1.5 全称量词与存在量词
课标要求
1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义（数学抽象、逻辑推理）.
2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定（数学抽象）.
3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定（数学抽象）.
情境导入
某位理发师的广告词是这样写的：“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸！”你们说他能不能给他自己刮脸呢？这就是著名的“罗素理发师悖论”问题！
1.5.1 全称量词与存在量词
知识点一｜全称量词与全称量词命题
问题1 阅读下面的例子，并回答提出的问题：
①a＋b＝3；
②任意给定实数x，x2≥0；
③2x＋1是整数；
④每一个直角三角形的三条边长都满足勾股定理.
（1）示例中的语句是命题吗？
提示：语句①③不是命题，语句②④是命题.
（2）语句②④中“任意”“每一个”的含义相同吗？
提示：相同.
【知识梳理】
全称量词 “所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等
符号
全称量词命题 含有 全称量词 的命题
形式 “对M中任意一个x，p（x）成立”，可用符号简记为“ x∈M，p（x） ”
提醒：有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来.
【例1】 （链接教材P27例1）判断下列命题是否为全称量词命题，并判断真假.
（1）在平面直角坐标系中，任意有序实数对（x，y）都对应一点；
解：含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.因为在平面直角坐标系中，任意有序实数对（x，y）与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题.
（2）自然数的平方大于或等于零；
解：省略了全称量词，可以表示为 n∈N，n2≥0.故是全称量词命题，真命题.
（3） x∈R，有｜x＋1｜＞1.
解：是全称量词命题，当x＝0时，不满足｜x＋1｜＞1，所以“ x∈R，有｜x＋1｜＞1”为假命题.
【规律方法】
判断一个语句是全称量词命题及其真假的思路
（1）判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的”“任意一个”“一切”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别；
（2）判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中每一个元素都要使结论成立，间接法就是找到一个元素使结论不成立.
训练1 （1）〔多选〕下列全称量词命题中真命题有（ BC ）
A.负数不能开根号
B.对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab
C.二次函数y＝x2－ax－1的图象与x轴恒有交点
D. x∈R，y∈R，都有x2＋｜y｜＞0
解析：对于A：在实数范围内，负数只是不能开偶次方根，可以开奇次方根，故A为假命题；对于B：对任意的实数a，b，a2＋b2－2ab＝（a－b）2≥0，即a2＋b2≥2ab，故B为真命题；对于C：因为Δ＝（－a）2－4×（－1）＝a2＋4＞0，所以二次函数y＝x2－ax－1的图象与x轴恒有交点，故C为真命题；对于D：当x＝y＝0时，x2＋｜y｜＝0，故D为假命题.故选B、C.
（2）命题“对任意一个实数x，x2＋2x＋1都不小于零”，用数学符号表示为 x∈R，x2＋2x＋1≥0.
解析：含有全称量词“任意一个”，用符号“ ”表示，“不小于零”就是“≥0”，因此该命题用数学符号表示为“ x∈R，x2＋2x＋1≥0”.
知识点二｜存在量词与存在量词命题
问题2 阅读下面的例子，并回答提出的问题：
①x2＋2x＋5＝0；
②存在有理数x，使得3x－2＝0；
③x能被2和3整除；
④实数范围内，至少有一个x使得有意义.
（1）示例中的语句是命题吗？
提示：语句①③不是命题，语句②④是命题.
（2）语句③④中“存在”“至少有一个”的含义相同吗？
提示：相同.
【知识梳理】
存在量词 “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等
符号
存在量词命题 含有 存在量词 的命题
形式 “存在M中的元素x，p（x）成立”，可用符号简记为“ x∈M，p（x） ”
提醒：（1）从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题；（2）有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
【例2】 （链接教材P28例2）下列命题是否为存在量词命题？若是，请指出存在量词，并判断其真假.
（1）存在一个实数对（x，y），使2x＋3y＋3＜0；
解：是，存在量词是“存在一个”；
因为存在一个实数对（－1，－2），使得2×（－1）＋3×（－2）＋3＜0，所以存在量词命题“存在一个实数对（x，y），使2x＋3y＋3＜0”是真命题.
（2） x∈R，（2x－3）2≥0；
解：是，存在量词是“ ”；
因为 x∈R，（2x－3）2≥0，所以存在量词命题“ x∈R，（2x－3）2≥0”是真命题.
（3）有些整数既能被2整除，又能被3整除.
解：是，存在量词是“有些”；
因为存在整数6，既能被2整除，又能被3整除，所以存在量词命题“有些整数既能被2整除，又能被3整除”是真命题.
【规律方法】
判断一个语句是存在量词命题及其真假的思路
（1）判断一个命题是否为存在量词命题，主要看命题中是否有表示部分的量词，有些命题的存在量词是隐藏的，要仔细辨别；
（2）要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p（x）成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题.
训练2 （1）〔多选〕下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（ ACD ）
A.有些菱形是正方形
B.若x＞2，则2x＋1＞5
C. x∈R，x2－2x＋1≤0
D. x∈R，x2－2x＋1＞0
解析：对于A，命题等价于存在一个菱形是正方形，显然正方形都满足该条件，故A正确；对于B，等价于 x＞2，则2x＋1＞5，这不是存在量词命题，故B错误；对于C，当x＝1时x2－2x＋1＝1－2＋1＝0≤0，故C正确；对于D，当x＝0时x2－2x＋1＝1＞0，故D正确.故选A、C、D.
（2）用量词符号“ ”“ ”表示下列命题.
①有的实数不能写成小数形式： x∈R，x不能写成小数形式；
②凸n边形的外角和都等于360°： x∈{x｜x是凸n边形}，x的外角和等于360°.
解析：① x∈R，x不能写成小数形式；② x∈{x｜x是凸n边形}，x的外角和等于360°.
提能点｜由含量词命题的真假求参数范围
【例3】 已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，且B≠ ，若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围.
解：由于命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，
所以B A，因为B≠ ，
所以解得2≤m≤3.
即m的取值范围为{m｜2≤m≤3}.
变式 把本例中命题p改为“ x∈A，x∈B”，求m的取值范围.
解：p为真，则A∩B≠ ，因为B≠ ，所以m≥2.
所以或
解得2≤m≤4.
即m的取值范围为{m｜2≤m≤4}.
【规律方法】
依据含量词命题的真假求参数范围的方法
（1）首先根据全称量词和存在量词的含义透彻理解题意；
（2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围.
训练3 若命题“ x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，求实数a的取值范围.
解：∵命题“ x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，
∴方程x2－4x＋a＝0存在实数根，
则Δ＝（－4）2－4a≥0，解得 a≤4.
即实数a的取值范围为{a｜a≤4}.
1.下列命题是“ x∈R，x2＞3”的另一种表述方法的是（ ）
A.存在一个实数x，使得x2＞3成立
B.有些实数x，使得x2＞3成立
C.对于任意实数x，都有x2＞3成立
D.至少存在一个实数x，使得x2＞3成立
解析：C “ x∈R，x2＞3”是全称量词命题，改写时应使用全称量词.
2.〔多选〕下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A.所有的正方形都是矩形
B.有些梯形是平行四边形
C. x∈R，3x＋2＞0
D.至少有一个整数m，使得m2＜1
解析：CD A是全称量词命题，B、C、D为存在量词命题，显然B为假命题；C选项，取x＝0，则3×0＋2＞0，为真命题；D选项，取m＝0，则02＜1，为真命题.
3.已知命题p：“ x∈R，mx2≥0”是真命题，则实数m的取值范围是{m｜m≥0}.
解析：当x∈R时，x2≥0，若“ x∈R，mx2≥0”是真命题，则有m≥0.
4.指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假：
（1）存在一个实数x，使等式x2＋2x－3＝0成立；
（2）每个二次函数的图象都与x轴相交.
解：（1）存在量词命题.因为x2＋2x－3＝0，所以x1＝－3，x2＝1，即存在－3或1，使等式x2＋2x－3＝0成立.所以该命题为真命题.
（2）全称量词命题.如函数y＝x2＋1的图象与x轴不相交，所以该命题为假命题.
课堂小结
1.理清单 （1）全称量词（命题）、存在量词（命题）的概念； （2）含量词的命题的真假判断； （3）依据含量词命题的真假求参数的取值范围. 2.应体会 含量词命题的真假问题往往转化为集合间的关系或函数的最值问题，体现了转化思想. 3.避易错 有些命题量词可省略；全称量词命题强调“全部、任意性”；存在量词命题强调“个别、存在性”.
1.下列命题中是存在量词命题的是（ ）
A. x∈R，x2＞0
B. x∈R，x2≤0
C.平行四边形的对边平行
D.矩形的任一组对边相等
解析：B A含有全称量词 ，为全称量词命题；B含有存在量词 ，为存在量词命题，满足条件；C省略了全称量词所有的，为全称量词命题；D省略了全称量词所有的，为全称量词命题，故选B.
2.“关于x的不等式ax＋b＞0有解”等价于（ ）
A. x∈R，使得ax＋b＞0成立
B. x∈R，使得ax＋b≤0成立
C. x∈R，ax＋b＞0成立
D. x∈R，ax＋b≤0成立
解析：A “关于x的不等式ax＋b＞0有解”等价于“ x∈R，使得ax＋b＞0成立”.故选A.
3.下列四个命题中，是真命题的为（ ）
A.任意x∈R，有x2＋3＜0
B.任意x∈N，有x2＞1
C.存在x∈Z，使x5＜1
D.存在x∈Q，使x2＝3
解析：C 由于对任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋3≥3，故A为假命题；由于0∈N，当x＝0时，x2＞1不成立，故B为假命题；由于－1∈Z，当x＝－1时，x5＜1，故C为真命题；由于使x2＝3成立的数只有±，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方等于3，故D是假命题.
4.已知命题p：存在实数2≤x≤4，使2x＋5－m＜0成立，若命题p为真命题，则实数m的取值范围为（ ）
A.m＞9 B.m＞13
C.m＞10 D.m＜－12
解析：A 满足题意时，应存在实数2≤x≤4，使m＞2x＋5，令y＝2x＋5，则m＞ymin＝9，所以m＞9.故选A.
5.〔多选〕下列命题中是真命题的是（ ）
A. x∈R，｜x＋1｜＞0
B. x∈{1，－1，0}，2x＋3＞0
C. x∈N，使≤x
D.不存在x∈N*，使x为29的约数
解析：BC x∈R，｜x＋1｜＞0，因为当x＝－1时，｜x＋1｜＝0，故A错误； x∈{1，－1，0}，2x＋3＞0，即x＞－，故B正确； x∈N，使≤x，取x＝4∈N，有≤4成立，故C正确；1，29都是29的约数，故D错误.故选B、C.
6.〔多选〕下列命题是真命题的有（ ）
A.所有平行四边形的对角线都互相平分
B.若x，y是无理数，则xy一定是有理数
C.若m＜1，则关于x的方程x2＋2x＋m＝0有两个负根
D.两个相似三角形的周长之比等于它们的对应边之比
解析：AD 易知A是真命题；当x＝，y＝时，xy＝，是无理数，所以B是假命题；由关于x的方程x2＋2x＋m＝0有两个负根，得解得0＜m＜1，所以C是假命题；两个相似三角形的周长之比等于它们的对应边之比，所以D是真命题.故选A、D.
7.命题“有些负实数满足不等式（1＋x）（1－9x）＞0”用“ ”或“ ”可表述为 x＜0，（1＋x）（1－9x）＞0.
解析：“有些”为存在量词，因此可用存在量词命题来表述.
8.若对任意x＞3，x＞a恒成立，则a的取值范围是{a｜a≤3}.
解析：对于任意x＞3，x＞a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a≤3.
9.若命题“ x＞1，使ax－3＜0”是真命题，则实数a的取值范围是{a｜a＜3}.
解析：当a≤0时，显然存在x＞1，使ax－3＜0；当a＞0时，结合一次函数图象知，需满足x＝1时，ax－3＜0，得a＜3，故0＜a＜3.综上所述，实数a的取值范围是{a｜a＜3}.
10.用符号“ ”与“ ”表示下列含有量词的命题，并判断真假：
（1）有理数都能写成小数形式；
（2）不论m取什么实数，方程x2＋x－m＝0必有实根；
（3）存在一个实数x，使x2＋x＋4＝0.
解：（1） a∈Q，a都能写成小数形式.此命题是真命题.
（2） m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实根.
当m＝－1时，方程无实根，此命题是假命题.
（3） x∈R，x2＋x＋4＝0.因为x2＋x＋4＝（x＋）2＋＞0恒成立，所以此命题是假命题.
11.已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使命题“ a∈M，a A”为真命题的集合M是（ ）
A.{a｜a≥－3} B.{a｜a＞－3}
C.{a｜a≤－3} D.{a｜a＜－3}
解析：D 因为x＋3≥0，所以A＝{x｜x≥－3}.又因为对 a∈M，都有a A，所以a＜－3.故选D.
12.〔多选〕下列命题中是真命题的是（ ）
A. x∈R，x≤0
B.至少有一个整数，它既不是合数也不是质数
C. x∈{x｜x是无理数}，x＋2 025是无理数
D. a，b∈R，使得a2＋b2－2a－2b＋2＜0
解析：ABC x∈R，x≤0，A为真命题；至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，例如1满足条件，B为真命题； x∈{x｜x是无理数}，x＋2 025是无理数，例如x＝π，C为真命题；因为a2＋b2－2a－2b＋2＝（a－1）2＋（b－1）2≥0，所以D为假命题.综上可得，A、B、C为真命题.
13.能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab”是真命题的一组有序实数对（a，b）为（1，）（答案不唯一）.
解析：由a－b＝ab得出b＝，取a＝1，得b＝，所以满足题中条件的一组有序实数对可以是（1，）.
14.已知M＝{x｜a≤x≤a＋1}.
（1）“ x∈M，x＋1＞0”是真命题，求实数a的取值范围；
（2）“ x∈M，x＋1＞0”成立，求实数a的取值范围.
解：（1）“ x∈M，x＋1＞0”是真命题，即a＋1＞0，解得a＞－1，
所以实数a的取值范围是{a｜a＞－1}.
（2）“ x∈M，x＋1＞0”成立，即a＋1＋1＞0，解得a＞－2，
所以实数a的取值范围是{a｜a＞－2}.
15.已知集合A＝{x｜a－1≤x≤2a＋3}，B＝{x｜－2≤x≤4}.
（1）若 x∈A，则x∈B，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使命题“ x∈B，x∈A”是真命题？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由.
解：（1）由 x∈A，则x∈B，可知A B，
①当A＝ 时，a－1＞2a＋3，解得a＜－4，符合题意；
②当A≠ 时，要使A B，则解得－1≤a≤.
综上，实数a的取值范围为{a｜a＜－4或－1≤a≤}.
（2）存在实数a∈{a｜－≤a≤5}，使命题“ x∈B，x∈A”是真命题，理由如下：
假设命题“ x∈B，x∈A”是真命题，则A∩B≠ .
当A∩B＝ 时，
①当A＝ 时，a－1＞2a＋3，解得a＜－4.
②当A≠ 时，要使A∩B＝ ，则或解得－4≤a＜－或a＞5，
综上，当a＜－或a＞5时，A∩B＝ .
所以当－≤a≤5时，A∩B≠ ，此时满足 x∈B，x∈A，
即存在实数a∈{a｜－≤a≤5}，使命题“ x∈B，x∈A”是真命题.
1 / 81.5.1 全称量词与存在量词
1.下列命题中是存在量词命题的是（ ）
A. x∈R，x2＞0
B. x∈R，x2≤0
C.平行四边形的对边平行
D.矩形的任一组对边相等
2.“关于x的不等式ax＋b＞0有解”等价于（ ）
A. x∈R，使得ax＋b＞0成立
B. x∈R，使得ax＋b≤0成立
C. x∈R，ax＋b＞0成立
D. x∈R，ax＋b≤0成立
3.下列四个命题中，是真命题的为（ ）
A.任意x∈R，有x2＋3＜0
B.任意x∈N，有x2＞1
C.存在x∈Z，使x5＜1
D.存在x∈Q，使x2＝3
4.已知命题p：存在实数2≤x≤4，使2x＋5－m＜0成立，若命题p为真命题，则实数m的取值范围为（ ）
A.m＞9 B.m＞13
C.m＞10 D.m＜－12
5.〔多选〕下列命题中是真命题的是（ ）
A. x∈R，｜x＋1｜＞0
B. x∈{1，－1，0}，2x＋3＞0
C. x∈N，使≤x
D.不存在x∈N*，使x为29的约数
6.〔多选〕下列命题是真命题的有（ ）
A.所有平行四边形的对角线都互相平分
B.若x，y是无理数，则xy一定是有理数
C.若m＜1，则关于x的方程x2＋2x＋m＝0有两个负根
D.两个相似三角形的周长之比等于它们的对应边之比
7.命题“有些负实数满足不等式（1＋x）（1－9x）＞0”用“ ”或“ ”可表述为 .
8.若对任意x＞3，x＞a恒成立，则a的取值范围是 .
9.若命题“ x＞1，使ax－3＜0”是真命题，则实数a的取值范围是 .
10.用符号“ ”与“ ”表示下列含有量词的命题，并判断真假：
（1）有理数都能写成小数形式；
（2）不论m取什么实数，方程x2＋x－m＝0必有实根；
（3）存在一个实数x，使x2＋x＋4＝0.
11.已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使命题“ a∈M，a A”为真命题的集合M是（ ）
A.{a｜a≥－3} B.{a｜a＞－3}
C.{a｜a≤－3} D.{a｜a＜－3}
12.〔多选〕下列命题中是真命题的是（ ）
A. x∈R，x≤0
B.至少有一个整数，它既不是合数也不是质数
C. x∈{x｜x是无理数}，x＋2 025是无理数
D. a，b∈R，使得a2＋b2－2a－2b＋2＜0
13.能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab”是真命题的一组有序实数对（a，b）为 .
14.已知M＝{x｜a≤x≤a＋1}.
（1）“ x∈M，x＋1＞0”是真命题，求实数a的取值范围；
（2）“ x∈M，x＋1＞0”成立，求实数a的取值范围.
15.已知集合A＝{x｜a－1≤x≤2a＋3}，B＝{x｜－2≤x≤4}.
（1）若 x∈A，则x∈B，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使命题“ x∈B，x∈A”是真命题？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由.
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