ）
A.若M∪N有4个元素，则M∩N≠
B.若M∩N≠ ，则M∪N有4个元素
C.若M∪N＝{1，3，4}，则M∩N≠
D.若M∩N≠ ，则M∪N＝{1，3，4}
解析：ABC 由题得N＝{x｜（x－4）（x－1）＝0}＝{1，4}，若M∪N有4个元素，则集合M＝{x｜（x－a）·（x－3）＝0}＝{a，3}，且a {1，3，4}，∴M∩N＝ ，故A错误；若M∩N≠ ，则a∈{1，4}，∴M∪N＝{1，3，4}，∴M∪N有3个元素，故B错误，D正确；当a＝3时，满足M∪N＝{1，3，4}，但M∩N＝ ，故C错误.故选A、B、C.
8.设集合A＝{x｜x2－4x－5＝0}，若∈A，则a＝1或.
解析：由题意得A＝{－1，5}，则＝－1或＝5，解得a＝1或a＝.
9.设集合A＝{x｜1≤x≤3}，集合B＝{x｜x≥1}，若A C B，写出一个符合条件的集合C，则C＝{x｜1≤x≤4}（答案不唯一）.（写出一个即可）
解析：A＝{x｜1≤x≤3}，B＝{x｜x≥1}，若A C B，则可有C＝{x｜1≤x≤4}.
10.某班同学参加课外兴趣小组，有三个兴趣小组可供选择，要求每位同学至少选择一个小组，经统计有20人参加奥数小组，16人参加编程小组，10人参加书法小组，同时参加奥数小组和编程小组的有12人，同时参加奥数小组和书法小组的有6人，同时参加编程小组和书法小组的有5人，三个小组都参加的有3人，则该班学生人数为26.
解析：作出Venn图，如图所示，可知5人只参加奥数小组，2人只参加编程小组，2人只参加书法小组，同时参加奥数和编程小组但不参加书法小组的有9人，同时参加编程和书法小组但不参加奥数小组的有2人，同时参加奥数和书法小组但不参加编程小组的有3人，三个小组都参加的有3人，则该班学生人数为5＋2＋2＋2＋3＋3＋9＝26.
11.已知全集U＝R，集合A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜0＜x≤3}.
求：（1）A∩B；
（2） U（A∪B）；
（3）A∩（ UB）.
解：（1）因为A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜0＜x≤3}，所以A∩B＝{x｜－1＜x＜2}∩{x｜0＜x≤3}＝{x｜0＜x＜2}.
（2）A∪B＝{x｜－1＜x＜2}∪{x｜0＜x≤3}＝{x｜－1＜x≤3}， U（A∪B）＝{x｜x≤－1，或x＞3}.
（3）A∩（ UB）＝{x｜－1＜x＜2}∩{x｜x＞3，或x≤0}＝{x｜－1＜x≤0}.
12.已知集合A＝{x｜－2＜x＜6}，B＝{x｜2m＋1≤x≤5m－2，m∈R}.
（1）当m＝2时，求 R（A∩B）；
（2）若（ RA）∩B＝ ，求实数m的取值范围.
解：（1）当m＝2时，B＝{x｜5≤x≤8}，则A∩B＝{x｜5≤x＜6}，故 R（A∩B）＝{x｜x＜5，或x≥6}.
（2）由（ RA）∩B＝ ，得B A，
因为A＝{x｜－2＜x＜6}，
①当B＝ 时，有2m＋1＞5m－2，解得m＜1；
②当B≠ 时，有解得1≤m＜.
综上得m＜，故实数m的取值范围是{mm＜}.
13.已知集合P＝{x｜x2－3x＋b＝0，x∈R}，Q＝{x｜（x＋1）（x2＋3x－4）＝0，x∈R}.
（1）若b＝4，存在集合M，使得P M Q，求出这样的集合M；
（2）P能否成为Q的一个子集？若能，求b的取值或取值范围；若不能，请说明理由.
解：（1）当b＝4时，方程x2－3x＋4＝0的判别式Δ＝（－3）2－4×1×4＝－7＜0，故P＝ ，且Q＝{－4，－1，1}.由已知，M应是一个非空集合，且是Q的一个真子集，用列举法可得这样的集合M共有6个，分别为{－4}，{－1}，{1}，{－4，－1}，{－4，1}，{－1，1}.
（2）①当P＝ 时，P显然是Q的一个子集，此时Δ＝9－4b＜0，∴b＞；
②当P≠ 时，Q＝{－4，－1，1}，可以通过假设存在性成立来逐一验证，从而判断b的取值.
当－1∈P时，（－1）2－3×（－1）＋b＝0，∴b＝－4，P＝{x｜x2－3x－4＝0}＝{－1，4}.
∵4 Q，∴P不是Q的子集.
当－4∈P时，此时P＝{－4，7}，也不是Q的子集；
当1∈P时，此时P＝{1，2}，也不是Q的子集.
综上所述，b的取值范围是.
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