1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
1.命题“任意x∈A，2x∈B”的否定为（ ）
A.任意x∈A，2x B
B.任意x A，2x B
C.存在x A，2x∈B
D.存在x∈A，2x B
2.已知命题p： x∈R，｜x｜≥0，则下列说法正确的是（ ）
A.p的否定是存在量词命题，且是真命题
B.p的否定是全称量词命题，且是假命题
C.p的否定是全称量词命题，且是真命题
D.p的否定是存在量词命题，且是假命题
3.对某次考试，有命题p：所有学生都会做第1题，那么命题p的否定是（ ）
A.所有学生都不会做第1题
B.存在一个学生不会做第1题
C.存在一个学生会做第1题
D.至少有一个学生会做第1题
4.已知命题p： x∈R，x＜｜x｜＜x3，命题q： x∈R，x2－5x＋4＝0，则下列命题中为真命题的是（ ）
A.p，q B. p，q
C.p， q D. p， q
5.〔多选〕关于命题p：“ x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是（ ）
A. p： x∈R，x2＋1＝0
B. p： x∈R，x2＋1＝0
C.p是真命题， p是假命题
D.p是假命题， p是真命题
6.〔多选〕下列说法正确的有（ ）
A.命题“ x∈R，1＜y≤2”的否定是“ x∈R，y≤1或y＞2”
B.“至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立”是全称量词命题
C.“ x∈R，x－2＞”是真命题
D.“ x∈R，x2＞0”的否定是真命题
7.“有一个平行四边形，它的对角线不相等”的否定是 命题（填“真”或“假”）.
8.已知命题“ x≥2，2x－3＜a”是假命题，则实数a的取值范围是 .
9.已知命题p：“ x≥3，2x－1≥m”是真命题，则实数m的最大值是 .
10.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否定，并判断这些命题的否定的真假.
（1）对任意的实数x，都有x2≥｜x｜；
（2）存在实数x，使得x2＋x－2≤0；
（3）所有有理数的平方都是有理数；
（4）方程x2－3x＋1＝0的每一个根都是正数.
11.〔多选〕下列说法正确的是（ ）
A.命题“ x∈R，x2＞－1”的否定是“ x∈R，x2＜－1”
B.命题“ x∈{x｜x＞－3}，x2≤9”的否定是“ x∈{x｜x＞－3}，x2＞9”
C.“x2＞y2”是“x＞y”的必要不充分条件
D.“m＜0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根”的充要条件
12.某中学开展小组合作学习模式，高一某班某组甲同学给组内乙同学出题如下：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围，乙略加思索，反手给了甲一道题：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m＞0”是真命题，求m的取值范围.你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致？ （填“是”或“否”）.
13.已知命题p： x∈{x｜1≤x≤3}，都有m≥x；命题q： x∈{x｜1≤x≤3}，使m≥x.若命题p为真命题，q的否定为假命题，则实数m的取值范围是 .
14.已知方程（a＋5）x2＋2（a＋1）x＋a－5＝0.
（1）若 a∈R，使方程只有一个实根，求a的值；
（2）若 a∈M，方程至少有一个实根，求集合M.
15.已知命题p： x∈{x｜1≤x≤2}，x2＋x－a≥0，命题q： x∈R，x2＋3x＋2－a＝0.
（1）当p为假命题时，求实数a的取值范围；
（2）若p和q中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围.
2 / 21.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
知识点一｜命题的否定与全称量词命题的否定
问题1 阅读下面的命题，并回答提出的问题：
①所有的矩形都是平行四边形；
②每一个素数都是奇数.
（1）试写出上面命题的否定，并指出真假；
提示：①并非所有的矩形都是平行四边形，假命题.
②存在一个素数不是奇数，真命题.
（2）上述命题的否定与原命题在形式上有什么变化？
提示：这两个命题都是全称量词命题，其否定都变成了存在量词命题.
【知识梳理】
1.命题的否定
（1）定义：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定.命题p的否定可用“ p”来表示，读作非p.
（2）常见词语的否定词语
原词 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 至多有一个 至多有n个 至少有一个
否定 不等于（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 至少有两个 至少有（n＋1）个 一个 也没有
提醒：（1）命题p的否定就是条件不变，只否定结论；（2）注意非p与p的否命题的区别.
2.全称量词命题的否定
全称量词命题 它的否定 结论
x∈M，p（x） x∈M， p（x） 全称量词命题的否定是 存在量词 命题
【例1】 （链接教材P29例3）写出下列全称量词命题的否定：
（1）所有能被2整除的整数都是偶数；
解：该命题的否定：存在一个能被2整除的整数不是偶数.
（2）每一个三角形的三个顶点在同一个圆上；
解：该命题的否定：存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上.
（3） x∈R，5x－12＝0.
解：该命题的否定： x∈R，5x－12≠0.
【规律方法】
全称量词命题否定的关注点
（1）全称量词命题： x∈M，p（x），它的否定： x∈M， p（x），即“改变量词，否定结论”；
（2）全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定.
训练1 写出下列命题的否定并判断真假：
（1）等圆的面积相等；
解：该命题可以表述为“所有等圆的面积相等”，其否定是“存在一对等圆，其面积不相等”.由等圆的概念知原命题的否定是假命题.
（2）对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3；
解：该命题的否定：至少存在一个x∈Z，x2的个位数等于3，因为02＝0，12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，…，所以这是一个假命题.
（3）平面内与同一条直线垂直的两条直线平行.
解：命题省略了全称量词“任意”，即“平面内任意两条与同一条直线垂直的直线平行”，因此其否定为“平面内存在两条与同一条直线垂直的直线不平行”，是假命题.
知识点二｜存在量词命题的否定
问题2 阅读下面的命题，并回答提出的问题：
①存在一个实数的绝对值是正数；
②有些平行四边形是菱形.
（1）试写出上面命题的否定；
提示：①不存在一个实数，它的绝对值是正数.
②没有一个平行四边形是菱形.
（2）上述命题的否定与原命题在形式上有什么变化？
提示：这两个命题都是存在量词命题，其否定都变成了全称量词命题.
【知识梳理】
存在量词命题 它的否定 结论
x∈M，p（x） x∈M p（x） 存在量词命题的否定是 全称量词 命题
【例2】 （链接教材P30例4）写出下列命题的否定并判断真假：
（1）p： a∈R，一次函数y＝x＋a的图象经过原点；
解： p： a∈R，一次函数y＝x＋a的图象不经过原点.因为当a＝0时，一次函数y＝x＋a的图象经过原点，所以 p是假命题.
（2）q：有的有理数没有倒数；
解： q：所有的有理数都有倒数.因为0为有理数且没有倒数，所以 q为假命题.
（3）s：有些三角形是锐角三角形.
解： s：所有三角形都不是锐角三角形（或任意三角形都不是锐角三角形），假命题.
【规律方法】
存在量词命题否定的关注点
（1）存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即 x∈M，p（x），它的否定： x∈M， p（x），即改变量词，否定结论；
（2）存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定.
训练2 写出下列存在量词命题的否定：
（1） x∈R，x＋1≤0；
解：该命题的否定： x∈R，x＋1＞0.
（2）有的三角形是等腰三角形；
解：该命题的否定：所有的三角形都不是等腰三角形.
（3）有一个偶数是素数.
解：该命题的否定：任意一个偶数都不是素数.
提能点｜根据命题的否定求参数范围
【例3】 已知命题p：“ x∈R，x2－2x＋m≤0”是假命题，求实数m的取值范围.
解：法一 p： x∈R，x2－2x＋m＞0是真命题，即m＞－x2＋2x＝－（x－1）2＋1，x∈R恒成立，
设函数y＝－（x－1）2＋1，由二次函数的性质知，
当x＝1时，ymax＝1，∴m＞ymax＝1，
即实数m的取值范围是{m｜m＞1}.
法二 p： x∈R，x2－2x＋m＞0是真命题，设函数y＝x2－2x＋m，
由二次函数的图象和性质知，只需方程x2－2x＋m＝0的根的判别式Δ＜0，
即4－4m＜0，得m＞1，
即实数m的取值范围是{m｜m＞1}.
变式 若命题“ x∈R，使得x2－2x＋m＝0”为真命题，则m的取值范围是{m｜m≤1}.
解析： x∈R，使得x2－2x＋m＝0，即关于x的方程x2－2x＋m＝0有实根，∴Δ＝4－4m≥0，解得m≤1.
【规律方法】
由命题的否定求参数范围的两个关注点
（1）命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化；
（2）求参数范围问题，通常根据有关全称量词命题和存在量词命题的意义列不等式求范围.
训练3 已知命题p： x∈{x｜－3≤x≤2}，都有x∈{x｜a－4≤x≤a＋5}，且 p是假命题，求实数a的取值范围.
解： p是假命题即p是真命题，
即 x∈{x｜－3≤x≤2}，x∈{x｜a－4≤x≤a＋5}成立，
所以解得－3≤a≤1，
所以实数a的取值范围为{a｜－3≤a≤1}.
1. 命题“ x＞1，x2－x＞0”的否定为（ ）
A. x＞1，x2－x≤0 B. x＞1，x2－x≤0
C. x≤1，x2－x≤0 D. x≤1，x2－x≤0
解析：B 命题“ x＞1，x2－x＞0”的否定是“ x＞1，x2－x≤0”.故选B.
2.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ）
A.任意一个无理数，它的平方不是有理数
B.任意一个无理数，它的平方是有理数
C.存在一个无理数，它的平方是有理数
D.存在一个无理数，它的平方不是有理数
解析：A 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”.故选A.
3.命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”，用符号表示为 x，y∈R，x＋y＞1，此命题的否定是假（填“真”或“假”）命题.
解析：此命题用符号表示为 x，y∈R，x＋y＞1，此命题的否定是 x，y∈R，x＋y≤1，原命题为真命题，它的否定为假命题.
4.已知命题p： x＞0，x＋a－1＝0，若p为假命题，求a的取值范围.
解：由题意得， p为真命题，
即 x＞0，x＋a－1≠0，
则当x＞0时，1－a≠x，
故1－a≤0，解得a≥1.
故a的取值范围为{a｜a≥1}.
课堂小结
1.理清单 （1）全称量词命题、存在量词命题的否定及命题真假的判断； （2）根据命题的否定求参数. 2.应体会 利用p与 p的真假性相反的规律，巧妙解决参数问题，体现转化思想. 3.避易错 （1）命题否定可能不唯一； （2）全称量词“都是”的否定是“不都是”.
1.命题“任意x∈A，2x∈B”的否定为（ ）
A.任意x∈A，2x B B.任意x A，2x B
C.存在x A，2x∈B D.存在x∈A，2x B
解析：D 命题“任意x∈A，2x∈B”是一个全称量词命题，其命题的否定为“存在x∈A，2x B”，故选D.
2.已知命题p： x∈R，｜x｜≥0，则下列说法正确的是（ ）
A.p的否定是存在量词命题，且是真命题
B.p的否定是全称量词命题，且是假命题
C.p的否定是全称量词命题，且是真命题
D.p的否定是存在量词命题，且是假命题
解析：D 命题p是全称量词命题，且是真命题，故p的否定是存在量词命题，且是假命题.
3.对某次考试，有命题p：所有学生都会做第1题，那么命题p的否定是（ ）
A.所有学生都不会做第1题
B.存在一个学生不会做第1题
C.存在一个学生会做第1题
D.至少有一个学生会做第1题
解析：B 根据全称量词命题的否定是存在量词命题，命题p：所有学生都会做第1题的否定是存在一个学生不会做第1题.故选B.
4.已知命题p： x∈R，x＜｜x｜＜x3，命题q： x∈R，x2－5x＋4＝0，则下列命题中为真命题的是（ ）
A.p，q B. p，q
C.p， q D. p， q
解析：B 对于命题p，采用特殊值法，取x＝1，可知p为假命题，则 p为真命题；命题q：当x0＝1时，－5x0＋4＝0成立，故q为真命题，则 q为假命题.故选B.
5.〔多选〕关于命题p：“ x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是（ ）
A. p： x∈R，x2＋1＝0
B. p： x∈R，x2＋1＝0
C.p是真命题， p是假命题
D.p是假命题， p是真命题
解析：AC 命题p：“ x∈R，x2＋1≠0”的否定是“ x∈R，x2＋1＝0”.所以p是真命题， p是假命题.
6.〔多选〕下列说法正确的有（ ）
A.命题“ x∈R，1＜y≤2”的否定是“ x∈R，y≤1或y＞2”
B.“至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立”是全称量词命题
C.“ x∈R，x－2＞”是真命题
D.“ x∈R，x2＞0”的否定是真命题
解析：ACD 由存在量词命题的否定是全称量词命题，知选项A中说法正确；“至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立”是存在量词命题，故选项B中说法错误；当x＝9时，x－2＞，即7＞3成立，故选项C中说法正确；命题“ x∈R，x2＞0”的否定是“ x∈R，x2≤0”，当x＝0时，x2≤0成立，故选项D中说法正确.
7.“有一个平行四边形，它的对角线不相等”的否定是假命题（填“真”或“假”）.
解析：原命题是一个真命题，因此其否定是一个假命题.
8.已知命题“ x≥2，2x－3＜a”是假命题，则实数a的取值范围是{a｜a≤1}.
解析：由题意可知， x≥2，2x－3≥a为真命题，故a≤（2x－3）min＝2×2－3＝1.
9.已知命题p：“ x≥3，2x－1≥m”是真命题，则实数m的最大值是5.
解析：当x≥3时，2x≥6 2x－1≥5，因为“ x≥3，2x－1≥m”是真命题，所以m≤5.
10.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否定，并判断这些命题的否定的真假.
（1）对任意的实数x，都有x2≥｜x｜；
（2）存在实数x，使得x2＋x－2≤0；
（3）所有有理数的平方都是有理数；
（4）方程x2－3x＋1＝0的每一个根都是正数.
解：（1）全称量词命题.
原命题的否定：存在一个实数x，使得x2＜｜x｜.原命题的否定是真命题.
（2）存在量词命题.
原命题的否定：对任意的实数x，都有x2＋x－2＞0.原命题的否定是假命题.
（3）全称量词命题.
原命题的否定：存在一个有理数，它的平方不是有理数，是假命题.
（4）全称量词命题.
原命题的否定：方程x2－3x＋1＝0至少有一个根不是正数.原命题的否定是假命题.
11.〔多选〕下列说法正确的是（ ）
A.命题“ x∈R，x2＞－1”的否定是“ x∈R，x2＜－1”
B.命题“ x∈{x｜x＞－3}，x2≤9”的否定是“ x∈{x｜x＞－3}，x2＞9”
C.“x2＞y2”是“x＞y”的必要不充分条件
D.“m＜0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根”的充要条件
解析：BD 命题“ x∈R，x2＞－1”的否定是“ x∈R，x2≤－1”，故A错误；命题“ x∈{x｜x＞－3}，x2≤9”的否定是“ x∈{x｜x＞－3}，x2＞9”，B正确；x2＞y2 ｜x｜＞｜y｜，｜x｜＞｜y｜不能推出x＞y，x＞y也不能推出｜x｜＞｜y｜，所以“x2＞y2”是“x＞y”的既不充分也不必要条件，故C错误；关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根 m＜0，所以“m＜0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根”的充要条件，D正确，故选B、D.
12.某中学开展小组合作学习模式，高一某班某组甲同学给组内乙同学出题如下：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围，乙略加思索，反手给了甲一道题：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m＞0”是真命题，求m的取值范围.你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致？是（填“是”或“否”）.
解析：因为命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“ x∈R，x2＋2x＋m＞0”为真命题，所以两位同学题中m的取值范围是一致的.
13.已知命题p： x∈{x｜1≤x≤3}，都有m≥x；命题q： x∈{x｜1≤x≤3}，使m≥x.若命题p为真命题，q的否定为假命题，则实数m的取值范围是{m｜m≥3}.
解析：因为q的否定为假命题，所以q为真命题，所以m≥1.因为命题p为真命题，所以m≥3，故实数m的取值范围为{m｜m≥3}∩{m｜m≥1}＝{m｜m≥3}.
14.已知方程（a＋5）x2＋2（a＋1）x＋a－5＝0.
（1）若 a∈R，使方程只有一个实根，求a的值；
（2）若 a∈M，方程至少有一个实根，求集合M.
解：（1）当a＋5＝0，即a＝－5时，方程化为－8x－10＝0，解得x＝－，符合题意；
当a＋5≠0，即a≠－5时，方程只有一个实根，
则Δ＝4（a＋1）2－4（a2－25）＝8（a＋13）＝0，解得a＝－13.
综上所述，a的值为－5或－13.
（2）由（1）知，a＝－5时符合题意；
当a≠－5时，方程至少有一个实根，则Δ＝8（a＋13）≥0，解得a≥－13.
综上所述，集合M＝{a｜a≥－13}.
15.已知命题p： x∈{x｜1≤x≤2}，x2＋x－a≥0，命题q： x∈R，x2＋3x＋2－a＝0.
（1）当p为假命题时，求实数a的取值范围；
（2）若p和q中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围.
解：（1）由p为假命题，得 p为真命题，
即 x∈{x｜1≤x≤2}，x2＋x－a＜0，
即a＞x2＋x在x∈{x｜1≤x≤2}时有解，
所以a＞（x2＋x）min，x∈{x｜1≤x≤2}，
易知当x＝1时，（x2＋x）min＝2，
所以a＞2，即实数a的取值范围是{a｜a＞2}.
（2）由（1）可知，当p为真命题时，a≤2；当p为假命题时，a＞2.
当q为真命题时，方程x2＋3x＋2－a＝0在x∈R上有解，故Δ＝9－4（2－a）≥0，解得a≥－；
当q为假命题时，a＜－.
所以当p为真命题，q为假命题时，a＜－；当p为假命题，q为真命题时，a＞2.
所以当p和q中有且只有一个是真命题时，实数a的取值范围是{a｜a＜－或a＞2}.
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