第一课时 并集与交集
课标要求
1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集（数学抽象、数学运算）.
2.在具体情境中，了解全集的含义（数学抽象）.
3.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集（数学抽象、数学运算）.
4.能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用（数学运算、直观想象）.
情境导入
某中学举行秋季运动会，高一（6）班同学踊跃报名参赛，有的跳远，有的跳高，有的接力，有的百米赛跑……，班主任如何统计参赛一项、两项甚至三项的同学呢？
知识点一｜并集
问题1 观察下列三组集合：
①A＝{－1，0}，B＝{1，3}，C＝{－1，0，1，3}；
②A＝{x｜x是偶数}，B＝{x｜x是奇数}，C＝{x｜x是整数}；
③A＝{1，2}，B＝{1，3，4}，C＝{1，2，3，4}.
（1）集合C中的元素与集合A，B中元素的关系是什么？
提示：集合C中元素是由所有属于A或属于B的元素组成.
（2）集合C中元素的个数等于集合A，B中元素的个数和吗？
提示：不一定.
【知识梳理】
1.并集的概念
提醒：（1）A∪B仍是一个集合；（2）并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x B；②x∈A且x∈B；③x A且x∈B.
2.并集的运算性质
A∪B＝B∪A；A∪A＝A；A∪ ＝A；A∪B＝A B A；A （A∪B），B （A∪B）.
【例1】 （1）（链接教材P10例1）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x｜x2－1＝0}，则A∪B＝（ B ）
A.{1，2，3} B.{－1，1，2，3}
C.{1} D.{－1，0，1，2，3}
解析：B＝{x｜x2－1＝0}＝{1，－1}，所以A∪B＝{－1，1，2，3}.
（2）（链接教材P10例2）已知集合P＝{x｜x＜3}，Q＝{x｜－1≤x≤4}，则P∪Q＝（ C ）
A.{x｜－1≤x＜3} B.{x｜－1≤x≤4}
C.{x｜x≤4} D.{x｜x≥－1}
解析：在数轴上表示出两个集合，如图，可得P∪Q＝{x｜x≤4}.
【规律方法】
并集的运算技巧
（1）若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性；
（2）若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值.
训练1 （1）已知集合M＝{x｜－3＜x≤5}，N＝{x｜x＜－5或x＞5}，则M∪N＝（ A ）
A.{x｜x＜－5或x＞－3}
B.{x｜－5＜x＜5}
C.{x｜－3＜x＜5}
D.{x｜x＜－3或x＞5}
解析：在数轴上表示集合M，N，可知M∪N＝{x｜x＜－5或x＞－3}.故选A.
（2）已知集合A∪{1}＝{1，2，3}，则满足条件的集合A共有2个.
解析：若A∪{1}＝{1，2，3}，则A＝{2，3}或A＝{1，2，3}，共有2个.
知识点二｜交集
问题2 观察集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝{2，3}.
（1）集合A与集合B有公共元素吗？它们组成的集合是什么？
提示：有公共元素.它们组成的集合是{2，3}.
（2）集合C中的元素与集合A，B中的元素有什么关系？
提示：集合C中的元素既属于集合A，又属于集合B.
【知识梳理】
1.交集的概念
提醒：（1）A∩B仍是一个集合，且A∩B中任一元素都是A与B的公共元素；（2）如果两个集合没有公共元素，即A∩B＝ .
2.交集的运算性质
A∩B＝B∩A；A∩A＝A；A∩ ＝ ；A∩B＝A A B；（A∩B） A，（A∩B） B.
【例2】 （1）（链接教材P11例3改编）已知A＝{x｜x是等腰三角形}，B＝{x｜x是直角三角形}，则A∩B＝{x｜x是等腰直角三角形}；
解析：A∩B＝{x｜x是等腰三角形}∩{x｜x是直角三角形}＝{x｜x是等腰直角三角形}.
（2）设集合M＝{x｜0＜x＜4}，N＝{x｜≤x≤5}，则M∩N＝{x｜≤x＜4}.
解析：因为M＝{x｜0＜x＜4}.N＝{x｜≤x≤5}，画出数轴如图所示.所以M∩N＝{x｜≤x＜4}.
【规律方法】
求两集合交集的方法
（1）对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可；
（2）对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共部分，要注意端点值的取舍.
训练2 （1）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{－3，2}，则图中阴影部分表示的集合为（ C ）
A.{3} B.{－3，2}
C.{2} D.{－2，3}
解析：根据题意，图中阴影部分表示集合A，B的公共部分，即A∩B.因为集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{－3，2}，所以A∩B＝{2}.
（2）若集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x｜x≤－1，或x≥4}，则A∪B＝R，A∩B＝{x｜4≤x＜5}.
解析：如图，借助数轴可知A∪B＝R，A∩B＝{x｜4≤x＜5}.
提能点｜根据并集与交集运算求参数范围
【例3】 已知集合A＝{x｜2＜x＜4}，B＝{x｜a＜x＜3a，且a＞0}.
（1）若A∪B＝B，求实数a的取值范围；
解：因为A∪B＝B，所以A B，画出数轴（如图）.
观察数轴可知所以≤a≤2.
经检验端点符合题意，故实数a的取值范围为{a｜≤a≤2}.
（2）若A∩B＝{x｜3＜x＜4}，求实数a的值.
解：画出数轴如图，A∩B＝{x｜3＜x＜4}.
观察图形可知解得a＝3.
变式 在本例（2）中，将条件“A∩B＝{x｜3＜x＜4}”变为“A∩B＝ ”，求实数a的取值范围.
解：由于A∩B＝ ，结合数轴（图略）得a≥4，或3a≤2.
又因为a＞0，所以a≥4或0＜a≤.故实数a的取值范围是{a｜a≥4，或0＜a≤}.
【规律方法】
利用集合交集、并集的性质求参数的策略
（1）若集合中元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系；
（2）将集合之间的关系转化为方程（组）或不等式（组）是否有解或解集的取值范围；
（3）解方程（组）或不等式（组），从而确定参数的值或取值范围.
训练3 （1）设集合A＝{a，b}，B＝{a＋2，5}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝（ D ）
A.{0，2} B.{0，5}
C.{0，2，2，5} D.{0，2，5}
解析：若A∩B＝{2}，则2∈A，且2∈B，又A＝{a，b}，B＝{a＋2，5}，所以a＋2＝2，即a＝0，则b＝2，所以A＝{0，2}，B＝{2，5}，则A∪B＝{0，2，5}.故选D.
（2）设集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x｜x≤a}，若A∩B有两个元素，则a的取值范围是{a｜2≤a＜3}.
解析：将集合B在数轴上表示出来，如图所示，易知当2≤a＜3时符合题意.
1.（2024·天津高考1题）集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（ ）
A.{1，2，3，4} B.{2，3，4}
C.{2，4} D.{1}
解析：B 因为A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，所以A∩B＝{2，3，4}.故选B.
2.已知集合M＝{x｜－4＜x≤1}，N＝{x｜－1＜x＜3}，则M∪N＝（ ）
A.{x｜－4＜x＜3} B.{x｜－1＜x≤1}
C.{0，1，2} D.{x｜－1＜x＜4}
解析：A 在数轴上表示出两个集合，如图，可得M∪N＝{x｜－4＜x＜3}.
3.已知A＝{x｜x为矩形}，B＝{x｜x为菱形}，则A∩B＝{x｜x为正方形}.
4.已知集合A＝{－1，3}，B＝{2，a2}，若A∪B＝{－1，2，3，9}，则实数a的值为±3.
解析：由题意得a2＝9，解得a＝±3.
课堂小结
1.理清单 （1）并集、交集的概念及运算； （2）根据集合间的运算求参数范围. 2.应体会 （1）常借助于Venn图、数轴等工具进行集合的交集、并集的运算； （2）由集合间的关系求参数范围（值）需要分类讨论. 3.避易错 （1）利用集合关系求参数时切莫遗忘空集； （2）无限集的并集与交集，端点值取到与否是关键.
1.若集合A＝{x｜－2＜x＜1}，B＝{x｜x＜－1，或x＞3}，则A∩B＝（ ）
A.{x｜－2＜x＜－1} B.{x｜－2＜x＜3}
C.{x｜－1＜x＜1} D.{x｜1＜x＜3}
解析：A 因为A＝{x｜－2＜x＜1}，B＝{x｜x＜－1，或x＞3}，所以A∩B＝{x｜－2＜x＜－1}.故选A.
2.已知集合M＝{0，x}，N＝{1，2}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝（ ）
A.{0，1，2，x} B.{0，1，2}
C.{0，2} D.{1，2}
解析：B ∵M∩N＝{2}，∴2∈M，而M＝{0，x}，则x＝2，∴M＝{0，2}，∴M∪N＝{0，1，2}.
3.已知集合A＝{x｜x≤－1或x≥3}，B＝{x｜a＜x＜4}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是（ ）
A.3≤a＜4 B.－1＜a＜4
C.a≤－1 D.a＜－1
解析：C 利用数轴，若A∪B＝R，则a≤－1.
4.已知集合A＝{x｜x＜0}，B＝{x｜x＞－2}，C＝{x｜x＞－1}，则（A∩B）∪C＝（ ）
A.{x｜－1＜x＜0} B.{x｜x＞－1}
C.{x｜－2＜x＜0} D.{x｜x＞－2}
解析：D 由A＝{x｜x＜0}，B＝{x｜x＞－2}，得A∩B＝{x｜－2＜x＜0}，所以（A∩B）∪C＝{x｜x＞－2}.故选D.
5.〔多选〕已知集合A＝{x｜x＜2}，B＝{x｜3－2x＞0}，则（ ）
A.A∩B＝{x｜x＜} B.A∩B＝
C.A∪B＝{x｜x＜2} D.A∪B＝R
解析：AC B＝{x｜3－2x＞0}＝{x｜x＜}，所以A∩B＝{x｜x＜}，A∪B＝{x｜x＜2}.
6.〔多选〕已知集合M＝{0，1，2}，N＝{x｜－1≤x≤2，x∈Z}，则下列结论正确的是（ ）
A.M N
B.N M
C.M∩N＝{0，1}
D.M∪N＝{－1，0，1，2}
解析：AD 因为N＝{x｜－1≤x≤2，x∈Z}＝{－1，0，1，2}，又M＝{0，1，2}，所以M N，且M≠N，故A正确，B错误；M∩N＝{0，1，2}，M∪N＝{－1，0，1，2}，故C错误，D正确.故选A、D.
7.已知集合A＝{x｜－≤x≤3}，B＝{x∈Z｜x≤2}，则A∩B＝{0，1，2}.
解析：因为A＝{x｜－≤x≤3}，B＝{x∈Z｜x≤2}，所以A∩B＝{x∈Z｜－≤x≤2}，所以A∩B＝{0，1，2}.
8.已知集合A＝{1，3，4，7}，B＝{x｜x＝2k＋1，k∈A}，则集合A∪B中元素的个数为6.
解析：由已知得，B＝{3，7，9，15}，所以A∪B＝{1，3，4，7，9，15}，所以集合A∪B中元素的个数为6.
9.已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝0或3.
解析：∵A∪B＝A，∴B A.又A＝{1，3，}，B＝{1，m}，∴m＝3或m＝，由m＝得m＝0或m＝1，但m＝1不满足集合中元素的互异性，故舍去，故m＝0或m＝3.
10.已知集合A＝{x｜3－x＞0，且3x＋6＞0}，集合B＝{x｜3＞2x－1}，求A∩B，A∪B.
解：解不等式组得－2＜x＜3，
则A＝{x｜－2＜x＜3}，
解不等式3＞2x－1，得x＜2，则B＝{x｜x＜2}.
用数轴表示集合A和B，如图所示，
则A∩B＝{x｜－2＜x＜2}，A∪B＝{x｜x＜3}.
11.已知集合A＝{x｜x2－px－2＝0}，B＝{x｜x2＋qx＋r＝0}，且A∪B＝{－2，1，5}，A∩B＝{－2}，则p＋q＋r＝（ ）
A.12 B.6
C.－14 D.－12
解析：C 因为A∩B＝{－2}，所以－2∈A且－2∈B，将x＝－2代入x2－px－2＝0，得p＝－1，所以A＝{1，－2}，因为A∪B＝{－2，1，5}，A∩B＝{－2}，所以B＝{－2，5}，所以q＝－[（－2）＋5]＝－3，r＝（－2）×5＝－10，所以p＋q＋r＝－14.
12.〔多选〕定义集合A与B的运算：A－B＝{x｜x∈A且x B}.已知集合M＝{1，2，3，4，5}，N＝{1，3，5，7}，P＝{2，4，6，8}，则（ ）
A.M－N＝{2，4}
B.M－P＝{1，3}
C.M－（M－N）＝{1，5}
D.（N－P）－M＝{7}
解析：AD 因为M＝{1，2，3，4，5}，N＝{1，3，5，7}，P＝{2，4，6，8}，所以M－N＝{2，4}，M－P＝{1，3，5}，M－（M－N）＝{1，3，5}，（N－P）－M＝{7}.故选A、D.
13.〔多选〕设集合M＝{x｜a＜x＜3＋a}，N＝{x｜x＜2或x＞4}，则下列结论中正确的是（ ）
A.若a＜－1，则M N
B.若a＞4，则M N
C.若M∪N＝R，则1＜a＜2
D.若M∩N≠ ，则1＜a＜2
解析：ABC 对于A，若a＜－1，则3＋a＜2，则M N，故A正确；对于B，若a＞4，显然对于任意x∈M，x＞4，则x∈N，故M N，故B正确；对于C，若M∪N＝R，则解得1＜a＜2，故C正确；对于D，若M∩N＝ ，则不等式无解，故若M∩N≠ ，则a∈R，故D错误.故选A、B、C.
14.设集合A＝{x｜－1＜x＜3}，集合B＝{x｜2－a＜x＜2＋a}.
（1）若a＝2，求A∪B和A∩B；
（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围.
解：（1）当a＝2时，B＝{x｜0＜x＜4}，又A＝{x｜－1＜x＜3}，
所以A∪B＝{x｜－1＜x＜4}，A∩B＝{x｜0＜x＜3}.
（2）由A∪B＝A，得B A，而A＝{x｜－1＜x＜3}，B＝{x｜2－a＜x＜2＋a}，
当B＝ 时，2－a≥2＋a，解得a≤0，满足题意；
当B≠ 时，a＞0且解得0＜a≤1，
综上实数a的取值范围是{a｜a≤1}.
15.〔多选〕某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步、拔河、篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步、拔河、篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（ ）
A.同时参加跑步和篮球比赛的人数为24
B.只参加跑步比赛的人数为26
C.只参加拔河比赛的人数为16
D.只参加篮球比赛的人数为22
解析：BCD 设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x，由Venn图可得，58＋38＋52－18－16－x＋12＝120－20，得x＝26，则只参加跑步比赛的人数为58－18－26＋12＝26，只参加拔河比赛的人数为38－16－18＋12＝16，只参加篮球比赛的人数为52－16－26＋12＝22.
2 / 8第一课时 并集与交集
1.若集合A＝{x｜－2＜x＜1}，B＝{x｜x＜－1，或x＞3}，则A∩B＝（ ）
A.{x｜－2＜x＜－1} B.{x｜－2＜x＜3}
C.{x｜－1＜x＜1} D.{x｜1＜x＜3}
2.已知集合M＝{0，x}，N＝{1，2}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝（ ）
A.{0，1，2，x} B.{0，1，2}
C.{0，2} D.{1，2}
3.已知集合A＝{x｜x≤－1或x≥3}，B＝{x｜a＜x＜4}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是（ ）
A.3≤a＜4 B.－1＜a＜4
C.a≤－1 D.a＜－1
4.已知集合A＝{x｜x＜0}，B＝{x｜x＞－2}，C＝{x｜x＞－1}，则（A∩B）∪C＝（ ）
A.{x｜－1＜x＜0} B.{x｜x＞－1}
C.{x｜－2＜x＜0} D.{x｜x＞－2}
5.〔多选〕已知集合A＝{x｜x＜2}，B＝{x｜3－2x＞0}，则（ ）
A.A∩B＝{x｜x＜} B.A∩B＝
C.A∪B＝{x｜x＜2} D.A∪B＝R
6.〔多选〕已知集合M＝{0，1，2}，N＝{x｜－1≤x≤2，x∈Z}，则下列结论正确的是（ ）
A.M N
B.N M
C.M∩N＝{0，1}
D.M∪N＝{－1，0，1，2}
7.已知集合A＝{x｜－≤x≤3}，B＝{x∈Z｜x≤2}，则A∩B＝ .
8.已知集合A＝{1，3，4，7}，B＝{x｜x＝2k＋1，k∈A}，则集合A∪B中元素的个数为 .
9.已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝ .
10.已知集合A＝{x｜3－x＞0，且3x＋6＞0}，集合B＝{x｜3＞2x－1}，求A∩B，A∪B.
11.已知集合A＝{x｜x2－px－2＝0}，B＝{x｜x2＋qx＋r＝0}，且A∪B＝{－2，1，5}，A∩B＝{－2}，则p＋q＋r＝（ ）
A.12 B.6
C.－14 D.－12
12.〔多选〕定义集合A与B的运算：A－B＝{x｜x∈A且x B}.已知集合M＝{1，2，3，4，5}，N＝{1，3，5，7}，P＝{2，4，6，8}，则（ ）
A.M－N＝{2，4}
B.M－P＝{1，3}
C.M－（M－N）＝{1，5}
D.（N－P）－M＝{7}
13.〔多选〕设集合M＝{x｜a＜x＜3＋a}，N＝{x｜x＜2或x＞4}，则下列结论中正确的是（ ）
A.若a＜－1，则M N
B.若a＞4，则M N
C.若M∪N＝R，则1＜a＜2
D.若M∩N≠ ，则1＜a＜2
14.设集合A＝{x｜－1＜x＜3}，集合B＝{x｜2－a＜x＜2＋a}.
（1）若a＝2，求A∪B和A∩B；
（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围.
15.〔多选〕某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步、拔河、篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步、拔河、篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（ ）
A.同时参加跑步和篮球比赛的人数为24
B.只参加跑步比赛的人数为26
C.只参加拔河比赛的人数为16
D.只参加篮球比赛的人数为22
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