2.5.2 圆与圆的位置关系
课标要求
1.了解圆与圆的位置关系（直观想象）.
2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法（逻辑推理、数学运算）.
3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题（数学运算）.
情境导入
前面我们运用直线的方程、圆的方程，研究了直线与圆的位置关系.现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，能否定量计算研究圆与圆的位置关系？这就是这节课我们要学习的内容.
知识点一｜圆与圆的位置关系的判断
问题1 如图为某次拍到的日环食全过程，可以用两个圆来表示变化过程.
根据上图，结合平面几何，思考圆与圆的位置关系有几种？
提示：有三种，分别为相交、相切（含外切与内切）和相离（含外离与内含）.
【知识梳理】
1.代数法：设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0（＋－4F1＞0），
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0（＋－4F2＞0），
联立方程得则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含
2.几何法：若两圆半径分别为r1，r2，圆心距为d，则两圆有以下位置关系：
位置关系 公共点个数 圆心距与半径关系 图示
外离 0 d＞ r1＋r2
内含 d＜ ｜r1－r2｜
相交 2 ｜r1－r2｜ ＜d＜ r1＋r2
位置关系 公共点个数 圆心距与半径关系 图示
内切 1 d＝ ｜r1－r2｜
外切 d＝ r1＋r2
提醒：（1）判断两圆的位置关系时，应优先使用几何法，因为利用代数法判断两圆位置关系时，若方程组无解或有一组解时，无法准确判断两圆的位置关系；（2）两圆外离时有四条公切线，两圆外切时有三条公切线，两圆相交时有两条公切线，两圆内切时只有一条公切线，两圆内含时无公切线.
【例1】已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0（a＞0），圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0（a＞0）.试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：（1）相切；（2）相交；（3）外离；（4）内含.
解：圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：（x－a）2＋（y－1）2＝16，
C2：（x－2a）2＋（y－1）2＝1，
∴圆心C1（a，1），C2（2a，1），半径r1＝4，r2＝1.
∴｜C1C2｜＝＝a.
（1）当｜C1C2｜＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；
当｜C1C2｜＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切.
（2）当3＜｜C1C2｜＜5，即3＜a＜5时，两圆相交.
（3）当｜C1C2｜＞5，即a＞5时，两圆外离.
（4）当｜C1C2｜＜3，即0＜a＜3时，两圆内含.
【规律方法】
判断两圆的位置关系的两种方法
（1）几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是解析几何中主要使用的方法；
（2）代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系.
训练1 （1）两圆C1：x2＋（y－3）2＝4与C2：（x－4）2＋y2＝9的公切线有（ C ）
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
解析：由圆C1：x2＋（y－3）2＝4，圆C2：（x－4）2＋y2＝9，可得圆心C1（0，3），r1＝2；圆心C2（4，0），r2＝3，所以｜C1C2｜＝＝5＝r1＋r2，故两圆外切，共有3条公切线，故选C.
（2）（2025·滨州月考）若圆x2＋y2＝r2与x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r的取值范围是[－1，＋1].
解析：由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0得（x＋1）2＋（y－2）2＝1，两圆圆心之间的距离为＝.因为两圆有公共点，所以｜r－1｜≤≤r＋1，所以－1≤r≤＋1.
知识点二｜两圆相交问题
问题2 将☉C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与☉C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的方程相减，得到什么式子？两圆相交时，该式子有什么几何意义？
提示：两方程相减得（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0（*），它代表两圆的公共弦所在直线方程.
理由：设A（x1，y1），B（x2，y2）为两圆交点，则A，B坐标满足（*）式，那它就代表一条过A，B的直线，即公共弦方程.
【例2】已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.求两圆公共弦所在直线的方程及弦长.
解：设两圆交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
联立圆C1与圆C2的方程，
得
由①－②，得x－y＋4＝0.
∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程.
又圆C1的圆心为（－3，0），r＝，
∴C1到直线AB的距离d＝＝，
∴｜AB｜＝2＝2＝5，
即两圆的公共弦长为5.
【规律方法】
公共弦长的求法
（1）代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长；
（2）几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.
训练2 已知圆O1：x2＋y2＝4与圆O2：x2＋y2＋6x＝0相交于A，B两点，则四边形AO1BO2的面积是（ ）
A. B.2
C.4 D.
解析：C 将两圆方程相减，得直线AB的方程为6x＝－4，即x＝－，所以｜AB｜＝2＝.因为｜O1O2｜＝3，所以四边形AO1BO2的面积是S＝｜AB｜·｜O1O2｜＝4.
知识点三｜两圆相切问题
问题3 对于问题2，若两圆相切时，两圆方程相减，该式子有什么意义？
提示：两圆相切时，式子为过两圆公共切点的公切线所在直线的方程.
【例3】（1）求以（3，－4）为圆心，且与圆x2＋y2＝64内切的圆的方程为（x－3）2＋（y＋4）2＝9或（x－3）2＋（y＋4）2＝169；
解析：设所求圆的半径为r，则＝｜8－r｜，∴r＝3或r＝13，故所求圆的方程为（x－3）2＋（y＋4）2＝9或（x－3）2＋（y＋4）2＝169.
（2）与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M（3，－）的圆的方程为（x－4）2＋y2＝4或x2＋（y＋4）2＝36.
解析：设所求圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），∵所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，且圆x2＋y2－2x＝0的圆心为（1，0），半径为1，∴＝r＋1①.又所求圆与直线x＋y＝0相切于点M（3，－），故＝②，且＝r③.由①②③得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6.故所求圆的方程为（x－4）2＋y2＝4或x2＋（y＋4）2＝36.
【规律方法】
处理两圆相切问题的策略
（1）定性：即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑两圆内切还是外切；
（2）转化思想：即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值（内切时）或两圆半径之和（外切时）.
训练3 （1）与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点（3，－）的圆的方程为（x－4）2＋y2＝4；
解析：因为所求圆的圆心在x轴上，所以可设圆心坐标为（a，0），半径为r，则所求圆的方程为（x－a）2＋y2＝r2，又因为所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，且过点（3，－），所以解得所以所求圆的方程为（x－4）2＋y2＝4.
（2）已知圆C满足下列条件：①圆心C在第三象限；②与圆P：x2＋y2－6x＋4y＋4＝0外切；③圆C的一条切线方程为y＝1，则圆C的标准方程可能是（x＋3）2＋（y＋2）2＝9（答案不唯一）.（写出一个即可）
解析：设圆心坐标为（a，b），由①可知a＜0，b＜0，半径为r＞0，由②③可知整理可得a2－6a＋6b＋3＝6｜b－1｜（a＜0，b＜0），当b＝－2时，a＝－3，r＝3，所以其中一个同时满足条件①②③的圆C的标准方程是（x＋3）2＋（y＋2）2＝9.
曲线系方程
曲线系也叫曲线族或曲线束，是指具有某种性质的曲线的集合，曲线系方程是指含有参数的二元方程当参数在其取值范围内变化时分别对应的所有曲线，其中最简单的是具有某种性质的圆系方程.
1.以（a，b）为圆心的同心圆系方程为（x－a）2＋（y－b）2＝λ2（λ≠0）.
2.与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0同心的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋λ＝0（D2＋E2－4λ＞0）.
3.过同一定点（a，b）的圆系方程为（x－a）2＋（y－b）2＋λ1（x－a）＋λ2（y－b）＝0（λ1，λ2不同时为0）.
4.过圆O：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0（λ为参数）.
5.过圆O1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆O2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（不包括圆O2，λ为参数）.特别地，在该圆系方程中，①当λ＝－1时，方程（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0为两圆公共弦所在直线的方程；②当两圆相切（内切或外切）时，方程（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0为过两圆公共切点的公切线所在直线的方程.
【迁移应用】
1.求过两圆x2＋y2＋6x－4＝0与x2＋y2＋6y－28＝0的交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程.
解：设过两圆交点的圆系方程为x2＋y2＋6x－4＋λ（x2＋y2＋6y－28）＝0，
整理得（1＋λ）x2＋（1＋λ）y2＋6x＋6λy－4－28λ＝0.
∴圆心的坐标为（－，－）.
又圆心在直线x－y－4＝0上，∴－＋－4＝0，解得λ＝－7.
代入圆系方程得x2＋y2－x＋7y－32＝0.
2.求过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且面积最小的圆的方程.
解：过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点的圆系方程可设为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ（2x＋y＋4）＝0（λ∈R），
即[x＋（λ＋1）]2＋（y＋）2＝λ2－4λ＋4，
圆的半径为
＝
＝，故当λ＝时对应圆的半径最小，且最小半径为.
所以所求圆的方程为（x＋）2＋（y－）2＝.
1.两圆（x＋3）2＋（y－2）2＝4和（x－3）2＋（y＋6）2＝64的位置关系是（ ）
A.相离 B.相交
C.外切 D.内切
解析：C 圆心距d＝10＝R＋r，所以两圆外切.
2.（2025·温州月考）圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：（x－3）2＋（y＋4）2＝m2（m＞0）内切，则实数m的值为（ ）
A.4 B.5
C.6 D.7
解析：C C1：x2＋y2＝1，C2：（x－3）2＋（y＋4）2＝m2（m＞0），所以C1（0，0），r1＝1，C2（3，－4），r2＝m.因为圆C1与圆C2内切，所以｜C1C2｜＝｜r1－r2｜，即5＝｜1－m｜，因为m＞0，所以m＝6.故选C.
3.半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋（y－3）2＝1内切，则此圆的方程是（ ）
A.（x－4）2＋（y－6）2＝6
B.（x＋4）2＋（y－6）2＝6或（x－4）2＋（y－6）2＝6
C.（x－4）2＋（y－6）2＝36
D.（x＋4）2＋（y－6）2＝36或（x－4）2＋（y－6）2＝36
解析：D 由题意可设圆的方程为（x－a）2＋（y－6）2＝36，由题意，得＝5，所以a2＝16，所以a＝±4.故选D.
4.圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在直线的方程为x－y＋2＝0；公共弦长为2.
解析：由方程相减，得x－y＋2＝0，即为两圆公共弦所在的直线方程.又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝.由勾股定理得弦长的一半为＝，所以所求弦长为2.
课堂小结
1.理清单 （1）圆与圆位置关系的判断； （2）两圆相交问题； （3）两圆相切问题. 2.应体会 （1）判断两圆位置关系的方法有代数法和几何法； （2）解决两圆相切与公共弦问题常利用数形结合思想，可减少运算量. 3.避易错 解决两圆相切问题时，要分清两圆是内切还是外切.
1.圆O：x2＋y2＝2与圆M：x2＋y2＋2x－2y－6＝0的位置关系为（ ）
A.外离 B.相切
C.相交 D.内含
解析：B 因圆O：x2＋y2＝2的圆心为O（0，0），半径为r1＝，圆M：x2＋y2＋2x－2y－6＝0的圆心为M（－1，1），半径为r2＝2，又｜OM｜＝＝，所以｜OM｜＝r2－r1，所以圆O与圆M内切，故选B.
2.（2025·衡水月考）若圆C1：x2＋y2＋2x＋y＝0，圆C2：x2＋y2＋4x＋3y＋2＝0，则圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程是（ ）
A.x－1＝0 B.x＋y＋1＝0
C.x＋1＝0 D.x－y－1＝0
解析：B 由题设，将两圆方程作差，得（x2＋y2＋4x＋3y＋2）－（x2＋y2＋2x＋y）＝0，整理可得x＋y＋1＝0，即公共弦所在直线方程为x＋y＋1＝0.
3.（2025·厦门期中）若圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－1＝0恰有两条公共的切线，则m的取值范围为（ ）
A.（－13，3） B.（3，5）
C.（－∞，5） D.（－∞，3）
解析：A 由x2＋y2－2x＋4y＋m＝0，配方得（x－1）2＋（y＋2）2＝5－m，所以5－m＞0 m＜5，所以C1（1，－2），半径r1＝，由x2＋y2＋2x－1＝0 （x＋1）2＋y2＝2，所以C2（－1，0），半径r2＝，因为圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－1＝0恰有两条公共的切线，所以这两个圆相交，于是有｜r1－r2｜＜｜C1C2｜＜r1＋r2，得｜－｜＜＜＋，化简，得＜＜3，解得－13＜m＜3，而m＜5，所以实数m的取值范围为（－13，3），故选A.
4.若直线l与圆C1：（x＋1）2＋y2＝1，圆C2：（x－1）2＋y2＝4都相切，切点分别为A，B，则｜AB｜＝（ ）
A.1 B.
C. D.2
解析：C 如图所示，设直线l交x轴于点M，由于直线l与圆C1：（x＋1）2＋y2＝1，圆C2：（x－1）2＋y2＝4都相切，切点分别为A，B，则AC1⊥l，BC2⊥l，∴AC1∥BC2，∵｜BC2｜＝2＝2｜AC1｜，∴C1为MC2的中点，A为BM的中点，∴｜MC1｜＝｜C1C2｜＝2，由勾股定理可得｜AB｜＝｜MA｜＝＝.
5.已知O为坐标原点，点P在圆C：x2＋y2－2ax＋a2－4＝0上，且｜OP｜＝1，则a的取值范围为（ ）
A.[－3，－1] B.[1，3]
C.[－3，－1]∪[1，3] D.[－3，＋∞）
解析：C 圆C：x2＋y2－2ax＋a2－4＝0可化为（x－a）2＋y2＝4，由｜OP｜＝1，可知点P在圆x2＋y2＝1上，所以问题等价于圆x2＋y2＝1与圆C有交点，所以2－1≤｜a｜≤2＋1，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1.
6.〔多选〕若圆C与直线3x－4y－12＝0相切，且与圆x2－2x＋y2＝0相切于点A（2，0），则圆C的半径为（ ）
A.5 B.3
C. D.
解析：BD 圆x2－2x＋y2＝0的圆心为（1，0），半径为1，圆C与圆x2－2x＋y2＝0相切于点A（2，0），则圆C的圆心在x轴上，设圆心为（a，0），则由题意｜a－2｜＝，解得a＝－1或a＝，当a＝－1时，半径为｜－1－2｜＝3，当a＝时，半径为｜－2｜＝.故选B、D.
7.〔多选〕已知圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，则（ ）
A.圆O2与x轴相切
B.两圆公共弦所在直线的方程为x－y＋1＝0
C.有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线
D.两圆的公切线段长为
解析：ACD 圆O1：（x－1）2＋y2＝1的圆心为O1（1，0），半径r1＝1，圆O2：（x＋1）2＋（y－2）2＝4的圆心为O2（－1，2），半径r2＝2.对于A，显然圆O2与x轴相切，故A正确；对于B，易知两圆相交，将方程x2＋y2－2x＝0与x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相减，得公共弦所在直线的方程为4x－4y＋1＝0，故B错误；对于C，两圆相交，所以两圆的公切线只有两条，又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点P，即过点P可以作出两条与两圆都相切的直线，故C正确；对于D，因为｜O1O2｜＝2，r2－r1＝1，所以公切线段长为＝，故D正确.故选A、C、D.
8.圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为（x－3）2＋（y＋1）2＝16.
解析：设所求圆的方程为x2＋y2－4x－6＋λ（x2＋y2－4y－6）＝0（λ≠－1）.易求得所求圆的圆心坐标为（，），将其代入方程x－y－4＝0，得λ＝－.故所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0，即（x－3）2＋（y＋1）2＝16.
9.若☉O：x2＋y2＝5与☉O1：（x－m）2＋y2＝20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度为4.
解析：如图所示，在Rt△OO1A中，｜OA｜＝，｜O1A｜＝2，∴｜OO1｜＝5，∴｜AC｜＝＝2，∴｜AB｜＝4.
10.（2025·台州月考）已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.
（1）求证：圆C1和圆C2相交；
（2）求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
解：（1）证明：C1的标准方程是（x－1）2＋（y－3）2＝11，
则C1（1，3），r＝.
C2的标准方程是（x－5）2＋（y－6）2＝16，
则C2（5，6），R＝4.
｜C1C2｜＝＝5，
显然4－＜5＜4＋，所以两圆相交.
（2）两圆方程相减得8x＋6y－46＝0，即4x＋3y－23＝0为公共弦所在直线方程，
点C1到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝＝2，所以公共弦长l＝2＝2.
11.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆圆心的距离｜C1C2｜＝（ ）
A.4 B.4
C.8 D.8
解析：C 因为两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），所以两圆C1，C2的圆心都在y＝x上.设圆C1，C2的圆心坐标分别为（x1，x1），（x2，x2），则（4－x1）2＋（1－x1）2＝，（4－x2）2＋（1－x2）2＝，即x1，x2是方程（x－4）2＋（x－1）2＝x2的两根，即x1，x2是方程x2－10x＋17＝0的两根.所以x1＋x2＝10，x1x2＝17.所以｜C1C2｜＝｜x1－x2｜＝·＝8.
12.已知点A（1，0），B（1，6），圆C：x2＋y2－10x－12y＋m＝0，若在圆C上存在唯一的点P使∠APB＝90°，则m＝（ ）
A.－3或3 B.57
C.－3或57 D.3或57
解析：C 由题意得，只需以AB为直径的圆与圆C有且仅有一个公共点，即两圆相切.因为A（1，0），B（1，6），所以以AB为直径的圆M的方程为（x－1）2＋（y－3）2＝9，圆C：（x－5）2＋（y－6）2＝61－m.因为两圆相切，所以｜CM｜＝｜3±｜，即5＝｜3±｜，解得m＝57或m＝－3.
13.已知圆C：（x－2）2＋y2＝4，过点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当点P在直线x－y－1＝0上运动，直线AB过定点M，则点M的坐标为（－2，4）.
解析：由题意得圆心C（2，0），半径r＝2，点P在直线x－y－1＝0上运动，设点P（t，t－1），由题意知A，B在以PC为直径的圆上，圆的方程为（x－）2＋（y－）2＝，化简得x2＋y2－（t＋2）x－（t－1）y＋2t＝0，与圆C：（x－2）2＋y2＝4相减，得直线AB的方程为（2－t）x－（t－1）y＋2t＝0，即t（－x－y＋2）＋2x＋y＝0，由解得所以直线AB过定点M（－2，4）.
14.（2025·商丘月考）已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0.
（1）若直线l1过定点A（1，1），且与圆C相切，求l1的方程；
（2）若圆D的半径为3，圆心在直线l：x－y＋2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程.
解：（1）圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化为标准方程为（x－3）2＋（y－4）2＝4，
所以圆C的圆心为（3，4），半径为2.
①若直线l1的斜率不存在，即直线为x＝1，符合题意.
②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y－1＝k（x－1），即kx－y－k＋1＝0.
由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，
所以＝2，即＝2，解得k＝，所以直线方程为5x－12y＋7＝0.
综上，所求l1的方程为x＝1或5x－12y＋7＝0.
（2）依题意，设D（a，a＋2）.
又已知圆C的圆心为（3，4），半径为2，
由两圆外切，可知｜CD｜＝5，
所以＝5，
解得a＝－1或a＝6.
所以D（－1，1）或D（6，8），
所以所求圆D的方程为（x＋1）2＋（y－1）2＝9或（x－6）2＋（y－8）2＝9.
15.已知圆A：x2＋（y＋1）2＝1，圆B：（x－4）2＋（y－3）2＝1.
（1）过圆心A的直线l截圆B所得的弦长为，求直线l的斜率；
（2）若动圆P同时平分圆A与圆B的周长.
①求动圆圆心P的轨迹方程；
②问动圆P是否过定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.
解：（1）由题意知，直线l的斜率存在，且圆心A（0，－1），设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝kx－1，由弦长可得圆心B（4，3）到直线l的距离为，
即＝，化简得12k2－25k＋12＝0，
解得k＝或k＝.
（2）①由已知可得｜PA｜＝｜PB｜，故圆心P在线段AB的中垂线上.
∵直线AB的斜率为1，∴圆心P所在直线的斜率为－1，且该直线过点（2，1），∴圆心P在直线x＋y－3＝0上.即动圆圆心P的轨迹方程为x＋y－3＝0.
②设P（m，3－m），则动圆P的半径为＝，
∴动圆P的方程为（x－m）2＋（y＋m－3）2＝m2＋（3－m＋1）2＋1，
即x2＋y2－6y－8－2m（x－y－1）＝0.
由
得或故动圆P过定点（2＋，1＋），（2－，1－）.
1 / 102.5.2 圆与圆的位置关系
课标要求
1.了解圆与圆的位置关系（直观想象）. 2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法（逻辑推理、数学运算）. 3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题（数学运算）.
知识点一｜圆与圆的位置关系的判断
问题1 如图为某次拍到的日环食全过程，可以用两个圆来表示变化过程.
根据上图，结合平面几何，思考圆与圆的位置关系有几种？
【知识梳理】
1.代数法：设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0（＋－4F1＞0），
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0（＋－4F2＞0），
联立方程得则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含
2.几何法：若两圆半径分别为r1，r2，圆心距为d，则两圆有以下位置关系：
位置关系 公共点个数 圆心距与半径关系 图示
外离 0 d＞
内含 d＜
相交 2 ＜ d＜
内切 1 d＝
外切 d＝
提醒：（1）判断两圆的位置关系时，应优先使用几何法，因为利用代数法判断两圆位置关系时，若方程组无解或有一组解时，无法准确判断两圆的位置关系；（2）两圆外离时有四条公切线，两圆外切时有三条公切线，两圆相交时有两条公切线，两圆内切时只有一条公切线，两圆内含时无公切线.
【例1】 已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0（a＞0），圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0（a＞0）.试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：（1）相切；（2）相交；（3）外离；（4）内含.
【规律方法】
判断两圆的位置关系的两种方法
（1）几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是解析几何中主要使用的方法；
（2）代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系.
训练1 （1）两圆C1：x2＋（y－3）2＝4与C2：（x－4）2＋y2＝9的公切线有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
（2）（2025·滨州月考）若圆x2＋y2＝r2与x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r的取值范围是 .
知识点二｜两圆相交问题
问题2 将☉C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与☉C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的方程相减，得到什么式子？两圆相交时，该式子有什么几何意义？
【例2】 已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.求两圆公共弦所在直线的方程及弦长.
【规律方法】
公共弦长的求法
（1）代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长；
（2）几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.
训练2 已知圆O1：x2＋y2＝4与圆O2：x2＋y2＋6x＝0相交于A，B两点，则四边形AO1BO2的面积是（ ）
A. B.2
C.4 D.
知识点三｜两圆相切问题
问题3 对于问题2，若两圆相切时，两圆方程相减，该式子有什么意义？
【例3】 （1）求以（3，－4）为圆心，且与圆x2＋y2＝64内切的圆的方程为 ；
（2）与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M（3，－）的圆的方程为 .
【规律方法】
处理两圆相切问题的策略
（1）定性：即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑两圆内切还是外切；
（2）转化思想：即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值（内切时）或两圆半径之和（外切时）.
训练3 （1）与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点（3，－）的圆的方程为 ；
（2）已知圆C满足下列条件：①圆心C在第三象限；②与圆P：x2＋y2－6x＋4y＋4＝0外切；③圆C的一条切线方程为y＝1，则圆C的标准方程可能是 .（写出一个即可）
曲线系方程
曲线系也叫曲线族或曲线束，是指具有某种性质的曲线的集合，曲线系方程是指含有参数的二元方程当参数在其取值范围内变化时分别对应的所有曲线，其中最简单的是具有某种性质的圆系方程.
1.以（a，b）为圆心的同心圆系方程为（x－a）2＋（y－b）2＝λ2（λ≠0）.
2.与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0同心的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋λ＝0（D2＋E2－4λ＞0）.
3.过同一定点（a，b）的圆系方程为（x－a）2＋（y－b）2＋λ1（x－a）＋λ2（y－b）＝0（λ1，λ2不同时为0）.
4.过圆O：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0（λ为参数）.
5.过圆O1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆O2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（不包括圆O2，λ为参数）.特别地，在该圆系方程中，①当λ＝－1时，方程（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0为两圆公共弦所在直线的方程；②当两圆相切（内切或外切）时，方程（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0为过两圆公共切点的公切线所在直线的方程.
【迁移应用】
1.求过两圆x2＋y2＋6x－4＝0与x2＋y2＋6y－28＝0的交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程.
2.求过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且面积最小的圆的方程.
1.两圆（x＋3）2＋（y－2）2＝4和（x－3）2＋（y＋6）2＝64的位置关系是（ ）
A.相离 B.相交
C.外切 D.内切
2.（2025·温州月考）圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：（x－3）2＋（y＋4）2＝m2（m＞0）内切，则实数m的值为（）
A.4 B.5
C.6 D.7
3.半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋（y－3）2＝1内切，则此圆的方程是（ ）
A.（x－4）2＋（y－6）2＝6
B.（x＋4）2＋（y－6）2＝6或（x－4）2＋（y－6）2＝6
C.（x－4）2＋（y－6）2＝36
D.（x＋4）2＋（y－6）2＝36或（x－4）2＋（y－6）2＝36
4.圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在直线的方程为 ；公共弦长为 .
课堂小结
1.理清单 （1）圆与圆位置关系的判断； （2）两圆相交问题； （3）两圆相切问题. 2.应体会 （1）判断两圆位置关系的方法有代数法和几何法； （2）解决两圆相切与公共弦问题常利用数形结合思想，可减少运算量. 3.避易错 解决两圆相切问题时，要分清两圆是内切还是外切.
提示：完成课后作业 第二章 2.5 2.5.2
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