模块综合检测
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知命题p： x＞0，2x＞x2，则 p是（ ）
A. x＞0，2x≤x2
B. x＞0，2x＜x2
C. x＞0，2x≤x2
D. x＞0，2x＜x2
2.已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y｜y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝（ ）
A.{1，3} B.{1，2}
C.{2，3} D.{1，2，3}
3.若函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2－6x，则f（－1）＝（ ）
A.－7 B.－5
C.5 D.7
4.已知点P（m，1）是角α终边上的一点，且sin α＝，则m的值为（ ）
A.2 B.－2
C.2或2 D.2或－2
5.已知函数f（x）＝则f（f（））＝（ ）
A.－ B.
C. D.
6.已知log189＝a，18b＝5，则log4581＝（ ）
A.－ B.
C. D.
7.物体冷却时的温度变化可用以下公式来刻画：设环境温度为T0 ℃，物体的初始温度是T1 ℃，经过t min后物体的温度为T ℃，则T＝T0＋（T1－T0）·2kt.现将一杯90 ℃的热茶放在20 ℃的房间中冷却，假设经过10 min热茶降温到55 ℃，那么继续降温到41 ℃还需要的时间约为（结果精确到0.1，参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477）（ ）
A.6.4 min B.6.6 min
C.7.4 min D.7.6 min
8.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若 a，b∈[0，＋∞），且a≠b，都有＜0成立，则不等式f（）－（2t2－t）f（2t－1）＞0的解集为（ ）
A.（－1，0）∪（，＋∞）
B.（－，0）∪（1，＋∞）
C.（－∞，－1）∪（，＋∞）
D.（－∞，－）∪（1，＋∞）
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（ ）
A.a2＞b2 B.＞
C.2a＞2b D.lg a＞lg b
10.已知函数f（x）＝tan（x＋），则（ ）
A.f（x）的最小正周期为π
B.f（x）的定义域为{x｜x≠＋kπ，k∈Z}
C.若f（θ）＝1，则θ＝kπ（k∈Z）
D.f（x）在其定义域上是增函数
11.定义：N{f（x） g（x）}表示f（x）＜g（x）的解集中整数的个数.若f（x）＝｜log2x｜，g（x）＝a（x－1）2＋2，则下列说法正确的是（ ）
A.当a＞0时，N{f（x） g（x）}＝0
B.当a＝0时，不等式f（x）＜g（x）的解集是（，4）
C.当a＝0时，N{f（x） g（x）}＝3
D.当a＜0时，若N{f（x） g（x）}＝1，则实数a的取值范围是（－∞，－1]
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.不等式≥1的解集为 .
13.若函数f（x）＝（a＞0，且a≠1）的值域是[4，＋∞），则实数a的取值范围是 .
14.在数学中连乘符号是“∏”，这个符号就是连续求积的意思，把满足“∏”这个符号下面条件的所有项都乘起来，例如：i＝1×2×3×…×n.函数f（n）＝log（n＋1）（n＋2）（n∈N*），定义使f（i）为整数的数k（k∈N*）叫做企盼数，则在区间[1，2 025]内，这样的企盼数共有 个.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知f（θ）＝.
（1）化简f（θ），并求f（）的值；
（2）若f（θ）＝3，求2sin2θ－3sin θcos θ的值.
16.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝cos4x＋sin xcos x－sin4x＋m的最大值为.
（1）求常数m的值，并求函数f（x）取最大值时相应x的集合；
（2）求函数f（x）的单调递增区间.
17.（本小题满分15分）地铁作为城市交通的重要组成部分，以其准时、高效的优点广受青睐.某城市新修建了一条地铁线路，经调研测算，每辆列车的载客量h（单位：人）与发车时间间隔t（单位：分钟，且3≤t≤30）有关：当发车时间间隔达到或超过15分钟时，列车均为满载状态，载客量为1 700人；当发车时间间隔不超过15分钟时，地铁载客量h与（2t－＋5）成正比.假设每辆列车的日均车票收入y＝（单位：万元）.
（1）求y关于t的函数表达式；
（2）当发车时间间隔为何值时，每辆列车的日均车票收入最大？并求出该最大值.
18.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝log3（cx＋1）＋kx（k∈R）是偶函数，且当k＝0时，函数y＝f（x）的图象与函数h（x）＝bx－1－1＋log310（b＞0且b≠1）的图象都恒过同一个定点.
（1）求k和c的值；
（2）设函数g（x）＝log3（3a·3x－4a）（a∈R），若方程f（x）＝g（x）＋k有且只有一个实数解，求实数a的取值范围.
19.（本小题满分17分）中心对称函数指的是图形关于某个定点成中心对称的函数，我们学过的奇函数便是一类特殊的中心对称函数，它的对称中心为坐标原点.类比奇函数的代数定义，我们可以定义中心对称函数：设函数y＝f（x）的定义域为D，若对 x∈D，都有f（2m－x）＋f（x）＝2n，则称函数f（x）为中心对称函数，其中（m，n）为函数f（x）的对称中心.比如，函数y＝＋1就是中心对称函数，其对称中心为（0，1）.
（1）判断f（x）＝是否为中心对称函数（不用写理由），若是，请写出对称中心；
（2）若定义在[π，2π]上的函数f（x）＝sin（2x＋φ）为中心对称函数，求φ的值；
（3）判断函数g（x）＝是否为中心对称函数，若是，求出其对称中心；若不是，请说明理由.
2 / 3模块综合检测
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知命题p： x＞0，2x＞x2，则 p是（ ）
A. x＞0，2x≤x2 B. x＞0，2x＜x2
C. x＞0，2x≤x2 D. x＞0，2x＜x2
解析：C p： x＞0，2x≤x2.故选C.
2.已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y｜y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝（ ）
A.{1，3} B.{1，2}
C.{2，3} D.{1，2，3}
解析：A 因为A＝{1，2，3}，B＝{y｜y＝2x－1，x∈A}，所以B＝{1，3，5}，所以A∩B＝{1，3}，故选A.
3.若函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2－6x，则f（－1）＝（ ）
A.－7 B.－5
C.5 D.7
解析：C 因为f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2－6x，所以当x＜0时，f（x）＝－f（－x）＝－[（－x）2－6（－x）]＝－x2－6x，所以f（－1）＝－1＋6＝5，故选C.
4.已知点P（m，1）是角α终边上的一点，且sin α＝，则m的值为（ ）
A.2 B.－2
C.2或2 D.2或－2
解析：D 因为点P（m，1）是角α终边上的一点，且sin α＝，所以sin α＝＝，解得m＝2或m＝－2，故选D.
5.已知函数f（x）＝则f（f（））＝（ ）
A.－ B.
C. D.
解析：B 由题设，f（）＝－＋3＝，所以f（f（））＝f（）＝2－＝，故选B.
6.已知log189＝a，18b＝5，则log4581＝（ ）
A.－ B.
C. D.
解析：C 由log189＝a，18b＝5，所以a＝log189，b＝log185，所以log4581＝＝＝，故选C.
7.物体冷却时的温度变化可用以下公式来刻画：设环境温度为T0 ℃，物体的初始温度是T1 ℃，经过t min后物体的温度为T ℃，则T＝T0＋（T1－T0）·2kt.现将一杯90 ℃的热茶放在20 ℃的房间中冷却，假设经过10 min热茶降温到55 ℃，那么继续降温到41 ℃还需要的时间约为（结果精确到0.1，参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477）（ ）
A.6.4 min B.6.6 min
C.7.4 min D.7.6 min
解析：C 根据题意：55＝20＋（90－20）×210k，解得k＝－，41＝20＋（55－20）×2tk，即＝，t＝－10log2＝－10×＝－10×≈7.4，故选C.
8.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若 a，b∈[0，＋∞），且a≠b，都有＜0成立，则不等式f（）－（2t2－t）f（2t－1）＞0的解集为（ ）
A.（－1，0）∪（，＋∞） B.（－，0）∪（1，＋∞）
C.（－∞，－1）∪（，＋∞） D.（－∞，－）∪（1，＋∞）
解析：D 令g（x）＝xf（x），由题意知g（x）在[0，＋∞）上单调递减，又f（x）为R上的偶函数，所以g（x）为R上的奇函数，又g（x）在[0，＋∞）上单调递减，g（0）＝0，所以g（x）在R上为减函数，①当t＞0时，f（）＞（2t－1）f（2t－1），即g（）＞g（2t－1），所以＜2t－1，所以1＜2t2－t，解得t＞1；②当t＜0时，f（）＜（2t－1）f（2t－1），即g（）＜g（2t－1），所以＞2t－1，所以1＜2t2－t，解得t＜－.所以t＜－或t＞1.故选D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（ ）
A.a2＞b2 B.＞
C.2a＞2b D.lg a＞lg b
解析：ACD 因为a＞b＞0，所以a2＞b2，故A正确；因为a＞b＞0，利用不等式性质可得＜，故B错误；因为y＝2x在R上为增函数，a＞b＞0，所以2a＞2b，故C正确；因为y＝lg x在（0，＋∞）上为增函数，a＞b＞0，所以lg a＞lg b，故D正确.故选A、C、D.
10.已知函数f（x）＝tan（x＋），则（ ）
A.f（x）的最小正周期为π
B.f（x）的定义域为{x｜x≠＋kπ，k∈Z}
C.若f（θ）＝1，则θ＝kπ（k∈Z）
D.f（x）在其定义域上是增函数
解析：ABC A：f（x）＝tan（x＋），函数f（x）的最小正周期为T＝＝π，故A正确；B：由x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋kπ，k∈Z，所以函数f（x）的定义域为{x｜x≠＋kπ，k∈Z}，故B正确；C：f（θ）＝tan（θ＋）＝1，得θ＋＝＋kπ，k∈Z，解得θ＝kπ，k∈Z，故C正确；D：由－＋kπ＜x＋＜＋kπ，k∈Z，解得－＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z，所以函数f（x）在（－＋kπ，＋kπ）上单调递增，故D错误.故选A、B、C.
11.定义：N{f（x） g（x）}表示f（x）＜g（x）的解集中整数的个数.若f（x）＝｜log2x｜，g（x）＝a（x－1）2＋2，则下列说法正确的是（ ）
A.当a＞0时，N{f（x） g（x）}＝0
B.当a＝0时，不等式f（x）＜g（x）的解集是（，4）
C.当a＝0时，N{f（x） g（x）}＝3
D.当a＜0时，若N{f（x） g（x）}＝1，则实数a的取值范围是（－∞，－1]
解析：BCD 根据题意，N{f（x） g（x）}可转化为满足｜log2x｜＜a（x－1）2＋2的整数x的个数.当a＞0时，如图1，数形结合得f（x）＜g（x）的解集中整数的个数有无数多个，故A错误；当a＝0时，g（x）＝2，数形结合（如图2），由f（x）＜2解得＜x＜4，
所以在（，4）内有3个整数解，为1，2，3，故B和C都正确；当a＜0时，作出函数f（x）＝｜log2x｜和g（x）＝a（x－1）2＋2的图象，如图3所示，若N{f（x） g（x）}＝1，即｜log2x｜＜a（x－1）2＋2的整数解只有一个，
只需满足
即解得a≤－1，所以N{f（x） g（x）}＝1时，实数a的取值范围是（－∞，－1]，故D正确.故选B、C、D.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.不等式≥1的解集为（1，2].
解析：≥1，即≤0，解得1＜x≤2.
13.若函数f（x）＝（a＞0，且a≠1）的值域是[4，＋∞），则实数a的取值范围是（1，2].
解析：因为f（x）＝所以当x≤2时，f（x）≥4.又函数f（x）的值域为[4，＋∞），所以当x＞2时，有解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是（1，2].
14.在数学中连乘符号是“∏”，这个符号就是连续求积的意思，把满足“∏”这个符号下面条件的所有项都乘起来，例如：i＝1×2×3×…×n.函数f（n）＝log（n＋1）（n＋2）（n∈N*），定义使f（i）为整数的数k（k∈N*）叫做企盼数，则在区间[1，2 025]内，这样的企盼数共有9个.
解析：令g（k）＝f（1）·f（2）·f（3）·…·f（k），∵f（k）＝log（k＋1）（k＋2）＝，∴g（k）＝××…×＝＝log2（k＋2），要使g（k）成为企盼数，则k＋2＝2n，n∈N*，∵k∈[1，2 025]，∴（k＋2）∈[3，2 027]，即2n∈[3，2 027]，∵22＝4，…，210＝1 024，211＝2 048，∴可取n＝2，3，…，10.所以在区间[1，2 025]内，这样的企盼数共有9个.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知f（θ）＝.
（1）化简f（θ），并求f（）的值；
（2）若f（θ）＝3，求2sin2θ－3sin θcos θ的值.
解：（1）f（θ）＝
＝
＝＝tan θ.
则f（）＝tan＝tan＝－tan＝－.
（2）由（1）知，f（θ）＝tan θ＝3，
则2sin2θ－3sin θcos θ
＝＝
＝＝＝.
16.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝cos4x＋sin xcos x－sin4x＋m的最大值为.
（1）求常数m的值，并求函数f（x）取最大值时相应x的集合；
（2）求函数f（x）的单调递增区间.
解：（1）f（x）＝cos4x＋sin xcos x－sin4x＋m
＝（cos2x＋sin2x）（cos2x－sin2x）＋sin 2x＋m
＝（cos2x－sin2x）＋sin 2x＋m
＝cos 2x＋sin 2x＋m
＝sin（2x＋）＋m.
当sin（2x＋）＝1时，函数f（x）取到最大值，
所以1＋m＝，即m＝，
令2x＋＝2kπ＋，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z，
所以当函数f（x）取最大值时x的集合为{x｜x＝kπ＋，k∈Z}.
（2）由（1）得f（x）＝sin（2x＋）＋，
所以令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数f（x）的单调递增区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z）.
17.（本小题满分15分）地铁作为城市交通的重要组成部分，以其准时、高效的优点广受青睐.某城市新修建了一条地铁线路，经调研测算，每辆列车的载客量h（单位：人）与发车时间间隔t（单位：分钟，且3≤t≤30）有关：当发车时间间隔达到或超过15分钟时，列车均为满载状态，载客量为1 700人；当发车时间间隔不超过15分钟时，地铁载客量h与（2t－＋5）成正比.假设每辆列车的日均车票收入y＝（单位：万元）.
（1）求y关于t的函数表达式；
（2）当发车时间间隔为何值时，每辆列车的日均车票收入最大？并求出该最大值.
解：（1）当15≤t≤30时，h＝1 700，y＝＝；
当3≤t＜15时，h＝k（2t－＋5），且当t＝15时，h＝k（2×15－＋5）＝1 700，解得k＝50，h＝50（2t－＋5），y＝＝12－＋，
故y＝
（2）当15≤t≤30时，y＝，当t＝15时有最大值为；
当3≤t＜15时，y＝12－＋＝－90（－）2＋，当t＝6时有最大值为.
综上所述：当t＝6时有最大值为.
18.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝log3（cx＋1）＋kx（k∈R）是偶函数，且当k＝0时，函数y＝f（x）的图象与函数h（x）＝bx－1－1＋log310（b＞0且b≠1）的图象都恒过同一个定点.
（1）求k和c的值；
（2）设函数g（x）＝log3（3a·3x－4a）（a∈R），若方程f（x）＝g（x）＋k有且只有一个实数解，求实数a的取值范围.
解：（1）因为函数h（x）＝bx－1－1＋log310（b＞0且b≠1）的图象恒过定点（1，log310），
当k＝0时，函数f（x）的图象与h（x）的图象过同一定点（1，log310），
所以log310＝log3（c＋1） c＝9，
又函数f（x）为偶函数，
所以f（－x）＝f（x），
即log3（9－x＋1）－kx＝log3（9x＋1）＋kx，
即log3＋2kx＝0 log39x＋2kx＝0，
所以2x＋2kx＝0 x（1＋k）＝0对x∈R恒成立，
所以1＋k＝0 k＝－1，
故c＝9，k＝－1.
（2）由题意方程f（x）＝g（x）＋k有且只有一个实数解，
即方程log3（9x＋1）－x＝log3（3a·3x－4a）－1有且只有一个实数解，
化简得（3a－3）（3x）2－4a·3x－3＝0有唯一的实数解，
令3x＝t＞0，则问题转化为方程（3a－3）t2－4at－3＝0只有一个正实数解，
则：①当3a－3＝0 a＝1时，方程化为－4t－3＝0 t＝－不满足题意.
②当3a－3≠0 a≠1时，（3a－3）t2－4at－3＝0为一元二次方程，
（ⅰ）若两正根相等则Δ＝（－4a）2－4（3a－3）（－3）＝0，解得a＝或a＝－3，
当a＝时，代入方程（3a－3）t2－4at－3＝0，
得t2＋4t＋4＝0 t＝－2不满足题意，
当a＝－3时，代入方程（3a－3）t2－4at－3＝0，得
4t2－4t＋1＝0 t＝满足题意.
（ⅱ）若方程有一正根一负根时，由根与系数的关系有两根之积小于0，
即－＜0 －＜0 a＞1满足题意，
综上所述，实数a的取值范围是{－3}∪（1，＋∞）.
19.（本小题满分17分）中心对称函数指的是图形关于某个定点成中心对称的函数，我们学过的奇函数便是一类特殊的中心对称函数，它的对称中心为坐标原点.类比奇函数的代数定义，我们可以定义中心对称函数：设函数y＝f（x）的定义域为D，若对 x∈D，都有f（2m－x）＋f（x）＝2n，则称函数f（x）为中心对称函数，其中（m，n）为函数f（x）的对称中心.比如，函数y＝＋1就是中心对称函数，其对称中心为（0，1）.
（1）判断f（x）＝是否为中心对称函数（不用写理由），若是，请写出对称中心；
（2）若定义在[π，2π]上的函数f（x）＝sin（2x＋φ）为中心对称函数，求φ的值；
（3）判断函数g（x）＝是否为中心对称函数，若是，求出其对称中心；若不是，请说明理由.
解：（1）根据题意，f（x）＝的定义域为{x｜x≠1}，f（x）＝＝2＋，因为对 x∈{x｜x≠1}，
都有f（2－x）＋f（x）＝2＋＋2＋＝4，
所以f（x）＝是中心对称函数，对称中心为（1，2）.
（2）若定义在[π，2π]上的函数f（x）＝sin（2x＋φ）为中心对称函数，
由定义域易知其对称中心的横坐标必为，
则f（x）＋f（3π－x）＝sin（2x＋φ）＋sin[2（3π－x）＋φ]＝sin（2x＋φ）＋sin（－2x＋φ）＝sin（2x＋φ）－sin（2x－φ）＝sin 2xcos φ＋cos 2xsin φ－sin 2x·cos φ＋cos 2xsin φ＝2cos 2xsin φ，
因为f（x）＝sin（2x＋φ）为中心对称函数，
则f（x）＋f（3π－x）为定值，则sin φ＝0，即f（x）＋f（3π－x）＝0，
所以f（x）＝sin（2x＋φ）关于点（，0）中心对称，又因为sin φ＝0，所以φ＝kπ（k∈Z）.
（3）函数g（x）是中心对称函数，其对称中心为点（－1，－1）.
解方程3x＋1－1＝0得x＝－1，所以函数g（x）的定义域为（－∞，－1）∪（－1，＋∞），
明显定义域仅关于点（－1，0）对称，
所以若函数g（x）＝是中心对称函数，则其对称中心的横坐标必为－1，
设其对称中心为点（－1，n），
则由题意可知有 x∈D，g（－2－x）＋g（x）＝2n，
令x＝－2，可得2n＝g（0）＋g（－2）＝1－3＝－2，所以n＝－1，
所以若函数g（x）为中心对称函数，其对称中心必定为点（－1，－1）.
下面证明函数g（x）＝的图象关于点（－1，－1）成中心对称图形：
即证明 x∈D，g（－2－x）＋g（x）＝－2，
g（－2－x）＋g（x）＝＋＝＋＝＋＝＝－2×＝－2，得证.
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