重点解读
1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题（数学抽象、数学运算）. 2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想（数学抽象）.
一、与距离有关的最值问题
【例1】 （1）已知半径为1的圆经过点（3，4），则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
（2）（2025·无锡月考）圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是 .
【规律方法】
1.求圆上的点到定点的最大、最小距离的步骤
（1）求圆心O与定点M间的距离dMO；
（2）根据圆的几何性质知，①当点M在圆外时，dmax＝dMO＋r，dmin＝dMO－r；②当点M在圆内时，dmax＝dMO＋r，dmin＝r－dMO.
2.求点到直线的距离、弦长及切线长的最值
（1）直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值为d－r，最大值为d＋r（d为圆心到直线的距离）；
（2）过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值为2，最大值为2r（d为圆心到直线的距离）；
（3）直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值为（d为圆心到直线的距离）.
训练1 （1）若过直线3x＋4y－2＝0上一点M向圆C：（x＋2）2＋（y＋3）2＝4作一条切线，切点为T，则｜MT｜的最小值为（ ）
A. B.4 C.2 D.2
（2）从点P（1，－2）向圆x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0作切线，当切线长最短时，m＝ .
二、与面积有关的最值问题
【例2】 直线y＝kx＋3与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则△OAB面积的最大值为（ ）
A.1 B.
C. D.
【规律方法】
求与圆有关的面积的最值问题，一般转化为寻求与圆的半径相关的函数关系或几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解.
训练2 直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆（x－2）2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（ ）
A.[2，6] B.[4，8]
C.[，3] D.[2，3]
三、利用数学表达式的几何性质求解最值问题
【例3】 已知x和y满足（x＋1）2＋y2＝，则x2＋y2的最大值与最小值分别为 .
变式 （1）本例条件不变，求的取值范围；
（2）本例条件不变，求x＋y的取值范围.
【规律方法】
与圆有关的最值问题的常见类型及解法
（1）形如u＝形式的最值问题，可转化为过点（x，y）和（a，b）的动直线斜率的最值问题；
（2）形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题；
（3）形如（x－a）2＋（y－b）2形式的最值问题，可转化为动点（x，y）到定点（a，b）的距离的平方的最值问题.
训练3 （2025·郑州月考）在平面直角坐标系Oxy中，已知（x1－2）2＋＝5，x2－2y2＋4＝0，则（x1－x2）2＋（y1－y2）2的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
1.已知直线l：x－y＋4＝0，圆C：（x－1）2＋（y－1）2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为（ ）
A. B.
C.1 D.3
2.若实数x，y满足（x＋5）2＋（y－12）2＝142，则x2＋y2的最小值为（ ）
A.2 B.1
C. D.
3.已知点O（0，0），A（0，2），点M是圆（x－3）2＋（y＋1）2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为（ ）
A. B.1
C. D.2
4.（2025·聊城质检）设点P（x，y）是圆：x2＋（y－3）2＝1上的动点，定点A（2，0），B（－2，0），则·的最大值为 .
课堂小结
1.理清单 （1）与距离有关的最值问题； （2）与面积有关的最值问题； （3）利用数学表达式的几何性质求解最值问题. 2.应体会 解决与圆有关的最值问题常利用数形结合法，转化为几何性质解决. 3.避易错 解题时忽略隐含条件导致范围变大.
提示：完成课后作业 第二章 培优课
2 / 2重点解读
1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题（数学抽象、数学运算）. 2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想（数学抽象）.
一、与距离有关的最值问题
【例1】（1）已知半径为1的圆经过点（3，4），则其圆心到原点的距离的最小值为（ A ）
A.4 B.5 C.6 D.7
解析：设圆心C（x，y），则＝1，化简得（x－3）2＋（y－4）2＝1，所以圆心C的轨迹是以M（3，4）为圆心，1为半径的圆，所以｜OC｜＋1≥｜OM｜＝＝5，所以｜OC｜≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取等号.
（2）（2025·无锡月考）圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是6.
解析：圆x2＋y2－4x－4y－10＝0可化为（x－2）2＋（y－2）2＝18，圆心为（2，2），半径为3.圆心（2，2）到直线x＋y－14＝0的距离为＝5＞3，所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2r＝6.
【规律方法】
1.求圆上的点到定点的最大、最小距离的步骤
（1）求圆心O与定点M间的距离dMO；
（2）根据圆的几何性质知，①当点M在圆外时，dmax＝dMO＋r，dmin＝dMO－r；②当点M在圆内时，dmax＝dMO＋r，dmin＝r－dMO.
2.求点到直线的距离、弦长及切线长的最值
（1）直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值为d－r，最大值为d＋r（d为圆心到直线的距离）；
（2）过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值为2，最大值为2r（d为圆心到直线的距离）；
（3）直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值为（d为圆心到直线的距离）.
训练1 （1）若过直线3x＋4y－2＝0上一点M向圆C：（x＋2）2＋（y＋3）2＝4作一条切线，切点为T，则｜MT｜的最小值为（ D ）
A. B.4
C.2 D.2
解析：根据题意，知圆C的圆心C（－2，－3），半径r＝2，｜MT｜＝＝，当｜MC｜取得最小值时，｜MT｜的值最小，而｜MC｜的最小值为C到直线3x＋4y－2＝0的距离，即｜MC｜min＝＝4，所以｜MT｜的最小值为＝2.故选D.
（2）从点P（1，－2）向圆x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0作切线，当切线长最短时，m＝1.
解析：圆x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0，可化为（x－m）2＋（y－1）2＝1，圆心C（m，1），半径为1，切线长最短时，｜CP｜最小，｜CP｜＝，∴m＝1时，｜CP｜最小，切线长最短.
二、与面积有关的最值问题
【例2】直线y＝kx＋3与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则△OAB面积的最大值为（ ）
A.1 B. C. D.
解析：B 设圆心到直线的距离为d（0＜d＜1），则｜AB｜＝2，所以S△ABO＝·2·d＝，由基本不等式，可得S△ABO＝≤＝，当且仅当d＝时，等号成立.
【规律方法】
求与圆有关的面积的最值问题，一般转化为寻求与圆的半径相关的函数关系或几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解.
训练2 直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆（x－2）2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（ ）
A.[2，6] B.[4，8]
C.[，3] D.[2，3]
解析：A 设圆心到直线AB的距离为d，则d＝＝2.设点P到直线AB的距离为d'.易知d－r≤d'≤d＋r，即≤d'≤3.又｜AB｜＝2，所以S△ABP＝·｜AB｜·d'＝d'，所以2≤S△ABP≤6.
三、利用数学表达式的几何性质求解最值问题
【例3】已知x和y满足（x＋1）2＋y2＝，则x2＋y2的最大值与最小值分别为，.
解析：由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值.原点O（0，0）到圆心C（－1，0）的距离d＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝.因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和.
变式 （1）本例条件不变，求的取值范围；
解：设k＝，变形为k＝，此式表示圆上一点（x，y）与点（0，0）连线的斜率，由k＝，可得y＝kx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d≤r，即≤，解得－≤k≤.即的取值范围是［－，］.
（2）本例条件不变，求x＋y的取值范围.
解：令y＋x＝b并将其变形为y＝－x＋b，问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值.当直线和圆相切时在y轴上的截距取得最大值和最小值，此时有＝，解得b＝±－1，即最大值为－1，最小值为－－1.即x＋y的取值范围是［－－1，－1］.
【规律方法】
与圆有关的最值问题的常见类型及解法
（1）形如u＝形式的最值问题，可转化为过点（x，y）和（a，b）的动直线斜率的最值问题；
（2）形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题；
（3）形如（x－a）2＋（y－b）2形式的最值问题，可转化为动点（x，y）到定点（a，b）的距离的平方的最值问题.
训练3 （2025·郑州月考）在平面直角坐标系Oxy中，已知（x1－2）2＋＝5，x2－2y2＋4＝0，则（x1－x2）2＋（y1－y2）2的最小值为（ ）
A. B. C. D.
解析：B 由已知得点（x1，y1）在圆（x－2）2＋y2＝5上，点（x2，y2）在直线x－2y＋4＝0上，故（x1－x2）2＋（y1－y2）2表示圆（x－2）2＋y2＝5上的点和直线x－2y＋4＝0上点的距离的平方，而距离的最小值为－＝，故（x1－x2）2＋（y1－y2）2的最小值为.
1.已知直线l：x－y＋4＝0，圆C：（x－1）2＋（y－1）2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为（ ）
A. B.
C.1 D.3
解析：A 由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心（1，1）到直线l的距离减去圆的半径，即－＝.
2.若实数x，y满足（x＋5）2＋（y－12）2＝142，则x2＋y2的最小值为（ ）
A.2 B.1
C. D.
解析：B x2＋y2表示圆上的点（x，y）与点（0，0）间距离的平方，又点（0，0）在圆内，所以由几何意义可知最小值为14－＝1.
3.已知点O（0，0），A（0，2），点M是圆（x－3）2＋（y＋1）2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为（ ）
A. B.1
C. D.2
解析：B 根据题意，得圆（x－3）2＋（y＋1）2＝4的圆心为（3，－1），半径r＝2，O（0，0），A（0，2），OA所在的直线是y轴，当M到直线AO的距离最小时，△OAM的面积最小，则M到直线AO的距离的最小值d＝3－2＝1，则△OAM的面积最小值S＝×｜OA｜×d＝1.
4.（2025·聊城质检）设点P（x，y）是圆：x2＋（y－3）2＝1上的动点，定点A（2，0），B（－2，0），则·的最大值为12.
解析：由题意，知＝（2－x，－y），＝（－2－x，－y），所以·＝x2＋y2－4，由于点P（x，y）是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋（y－3）2＝1，故x2＝－（y－3）2＋1，所以·＝－（y－3）2＋1＋y2－4＝6y－12.由圆的方程x2＋（y－3）2＝1，易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12.
课堂小结
1.理清单 （1）与距离有关的最值问题； （2）与面积有关的最值问题； （3）利用数学表达式的几何性质求解最值问题. 2.应体会 解决与圆有关的最值问题常利用数形结合法，转化为几何性质解决. 3.避易错 解题时忽略隐含条件导致范围变大.
1.（2025·清远月考）已知直线y＝kx＋m（m为常数）与圆x2＋y2＝4交于点M，N.当k变化时，若｜MN｜的最小值为2，则m＝（ ）
A.±1 B.±
C.± D.±2
解析：C 由题意可知，直线l：y＝kx＋m恒过定点A（0，m），由于l截圆的弦长最小值为2，即当直线l与直线OA垂直时（O为坐标原点），弦长取得最小值，于是22＝（×2）2＋｜OA｜2＝1＋m2，解得m＝±.
2.已知点P是直线l：3x＋4y－15＝0上的动点，由点P向圆O：x2＋y2＝1作切线，则切线长的最小值是（ ）
A.2 B.1
C. D.2
解析：D 圆O：x2＋y2＝1的圆心O（0，0），半径r＝1.切线长L＝＝，所以当OP的长度最小时，切线长L最小.当OP⊥l时，｜OP｜min＝＝3，所以Lmin＝2.
3.（2025·宁德月考）已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y＝0，动点P在圆C2：x2＋y2－4x－12＝0上，则△PC1C2面积的最大值为（ ）
A. B.2
C.3 D.4
解析：D 因为C1（－2，2），r1＝2，C2（2，0），r2＝4，所以｜C1C2｜＝＝2，当PC2⊥C1C2时，△PC1C2的面积最大，其最大值为×2×4＝4.
4.圆x2＋y2－4y－4＝0上恰有两点到直线x－y＋a＝0的距离为，则实数a的取值范围为（ ）
A.（－4，0） B.（4，8）
C.（－4，0）∪（4，8） D.（－4，8）
解析：C 圆的标准方程为x2＋（y－2）2＝8，所以圆心为C（0，2），半径r＝2，圆心C到已知直线的距离d＝＝.由题意得解得－4＜a＜0或4＜a＜8.
5.已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是（ ）
A.1＋ B.4
C.1＋3 D.7
解析：C 法一 由题意，得实数x，y满足（x－2）2＋（y－1）2＝9，表示圆心为点（2，1），半径为3的圆.设x－y＝t，则直线x－y－t＝0与圆（x－2）2＋（y－1）2＝9有公共点，所以圆心到直线x－y－t＝0的距离d＝≤3，解得1－3≤t≤1＋3.故选C.
法二 由题意，得实数x，y满足（x－2）2＋（y－1）2＝9.设x＝2＋3cos θ，y＝1＋3sin θ，θ∈[0，2π]，则x－y＝1＋3cos θ－3sin θ＝1＋3·cos（θ＋）≤1＋3，当θ＝时取等号.故选C.
6.（2025·茂名月考）如图所示，A，B是直线l上的两点，且AB＝2.两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B两点，C是两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成的图形面积S的取值范围为（ ）
A.（0，］ B.（0，π]
C.（0，2－］ D.（0，2－π]
解析：C 设两圆的半径为r，当两圆相切于C点时，所围成的图形面积最大，如图，此时，2r＝｜AB｜＝2，所以r＝1，所围成图形的面积S为矩形ABO2O1的面积减去一个半圆的面积，即S＝2－.随着r的增大，S逐渐趋于0，所以所求面积S的取值范围为（0，2－］.
7.〔多选〕已知点P在圆（x－5）2＋（y－5）2＝16上，点A（4，0），B（0，2），则（ ）
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时，｜PB｜＝3
D.当∠PBA最大时，｜PB｜＝3
解析：ACD 设圆（x－5）2＋（y－5）2＝16的圆心为M（5，5），由题易知直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝＝＞4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋，4＋＜5＋＝10，故A正确；易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4，－4＜ －4＝1，故B不正确；过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，｜PB｜＝＝＝3，当∠PBA最大时，点P与Q重合，｜PB｜＝3，故C、D都正确.综上，选A、C、D.
8.〔多选〕（2025·南京月考）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在△ABC中，已知AB＝AC，点B（－2，4），点C（5，－3），且其“欧拉线”与圆M：（x－5）2＋y2＝r2相切，则（ ）
A.“欧拉线”方程为x－y＋1＝0
B.圆M上点到“欧拉线”的最大距离为4
C.若点（x，y）在圆M上，则x＋y的最小值是1
D.若点（x，y）在圆M上，则x2＋y2－4x＋6y的取值范围是[－11，37]
解析：BCD 因为AB＝AC，故欧拉线即为BC的中垂线，又B（－2，4），C（5，－3），故BC的中点为（，），且kBC＝＝－1，故BC的中垂线方程为x－y－1＝0，故A错误；因为圆M：（x－5）2＋y2＝r2与欧拉线相切，故＝2＝r，所以圆M上的点到欧拉线的最大距离为2r＝4，故B正确；若点（x，y）在圆M上，设x＋y＝t，则≤2，故1≤t≤9，故t的最小值为1，故C正确；因为点（x，y）在圆M上，故（x－5）2＋y2＝8，即x2＋y2＝10x－17，故x2＋y2－4x＋6y＝6（x＋y）－17，由C的判断可得1≤x＋y≤9，故－11≤6（x＋y）－17≤37，故D正确.故选B、C、D.
9.已知实数x，y满足方程y＝，则的最大值为.
解析：方程y＝化为（x－2）2＋y2＝3（y≥0），表示的图形是一个半圆，令＝k，即y＝kx，如图所示，当直线与半圆相切时，k＝（负值舍去），所以的最大值为.
10.（2025·常州月考）设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P（x，y），则｜PA｜·｜PB｜的最大值是5.
解析：由条件，得A（0，0），B（1，3）.由x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0消去m，得动点P的轨迹方程为（x－）2＋（y－）2＝，易知OB为圆的一条直径，由图可知，PA⊥PB，所以｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2＝10，所以｜PA｜·｜PB｜≤＝5.
11.已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q（－2，3）.
（1）求｜MQ｜的最大值和最小值；
（2）若M（m，n），求的最大值和最小值.
解：（1）由圆C的方程x2＋y2－4x－14y＋45＝0化为标准方程得（x－2）2＋（y－7）2＝8，
∴圆心C的坐标为（2，7），半径r＝2，
又｜QC｜＝＝4，
∴｜MQ｜max＝4＋2＝6，
｜MQ｜min＝4－2＝2.
（2）由题可知表示直线MQ的斜率.
设直线MQ的方程为y－3＝k（x＋2），
即kx－y＋2k＋3＝0，
则＝k.
由直线MQ与圆C有交点，得≤2，
可得2－≤k≤2＋，
∴的最大值为2＋，最小值为2－.
12.已知圆C1：（x－1）2＋（y－2）2＝1，C2：（x－3）2＋（y－5）2＝3，点P，A，B分别在x轴和圆C1，C2上.
（1）判断两圆的位置关系；
（2）求｜PA｜＋｜PB｜的最小值.
解：（1）由题意，得C1（1，2），C2（3，5），r1＝1，r2＝，
∴｜C1C2｜＝＝，r1＋r2＝1＋，｜C1C2｜＞r1＋r2，
∴两圆的位置关系为相离.
（2）如图，作圆C2关于x轴的对称圆C'2，则C'2（3，－5），B的对称点为B'，
则｜PA｜＋｜PB｜的最小值为｜PA｜＋｜PB'｜的最小值，
即为｜C1C'2｜－r1－r2＝－1－＝－1－.
8 / 8
