第一课时 集合的概念
课标要求
1.通过实例了解集合与元素的含义，理解元素与集合的属于关系（数学抽象）.
2.利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题，能判断元素与集合的关系，并能识记常用数集的表示符号（逻辑推理）.
情境导入
我校2025级高一新生入学军训的时候，随着教官一声口令“高一（1）班集合”，高一（1）班的同学从四面八方聚集到教官附近，不是高一（1）班的同学会自动走开，这里的“集合”是一个动词，但教官的“集合口令”却把“一些确定的对象（高一（1）班各位同学）聚集在一起了”，这就是本节课研究的重要概念——集合.
知识点一｜元素与集合的概念
问题1 观察下面的几个例子：
①“小于10”的自然数；
②我校今年入学的全体高一女生；
③在平面直角坐标系中，第四象限的点的全体；
④方程x2－25＝0的所有实数根.
（1）以上各语句中所研究的对象分别是什么？
提示：①0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.②我校今年入学的高一每位女生.③第四象限的所有点.④±5.
（2）以上各语句有什么共同特点？
提示：以上语句描述的内容都是某种确定的、不同的研究对象的总体.
【知识梳理】
1.元素
2.集合
提醒：（1）组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等；（2）组成集合的元素可以有有限个，也可以有无限个.
【例1】 〔多选〕下面四个说法中正确的是（ ）
A.10以内的质数组成的集合中元素有2，3，5，7
B.由2，3组成的集合中有2个元素
C.集合中的元素一定是数
D.《红楼梦》不可以是集合中的元素
解析：AB 对于A，10以内的质数组成的集合有2，3，5，7，故A正确；对于B，2和3是集合内的元素，故B正确；对于C，集合中的元素不一定是数，所以C错误；对于D，组成集合的元素可以是物体，故D错误.故选A、B.
知识点二｜集合中元素的特征
问题2 （1）英文单词good的所有字母能否组成一个集合？若能组成一个集合，则该集合有几个元素？
提示：能组成一个集合，集合中的元素有3个.
（2）分别由元素1，2，3和3，2，1组成的两个集合有何关系？集合中的元素有没有先后顺序？
提示：两个集合中的元素是一样的.集合中的元素没有先后顺序.
【知识梳理】
1.集合中元素的特征： 确定性 ，互异性，无序性.
2.集合相等：只要构成两个集合的元素是 一样的 ，我们就称这两个集合是相等的.
【例2】 （1）〔多选〕（链接教材P5练习1题）下列所给对象能构成集合的是（ CD ）
A.高中数学必修第一册课本上的所有难题
B.比较接近1的整数的全体
C.某校高一年级16岁以下的学生
D.直角坐标系中横、纵坐标相等的点
解析：A、B中的对象不能构成集合，因为“难题”“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；C中的对象能构成集合，因为有确定标准，元素是“某校高一年级16岁以下的学生”；D中的对象能构成集合，故选C、D.
（2）集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若集合P与集合Q是相等的，则a＝ ±2.
解析：由题意得a2＝4，即a＝±2.
【规律方法】
1.一组对象能构成集合的两个条件
（1）能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素；
（2）任何两个对象都是不同的.
2.判断两个集合相等的注意点
若两个集合相等，则构成这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等.
训练1 （1）设由“我和我的祖国”中的所有汉字组成集合A，则A中元素个数为（ D ）
A.6 B.3
C.4 D.5
解析：由集合中元素的互异性可知，集合A中的元素分别为：我、和、的、祖、国，共5个元素.故选D.
（2）〔多选〕下列说法正确的是（ AC ）
A.中国的所有直辖市可以组成一个集合
B.高一（1）班较胖的同学可以组成一个集合
C.正偶数的全体可以组成一个集合
D.大于2 010且小于2 025的所有整数不能组成集合
解析：A中我国的直辖市有北京、上海、天津、重庆，是确定的，可以组成集合，正确；B中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合中元素的确定性，所以B错误；C中正偶数的全体可以组成一个集合，正确；D中的所有整数能组成集合，所以D错误.
知识点三｜元素与集合之间的关系
问题3 李明是高一（1）班的一位同学，刘欣是高一（2）班的一位同学.
（1）这两名同学与高一（1）班这个班集体之间分别有什么关系？
提示：李明属于高一（1）班这个班集体；刘欣不属于高一（1）班这个班集体.
（2）该校的其他同学与高一（1）班这个班集体的关系是否明确？
提示：关系是明确的，该校内的任意一位同学，要么属于这个班集体，要么不属于这个班集体.
【知识梳理】
1.元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A a ∈ A a属于集合A
不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a A a不属于集合A
提醒：符号“∈”“ ”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系.
2.常见的数集及符号表示
数集 非负整数集（自然数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
【例3】 （1）（链接教材P5练习2题）下列关系表示正确的是（ C ）
A. R B.0∈N*
C.∈Q D.∈Z
解析：是实数，故A错误；由N*是正整数集，可知0 N*，故B错误；是有理数，故C正确；是无理数，Z是整数集，故D错误.
（2）已知集合A中含有三个元素2，4，6，且当a∈A时，6－a∈A，则a的值为（ D ）
A.2 B.4
C.6 D.2或4
解析：集合A中含有三个元素2，4，6，当a＝2∈A时，6－a＝4∈A，满足条件；当a＝4∈A时，6－a＝2∈A，满足条件；当a＝6∈A时，6－a＝0 A.综上所述，a的值为2或4.
【规律方法】
判断元素与集合关系的两种方法
（1）直接法：首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元素在已知集合中是否出现即可；
（2）推理法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
训练2 （1）给出下列关系式：∈R；0.3∈Q；∈N；－5∈Z.其中正确的个数是（ C ）
A.1 B.2
C.3 D.4
解析：由各个数集的含义可知，∈R，0.3∈Q，－5∈Z正确，故有3个关系式正确.故选C.
（2）设集合D由所有满足方程y＝x2的有序数对（x，y）构成，则－1 D，（－1，1）∈D（填“∈”或“ ”）.
解析：因为集合D中的元素是所有满足方程y＝x2的有序数对（x，y），所以－1 D，（－1，1）∈D.
提能点｜集合中元素特征的应用
【例4】 已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为－1.
解析：若1∈A，则a＝1或a2＝1，①当a＝1时，a2＝1，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，∴a≠1；②当a2＝1时，即a＝±1，由①知a≠1，∴a＝－1，即集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性.∴a＝－1.
变式1 本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值.
解：因为2∈A，所以a＝2或a2＝2，即a＝2或a＝或a＝－.经检验符合元素的互异性.
变式2 若去掉本例中的条件“1∈A”，则实数a的取值范围是什么？
解：因为集合A中含有两个元素a和a2，所以a≠a2，即a≠0且a≠1.
【规律方法】
根据集合中元素的特征求参数值的三个步骤
1.下列表述正确的是（ ）
A.0∈N B.∈N
C.－3 Z D.π∈Q
解析：A 对于A，0是自然数，即有0∈N，故A正确；对于B，是不可约分数，即有 N，故B错误；对于C，－3是负整数，即有－3∈Z，故C错误；对于D，π是无理数，即有π Q，故D错误.
2.若集合M中的元素a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
解析：D 由题可知，集合M中的元素是△ABC的三边长，则a≠b≠c，所以△ABC一定不是等腰三角形.
3.〔多选〕下列各项中，可以组成集合的是（ ）
A.所有的正数 B.等于2的数
C.接近于0的数 D.不等于0的偶数
解析：ABD 集合中的元素满足三个特征：确定性、互异性、无序性.“接近于0的数”标准不明确，故接近于0的数不能组成集合，故选A、B、D.
4.集合A中有两个元素：x＋2，x2.若1∈A，求实数x的值.
解：因为1∈A，所以x＋2＝1或x2＝1.
①当x＋2＝1时，x＝－1，此时x2＝1，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
②当x2＝1时，x＝±1，由①知x≠－1，所以x＝1，此时x＋2＝3，满足集合中元素的互异性.
综上可知，x＝1.
课堂小结
1.理清单 （1）元素与集合的概念； （2）集合中元素的特征； （3）元素与集合的关系； （4）常用数集的记法. 2.应体会 （1）判断元素与集合的关系的方法：定义法、推理法； （2）求集合中的参数时常用到分类讨论思想. 3.避易错 （1）自然数集中容易遗忘0这个元素； （2）集合中易忽略元素的互异性.
1.由大于3且小于11的偶数所组成的集合中元素的个数是（ ）
A.3 B.4
C.5 D.6
解析：B 大于3且小于11的偶数为4，6，8，10，共4个.
2.设不等式3－2x＜0的解集为M，下列判断正确的是（ ）
A.0∈M，2∈M B.0 M，2∈M
C.0∈M，2 M D.0 M，2 M
解析：B 当x＝0时，3－2x＝3＞0，0 M；当x＝2时，3－2x＝－1＜0，2∈M.故选B.
3.方程x2＋2x－8＝0和方程x2＋x－12＝0的所有实数解组成的集合为M，则M中的元素个数为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
解析：C 这两个方程的实数解分别是2，－4和－4，3，根据集合中元素的互异性，可知这两个方程的所有实数解组成的集合中含有3个元素.
4.下列各组中，集合P与Q表示同一个集合的是（ ）
A.P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，｜－｜构成的集合
B.P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合
C.P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对（2，3）构成的集合
D.P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解构成的集合
解析：A 由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B、C、D中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合.故选A.
5.设A是由满足不等式x＜6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，则a的值为（ ）
A.0 B.1
C.0或1 D.1或2
解析：C ∵a∈A且3a∈A，∴解得a＜2，又a∈N，∴a＝0或1.
6.〔多选〕（2025·天津南开区月考）下列给出的对象能构成集合的有（ ）
A.某校2025年入学的全体高一年级新生
B.的所有近似值
C.某个班级中学习成绩较好的所有学生
D.不等式3x－10＜0的所有正整数解
解析：AD 某校2025年入学的全体高一年级新生确定，元素确定，能构成集合，A正确；精确度不一样得到的近似值不一样，元素不确定，不能构成集合，B错误；学习成绩较好是相对的，故这些学生不确定，不能构成集合，C错误；不等式3x－10＜0的所有正整数解为1，2，3，元素确定，能构成集合，D正确.
7.〔多选〕下列说法正确的是（ ）
A.N*中最小的数是1
B.若－a N*，则a∈N*
C.若a∈N*，b∈N*，则a＋b最小值是2
D.x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有2个元素
解析：AC 因为N*表示正整数集，容易判断A、C正确；对B，若a＝，则满足－a N*，但a N*，B错误；对D，x2＋4＝4x的实数解为x＝2，所组成的集合中只含有1个元素，D错误.
8.设集合M中的元素为平行四边形，p表示某个矩形，q表示某个梯形，则p∈M，q M.（用“∈”或“ ”填空）
解析：矩形是平行四边形，梯形不是平行四边形，故p∈M，q M.
9.已知集合A中的元素x满足x＝3k－1，k∈Z，则－1∈A，－34∈A.（填“∈”或“ ”）
解析：当k＝0时，x＝－1，所以－1∈A；令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A.
10.设A是方程x2－ax－10＝0的解组成的集合.
（1）0是否是集合A中的元素？
（2）若－5∈A，求实数a的值.
解：（1）将x＝0代入方程，得02－a×0－10＝－10≠0，所以0不是集合A中的元素.
（2）若－5∈A，则有（－5）2－（－5）a－10＝0，解得a＝－3.
11.集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素（x，y）满足y＝x2＋1（A，B中x∈R，y∈R）.则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（ ）
A.2∈A，且2∈B B.（1，2）∈A，且（1，2）∈B
C.2∈A，且（3，10）∈B D.（3，10）∈A，且2∈B
解析：C 集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点（x，y），且满足y＝x2＋1，经验证，（3，10）∈B，故选C.
12.〔多选〕已知x，y为非零实数，代数式＋的值所组成的集合为M，则下列判断正确的是（ ）
A.0 M B.1∈M
C.－2∈M D.2∈M
解析：CD 当x，y都大于零时，＋＝1＋1＝2；当x，y中一个大于零，另一个小于零时，＋＝0；当x，y都小于零时，＋＝－1－1＝－2.根据元素与集合的关系，可知0∈M，1 M，－2∈M，2∈M.故选C、D.
13.若由a，，1组成的集合A与由a2，a＋b，0组成的集合B相等，则a2 025＋b2 025＝－1.
解析：∵由已知a≠0，∴＝0，∴b＝0，则集合A中的三个元素为a，0，1，集合B中的三个元素为a2，a，0，∴a2＝1，即a＝1或－1.当a＝1时，不成立.当a＝－1时，满足条件，此时，b＝0.∴a2 025＋b2 025＝－1.
14.已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1，a∈R.
（1）若－3∈A，求实数a的值；
（2）若a∈A，求实数a的值.
解：（1）因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1.此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意.
综上所述，实数a的值为0或－1.
（2）因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1.
当a＝a－3时，有0＝－3，不成立；
当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2，1，符合题意.
综上，实数a的值为1.
15.设A是实数集，满足若a∈A，则∈A，a≠1，且1 A.
（1）若2∈A，则集合A中至少还有几个元素，求出这几个元素；
（2）集合A中能否只含有一个元素？请说明理由.
解：（1）因为2∈A，所以＝－1∈A，＝∈A，＝2∈A，
因此集合A中至少还有两个元素－1和.
（2）不能.如果集合A中只含有一个元素，则a＝，整理得a2－a＋1＝0，该方程无实数解，故在实数范围内，集合A中不可能只含有一个元素.
1 / 8第一课时 集合的概念
1.由大于3且小于11的偶数所组成的集合中元素的个数是（ ）
A.3 B.4
C.5 D.6
2.设不等式3－2x＜0的解集为M，下列判断正确的是（ ）
A.0∈M，2∈M B.0 M，2∈M
C.0∈M，2 M D.0 M，2 M
3.方程x2＋2x－8＝0和方程x2＋x－12＝0的所有实数解组成的集合为M，则M中的元素个数为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
4.下列各组中，集合P与Q表示同一个集合的是（ ）
A.P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，｜－｜构成的集合
B.P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合
C.P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对（2，3）构成的集合
D.P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解构成的集合
5.设A是由满足不等式x＜6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，则a的值为（ ）
A.0 B.1
C.0或1 D.1或2
6.〔多选〕（2025·天津南开区月考）下列给出的对象能构成集合的有（ ）
A.某校2025年入学的全体高一年级新生
B.的所有近似值
C.某个班级中学习成绩较好的所有学生
D.不等式3x－10＜0的所有正整数解
7.〔多选〕下列说法正确的是（ ）
A.N*中最小的数是1
B.若－a N*，则a∈N*
C.若a∈N*，b∈N*，则a＋b最小值是2
D.x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有2个元素
8.设集合M中的元素为平行四边形，p表示某个矩形，q表示某个梯形，则p M，q M.（用“∈”或“ ”填空）
9.已知集合A中的元素x满足x＝3k－1，k∈Z，则－1 A，－34 A.（填“∈”或“ ”）
10.设A是方程x2－ax－10＝0的解组成的集合.
（1）0是否是集合A中的元素？
（2）若－5∈A，求实数a的值.
11.集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素（x，y）满足y＝x2＋1（A，B中x∈R，y∈R）.则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（ ）
A.2∈A，且2∈B
B.（1，2）∈A，且（1，2）∈B
C.2∈A，且（3，10）∈B
D.（3，10）∈A，且2∈B
12.〔多选〕已知x，y为非零实数，代数式＋的值所组成的集合为M，则下列判断正确的是（ ）
A.0 M B.1∈M
C.－2∈M D.2∈M
13.若由a，，1组成的集合A与由a2，a＋b，0组成的集合B相等，则a2 025＋b2 025＝ .
14.已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1，a∈R.
（1）若－3∈A，求实数a的值；
（2）若a∈A，求实数a的值.
15.设A是实数集，满足若a∈A，则∈A，a≠1，且1 A.
（1）若2∈A，则集合A中至少还有几个元素，求出这几个元素；
（2）集合A中能否只含有一个元素？请说明理由.
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