1.4.1 充分条件与必要条件
1.已知集合A＝{3，m}，B＝{1，3，5}，则m＝1是A B的（ ）
A.充分条件
B.必要条件
C.既不充分也不必要条件
D.既是充分条件又是必要条件
2.下列说法正确的是（ ）
A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B.语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题
C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D.“x＝2时，x2－3x＋2＝0”是真命题
3.俗语云：“好人有好报.”这句话的意思中，“好人”是“有好报”的（ ）
A.充分条件 B.必要条件
C.既不充分也不必要条件 D.既充分又必要条件
4.若“x＞5”是“x＞a”的必要不充分条件，则a的取值范围是（ ）
A.{a｜a＜5} B.{a｜a≤5}
C.{a｜a＞5} D.{a｜a≥5}
5.〔多选〕使ab＞0成立的充分条件是（ ）
A.a＞0，b＞0 B.a＋b＞0
C.a＜0，b＜0 D.a＞1，b＞1
6.〔多选〕下列说法中正确的是（ ）
A.“A∩B＝B”是“B＝ ”的必要不充分条件
B.“x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0”
C.“m是实数”的充分不必要条件是“m是有理数”
D.“｜x｜＝1”是“x＝1”的充分条件
7.“x2＝2x”是“x＝0”的 条件，“x＝0”是“x2＝2x”的 条件（用“充分”“必要”填空）.
8.写出x＝－y的一个必要条件但又不是充分条件的式子 .
9.若“x＝2”是“m2x2－（m＋3）x＋4＝0”的充分条件，则实数m的值为 .
10.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？哪些命题中p是q的必要条件？
（1）若x＞2，则x＞1；
（2）若x－1＝，则x＝1；
（3）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等.
11.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么（ ）
A.丙是甲的充分不必要条件
B.丙是甲的必要不充分条件
C.丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件
D.丙是甲的既不充分也不必要条件
12.〔多选〕已知实数集R，集合A＝{x｜1＜x＜2}，B＝{x｜x≤2}，则下列说法正确的是（ ）
A.“x∈A”是“x∈B”的充分条件
B.“x∈A”是“x∈B”的必要条件
C.“x∈ RA”是“x∈ RB”的充分条件
D.“x∈ RA”是“x∈ RB”的必要条件
13.已知集合A＝{x｜x＜－1或x＞2}，B＝{x｜2a≤x≤a＋3}，且B≠ .若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则实数a的取值范围是 .
14.设集合A＝{x｜x2＋3x＋2＝0}，B＝{x｜x2＋（m＋1）x＋m＝0}.
（1）用列举法表示集合A；
（2）若x∈B是x∈A的充分条件，求实数m的值.
15.（1）是否存在实数m，使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的充分条件？
（2）是否存在实数m，使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的必要条件？
2 / 21.4 充分条件与必要条件
课标要求
1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系（数学抽象、逻辑推理）.
2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系（数学抽象、逻辑推理）.
3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系（数学抽象、逻辑推理）.情境导入 我国战国时期所著《墨经》中有这样两句话：
（1）“有之则必然，无之则未必然”；
（2）“无之则必不然，有之则未必然”.
这两句话蕴含什么逻辑关系呢？这就是本节我们所要探讨的内容.
1.4.1 充分条件与必要条件
知识点一｜命题
问题1 阅读下列语句：
①若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；
②个位数是5的自然数能被5整除；
③直角三角形都相似；
④同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行.
（1）上述语句的表述形式有什么特点？
提示：两个特点：①均是陈述句，②都能够判断真假.
（2）判断这些语句的真假.
提示：①②④为真，③为假.
【知识梳理】
1.定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断 真假 的 陈述句 叫做命题.
2.分类：判断为 真 的语句是真命题，判断为 假 的语句是假命题.
3.结构形式：“若p，则q”形式的命题中， p 称为命题的条件， q 称为命题的结论.
【例1】 判断下列命题的真假：
（1）已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；
解：假命题.反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2.
（2）若x∈N，则x3＞x2成立；
解：假命题.反例：当x＝0时，x3＞x2不成立.
（3）若m＞1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；
解：真命题.因为m＞1 Δ＝4－4m＜0，
所以方程x2－2x＋m＝0无实数根.
（4）存在一个三角形没有外接圆.
解：假命题.因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆.
【规律方法】
判断命题真假的方法
要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.
训练1 〔多选〕下列命题是真命题的是（ ）
A.0∈N*
B.若a，b都是无理数，则a＋b是无理数
C.若集合A B，则A∩B＝A
D.1＋2＝3
解析：CD 对于选项A，0 N*，故A不符合题意；对于选项B，设a＝，b＝－，则a，b都为无理数，而a＋b＝0不是无理数，故B不符合题意；对于选项C，若A B，即A是B的子集，故A∩B＝A，故C符合题意；选项D符合题意.
知识点二｜充分条件与必要条件
问题2 电路图如图所示（图1、图2）.
（1）哪一个电路图可以说明，当p开关闭合，q灯一定亮呢？
提示：图1.
（2）对于电路图1，当q灯亮，p开关一定闭合吗？
提示：不一定，也可能是r开关闭合.
【知识梳理】
命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题
推出关系 p q p q
条件关系 p是q的 充分 条件； q是p的 必要 条件 p不是q的 充分 条件； q不是p的 必要 条件
角度1 充分条件的判断
【例2】 （链接教材P18例1）下列所给的各组p，q中，p是否是q的充分条件？
（1）已知x∈R，p：x＝1，q：（x－1）（x－2）＝0；
解：由于x＝1 （x－1）（x－2）＝0，∴p是q的充分条件.
（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
解：这是一条相似三角形的判定定理，p q，
∴p是q的充分条件.
（3）p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；
解：∵等腰梯形的对角线相等，
∴四边形的对角线相等 / 四边形是矩形.
∴p不是q的充分条件.
（4）p：m＜－1，q：x2－x－m＝0无实根.
解：由方程x2－x－m＝0无实根，
得Δ＝1＋4m＜0.即m＜－.
∵m＜－1 m＜－，即p q.
∴p是q的充分条件.
【规律方法】
充分条件的两种判断方法
（1）定义法：
（2）命题判断法：
如果命题“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件；如果命题“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件.
角度2 必要条件的判断
【例3】 （链接教材P19例2）指出下列哪些命题中q是p的必要条件？
（1）p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
解：因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件.
（2）p：A B，q：A∩B＝A；
解：因为p q，所以q是p的必要条件.
（3）p：2a＞1，q：a＞1.
解：因为2a＞1，即a＞，p / q，所以q不是p的必要条件.
【规律方法】
必要条件的两种判断方法
（1）定义法：
（2）命题判断法：
如果命题“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件；如果命题“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件.
训练2 （1）若a，b∈R，则“a＝b”是“a2＝b2”的充分不必要条件；（用“充分不必要”“必要不充分”填空）
解析：由a2＝b2可得a＝b或a＝－b，所以“a＝b”是“a2＝b2”的充分不必要条件.
（2）“－3＜x＜4”是“－2＜x≤3”的必要不充分条件.（用“充分不必要”“必要不充分”填空）
解析：设集合A＝{x｜－3＜x＜4}，集合B＝{x｜－2＜x≤3}，可知B A，所以A是B成立的必要不充分条件，即“－3＜x＜4”是“－2＜x≤3”的必要不充分条件.
提能点｜根据充分（必要）条件求参数
【例4】 已知p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围.
解：p：3a＜x＜a，即集合A＝{x｜3a＜x＜a}，
q：－2≤x≤3，即集合B＝{x｜－2≤x≤3}.
因为p q，所以A B，
所以解得－≤a＜0，
所以实数a的取值范围是{a｜－≤a＜0}.
变式 将本例中条件p改为“实数x满足－a＜x＜3a，其中a＞0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围.
解：p：－a＜x＜3a，即集合A＝{x｜－a＜x＜3a}.
q：－2≤x≤3，即集合B＝{x｜－2≤x≤3}.
因为q p，所以B A，
所以解得a＞2.
所以实数a的取值范围是{a｜a＞2}.
【规律方法】
利用充分（必要）条件确定参数的值（范围）的步骤
（1）记集合M＝{x｜p（x）}，N＝{x｜q（x）}；
（2）若p是q的充分不必要条件，则M N；若p是q的必要不充分条件，则N M；
（3）根据集合的关系列不等式（组）；
（4）解不等式（组）得结果.
训练3 若x＞2m－3是－1＜x＜4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是{m｜m≤1}.
解析：因为x＞2m－3是－1＜x＜4的必要不充分条件，所以2m－3≤－1，解得m≤1.
1.下列语句不是命题的是（ ）
A.5＞2
B.3＞4
C.x－2＝0
D.方程x2－3x＋4＝0有实根
解析：C 对于A，5＞2为命题且为真命题；对于B，3＞4为命题且为假命题；对于C，x－2＝0，无法判断真假，不是命题；对于D，Δ＝9－4×4＜0，故方程x2－3x＋4＝0没有实数根，故D为假命题.故选C.
2.若p：a∈（M∪N），q：a∈M，则p是q的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件
D.既是充分条件又是必要条件
解析：B 由a∈（M∪N） / a∈M，但a∈M a∈（M∪N），故p是q的必要不充分条件.
3.已知p：三角形是等腰直角三角形，q：三角形是直角三角形，则p是q的充分条件.（用“充分”或“必要”填空）
解析：由图可知，p是q的充分条件.
4.若“x≥2”的必要条件是“x＞a”，则a的取值范围是{a｜a＜2}.
解析：设A＝{x｜x≥2}，B＝{x｜x＞a}，因为“x≥2”的必要条件是“x＞a”，所以A B，所以a＜2，所以a的取值范围是{a｜a＜2}.
课堂小结
1.理清单 （1）充分条件、必要条件的概念及判断； （2）根据充分（必要）条件求参数. 2.应体会 充分、必要条件的判断方法有定义法、集合法、等价转化法等，等价转化法体现了转化化归思想. 3.避易错 （1）充分条件、必要条件不唯一； （2）求参数范围易忽视端点值的取舍.
1.已知集合A＝{3，m}，B＝{1，3，5}，则m＝1是A B的（ ）
A.充分条件
B.必要条件
C.既不充分也不必要条件
D.既是充分条件又是必要条件
解析：A 若A B，则有m∈B且m≠3，所以m＝1或m＝5，故当m＝1时，有A B，而A B时，m不一定是1，故m＝1是A B的充分条件，不是必要条件.
2.下列说法正确的是（ ）
A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B.语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题
C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D.“x＝2时，x2－3x＋2＝0”是真命题
解析：D 命题“直角相等”写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A错误；语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是陈述句，而且可以判断真假，故该语句是命题，所以选项B错误；选项C错误，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”；选项D正确.
3.俗语云：“好人有好报.”这句话的意思中，“好人”是“有好报”的（ ）
A.充分条件 B.必要条件
C.既不充分也不必要条件 D.既充分又必要条件
解析：A 这句话的意思中，“好人” “有好报”，所以“好人”是“有好报”的充分条件.故选A.
4.若“x＞5”是“x＞a”的必要不充分条件，则a的取值范围是（ ）
A.{a｜a＜5} B.{a｜a≤5}
C.{a｜a＞5} D.{a｜a≥5}
解析：C 由“x＞5”是“x＞a”的必要不充分条件知：x＞a x＞5且x＞5 / x＞a，即{x｜x＞a}是{x｜x＞5}的真子集，可得知a＞5.故选C.
5.〔多选〕使ab＞0成立的充分条件是（ ）
A.a＞0，b＞0 B.a＋b＞0
C.a＜0，b＜0 D.a＞1，b＞1
解析：ACD 因为a＞0，b＞0 ab＞0；a＜0，b＜0 ab＞0；a＞1，b＞1 ab＞0，所以选项A，C，D都是使ab＞0成立的充分条件，当a＝2，b＝－1时，a＋b＞0，ab＜0，故a＋b＞0不是ab＞0成立的充分条件.
6.〔多选〕下列说法中正确的是（ ）
A.“A∩B＝B”是“B＝ ”的必要不充分条件
B.“x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0”
C.“m是实数”的充分不必要条件是“m是有理数”
D.“｜x｜＝1”是“x＝1”的充分条件
解析：ABC 由A∩B＝B，得B A，所以“B＝ ”可推出“A∩B＝B”，反之不成立，A正确；解方程x2－2x－3＝0，得x＝－1或x＝3，所以“x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0”，B正确；“m是有理数”可以推出“m是实数”，反之不一定成立，C正确；解方程｜x｜＝1，得x＝±1，则“｜x｜＝1”是“x＝1”的必要条件，D错误.故选A、B、C.
7.“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件（用“充分”“必要”填空）.
解析：由于x＝0 x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件.
8.写出x＝－y的一个必要条件但又不是充分条件的式子x2＝y2（答案不唯一）.
解析：因为x＝－y x2＝y2，所以x2＝y2是x＝－y的必要条件，但x2＝y2 / x＝－y，所以x2＝y2不是x＝－y的充分条件，所以x＝－y的一个必要条件但又不是充分条件的式子是x2＝y2.
9.若“x＝2”是“m2x2－（m＋3）x＋4＝0”的充分条件，则实数m的值为1或－.
解析：由“x＝2”是“m2x2－（m＋3）x＋4＝0”的充分条件，所以m2×22－（m＋3）×2＋4＝4m2－2m－2＝0，所以2m2－m－1＝（m－1）（2m＋1）＝0，解得m＝1或m＝－.
10.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？哪些命题中p是q的必要条件？
（1）若x＞2，则x＞1；
（2）若x－1＝，则x＝1；
（3）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等.
解：（1）若x＞2，则x＞1成立，反之不成立，即p是q的充分条件.
（2）由x－1＝得x＝1或x＝2，故p是q的必要条件.
（3）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等不成立，反之也不成立，即p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.
11.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么（ ）
A.丙是甲的充分不必要条件
B.丙是甲的必要不充分条件
C.丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件
D.丙是甲的既不充分也不必要条件
解析：A 因为甲是乙的必要条件，所以乙 甲.又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙 乙，但乙 /丙，如图.综上，有丙 甲，但甲 /丙，即丙是甲的充分不必要条件.
12.〔多选〕已知实数集R，集合A＝{x｜1＜x＜2}，B＝{x｜x≤2}，则下列说法正确的是（ ）
A.“x∈A”是“x∈B”的充分条件
B.“x∈A”是“x∈B”的必要条件
C.“x∈ RA”是“x∈ RB”的充分条件
D.“x∈ RA”是“x∈ RB”的必要条件
解析：AD 由题意得，A B，且 RB RA，所以“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但不是必要条件，且“x∈ RA”是“x∈ RB”的必要条件，但不是充分条件.故选A、D.
13.已知集合A＝{x｜x＜－1或x＞2}，B＝{x｜2a≤x≤a＋3}，且B≠ .若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则实数a的取值范围是{a｜a＜－4或1＜a≤3}.
解析：因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以B A，因为B≠ ，所以或解得a＜－4或1＜a≤3.综上可得，实数a的取值范围是{a｜a＜－4或1＜a≤3}.
14.设集合A＝{x｜x2＋3x＋2＝0}，B＝{x｜x2＋（m＋1）x＋m＝0}.
（1）用列举法表示集合A；
（2）若x∈B是x∈A的充分条件，求实数m的值.
解：（1）x2＋3x＋2＝0 （x＋1）（x＋2）＝0，
即x＝－1或x＝－2，A＝{－1，－2}.
（2）若x∈B是x∈A的充分条件，则B A，
x2＋（m＋1）x＋m＝0 （x＋1）（x＋m）＝0，
解得x＝－1或x＝－m，
当m＝1时，B＝{－1}，满足B A，
当m＝2时，B＝{－1，－2}，同样满足B A，
所以m＝1或m＝2.
15.（1）是否存在实数m，使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的充分条件？
（2）是否存在实数m，使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的必要条件？
解：（1）欲使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的充分条件，
则只要{x｜x＜－} {x｜x＜－1或x＞3}，
即只需－≤－1，所以m≥2.
故存在实数m≥2，使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的充分条件.
（2）欲使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的必要条件，则只要{x｜x＜－1或x＞3} {x｜x＜－}，这是不可能的.
故不存在实数m，使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的必要条件.
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