章末检测（一） 集合与常用逻辑用语
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.命题“ x∈Z，x2＋1是4的倍数”的否定为（ ）
A. x∈Z，x2＋1是4的倍数
B. x∈Z，x2＋1不是4的倍数
C. x∈Z，x2＋1不是4的倍数
D. x Z，x2＋1不是4的倍数
解析：B 因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“ x∈Z，x2＋1是4的倍数”的否定为“ x∈Z，x2＋1不是4的倍数”.
2.下列命题为真命题的是（ ）
A. x∈R，x2＞0 B. x∈R，x2＜0
C. x∈Q，x2－2≠0 D. x∈Q，x2－2＝0
解析：C 当x＝0时，x2＝0，所以选项A是假命题；因为 x∈R，x2≥0，所以不存在x∈R，x2＜0，因此选项B是假命题；由x2－2＝0 x＝±，而±是无理数，所以选项C是真命题，选项D是假命题.故选C.
3.设集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，则满足A∪B＝{0，1，2}的集合B的个数是（ ）
A.1 B.3
C.4 D.6
解析：C 易知A＝{1，2}，又A∪B＝{0，1，2}，所以集合B可以是{0}，{0，1}，{0，2}，{0，1，2}，共4个.
4.“｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜”是“ab＜0”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：B ∵｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜，∴两边同时平方得a2－2ab＋b2＝a2＋2｜ab｜＋b2，即｜ab｜＝－ab，∴ab≤0.故“｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜”是“ab＜0”的必要不充分条件.
5.下列命题中是全称量词命题，且为假命题的是（ ）
A.所有能被6整除的正数都是偶数
B.存在三角形的一个内角，其余弦值为
C. m∈N，x2＋mx＋2＝0无解
D. x∈N，x3＞x2
解析：D A项为全称量词命题，所有能被6整除的正数一定能被2整除，都是偶数，且为真命题，故A不符合题意；B、C项为存在量词命题，故B、C不符合题意；D项，当x＝0时，x3＞x2不成立，为假命题，故D符合题意.
6.如图所示，若A＝{x｜0≤x≤2}，B＝{x｜x＞0}，则阴影部分表示的集合为（ ）
A.{x｜0＜x＜2}
B.{x｜1＜x≤2}
C.{x｜0≤x≤1或x≥2}
D.{x｜x＝0或x＞2}
解析：D 图中阴影部分表示的集合是 A∪B（A∩B）.由题可得A∩B＝{x｜0＜x≤2}，A∪B＝{x｜x≥0}，则 A∪B（A∩B）＝{x｜x＝0或x＞2}.
7.命题：“关于x的方程ax2＋x－1＝0的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A.a＝0 B.a≤0
C.－≤a≤0 D.－≤a＜0
解析：B 关于x的方程ax2＋x－1＝0的根为正实数，则需满足a＝0或解得－≤a≤0，因此“关于x的方程ax2＋x－1＝0的根为正实数”为真命题的充要条件为a∈{a｜－≤a≤0}，结合选项可知a≤0是“关于x的方程ax2＋x－1＝0的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件.故选B.
8.已知集合A中有10个元素，B中有6个元素，全集U有18个元素，A∩B≠ .设集合（ UA）∩（ UB）中有x个元素，则x的取值范围是（ ）
A.{x｜3≤x≤8，且x∈N}
B.{x｜2≤x≤8，且x∈N}
C.{x｜8≤x≤12，且x∈N}
D.{x｜10≤x≤15，且x∈N}
解析：A 因为A∩B≠ ，所以当集合A∩B中仅有1个元素时，A∪B中有15个元素，所以集合（ UA）∩（ UB）＝ U（A∪B）中有3个元素；当A∩B中有6个元素时，A∪B中有10个元素，所以集合（ UA）∩（ UB）＝ U（A∪B）中有8个元素，所以3≤x≤8且x为正整数.故选A.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知全集U＝A∪B，集合A＝{1，3，4}，B＝{x∈N｜∈N}，则（ ）
A.集合A的真子集有8个
B.{1}∈U
C.U中的元素个数为5
D.（ UA） B
解析：CD 因为集合A＝{1，3，4}，所以A的真子集个数为23－1＝7，故A错误；由B＝{x∈N｜∈N}＝{1，2，4，8}，A＝{1，3，4}，得U＝A∪B＝{1，2，3，4，8}，所以{1} U，U中的元素个数为5，故B错误，C正确； UA＝{2，8}，所以（ UA） B，故D正确.
10.下列说法中正确的是（ ）
A.“a＞1，b＞1”是“ab＞1”成立的充分条件
B.命题p： x∈R，x2＞0，则 p： x∈R，x2＜0
C.命题“若a＞b＞0则＜”的否定是假命题
D.“a＞b”是“a2＞b2”成立的充分不必要条件
解析：AC 对于选项A，a＞1，b＞1时，易得ab＞1，故A正确；对于选项B，全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题p： x∈R，x2＞0的否定为 p： x∈R，x2≤0，故B错误；对于选项C，其否定为“若a＞b＞0，则≥”，当a＝2，b＝1时，显然为假命题，故C正确；对于选项D，由“a＞b”并不能推出“a2＞b2”，如a＝1，b＝－1，故D错误.
11.若集合A具有性质：①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A，则称集合A是“完美集”.下列说法正确的有（ ）
A.集合B＝{－1，0，1}是“完美集”
B.有理数集Q是“完美集”
C.设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则x＋y∈A
D.设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则xy∈A
解析：BCD 选项A中，∵1∈B，－1∈B，1－（－1）＝2 B，不满足性质②，∴A中说法不正确；选项B中，∵0∈Q，1∈Q，若x，y∈Q，则x－y∈Q，且x≠0时，∈Q，∴有理数集Q是“完美集”，∴B中说法正确；选项C中，∵0∈A，x，y∈A，0－y＝－y∈A，∴x＋y＝x－（－y）∈A，∴C中说法正确；选项D中，任取x，y∈A，当x，y中有0或1时，xy∈A；当x，y中均不含0和1时，由性质②可知，∈A，∴－＝∈A，即x（x－1）＝x2－x∈A，即x2∈A，同理，y2∈A.由选项C知x＋y∈A，则（x＋y）2∈A，∵2xy＝（x＋y）2－（x2＋y2），∴2xy∈A，∴∈A，∴＋＝∈A，∴xy∈A，故D中说法正确.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.命题“同位角相等”的否定为有的同位角不相等.
解析：全称量词命题的否定是存在量词命题.
13.已知集合A＝{0，｜a｜}，集合B＝{1，a}，若A∩B＝{1}，则a＝－1.
解析：∵A＝{0，｜a｜}，B＝{1，a}，A∩B＝{1}，∴｜a｜＝1，a≠1，解得a＝－1.
14.已知集合A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜－1＜x＜m＋1}，若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，则实数m的取值范围是{m｜m＞1}.
解析：由x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，得A B，即即m＞1.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定，判断其真假：
（1）有一个奇数不能被3整除；
（2） x∈Z，x2与3的和不等于0；
（3）三角形的三个内角都为60°；
（4）存在一个实数x，使＞2.
解：（1）是存在量词命题，否定为：每一个奇数都能被3整除，假命题.
（2）是全称量词命题，否定为： x∈Z，x2与3的和等于0，假命题.
（3）是全称量词命题，否定为：存在一个三角形的三个内角不都为60°，真命题.
（4）是存在量词命题，否定为：任意一个实数x，都满足≤2，假命题.
16.（本小题满分15分）已知全集U＝R，A＝{x｜－4≤x＜2}，B＝{x｜0＜x＋1≤4}，P＝{x｜x≤0或x≥5}.求：
（1）A∩B， UB；
（2）（A∩B）∪（ UP）.
解：（1）因为A＝{x｜－4≤x＜2}，B＝{x｜0＜x＋1≤4}＝{x｜－1＜x≤3}，P＝{x｜x≤0或x≥5}，将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示.
所以A∩B＝{x｜－1＜x＜2}，
UB＝{x｜x≤－1或x＞3}.
（2）（A∩B）∪（ UP）＝{x｜－1＜x＜2}∪{x｜0＜x＜5}＝{x｜－1＜x＜5}.
17.（本小题满分15分）已知a∈R，p： x∈{x｜1＜x＜2}，a≤x；q： x∈R，使得x2＋2x－（a－1）＝0.
（1）若p是真命题，求a的最大值；
（2）若p，q一个为真命题，一个为假命题，求a的取值范围.
解：（1）要使p： x∈{x｜1＜x＜2}，a≤x为真命题，只需a≤1，即a的最大值为1.
（2）若使q： x∈R，使得x2＋2x－（a－1）＝0为真命题，则Δ＝4＋4（a－1）≥0，解得a≥0.
①p真q假时，只需所以a＜0；
②p假q真时，只需所以a＞1，
所以a＜0或a＞1.
综上，a的取值范围为{a｜a＜0或a＞1}.
18.（本小题满分17分）设集合A＝{x｜－1≤x≤2}，集合B＝{x｜2m＜x＜1}.
（1）若B≠ ，且“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围；
（2）若B∩（ RA）中只有一个整数，求实数m的取值范围.
解：（1）∵B≠ ，∴2m＜1，解得m＜，
又“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，
∴B A，
则需满足2m≥－1，即m≥－，
综上所述，实数m的取值范围是{m｜－≤m＜}.
（2）∵A＝{x｜－1≤x≤2}，
∴ RA＝{x｜x＜－1或x＞2}.
①当B≠ 时，此时m＜，
若B∩（ RA）中只有一个整数，则－3≤2m＜－2，
解得－≤m＜－1；
②当B＝ 时，此时m≥，不符合题意.
综上所述，实数m的取值范围是{m｜－≤m＜－1}.
19.（本小题满分17分）对于集合A，B，我们把集合{（a，b）｜a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1，2}，B＝{3，4}，则有：A×B＝{（1，3），（1，4），（2，3），（2，4）}，B×A＝{（3，1），（3，2），（4，1），（4，2）}，A×A＝{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}，B×B＝{（3，3），（3，4），（4，3），（4，4）}.据此，试回答下列问题：
（1）已知C＝{a}，D＝{1，2，3}，求C×D；
（2）已知A×B＝{（1，2），（2，2）}，求集合A，B；
（3）已知A有3个元素，B有4个元素，试确定A×B有几个元素.
解：（1）C×D＝{（a，1），（a，2），（a，3）}.
（2）因为A×B＝{（1，2），（2，2）}，所以A＝{1，2}，B＝{2}.
（3）从以上解题过程可以看出，A×B中元素的个数与集合A和集合B中的元素个数有关，即集合A中的任何一个元素与集合B中的每一个元素对应结合，得到集合A×B中的一个新元素，若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则集合A×B中的元素应为（m×n）个，所以若集合A中有3个元素，集合B中有4个元素，则集合A×B中有3×4＝12（个）元素.
1 / 2章末检测（一） 集合与常用逻辑用语
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.命题“ x∈Z，x2＋1是4的倍数”的否定为（ ）
A. x∈Z，x2＋1是4的倍数
B. x∈Z，x2＋1不是4的倍数
C. x∈Z，x2＋1不是4的倍数
D. x Z，x2＋1不是4的倍数
2.下列命题为真命题的是（ ）
A. x∈R，x2＞0
B. x∈R，x2＜0
C. x∈Q，x2－2≠0
D. x∈Q，x2－2＝0
3.设集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，则满足A∪B＝{0，1，2}的集合B的个数是（ ）
A.1 B.3
C.4 D.6
4.“｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜”是“ab＜0”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.下列命题中是全称量词命题，且为假命题的是（ ）
A.所有能被6整除的正数都是偶数
B.存在三角形的一个内角，其余弦值为
C. m∈N，x2＋mx＋2＝0无解
D. x∈N，x3＞x2
6.如图所示，若A＝{x｜0≤x≤2}，B＝{x｜x＞0}，则阴影部分表示的集合为（ ）
A.{x｜0＜x＜2}
B.{x｜1＜x≤2}
C.{x｜0≤x≤1或x≥2}
D.{x｜x＝0或x＞2}
7.命题：“关于x的方程ax2＋x－1＝0的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A.a＝0 B.a≤0
C.－≤a≤0 D.－≤a＜0
8.已知集合A中有10个元素，B中有6个元素，全集U有18个元素，A∩B≠ .设集合（ UA）∩（ UB）中有x个元素，则x的取值范围是（ ）
A.{x｜3≤x≤8，且x∈N}
B.{x｜2≤x≤8，且x∈N}
C.{x｜8≤x≤12，且x∈N}
D.{x｜10≤x≤15，且x∈N}
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知全集U＝A∪B，集合A＝{1，3，4}，B＝{x∈N｜∈N}，则（ ）
A.集合A的真子集有8个
B.{1}∈U
C.U中的元素个数为5
D.（ UA） B
10.下列说法中正确的是（ ）
A.“a＞1，b＞1”是“ab＞1”成立的充分条件
B.命题p： x∈R，x2＞0，则 p： x∈R，x2＜0
C.命题“若a＞b＞0则＜”的否定是假命题
D.“a＞b”是“a2＞b2”成立的充分不必要条件
11.若集合A具有性质：①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A，则称集合A是“完美集”.下列说法正确的有（ ）
A.集合B＝{－1，0，1}是“完美集”
B.有理数集Q是“完美集”
C.设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则x＋y∈A
D.设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则xy∈A
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.命题“同位角相等”的否定为 .
13.已知集合A＝{0，｜a｜}，集合B＝{1，a}，若A∩B＝{1}，则a＝ .
14.已知集合A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜－1＜x＜m＋1}，若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，则实数m的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定，判断其真假：
（1）有一个奇数不能被3整除；
（2） x∈Z，x2与3的和不等于0；
（3）三角形的三个内角都为60°；
（4）存在一个实数x，使＞2.
16.（本小题满分15分）已知全集U＝R，A＝{x｜－4≤x＜2}，B＝{x｜0＜x＋1≤4}，P＝{x｜x≤0或x≥5}.求：
（1）A∩B， UB；
（2）（A∩B）∪（ UP）.
17.（本小题满分15分）已知a∈R，p： x∈{x｜1＜x＜2}，a≤x；q： x∈R，使得x2＋2x－（a－1）＝0.
（1）若p是真命题，求a的最大值；
（2）若p，q一个为真命题，一个为假命题，求a的取值范围.
18.（本小题满分17分）设集合A＝{x｜－1≤x≤2}，集合B＝{x｜2m＜x＜1}.
（1）若B≠ ，且“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围；
（2）若B∩（ RA）中只有一个整数，求实数m的取值范围.
19.（本小题满分17分）对于集合A，B，我们把集合{（a，b）｜a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1，2}，B＝{3，4}，则有：A×B＝{（1，3），（1，4），（2，3），（2，4）}，B×A＝{（3，1），（3，2），（4，1），（4，2）}，A×A＝{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}，B×B＝{（3，3），（3，4），（4，3），（4，4）}.据此，试回答下列问题：
（1）已知C＝{a}，D＝{1，2，3}，求C×D；
（2）已知A×B＝{（1，2），（2，2）}，求集合A，B；
（3）已知A有3个元素，B有4个元素，试确定A×B有几个元素.
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