章末检测（二） 直线和圆的方程
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知直线的倾斜角为45°，在x轴上的截距为2，则直线的方程为（ ）
A.y＝－x－2 B.y＝x－2
C.y＝x＋2 D.y＝－x＋2
解析：B 因为直线的倾斜角为45°，在x轴上的截距为2，所以该直线的斜率k＝tan 45°＝1，且过点（2，0），所以该直线的方程为y＝x－2.故选B.
2.若直线l1：x＋3y＋m＝0（m＞0）与直线l2：x＋3y－3＝0间的距离为，则m＝（ ）
A.17 B.
C.14 D.7
解析：D 因为l1∥l2，所以直线l1与直线l2间的距离为＝，解得m＝7或m＝－13，因为m＞0，所以m＝7.
3.已知圆C的方程为x2＋y2－2mx＋2my＋2m2－m－5＝0，若点（1，2）在圆外，则m的取值范围是（ ）
A.（－∞，－）∪（0，＋∞）
B.（0，＋∞）
C.（－∞，－）
D.（－5，－）∪（0，＋∞）
解析：D 将圆C：x2＋y2－2mx＋2my＋2m2－m－5＝0化为标准方程，得（x－m）2＋（y＋m）2＝m＋5，则m＋5＞0，即m＞－5.又∵点（1，2）在圆外，5－2m＋4m＋2m2－m－5＝2m2＋m＞0，解得m＜－或m＞0.综上，m的取值范围为（－5，－）∪（0，＋∞）.
4.已知直线x＋y＝0与圆C：x2＋（y－2）2＝8相交于A，B两点，则｜AB｜＝（ ）
A.2 B.4
C. D.2
解析：A 圆C：x2＋（y－2）2＝8的圆心C（0，2），半径r＝2，圆心C到直线x＋y＝0的距离为＝，则弦AB的长｜AB｜＝2＝2.
5.直线x－2y＋2＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（ ）
A.2x＋y－4＝0
B.x＋2y－1＝0
C.2x＋y－3＝0
D.x＋2y－4＝0
解析：D 直线x－2y＋2＝0上的点（－2，0）关于直线x＝1对称的点为A（4，0），直线x－2y＋2＝0上的点（0，1）关于直线x＝1对称的点为B（2，1），故直线x－2y＋2＝0关于直线x＝1对称的直线方程，即直线AB的方程，为＝，即x＋2y－4＝0，故选D.
6.已知圆C经过A（0，0），B（2，0），且圆心在第一象限，△ABC为直角三角形，则圆C的方程为（ ）
A.（x－1）2＋（y－1）2＝4
B.（x－）2＋（y－）2＝2
C.（x－1）2＋（y－1）2＝2
D.（x－1）2＋（y－2）2＝5
解析：C 因为圆心在弦AB的垂直平分线上，所以可设C（1，m），又圆心在第一象限，所以∠ACB为直角，所以△ABC为等腰直角三角形，所以｜AC｜＝＝.因为m＞0，所以m＝1，所以圆心坐标为（1，1），圆的半径为，所以圆C的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2.
7.已知大圆O1与小圆O2相交于A（2，1），B（1，2）两点，且两圆都与两坐标轴相切，则｜O1O2｜＝（ ）
A.4 B.4
C.6 D.6
解析：B 由题意，设与两坐标轴都相切的圆的圆心为（a，a）（a＞0），其方程为（x－a）2＋（y－a）2＝a2，将点（1，2）或（2，1）的坐标代入，解得a＝5或a＝1，所以O1：（x－5）2＋（y－5）2＝25，O2：（x－1）2＋（y－1）2＝1，可得O1（5，5），O2（1，1），所以｜O1O2｜＝＝4.
8.已知M（3，4）是半径为1的动圆C上一点，P为圆O：x2＋y2＝1上一动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则当｜AB｜取最大值时，△PAB的外接圆的方程为（ ）
A.x2＋y2－3x－4y－6＝0
B.x2＋y2－3x－4y＋6＝0
C.x2＋y2－3x－4y＝0
D.x2＋y2－4x－3y＝0
解析：A 如图，∵｜MC｜＝1，∴圆心C的轨迹方程为（x－3）2＋（y－4）2＝1.∵P为圆O：x2＋y2＝1上的动点，又｜OM｜＝5，∴3≤｜PC｜≤7.∵｜PC｜·｜AB｜＝2｜AC｜·｜PA｜，｜AC｜＝1，｜PC｜2＝｜PA｜2＋｜AC｜2，∴｜AB｜＝＝2，∴当｜PC｜最小时，｜AB｜最小；当｜PC｜最大时，｜AB｜最大，当｜PC｜＝｜OM｜＋2＝7时，｜AB｜取最大值，△PAB的外接圆以线段PC为直径，而PC的中点，即OM的中点为（，2），∴外接圆的方程为（x－）2＋（y－2）2＝，即x2＋y2－3x－4y－6＝0.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知直线l1：x＋ay－a＝0和直线l2：ax－（2a－3）y－1＝0，下列说法正确的是（ ）
A.l2始终过定点（，）
B.若l1∥l2，则a＝1或－3
C.若l1⊥l2，则a＝0或2
D.当a＞0时，l1始终不过第三象限
解析：ACD 对于选项A，l2：ax－（2a－3）y－1＝0 a（x－2y）＋3y－1＝0，由解得所以l2始终过定点（，），故A正确；对于选项B，若l1∥l2，则有解得a＝－3，故B错误；对于选项C，若l1⊥l2，则有1×a＋a×（3－2a）＝0，得a＝0或2，故C正确；对于选项D，l1：y＝－x＋1始终过（0，1），因为a＞0，所以直线斜率－＜0，不会过第三象限，故D正确.故选A、C、D.
10.已知圆C1：（x－2cos θ）2＋（y－2sin θ）2＝1与圆C2：x2＋y2＝1，则下列说法正确的是（ ）
A.对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切
B.对于任意的θ，圆C1与圆C2始终有四条公切线
C.当θ＝时，直线l：x－y－1＝0被圆C1截得的弦长为
D.P，Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则｜PQ｜的最大值为4
解析：ACD 由已知得C1（2cos θ，2sin θ），C2（0，0），r1＝1，r2＝1，所以｜C1C2｜＝＝2＝r1＋r2，故两圆始终相切，所以A中说法正确，B中说法错误；当θ＝时，C1（，1），所以C1到直线l的距离为＝，则弦长为2×＝，所以C中说法正确；因为｜C1C2｜＝2，所以｜PQ｜max＝｜C1C2｜＋1＋1＝4，所以D中说法正确.
11.已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0和直线l：kx－y＋3－4k＝0，则（ ）
A.直线l与圆C的位置关系无法判定
B.当k＝1时，圆C上的点到直线l的最大距离为＋2
C.当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时，k＝0
D.若直线l与圆C交于M，N两点，则MN的中点的轨迹是一个圆
解析：BCD 由x2＋y2－6x－8y＋21＝0，得（x－3）2＋（y－4）2＝4，所以圆心C的坐标为（3，4），半径为2.由直线l的方程可得y－3＝k（x－4），则直线l恒过定点（4，3），易得此点在圆C内，故直线l与圆C相交，故A错误；当k＝1时，直线l的方程为x－y－1＝0，设圆心C（3，4）到直线l的距离为d，则d＝＝，所以圆C上的点到直线l的最大距离为＋2，故B正确；当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时，圆心C（3，4）到直线l的距离为1，由＝1，得k＝0，故C正确；设直线l恒过的定点为A，MN的中点为P，由垂径定理知PC⊥PA，故点P的轨迹是以AC为直径的圆，故D正确.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.点M到x轴和到点N（－4，2）的距离都等于10，则点M的坐标为（2，10）或（－10，10）.
解析：设M（x，y），则｜y｜＝＝10.解得或
13.已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
解析：设直线l的方程为＋＝1，∴｜ab｜＝3，且－＝，解得a＝－6，b＝1或a＝6，b＝－1，∴直线l的方程为＋y＝1或－y＝1，即x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
14.在平面直角坐标系xOy中，直线l：mx－y－2m－1＝0（m∈R）过定点（2，－1），以点（1，0）为圆心且与l相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x－1）2＋y2＝2.
解析：根据题意，直线l：mx－y－2m－1＝0，即m（x－2）＝y＋1.由解得即直线l经过定点（2，－1），记点（2，－1），（1，0）分别为点M，点C，则｜MC｜＝＝.以点（1，0）为圆心且与l相切的所有圆中，半径最大时，r＝｜MC｜＝.故半径最大的圆的标准方程为（x－1）2＋y2＝2.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知直线l经过点P（－2，5），且斜率为－.
（1）求直线l的方程；
（2）若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程.
解：（1）由直线的点斜式方程，得y－5＝－（x＋2），
整理得所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
（2）由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋C＝0（C≠－14），
由点到直线的距离公式得＝3，
即＝3，解得C＝1或C＝－29，
故所求直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.
16.（本小题满分15分）已知圆心为C的圆经过点A（－1，1）和B（－2，－2），且圆心在直线l：x＋y－1＝0上.
（1）求圆C的标准方程；
（2）设点P在圆C上，点Q在直线x－y＋5＝0上，求｜PQ｜的最小值.
解：（1）设圆C的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），因为圆C经过点A（－1，1）和B（－2，－2），
且圆心在直线l：x＋y－1＝0上，
所以
解得
所以圆C的标准方程为（x－3）2＋（y＋2）2＝25.
（2）因为圆心C到直线x－y＋5＝0的距离为d＝＝5＞5，
所以直线x－y＋5＝0与圆C相离，
所以｜PQ｜的最小值为d－r＝5－5.
17.（本小题满分15分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0，圆上一点A（2，4）.
（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且｜BC｜＝｜OA｜，求直线l的方程.
解：（1）由点N在直线x＝6上，设N（6，n），
因为圆N与x轴相切，则圆N为（x－6）2＋（y－n）2＝n2，n＞0，
又圆N与圆M：（x－6）2＋（y－7）2＝25外切，则｜7－n｜＝｜n｜＋5，解得n＝1，
即圆N的标准方程为（x－6）2＋（y－1）2＝1.
（2）由题意得｜OA｜＝2，kOA＝2.
设l：y＝2x＋b，则圆心M到直线l的距离d＝＝，
则｜BC｜＝2＝2，
｜BC｜＝｜OA｜＝2，
即2＝2，解得b＝5或b＝－15，
即l：y＝2x＋5或y＝2x－15.
18.（本小题满分17分）已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离的比为，动点M的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程，并说明其形状；
（2）过直线x＝3上的动点P（3，p）（p≠0）分别作C的两条切线PQ，PR（Q，R为切点），证明：直线QR过定点，并求该定点坐标.
解：（1）设M（x，y），
由＝，得＝.
化简得x2＋y2＋2x－3＝0，即（x＋1）2＋y2＝4.
故曲线C是以（－1，0）为圆心，2为半径的圆.
（2）证明：由题意知，PQ，PR与圆C相切，Q，R为切点，C（－1，0）是曲线C的圆心，则CQ⊥PQ，CR⊥PR，则C，R，P，Q四点共圆，Q，R在以CP为直径的圆上（如图）.
CP的中点为（1，），｜CP｜＝，
以线段CP为直径的圆的方程为（x－1）2＋（y－）2＝（）2，
整理得x2＋y2－2x－py－3＝0. ①
又Q，R在圆x2＋y2＋2x－3＝0上， ②
由两圆方程作差即②－①，得4x＋py＝0，
所以直线QR的方程为4x＋py＝0.
则QR恒过坐标原点O（0，0）.
19.（本小题满分17分）某市公园内的人工湖上有一个以点C为圆心的圆形喷泉，沿湖有一条小径AB，在AB的另一侧建有控制台O，OA和OB之间均有小径连接（小径均为直路），且∠AOB＝π，喷泉中心C点距离B点60米，且CB连线恰与OA平行，在小径AB上有一休息亭Q，现测得｜OB｜＝40米，｜OQ｜＝20米，且OQ⊥OA.
（1）请计算小径AB的长度；
（2）现打算改建控制台O的位置（记为O'），使其离喷泉尽可能近，在点A，B，C的位置及∠AOB大小均不变的前提下，请计算O'C长度的最小值；
（3）一人从小径一端A处向B处匀速前进时，喷泉恰好同时开启，喷泉开启t分钟后的水幕是一个以C为圆心，半径r＝10米的圆形区域（含边界），此人的行进速度是v＝10米/分钟，在这个人行进的过程中他会被水幕沾染，试求实数a的最小值.
解：以O为坐标原点，AO所在直线为x轴，OQ所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）由｜OB｜＝40米，∠AOB＝π，可知B（40，40），
则直线OB的方程为y＝x，又Q（0，20），
所以直线AB的方程为y＝x＋20，
令y＝0，得x＝－40，故A（－40，0），
所以｜AB｜＝40米.
（2）易知O，A，B三点共圆，且易求得此圆的方程为（x＋20）2＋（y－60）2＝4 000，其圆心为（－20，60），半径为20.
易得C（－20，40）在圆内，则｜O'C｜min＝20－20，此时点O'为直线x＝8－20与点A及坐标原点之间劣弧的交点.
（3）人从A处行驶到B处所需要的时间为＝4（分钟），
假设在t（0＜t＜4）时刻人所在的位置为M，
则｜AM｜＝10t米，所以M（20t－40，10t），
则｜CM｜2＝（20t－20）2＋（10t－40）2＝100（5t2－16t＋20），
又在t（0＜t＜4）时刻，r2＝100at，故欲使这个人在行进的过程中被水幕沾染，
则存在t∈（0，4），使得r2≥｜CM｜2，即100at≥100（5t2－16t＋20）成立，
所以存在t∈（0，4），使得a≥5（t＋）－16成立，
当t∈（0，4）时，5（t＋）－16≥5×2－16＝4，
当且仅当t＝，即t＝2时取等号，
所以a≥4，即实数a的最小值为4.
7 / 7章末检测（二） 直线和圆的方程
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知直线的倾斜角为45°，在x轴上的截距为2，则直线的方程为（ ）
A.y＝－x－2 B.y＝x－2
C.y＝x＋2 D.y＝－x＋2
2.若直线l1：x＋3y＋m＝0（m＞0）与直线l2：x＋3y－3＝0间的距离为，则m＝（ ）
A.17 B.
C.14 D.7
3.已知圆C的方程为x2＋y2－2mx＋2my＋2m2－m－5＝0，若点（1，2）在圆外，则m的取值范围是（ ）
A.（－∞，－）∪（0，＋∞）
B.（0，＋∞）
C.（－∞，－）
D.（－5，－）∪（0，＋∞）
4.已知直线x＋y＝0与圆C：x2＋（y－2）2＝8相交于A，B两点，则｜AB｜＝（ ）
A.2 B.4
C. D.2
5.直线x－2y＋2＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（ ）
A.2x＋y－4＝0 B.x＋2y－1＝0
C.2x＋y－3＝0 D.x＋2y－4＝0
6.已知圆C经过A（0，0），B（2，0），且圆心在第一象限，△ABC为直角三角形，则圆C的方程为（ ）
A.（x－1）2＋（y－1）2＝4
B.（x－）2＋（y－）2＝2
C.（x－1）2＋（y－1）2＝2
D.（x－1）2＋（y－2）2＝5
7.已知大圆O1与小圆O2相交于A（2，1），B（1，2）两点，且两圆都与两坐标轴相切，则｜O1O2｜＝（ ）
A.4 B.4
C.6 D.6
8.已知M（3，4）是半径为1的动圆C上一点，P为圆O：x2＋y2＝1上一动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则当｜AB｜取最大值时，△PAB的外接圆的方程为（ ）
A.x2＋y2－3x－4y－6＝0
B.x2＋y2－3x－4y＋6＝0
C.x2＋y2－3x－4y＝0
D.x2＋y2－4x－3y＝0
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知直线l1：x＋ay－a＝0和直线l2：ax－（2a－3）y－1＝0，下列说法正确的是（ ）
A.l2始终过定点（，）
B.若l1∥l2，则a＝1或－3
C.若l1⊥l2，则a＝0或2
D.当a＞0时，l1始终不过第三象限
10.已知圆C1：（x－2cos θ）2＋（y－2sin θ）2＝1与圆C2：x2＋y2＝1，则下列说法正确的是（ ）
A.对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切
B.对于任意的θ，圆C1与圆C2始终有四条公切线
C.当θ＝时，直线l：x－y－1＝0被圆C1截得的弦长为
D.P，Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则｜PQ｜的最大值为4
11.已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0和直线l：kx－y＋3－4k＝0，则（ ）
A.直线l与圆C的位置关系无法判定
B.当k＝1时，圆C上的点到直线l的最大距离为＋2
C.当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时，k＝0
D.若直线l与圆C交于M，N两点，则MN的中点的轨迹是一个圆
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.点M到x轴和到点N（－4，2）的距离都等于10，则点M的坐标为 .
13.已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为 .
14.在平面直角坐标系xOy中，直线l：mx－y－2m－1＝0（m∈R）过定点 ，以点（1，0）为圆心且与l相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知直线l经过点P（－2，5），且斜率为－.
（1）求直线l的方程；
（2）若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程.
16.（本小题满分15分）已知圆心为C的圆经过点A（－1，1）和B（－2，－2），且圆心在直线l：x＋y－1＝0上.
（1）求圆C的标准方程；
（2）设点P在圆C上，点Q在直线x－y＋5＝0上，求｜PQ｜的最小值.
17.（本小题满分15分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0，圆上一点A（2，4）.
（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且｜BC｜＝｜OA｜，求直线l的方程.
18.（本小题满分17分）已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离的比为，动点M的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程，并说明其形状；
（2）过直线x＝3上的动点P（3，p）（p≠0）分别作C的两条切线PQ，PR（Q，R为切点），证明：直线QR过定点，并求该定点坐标.
19.（本小题满分17分）某市公园内的人工湖上有一个以点C为圆心的圆形喷泉，沿湖有一条小径AB，在AB的另一侧建有控制台O，OA和OB之间均有小径连接（小径均为直路），且∠AOB＝π，喷泉中心C点距离B点60米，且CB连线恰与OA平行，在小径AB上有一休息亭Q，现测得｜OB｜＝40米，｜OQ｜＝20米，且OQ⊥OA.
（1）请计算小径AB的长度；
（2）现打算改建控制台O的位置（记为O'），使其离喷泉尽可能近，在点A，B，C的位置及∠AOB大小均不变的前提下，请计算O'C长度的最小值；
（3）一人从小径一端A处向B处匀速前进时，喷泉恰好同时开启，喷泉开启t分钟后的水幕是一个以C为圆心，半径r＝10米的圆形区域（含边界），此人的行进速度是v＝10米/分钟，在这个人行进的过程中他会被水幕沾染，试求实数a的最小值.
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