1.2　集合间的基本关系

1.2　集合间的基本关系
1.下列四个集合中，是空集的是（　　）
A.{x｜x＋3＝3}
B.{（x，y）｜y2＝－x2，x，y∈R}
C.{x｜x2≤0}
D.{x｜x2－x＋2＝0，x∈R}
2.下列表示集合M＝{－1，0，1}和N＝{x｜x2－x＝0}的关系的Venn图正确的是（　　）
3.已知集合A＝{x｜x＜a}，B＝{0，3}，若B A，则a的取值范围是（　　）
A.{a｜a≥3} B.{a｜a＞3}
C.{a｜a＞0} D.{a｜a≥0}
4.已知M＝{x∈N｜∈N}，则集合M的真子集的个数是（　　）
A.7 B.8
C.15 D.16
5.〔多选〕若集合A＝{x｜x≥1}，则满足B A的集合B可以是（　　）
A.{2，3} B.{x｜x≥2}
C. D.{x｜x≥0}
6.〔多选〕集合A＝{x｜（a－1）x2＋3x－2＝0}有且仅有两个子集，则a的值为（　　）
A.1 B.
C.－1 D.－
7.设x，y∈R，A＝{（x，y）｜y＝x}，B＝{（x，y）｜＝1}，则A，B准确的关系是　　　　.
8.若整数x，y能使{2x，x＋y}＝{7，4}成立，则xy＝　　　　.
9.已知集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{1，2，3，4}，则满足条件A C B的集合C的个数为　　　　，满足条件A C B的集合C的个数为　　　　.
10.判断下列两个集合之间的关系：
（1）A＝{1，2，4}，B＝{x｜x是8的约数}；
（2）A＝{x｜x是正方形}，B＝{x｜x是有一个角是直角且邻边相等的平行四边形}；
（3）A＝{x｜1＜x＜6}，B＝{x｜x－1＜8}；
（4）A＝{x｜x2－x＝0}，B＝{x｜x＝，n∈Z}.
11.已知集合A＝{x∈N｜0≤x＜m}有8个子集，则实数m的取值范围为（　　）
A.{m｜2＜m≤3} B.{m｜2≤m＜3}
C.{m｜2≤m≤3} D.{m｜2＜m＜3}
12.已知M＝{x｜x＝3m－1，m∈Z}，N＝{x｜x＝3n＋2，n∈Z}，P＝{x｜x＝6p－1，p∈Z}，则下列结论正确的是（　　）
A.M＝P N B.P M＝N
C.M N P D.N M P
13.〔多选〕已知集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，B＝{x｜（x－1）（ax－1）＝0}，若B A，则实数a的值可以为（　　）
A.2 B.1
C. D.0
14.设集合A＝{x｜－1≤x＋1≤4}，B＝{x｜m－1＜x＜2m＋1}.
（1）当x∈N时，求A的非空真子集的个数；
（2）若A B，求实数m的取值范围.
15.若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素但互不为对方的子集，则称这两个集合构成“蚕食”.对于集合A＝{－1，2}，B＝{x｜ax2＝2，a≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则实数a的值为　　　　.
2 / 21.2　集合间的基本关系
课标要求
1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集（数学抽象、逻辑推理）.
2.能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用（数学抽象、直观想象）.
3.在具体情境中，了解空集的含义（数学抽象）.
情境导入
2025年开学季，立德中学高一新生组成集合A，其中高一（1）班的50位新生组成集合B，那么，集合A与集合B有什么关系？
知识点一｜子集
问题1　观察下面两个实例，回答问题：
①集合A＝{0，1，2}，B＝{0，1，2，3}；
②集合A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{偶数}.
（1）上述两个实例中，集合A中的元素都是集合B中的元素吗？
提示：都是.
（2）两个实例中集合B中的元素都是集合A中的元素吗？
提示：实例①B中的元素0，1，2是A中元素，但3 A.实例②中集合B中的元素都是A中的元素.
【知识梳理】
1.Venn图
用平面上　封闭曲线　的内部代表集合，这种图称为Venn图.
2.子集
定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的　子集　
记法与读法 记作　A B　（或B A），读作“　A包含于B　”（或“B包含A”）
图示
结论 （1）任何一个集合是它本身的子集，即　A A　； （2）对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么　A C　
　　提醒：“集合A是集合B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即若A B，则由x∈A，能推出x∈B.
3.集合相等
一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作　A＝B　.也就是说，若A B，且B A，则　A＝B　.
　　提醒：集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致.
【例1】 （链接教材P9练习3题）判断下列两个集合之间的关系：
（1）A＝{1，2，3}，B＝{x｜（x－1）（x－2）·（x－3）＝0}；
解：B＝{x｜（x－1）（x－2）（x－3）＝0}＝{1，2，3}＝A.
（2）A＝{x｜－1＜x＜4}，B＝{x｜x－5＜0}；
解：集合B＝{x｜x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A B.
（3）A＝{x｜x是等边三角形}，B＝{x｜x是等腰三角形}；
解：∵A＝{x｜x是等边三角形}，B＝{x｜x是等腰三角形}，
又∵等边三角形也是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形，
∴A B.
（4）A＝{－1，1}，B＝{（－1，－1），（－1，1），（1，－1），（1，1）}.
解：集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.
【规律方法】
判断集合间关系的常用方法
训练1　（1）已知A＝{x｜x是正数}，B＝{x｜x是正整数}，C＝{x｜x是实数}，那么A，B，C之间的关系是（　B　）
A.A B C B.B A C
C.C A B D.A＝B C
解析：集合A，B，C的关系如图.
（2）已知集合M＝{x｜x2－1＝0}，则（　C　）
A.1 M B.－1 M
C.{－1，1} M D.{－1，1}∈M
解析：集合M＝{x｜x2－1＝0}＝{－1，1}，1∈M，A错误；－1∈M，元素与集合不能用 符号，B错误；根据子集的定义，有{－1，1} M，C正确；集合{－1，1}不是集合M中的元素，不能用∈符号，D选项错误.故选C.
知识点二｜真子集
问题2　（1）若集合A是集合B的子集，集合B的元素也都在集合A内吗？举例说明.
提示：不一定，如N* N，0∈N，但0 N*.
（2）集合A＝{x∈R｜x2－x＋1＝0}中有多少个元素？
提示：集合A中没有元素.
【知识梳理】
1.真子集
定义 如果集合A B，但　存在　元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集
记法与读法 记作A B（或B A），读作“　A真包含于B　”（或“B真包含A”）
图示
　　提醒：在真子集的定义中，A B首先要满足A B，其次至少有一个x∈B，但x A.
2.集合间关系的性质
对于集合A，B，C，若A B且B C，则A C；若A B且A≠B，则A B.
3.空集
定义 我们把　不含任何元素　的集合叫做空集
记法
规定 空集是任何集合的　子集　，即 A
特性 空集只有一个子集，即它的本身， ；若A≠ ，则 　 　A
【例2】 （链接教材P8例1）已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}.
（1）写出集合A的子集、真子集；
解：A的子集为 ，{0}，{1}，{0，1}；其中真子集为 ，{0}，{1}.
（2）求集合B的子集数、真子集数和非空真子集数.
解：B的子集为 ，{－1}，{0}，{1}，{－1，0}，{－1，1}，{0，1}，{－1，0，1}.
所以B的子集数为8，真子集数为7，非空真子集数为6.
【规律方法】
求集合子集、真子集个数的3个步骤
　　提醒：要注意两个特殊的子集： 和本身.
训练2　（1）〔多选〕已知集合A＝{x｜x2－2x＝0}，则有（　ACD　）
A.{0，2}＝A B.－2∈A
C.A {y｜y＜3} D. A
解析：由题得集合A＝{0，2}，故A正确，C正确，B错误；由于空集是任何非空集合的真子集，故D正确.
（2）满足{1，2} M {1，2，3，5}的集合M有3个.
解析：由{1，2} M {1，2，3，5}，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1，2，3}，{1，2，5}；含有四个元素：{1，2，3，5}，故满足题意的集合M共有3个.
提能点｜由集合间的关系求参数（范围）
【例3】　已知集合A＝{x｜－3≤x≤4}，B＝{x｜1＜x＜m，m＞1}，且B A，则实数m的取值范围是1＜m≤4.
解析：由于B A，结合数轴分析可知，m≤4，又m＞1，所以1＜m≤4.
变式　本例若将“B＝{x｜1＜x＜m，m＞1}”改为“B＝{x｜1＜x＜m}”，其他条件不变，则实数m的取值范围又是什么？
解：若m≤1，则B＝ ，满足B A.
若m＞1，则由例题解析可知1＜m≤4.
综上可知m≤4.
【规律方法】
应用集合关系求参数的四个步骤
　　提醒：不能忽视集合为 的情形.
训练3　已知集合A＝{－1，2}，B＝{x｜ax－2＝0}，若B A，则实数a的取值所组成的集合是（　　）
A.{－1，2} B.{－2，1}
C.{－2，0，1} D.{－1，0，2}
解析：C　因为B A，当a＝0时，B＝ ，满足条件；当a≠0时，B＝{－1}或B＝{2}，即－a－2＝0或2a－2＝0，解得a＝－2或a＝1.综上可得，实数a的取值所组成的集合是{－2，0，1}.故选C.
子集个数的探究
　　通过教材第8页例1与练习1题，我们知道可用列举法写出集合的子集，那么求集合的子集是否还有其他方法呢？
　　阅读下表，找出规律并填空：
集合 元素个数 所有子集 子集个数
{a} 1个 ，{a} 　2　个
{a，b} 2个 ，{a}，{b}，{a，b} 　4　个
{a，b，c} 3个 ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 　8　个
【问题探究】
1.你能找出“元素个数”与“子集个数”之间关系的规律吗？
提示：“元素个数”与“子集个数”之间的关系是：设该集合中有n个元素，则该集合的子集个数为2n.
2.如果一个集合中有n个元素，你能写出计算它的所有子集、真子集和非空真子集数目的公式吗（用n表达）？
提示：子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.
【迁移应用】
1.已知集合A＝{0，1}，则集合A的真子集有（　　）
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
解析：A　根据有n个元素的集合的真子集有（2n－1）个，集合A中有2个元素，得其真子集个数为22－1＝3.故选A.
2.已知集合A＝{（x，y）｜4x＋3y－12＜0，x∈N*，y∈N*}，则集合A的子集的个数为（　　）
A.3 B.4
C.7 D.8
解析：D　用列举法表示集合A，得A＝{（1，1），（1，2），（2，1）}，则集合A的子集的个数为23＝8.
1.已知集合A＝{x｜－1＜x＜6}，B＝{x｜2＜x＜3}，则（　　）
A.A∈B B.A B
C.A＝B D.B A
解析：D　集合A＝{x｜－1＜x＜6}，B＝{x｜2＜x＜3}，A，B两个数集之间应是包含关系不是属于关系，故选项A不正确；由条件可得B A，且A≠B，所以选项B、C错误，选项D正确.故选D.
2.已知集合A＝{0，－1}，B＝{0，1，2－a}，若A，B关系如图所示，则a＝（　　）
A.1 B.－1
C.－3 D.3
解析：D　由图可知A B，则－1＝2－a，所以a＝3.
3.〔多选〕以下四个选项中，正确的为（　　）
A.{1}∈{0，1，2} B.{1，－3}＝{－3，1}
C.{0，1，2} {1，0，2} D. ＝{0}
解析：BC　A应是{1} {0，1，2}，A错误；对于B，集合中的元素有无序性，故B正确；对于C，任何集合都是本身的子集，故{0，1，2} {1，0，2}，故C正确；D应是 {0}，D错误.
4.已知集合A＝{x｜－a≤x≤a}，B＝{x｜x≤2}，A B，求实数a的取值范围.
解：因为A B，所以可分为A＝ 和A≠ 两种情况，
当A＝ 时，－a＞a，解得a＜0；
当A≠ 时，应满足解得0≤a≤2.
综上所述，实数a的取值范围是{a｜a≤2}.
课堂小结
1.理清单 （1）子集、真子集的概念与性质； （2）子集的个数； （3）由集合间的关系求参数范围. 2.应体会 （1）利用列举法、Venn图及数轴判定两集合的关系； （2）当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论. 3.避易错 （1）混淆子集和真子集的概念； （2）由集合间的关系求参数时容易遗忘空集及端点的取值.
1.下列四个集合中，是空集的是（　　）
A.{x｜x＋3＝3}
B.{（x，y）｜y2＝－x2，x，y∈R}
C.{x｜x2≤0}
D.{x｜x2－x＋2＝0，x∈R}
解析：D　∵x2－x＋2＝0，Δ＝1－8＝－7＜0，方程无解，∴{x｜x2－x＋2＝0，x∈R}＝ .故选D.
2.下列表示集合M＝{－1，0，1}和N＝{x｜x2－x＝0}的关系的Venn图正确的是（　　）
解析：B　由N＝{1，0}，知N M.故选B.
3.已知集合A＝{x｜x＜a}，B＝{0，3}，若B A，则a的取值范围是（　　）
A.{a｜a≥3} B.{a｜a＞3}
C.{a｜a＞0} D.{a｜a≥0}
解析：B　因为B A，故0，3均为A＝{x｜x＜a}中的元素，所以a＞3.故选B.
4.已知M＝{x∈N｜∈N}，则集合M的真子集的个数是（　　）
A.7 B.8
C.15 D.16
解析：C　依题意，M＝{x∈N｜∈N}＝{1，2，4，8}，所以集合M有4个元素，真子集的个数为24－1＝15.故选C.
5.〔多选〕若集合A＝{x｜x≥1}，则满足B A的集合B可以是（　　）
A.{2，3} B.{x｜x≥2}
C. D.{x｜x≥0}
解析：ABC　因为集合A＝{x｜x≥1}，且B A，结合选项知集合B可以是{2，3}，也可以是{x｜x≥2}，也可以是 .故选A、B、C.
6.〔多选〕集合A＝{x｜（a－1）x2＋3x－2＝0}有且仅有两个子集，则a的值为（　　）
A.1　　　B. C.－1　　　D.－
解析：AD　由集合有两个子集可知，该集合是单元素集，当a＝1时，满足题意.当a≠1时，由Δ＝9＋8（a－1）＝0可得a＝－.故选A、D.
7.设x，y∈R，A＝{（x，y）｜y＝x}，B＝{（x，y）｜＝1}，则A，B准确的关系是B A.
解析：因为B＝＝{（x，y）｜y＝x，且x≠0}，故B A.
8.若整数x，y能使{2x，x＋y}＝{7，4}成立，则xy＝10.
解析：若解得因为x，y为整数，故舍去；若解得则xy＝10.
9.已知集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{1，2，3，4}，则满足条件A C B的集合C的个数为4，满足条件A C B的集合C的个数为3.
解析：由x2－3x＋2＝0，解得x＝1或x＝2，则A＝{1，2}，由B＝{1，2，3，4}，故满足条件A C B的集合为C＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}，共4个，满足条件A C B的集合为C＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}，共3个.
10.判断下列两个集合之间的关系：
（1）A＝{1，2，4}，B＝{x｜x是8的约数}；
（2）A＝{x｜x是正方形}，B＝{x｜x是有一个角是直角且邻边相等的平行四边形}；
（3）A＝{x｜1＜x＜6}，B＝{x｜x－1＜8}；
（4）A＝{x｜x2－x＝0}，B＝{x｜x＝，n∈Z}.
解：（1）因为A＝{1，2，4}，B＝{1，2，4，8}，如图，所以A B.
（2）A，B两个集合都表示由正方形构成的集合，故A＝B.
（3）A＝{x｜1＜x＜6}，B＝{x｜x－1＜8}，
则集合B＝{x｜x＜9}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B.
（4）A＝{x｜x2－x＝0}＝{0，1}.
在B中，当n为奇数时，x＝＝0，当n为偶数时，x＝＝1，所以B＝{0，1}，所以A＝B.
11.已知集合A＝{x∈N｜0≤x＜m}有8个子集，则实数m的取值范围为（　　）
A.{m｜2＜m≤3} B.{m｜2≤m＜3}
C.{m｜2≤m≤3} D.{m｜2＜m＜3}
解析：A　因为集合A＝{x∈N｜0≤x＜m}有8个子集，所以集合A中含有3个元素，则2＜m≤3.故选A.
12.已知M＝{x｜x＝3m－1，m∈Z}，N＝{x｜x＝3n＋2，n∈Z}，P＝{x｜x＝6p－1，p∈Z}，则下列结论正确的是（　　）
A.M＝P N B.P M＝N
C.M N P D.N M P
解析：B　因为M＝{x｜x＝3m－1，m∈Z}，N＝{x｜x＝3n＋2，n∈Z}＝{x｜x＝3（n＋1）－1，n∈Z}，P＝{x｜x＝6p－1，p∈Z}＝{x｜x＝3·2p－1，p∈Z}，所以P M＝N.故选B.
13.〔多选〕已知集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，B＝{x｜（x－1）（ax－1）＝0}，若B A，则实数a的值可以为（　　）
A.2 B.1
C. D.0
解析：BCD　由方程x2－3x＋2＝0，解得x＝2或x＝1，所以A＝{1，2}，当a＝0时，由方程（x－1）（ax－1）＝0，解得x＝1，则B＝{1}，满足B A，选项D正确；当a＝1时，由方程（x－1）（ax－1）＝0，解得x＝1，则B＝{1}，满足B A，选项B正确；当a≠0且a≠1时，由方程（x－1）（ax－1）＝0，解得x＝或x＝1，则B＝{，1}，要满足B A，则＝2，即a＝，选项C正确.故选B、C、D.
14.设集合A＝{x｜－1≤x＋1≤4}，B＝{x｜m－1＜x＜2m＋1}.
（1）当x∈N时，求A的非空真子集的个数；
（2）若A B，求实数m的取值范围.
解：（1）由－1≤x＋1≤4知－2≤x≤3，且x∈N可得A＝{0，1，2，3}，所以A的非空真子集的个数为24－2＝14.
（2）因为A B，若B＝ ，则2m＋1≤m－1，可得m≤－2；
若B≠ ，则解得－1≤m≤1.
综上所述：实数m的取值范围为{m｜－1≤m≤1或m≤－2}.
15.若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素但互不为对方的子集，则称这两个集合构成“蚕食”.对于集合A＝{－1，2}，B＝{x｜ax2＝2，a≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则实数a的值为0或或2.
解析：当a＝0时，B＝ ，则B A，A，B构成“鲸吞”.当a＞0时，B＝{－，}，不满足一个集合是另一个集合的子集，即A，B不能构成“鲸吞”；若A，B构成“蚕食”，则＝2或－＝－1，得a＝或a＝2.综上，a＝0或或2.
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