第二课时 全集、补集及综合应用
1.设U＝{x∈N｜1≤x≤6}，A＝{x｜（x－2）（x－3）＝0}，则 UA＝（ ）
A.{4，5} B.{1，2，3，4}
C.{1，4，5，6} D.{1，6}
2.设集合S＝{x｜x＞－2}，T＝{x｜－4≤x≤1}，则（ RS）∪T＝（ ）
A.{x｜－2＜x≤1} B.{x｜x≤－4}
C.{x｜x≤1} D.{x｜x≥1}
3.设全集U＝{2，4，a2}，集合A＝{4，a＋3}， UA＝{1}，则a的取值为（ ）
A.－3 B.3
C.－1 D.1
4.已知全集U＝R，集合A＝{x｜x≥3或x≤0}，B＝{x｜1＜x≤3}，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ）
A.{x｜0≤x＜1} B.{x｜0＜x≤3}
C.{x｜0＜x≤1} D.{x｜1≤x≤3}
5.〔多选〕设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合M＝{0，1，4}，N＝{0，1，3}，则（ ）
A.M∩N＝{0，1} B. UN＝{4}
C.M∪N＝{0，1，3，4} D.M∩（ UN）＝{4}
6.〔多选〕已知全集U，A，B是U的非空子集，且B （ UA），则必有（ ）
A.A∩B＝ B.A （ UB）
C.A （ UB） D.A B
7.设全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x｜x2－4x＋3＝0}，则 U（A∪B）＝ .
8.设全集U＝{x｜x是三角形}，A＝{x｜x是锐角三角形}，B＝{x｜x是钝角三角形}，则（ UA）∩（ UB）＝ .
9.已知全集U＝{x｜1≤x≤5}，A＝{x｜1≤x＜a}，若 UA＝{x｜2≤x≤5}，则a＝ .
10.设全集U＝{x｜x≥－2}，A＝{x｜2＜x＜10}，B＝{x｜2≤x≤8}.求 UA，（ UA）∩B，A∩B， U（A∩B）.
11.已知全集U＝{x∈N*｜x＜9}，（ UA）∩B＝{1，6}，A∩（ UB）＝{2，3}， U（A∪B）＝{5，7，8}，则B＝（ ）
A.{2，3，4} B.{1，4，6}
C.{4，5，7，8} D.{1，2，3，6}
12.〔多选〕已知集合A＝{x｜－1＜x≤3}，集合B＝{x｜－2≤x≤2}，则下列关系式正确的是（ ）
A.A∩B＝
B.A∪B＝{x｜－2≤x≤3}
C.A∪（ RB）＝{x｜x≤－1或x＞2}
D.A∩（ RB）＝{x｜2＜x≤3}
13.已知全集为R，集合A＝{x｜2＜x＜6}，B＝{x｜a－4≤x≤a＋4}，且A （ RB），则实数a的取值范围是 .
14.设全集U＝R，集合A＝{x｜－3≤x≤5}，B＝{x｜x≤－5或x≥3}.
（1）求图中阴影部分表示的集合；
（2）已知集合C＝{x｜10－a＜x＜2a＋1}，若（ UB）∩C＝ ，求a的取值范围.
15.已知非空集合M，若a∈M，且－a∈M，则称集合M是一个“偶集合”.已知集合A＝{x｜x＜－1}，B＝{x｜x≤1}，那么下列集合中为“偶集合”的是（ ）
A.A∩B B.A∪B
C.A∩（ RB） D.（ RA）∩B
2 / 2第二课时 全集、补集及综合应用
课标要求
1.在具体情境中，了解全集的含义（数学抽象）.
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集（逻辑推理、数学运算）.
3.能使用Venn图表达集合全集、子集与它的补集的关系，体会图形对理解抽象概念的作用（直观想象）.
情境导入
某人请客，6位客人到了4位，主人焦急地说：“该来的不来.”顿时气走了2位，主人遗憾地叹息：“不该走的又走了.”又气走一位，主人更遗憾了，自言自语地说：“我又不是说他.”这么一来，剩下的这位脸皮再厚，也待不下去了.在这个故事中，客人们不自觉地使用了一个数学概念——补集.
知识点一｜全集与补集
问题 若U＝{高一（1）班的同学}，A＝{高一（1）班参加篮球队的同学}，B＝{高一（1）班没有参加篮球队的同学}.
（1）集合U，A，B三者有何关系？
提示：A U，B U，且A∪B＝U.
（2）集合B中的元素与U和A有何关系？
提示：集合B中的所有元素属于U，但不属于A.
【知识梳理】
1.全集
（1）定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的 所有元素 ，那么就称这个集合为全集；
（2）记法：全集通常记作U.
提醒：全集不是固定不变的，是相对于研究的问题而言的，如在整数范围内研究问题，Z是全集；在具体题目中，全集一般是给定的.
2.补集
（1）补集的概念
提醒： UA包含三层含义：①A U；② UA是一个集合，且（ UA） U；③ UA是U中所有不属于A的元素构成的集合.
（2）补集的运算性质
UU＝ ， U ＝U； U（ UA）＝A；
A∪（ UA）＝U；A∩（ UA）＝ .
【例1】 （1）（链接教材P13例5）设U＝{x｜x是小于7的自然数}，A＝{2，3，4}，B＝{1，5，6}，则 UA＝{0，1，5，6}， UB＝{0，2，3，4}；
解析：根据题意可知，U＝{0，1，2，3，4，5，6}，所以 UA＝{0，1，5，6}， UB＝{0，2，3，4}.
（2）若集合A＝{x｜－1≤x＜1}，当U＝{x｜x≤2}时， UA＝{x｜x＜－1或1≤x≤2}；当U＝{x｜－4≤x≤1}时， UA＝{x｜－4≤x＜－1或x＝1}.
解析：当U＝{x｜x≤2}时，把集合U和A表示在数轴上，如图1所示.
由图1知 UA＝{x｜x＜－1或1≤x≤2}；
当U＝{x｜－4≤x≤1}时，把集合U和A表示在数轴上，如图2所示.
由图2知 UA＝{x｜－4≤x＜－1或x＝1}.
【规律方法】
求集合补集的2种方法
（1）当集合是用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；
（2）当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解.
训练1 （1）设全集U＝{－1，0，1，2，3，4，5}，集合M满足 UM＝{1，3}，则（ A ）
A.2∈M B.3∈M
C.4 M D.5 M
解析：依题意得M＝{－1，0，2，4，5}，故A正确，B、C、D错误.
（2）设集合U＝R，M＝{x｜x＞2，或x＜－2}，则 UM＝（ A ）
A.{x｜－2≤x≤2}
B.{x｜－2＜x＜2}
C.{x｜x＜－2，或x＞2}
D.{x｜x≤－2，或x≥2}
解析：画出数轴如图，
可知 UM＝{x｜－2≤x≤2}.
知识点二｜集合交、并、补的综合运算
【例2】 已知全集U＝{x｜x≤4}，集合A＝{x｜－2＜x＜3}，B＝{x｜－3≤x≤2}，求（ UA）∪B，A∩（ UB）， U（A∪B）.
解：如图所示.
因为A＝{x｜－2＜x＜3}，
B＝{x｜－3≤x≤2}，U＝{x｜x≤4}，
所以 UA＝{x｜x≤－2，或3≤x≤4}，
UB＝{x｜x＜－3，或2＜x≤4}，
A∪B＝{x｜－3≤x＜3}.
所以（ UA）∪B＝{x｜x≤2，或3≤x≤4}，
A∩（ UB）＝{x｜2＜x＜3}，
U（A∪B）＝{x｜x＜－3，或3≤x≤4}.
【规律方法】
集合混合运算的一般思路
（1）明确题中含有哪些运算，依据三种运算的定义列出算式；
（2）明确运算顺序，先算括号内的，再按照从左到右的顺序依次运算；
（3）注意对运算结果进行检验.
训练2 （1）（2024·全国甲卷理2题）已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x｜∈A}，则 A（A∩B）＝（ D ）
A.{1，4，9} B.{3，4，9}
C.{1，2，3} D.{2，3，5}
解析：B＝{1，4，9，16，25，81}，A∩B＝{1，4，9}，则 A（A∩B）＝{2，3，5}.故选D.
（2）如图，设全集U＝R，M＝{x｜x＜－1}，N＝{x｜－3＜x＜0}，则图中的阴影部分表示的集合{x｜－1≤x＜0}.
解析：图象表示的集合为（ UM）∩N＝{x｜x≥－1}∩{x｜－3＜x＜0}＝{x｜－1≤x＜0}.
提能点｜利用集合间的关系求参数
【例3】 设集合A＝{x｜x＋m≥0}，B＝{x｜－2＜x＜4}，全集U＝R，且（ UA）∩B＝ ，求实数m的取值范围.
解：由已知得A＝{x｜x≥－m}，
得 UA＝{x｜x＜－m}，
因为B＝{x｜－2＜x＜4}，（ UA）∩B＝ ，在数轴上画出 UA与B，如图，
所以－m≤－2，即m≥2，
所以实数m的取值范围是{m｜m≥2}.
变式 本例将条件“（ UA）∩B＝ ”改为“（ UB）∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
解：由已知得A＝{x｜x≥－m}， UB＝{x｜x≤－2或x≥4}，
又（ UB）∪A＝R，
所以－m≤－2，解得m≥2.
故m的取值范围为{m｜m≥2}.
【规律方法】
由集合的补集求参数的方法
（1）如果所给集合是有限集，由补集求参数时，可利用补集定义求解；
（2）如果所给集合是无限集，求解与集合交、并、补运算有关的参数问题时，一般利用数轴分析求解.
训练3 已知全集U＝{2，4，3－x2}，M＝{2，x2－x＋2}， UM＝{－1}，则实数x的值为（ ）
A.2 B.－2
C.2或－2 D.－1
解析：A 由题意得－1∈U且4∈M，所以3－x2＝－1且x2－x＋2＝4，解得x＝2.故选A.
1.若全集U＝{x∈R｜－2≤x≤2}，A＝{x∈R｜－2≤x≤0}，则 UA＝（ ）
A.{x｜0＜x＜2} B.{x｜0≤x＜2}
C.{x｜0＜x≤2} D.{x｜0≤x≤2}
解析：C 如图，由图可得 UA＝{x｜0＜x≤2}.故选C.
2.若全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{1，2}，N＝{2，3}，则 U（M∪N）＝（ ）
A.{1，2，3} B.{2}
C.{1，3，4} D.{4}
解析：D ∵全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{1，2}，N＝{2，3}，∴M∪N＝{1，2，3}，∴ U（M∪N）＝{4}.故选D.
3.已知集合A＝{x∈N｜0≤x≤5}， AB＝{1，3，5}，则集合B＝（ ）
A.{2，4} B.{0，2，4}
C.{0，1，3} D.{2，3，4}
解析：B 根据题意，集合A＝{x∈N｜0≤x≤5}＝{0，1，2，3，4，5}，由 AB＝{1，3，5}，得B＝ A（ AB）＝{0，2，4}.故选B.
4.设全集为R，A＝{x｜3≤x＜7}，B＝{x｜2＜x＜10}，求 RB， R（A∪B）.
解：把集合A，B在数轴上表示，如图.
由图知 RB＝{x｜x≤2或x≥10}，
A∪B＝{x｜2＜x＜10}，
所以 R（A∪B）＝{x｜x≤2或x≥10}.
课堂小结
1.理清单 （1）全集、补集的概念及性质； （2）交、并、补集的综合运算； （3）利用集合间的关系求参数范围. 2.应体会 （1）补集运算常利用另一种数学思想（正难则反）； （2）交、并、补集的综合运算仍利用Venn图及数轴. 3.避易错 （1）解决含参的集合运算时要注意空集； （2）利用数轴解题时，要注意端点值的取舍.
1.设U＝{x∈N｜1≤x≤6}，A＝{x｜（x－2）（x－3）＝0}，则 UA＝（ ）
A.{4，5} B.{1，2，3，4}
C.{1，4，5，6} D.{1，6}
解析：C U＝{x∈N｜1≤x≤6}＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{x｜（x－2）（x－3）＝0}＝{2，3}，所以 UA＝{1，4，5，6}.故选C.
2.设集合S＝{x｜x＞－2}，T＝{x｜－4≤x≤1}，则（ RS）∪T＝（ ）
A.{x｜－2＜x≤1} B.{x｜x≤－4}
C.{x｜x≤1} D.{x｜x≥1}
解析：C 因为S＝{x｜x＞－2}，所以 RS＝{x｜x≤－2}，又T＝{x｜－4≤x≤1}，所以（ RS）∪T＝{x｜x≤－2}∪{x｜－4≤x≤1}＝{x｜x≤1}.故选C.
3.设全集U＝{2，4，a2}，集合A＝{4，a＋3}， UA＝{1}，则a的取值为（ ）
A.－3 B.3
C.－1 D.1
解析：C ∵A∪（ UA）＝U，∴a2＝1且a＋3＝2，∴a＝－1.故选C.
4.已知全集U＝R，集合A＝{x｜x≥3或x≤0}，B＝{x｜1＜x≤3}，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ）
A.{x｜0≤x＜1} B.{x｜0＜x≤3}
C.{x｜0＜x≤1} D.{x｜1≤x≤3}
解析：C 因为A＝{x｜x≥3或x≤0}，B＝{x｜1＜x≤3}，所以A∪B＝{x｜x＞1或x≤0}，所以图中阴影部分表示的集合为 U（A∪B）＝{x｜0＜x≤1}.故选C.
5.〔多选〕设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合M＝{0，1，4}，N＝{0，1，3}，则（ ）
A.M∩N＝{0，1} B. UN＝{4}
C.M∪N＝{0，1，3，4} D.M∩（ UN）＝{4}
解析：ACD 因为U＝{0，1，2，3，4}，M＝{0，1，4}，N＝{0，1，3}，所以M∩N＝{0，1}，故A正确； UN＝{2，4}，故B不正确；M∪N＝{0，1，3，4}，故C正确；M∩ UN＝{0，1，4}∩{2，4}＝{4}，故D正确.
6.〔多选〕已知全集U，A，B是U的非空子集，且B （ UA），则必有（ ）
A.A∩B＝ B.A （ UB）
C.A （ UB） D.A B
解析：AB 由题意作出Venn图，根据Venn图可得，A∩B＝ ，A正确，D错误；A （ UB），B正确，C错误.故选A、B.
7.设全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x｜x2－4x＋3＝0}，则 U（A∪B）＝{－2，0}.
解析：由x2－4x＋3＝0，得x1＝1，x2＝3，所以集合B＝{1，3}，则A∪B＝{－1，1，2，3}，又全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，所以 U（A∪B）＝{－2，0}.
8.设全集U＝{x｜x是三角形}，A＝{x｜x是锐角三角形}，B＝{x｜x是钝角三角形}，则（ UA）∩（ UB）＝{x｜x是直角三角形}.
解析：根据三角形的分类可知， UA＝{x｜x是直角三角形或钝角三角形}， UB＝{x｜x是直角三角形或锐角三角形}，所以（ UA）∩（ UB）＝{x｜x是直角三角形}.
9.已知全集U＝{x｜1≤x≤5}，A＝{x｜1≤x＜a}，若 UA＝{x｜2≤x≤5}，则a＝2.
解析：∵A＝{x｜1≤x＜a}， UA＝{x｜2≤x≤5}，∴A∪（ UA）＝U＝{x｜1≤x≤5}，且A∩（ UA）＝ ，∴a＝2.
10.设全集U＝{x｜x≥－2}，A＝{x｜2＜x＜10}，B＝{x｜2≤x≤8}.求 UA，（ UA）∩B，A∩B， U（A∩B）.
解：因为U＝{x｜x≥－2}，A＝{x｜2＜x＜10}，B＝{x｜2≤x≤8}，
所以 UA＝{x｜－2≤x≤2，或x≥10}，
（ UA）∩B＝{2}，A∩B＝{x｜2＜x≤8}，
U（A∩B）＝{x｜－2≤x≤2，或x＞8}.
11.已知全集U＝{x∈N*｜x＜9}，（ UA）∩B＝{1，6}，A∩（ UB）＝{2，3}， U（A∪B）＝{5，7，8}，则B＝（ ）
A.{2，3，4} B.{1，4，6}
C.{4，5，7，8} D.{1，2，3，6}
解析：B 易知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，根据题意作出Venn图，如图，可知B＝{1，4，6}.
12.〔多选〕已知集合A＝{x｜－1＜x≤3}，集合B＝{x｜－2≤x≤2}，则下列关系式正确的是（ ）
A.A∩B＝
B.A∪B＝{x｜－2≤x≤3}
C.A∪（ RB）＝{x｜x≤－1或x＞2}
D.A∩（ RB）＝{x｜2＜x≤3}
解析：BD 集合A＝{x｜－1＜x≤3}，集合B＝{x｜－2≤x≤2}.对于选项A，A∩B＝{x｜－1＜x≤2}，A错误；对于选项B，A∪B＝{x｜－2≤x≤3}，B正确；对于选项C， RB＝{x｜x＜－2或x＞2}，则A∪（ RB）＝{x｜x＜－2或x＞－1}，C错误；对于选项D，由选项C知，A∩（ RB）＝{x｜2＜x≤3}，D正确.
13.已知全集为R，集合A＝{x｜2＜x＜6}，B＝{x｜a－4≤x≤a＋4}，且A （ RB），则实数a的取值范围是{a｜a≤－2或a≥10}.
解析：由题意可知 RB＝{x｜x＜a－4或x＞a＋4}.因为A （ RB），所以6≤a－4或2≥a＋4，即a≥10或a≤－2.
14.设全集U＝R，集合A＝{x｜－3≤x≤5}，B＝{x｜x≤－5或x≥3}.
（1）求图中阴影部分表示的集合；
（2）已知集合C＝{x｜10－a＜x＜2a＋1}，若（ UB）∩C＝ ，求a的取值范围.
解：（1）Venn图中的阴影部分表示的集合为 UB＝{x｜－5＜x＜3}.
（2）当C＝ 时，10－a≥2a＋1，解得a≤3，符合题意；
当C≠ 时，可得
或
解得3＜a≤7.
综上，a的取值范围是{a｜a≤7}.
15.已知非空集合M，若a∈M，且－a∈M，则称集合M是一个“偶集合”.已知集合A＝{x｜x＜－1}，B＝{x｜x≤1}，那么下列集合中为“偶集合”的是（ ）
A.A∩B B.A∪B
C.A∩（ RB） D.（ RA）∩B
解析：D 由题可得A∩B＝{x｜x＜－1}，则－2∈A∩B，但2 A∩B，故A∩B不是“偶集合”；A∪B＝{x｜x≤1}，则－3∈A∪B，但3 A∪B，故A∪B不是“偶集合”； RB＝{x｜x＞1}，则A∩（ RB）＝ ，不符合题意，故A∩（ RB）不是“偶集合”； RA＝{x｜x≥－1}，则（ RA）∩B＝{x｜－1≤x≤1}，对任意a∈（ RA）∩B，都有－a∈（ RA）∩B，故（ RA）∩B是“偶集合”.
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