1.4.2 充要条件
1.设x∈R，“若x＜2，则x＜3”的逆命题是（ ）
A.若x＞2，则x＞3 B.若x＜3，则x＜2
C.若x≥2，则x≥3 D.若x≤3，则x≤2
2.“x＞0”是“＝x”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知c＝1，则“a，b的平均数大于1”是“a，b，c的平均数大于1”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.〔多选〕对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（ ）
A.“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件
B.“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
C.“x＜2”是“＜0”的充分不必要条件
D.“a＜6”是“a＜8”的充分条件
6.〔多选〕设全集为U，则下面选项中是“A B”的充要条件的是（ ）
A.A∩B＝A B.（ UA） （ UB）
C.（ UB）∩A＝ D.（ UA）∩B＝
7.已知△ABC，△A1B1C1，两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
8.若集合A＝{－2，m2}，集合B＝{2，4}，则“A∩B＝{4}”的充要条件是 .
9.从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空.
（1）“x2－1＝0”是“｜x｜－1＝0”的 ；
（2）“x＜5”是“x＜3”的 .
10.指出下列各组命题中，p是q的什么条件：
（1）p：a＝2，q：a2＝4；
（2）p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；
（3）p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；
（4）p：A∩B为空集，q：A与B之一为空集.
11.已知p：－1≤x＜3，若p是q的充分不必要条件，则q可以是（ ）
A.－1≤x＜3 B.－1≤x＜2
C.x＜3 D.－2≤x＜0
12.〔多选〕使“x∈{x｜x≤0或x＞2}”成立的充分不必要条件是（ ）
A.x≥0 B.x＜0或x＞2
C.x∈{－1，3，5} D.x≤0或x＞2
13.设U＝R，A＝{x｜mx2＋4x＋2＝0}.若 UA＝U，则m的取值范围为 ，集合A中有两个元素的充要条件是 .
14.若集合A＝{x｜x＞－2}，B＝{x｜x≤b，b∈R}，试写出：
（1）A∪B＝R的充要条件；
（2）A∪B＝R的一个充分不必要条件；
（3）A∪B＝R的一个必要不充分条件.
15.设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c.我们知道，如果△ABC为直角三角形，那么a2＋b2＝c2（勾股定理）.反过来，如果a2＋b2＝c2，那么△ABC为直角三角形（勾股定理的逆定理）.由此可知，△ABC为直角三角形的充要条件是a2＋b2＝c2.
请利用边长a，b，c分别给出△ABC为锐角三角形的一个充要条件，并证明.
2 / 21.4.2 充要条件
知识点一｜逆命题
问题1 命题A：a，b＞0，若＞1，则a＞b；
命题B：a，b＞0，若a＞b，则＞1.
两命题有何特点？它们之间存在什么关系？
提示：两个命题均为真命题，且两命题条件和结论互换.
【知识梳理】
将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题.
【例1】 “若x＞2，则x2－3x＋2＞0”的逆命题是（ ）
A.若x2－3x＋2＜0，则x≥2
B.若x≤2，则x2－3x＋2≤0
C.若x2－3x＋2≤0，则x≥2
D.若x2－3x＋2＞0，则x＞2
解析：D 若x＞2，则x2－3x＋2＞0的逆命题为若x2－3x＋2＞0，则x＞2.故选D.
【规律方法】
对于命题的判断及形式改写，关键是要分清条件与结论，原命题与其逆命题的条件与结论对调，它们互为逆命题，原命题的真假性与其逆命题的真假性无关.
训练1 命题“如果a＋b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为真命题.填（“真”或“假”）
解析：命题“如果a＋b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为“如果a，b互为相反数，那么a＋b＝0”，该命题为真命题.
知识点二｜充要条件
问题2 给出以下两个“若p，则q”形式的命题：
（1）p：a＝b，q：a＋c＝b＋c；
（2）若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等.
在上述的两个命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？
提示：p是q的充分条件，也是必要条件；q是p的充分条件，也是必要条件.
【知识梳理】
命题真假 “若p，则q”为 真 命题；“若q，则p”为 真 命题
推出关系 p q
条件关系 p既是q的 充分 条件，也是q的 必要 条件，我们说p是q的 充分必要 条件，简称为充要条件
提醒：符号“ ”表示“等价”，如“A B”指的是“由A推出B”，且“由B推出A”.
【例2】 （链接教材P21例3）判断下列各题中，p是 q的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）.
（1）p：｜x｜＝｜y｜，q：x3＝y3；
解：因为｜x｜＝｜y｜时，x＝±y，不一定有x3＝y3，而x3＝y3时一定有x＝y，必有｜x｜＝｜y｜，所以p是q的必要不充分条件.
（2）p：△ABC中，AB＞AC，q：△ABC中，∠C＞∠B；
解：由三角形中大边对大角，大角对大边的性质可知p是q的充要条件.
（3）p：A B，q：A∪B＝B；
解：若A B，则一定有A∪B＝B，反之，若A∪B＝B，则一定有A B，故p是q的充要条件.
（4）p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等.
解：若两个三角形全等，则面积一定相等，若两个三角形面积相等，只需高和底边的乘积相等即可，不一定有两个三角形全等，故p是q的充分不必要条件.
【规律方法】
判断充分条件、必要条件及充要条件的方法
（1）定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假；
（2）集合法：即利用集合的包含关系判断；
（3）等价法：即利用p q的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法.
训练2 以下选项中，p是q的充要条件的是（ ）
A.p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5
B.p：a＞2，b＜2，q：a＞b
C.p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形
D.p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有唯一解
解析：D 对于A，p：x＞1，q：x＜1，所以p是q的既不充分也不必要条件；对于B，p q，但q / p，所以p是q的充分不必要条件；对于C，p / q，但q p，所以p是q的必要不充分条件；对于D，显然q p，所以p是q的充要条件.故选D.
知识点三｜充要条件的证明
【例3】 （链接教材P22例4）求证：“△ABC中两边上的高相等”是“△ABC为等腰三角形”的充要条件.
证明：充分性：在△ABC中，设AC边上的高为h1，AB边上的高为h2.
则S△ABC＝AC·h1＝AB·h2，
因为h1＝h2，所以AC＝AB，
故△ABC为等腰三角形，充分性成立.
必要性：若△ABC为等腰三角形，设AB＝AC，AC边上的高为h1，AB边上的高为h2，
则根据三角形面积公式S△ABC＝AC·h1＝AB·h2，可得h1＝h2，必要性成立.
故“△ABC中两边上的高相等”是“△ABC为等腰三角形”的充要条件.
【规律方法】
充要条件的证明策略
（1）要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真；
（2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的.
提醒：证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向.
训练3 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明：①充分性：因为a＋b＋c＝0，
所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0，
即（x－1）（ax＋a＋b）＝0.
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
②必要性：因为关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，
所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
综上所述，关于x的方程ax2＋bc＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
提能点｜充分、必要及充要条件的应用
【例4】 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0），若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0）.
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x｜1－m≤x≤1＋m} {x｜－2≤x≤10}，
故有或
解得m≤3.
又m＞0，所以实数m的取值范围为{m｜0＜m≤3}.
变式 本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0）.
若p是q的充要条件，则方程组无解.
故不存在实数m，使得p是q的充要条件.
【规律方法】
充分条件与必要条件的应用
（1）应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题；
（2）求解步骤：先把p，q等价转化，建立相对应的集合，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解.
训练4 函数f（x）＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是（ ）
A.m＝－2 B.m＝1
C.m＝－1 D.m＝0
解析：A 当m＝－2时，f（x）＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之，若函数f（x）＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，即m＝－2.所以函数f（x）＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.
1.已知p：“x＝2”，q：“x－2＝”，则p是q的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：C 由q：“x－2＝”，解得x＝2，由q可推出p，必要性成立，反之，由p可推出q，即充分性成立.所以p是q的充要条件.故选C.
2.设a，b∈R，则“a2＋b2＝0”的充要条件是a＝b＝0.
解析：因为a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a2＝b2＝0，即a＝b＝0；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，所以“a2＋b2＝0”的充要条件是“a＝b＝0”.
3.已知p：1≤x≤a（a≥1），q：1≤x≤2.
（1）当a为何值时，p是q的充分不必要条件？
（2）当a为何值时，p是q的充要条件？
解：（1）因为p是q的充分不必要条件，
所以{x｜1≤x≤a} {x｜1≤x≤2}，
所以1≤a＜2.
所以当1≤a＜2时，p是q的充分不必要条件.
（2）因为p是q的充要条件，
所以{x｜1≤x≤2}＝{x｜1≤x≤a}，所以a＝2.
所以当a＝2时，p是q的充要条件.
课堂小结
1.理清单 （1）逆命题概念的理解； （2）充要条件概念的理解； （3）充要条件的证明； （4）充分不必要、必要不充分、充要条件的应用. 2.应体会 利用充要条件求参数的关键是将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解. 3.避易错 易混淆充分性与必要性的判断方向致误.
1.设x∈R，“若x＜2，则x＜3”的逆命题是（ ）
A.若x＞2，则x＞3 B.若x＜3，则x＜2
C.若x≥2，则x≥3 D.若x≤3，则x≤2
解析：B 互为逆命题的两个命题的条件与结论是相互对调的，故选B.
2.“x＞0”是“＝x”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：A 由＝x，得x≥0.因为“x＞0” “x≥0”，但“x≥0” / “x＞0”，所以“x＞0”是“＝x”的充分不必要条件.
3.设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：B 由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C，反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C.∴“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件.故选B.
4.已知c＝1，则“a，b的平均数大于1”是“a，b，c的平均数大于1”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：C 若a，b，c的平均数大于1，则＝＞1，∴a＋b＞2，∴＞1，即a，b的平均数大于1，反之亦成立.
5.〔多选〕对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（ ）
A.“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件
B.“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
C.“x＜2”是“＜0”的充分不必要条件
D.“a＜6”是“a＜8”的充分条件
解析：BD 对于A，a＝b ac＝bc，但当c＝0时，由ac＝bc不一定推出a＝b，故A为假命题；易知B为真命题；对于C，由＜0，得x－2＜0，x＜2，即“x＜2”是“＜0”的充要条件，故C为假命题；易知D为真命题.
6.〔多选〕设全集为U，则下面选项中是“A B”的充要条件的是（ ）
A.A∩B＝A B.（ UA） （ UB）
C.（ UB）∩A＝ D.（ UA）∩B＝
解析：ABC 由A∩B＝A，可得A B，由A B可得A∩B＝A，故“A∩B＝A”是“A B”的充要条件，故A正确；由（ UA） （ UB）可得A B，由A B可得（ UA） （ UB），故“（ UA） （ UB）”是“A B”的充要条件，故B正确；由（ UB）∩A＝ ，可得A B，由A B可得（ UB）∩A＝ ，故“（ UB）∩A＝ ”是“A B”的充要条件，故C正确；由（ UA）∩B＝ ，可得B A，不能推出A B，故“（ UA）∩B＝ ”不是“A B”的充要条件，故D不正确.
7.已知△ABC，△A1B1C1，两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的必要不充分条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
解析：由两三角形对应角相等 /△ABC≌△A1B1C1；反之由△ABC≌△A1B1C1 ∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1.
8.若集合A＝{－2，m2}，集合B＝{2，4}，则“A∩B＝{4}”的充要条件是m＝±2.
解析：由A∩B＝{4}，得m2＝4，得m＝±2，由m＝±2，得A＝{－2，4}，则A∩B＝{4}，所以“m＝±2”是“A∩B＝{4}”成立的充要条件.
9.从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空.
（1）“x2－1＝0”是“｜x｜－1＝0”的充要条件；
（2）“x＜5”是“x＜3”的必要不充分条件.
解析：（1）设A＝{x｜x2－1＝0}＝{－1，1}，B＝{x｜｜x｜－1＝0}＝{－1，1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“｜x｜－1＝0”的充要条件.
（2）设A＝{x｜x＜5}，B＝{x｜x＜3}，因为B A，所以“x＜5”是“x＜3”的必要不充分条件.
10.指出下列各组命题中，p是q的什么条件：
（1）p：a＝2，q：a2＝4；
（2）p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；
（3）p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；
（4）p：A∩B为空集，q：A与B之一为空集.
解：（1）a2＝4 a＝±2，所以p q，q p，即p是q的充分不必要条件.
（2）因为－1≤x≤5 x≥－1且x≤5，所以p是q的充要条件.
（3）由三角形为等腰三角形等价定义可知，p，q可互相推出，因此p为q的充要条件.
（4）A∩B为空集，则A与B无公共元素，但不一定是空集，若A与B之一为空集，则A∩B为空集，因此p为q的必要不充分条件.
11.已知p：－1≤x＜3，若p是q的充分不必要条件，则q可以是（ ）
A.－1≤x＜3 B.－1≤x＜2
C.x＜3 D.－2≤x＜0
解析：C p是q的充分不必要条件，只需找一个集合使{x｜－1≤x＜3}是其真子集即可，结合选项可知{x｜－1≤x＜3}是{x｜x＜3}的真子集.故选C.
12.〔多选〕使“x∈{x｜x≤0或x＞2}”成立的充分不必要条件是（ ）
A.x≥0 B.x＜0或x＞2
C.x∈{－1，3，5} D.x≤0或x＞2
解析：BC 从集合的角度出发，在选项中判断哪个是题干的真子集，只有B，C满足题意；选项A为题干成立的既不充分也不必要条件；D为题干成立的充要条件.
13.设U＝R，A＝{x｜mx2＋4x＋2＝0}.若 UA＝U，则m的取值范围为{m｜m＞2}，集合A中有两个元素的充要条件是m＜2且m≠0.
解析：由题意得A＝ ，即mx2＋4x＋2＝0无解，当m＝0时，不成立；当m≠0时，Δ＝16－8m＜0，解得m＞2.综上可知，m的取值范围为{m｜m＞2}.集合A中有两个元素，即mx2＋4x＋2＝0有两个不等的实数根，当m＝0时，不成立；当m≠0时，Δ＝16－8m＞0，解得m＜2.因此集合A中有两个元素的充要条件是m＜2且m≠0.
14.若集合A＝{x｜x＞－2}，B＝{x｜x≤b，b∈R}，试写出：
（1）A∪B＝R的充要条件；
（2）A∪B＝R的一个充分不必要条件；
（3）A∪B＝R的一个必要不充分条件.
解：（1）集合A＝{x｜x＞－2}，B＝{x｜x≤b，b∈R}，
若A∪B＝R，则b≥－2；当b≥－2时，A∪B＝R.
故A∪B＝R的充要条件是b≥－2.
（2）由（1）知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，所以A∪B＝R的一个充分不必要条件是b≥－1.（答案不唯一）
（3）由（1）知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，所以A∪B＝R的一个必要不充分条件可以是b≥－3.（答案不唯一）
15.设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c.我们知道，如果△ABC为直角三角形，那么a2＋b2＝c2（勾股定理）.反过来，如果a2＋b2＝c2，那么△ABC为直角三角形（勾股定理的逆定理）.由此可知，△ABC为直角三角形的充要条件是a2＋b2＝c2.
请利用边长a，b，c分别给出△ABC为锐角三角形的一个充要条件，并证明.
解：已知a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，△ABC为锐角三角形的充要条件是a2＋b2＞c2.
证明如下：必要性：在△ABC中，∠C是锐角，如图1，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
显然AB2＝AD2＋DB2
＝AC2－CD2＋（BC－CD）2
＝AC2－CD2＋BC2＋CD2－2BC·CD
＝AC2＋BC2－2BC·CD＜AC2＋BC2，
即a2＋b2＞c2.
充分性：在△ABC中，a2＋b2＞c2，
所以∠C不是直角.
假设∠C为钝角，如图2，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，则AB2＝AD2＋BD2＝AC2－CD2＋（BC＋CD）2
＝AC2－CD2＋BC2＋CD2＋2BC·CD
＝AC2＋BC2＋2BC·CD＞AC2＋BC2，
即c2＞b2＋a2，与“a2＋b2＞c2”矛盾.
故∠C必为锐角，即△ABC为锐角三角形.
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