2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
课标要求
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直（数学运算、逻辑推理）. 2.能应用两条直线平行或垂直解决有关问题（数学运算、逻辑推理）.
知识点一｜两条直线平行的判定
问题1 （1）我们知道，在平面几何中两条直线有两种位置关系相交和平行，当两条直线l1与l2平行时，它们的斜率满足什么关系？
（2）当两条直线l1与l2斜率相等时，这两条直线平行吗？
（3）若直线的斜率不存在，则l1与l2有什么位置关系？
【知识梳理】
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2 .
提醒：（1）l1∥l2 k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合.（2）k1＝k2 l1∥l2或l1与l2重合（斜率存在）；（3）l1∥l2 k1＝k2或两条直线的斜率都不存在.
【例1】 判断下列直线l1与l2是否平行：
（1）l1经过点E（－1，2），F（－1，5），l2经过点P（0，－2），Q（0，5）；
（2）l1经过点E（0，1），斜率为，l2经过点F（3，4），G（2，3）；
（3）l1经过点E（0，1），F（－2，－1），l2经过点G（3，4），H（2，3）.
【规律方法】
判断两条不重合直线是否平行的步骤
提醒：在证明（判断）两直线平行时，要区分平行与重合，必须强调不共线才能确定平行，因为两直线重合也可以推出两条直线的斜率相等.
训练1 （1）（2025·云浮月考）若过点A（m＋1，0），B（－5，m）的直线与过点C（－4，3），D（0，5）的直线平行，则m＝ ；
（2）（链接教材P56例3）已知A（2，3），B（－4，0），P（－3，1），Q（－1，2），求证：四边形ABPQ为梯形.
知识点二｜两条直线垂直的判定
问题2 （1）平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝（1，k1），b＝（1，k2），当两条直线互相垂直时，其斜率有什么关系？
（2）当直线l1的倾斜角为0°时，若l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为多少度？其斜率存在吗？
【知识梳理】
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于 ；反之，如果两条直线的斜率之积等于 ，那么它们互相垂直，即l1⊥l2 .
提醒：（1）l1⊥l2 k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在；（2）当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2.
【例2】 根据下列给定的条件，分别判断直线l1与l2是否垂直：
（1）l1经过点A（1，3），B（－1，－1），l2经过点C（2，1），D（4，0）；
（2）l1经过点E（－1，3），F（－1，－5），l2经过点G（2，4），H（－1，4）；
（3）l1的倾斜角为30°，l2经过点M（1，），N（2，0）；
（4）l1经过点P（2， －1），Q（3，4），l2经过点R（5，2），S（0，1）.
【规律方法】
判断两直线是否垂直的策略
在两条直线的斜率都存在的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直.
训练2 （1）（2025·洛阳月考）直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是（ ）
A.平行 B.重合
C.相交但不垂直 D.垂直
（2）已知△ABC的顶点为A（5，－1），B（1，1），C（2，m），若△ABC为直角三角形，求m的值.
提能点｜两条直线平行与垂直的综合应用
【例3】 （2025·济南质检）已知A（－4，3），B（2，5），C（6，3），D（－3，0）四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判断四边形ABCD的形状.
【规律方法】
利用两直线平行或垂直来判定图形形状的步骤
训练3 （2025·福州月考）已知 ABCD中，A（1，2），B（5，0），C（3，4）.
（1）求点D的坐标；
（2）试判断 ABCD是否为菱形？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2.（ ）
（2）若直线l1的斜率为a，且l1⊥l2，则l2的斜率为－.（ ）
（3）若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行.（ ）
2.过点A（2，5）和点B（－4，5）的直线与直线y＝3的位置关系是（ ）
A.相交 B.平行
C.重合 D.以上都不对
3.已知三角形三个顶点的坐标分别为A（4，2），B（1，－2），C（－2，4），则BC边上的高的斜率为（ ）
A.2 B.－2
C. D.－
4.根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行或垂直：
（1）l1经过点A（2，1），B（－3，5），l2经过点C（3，－3），D（8，－7）；
（2）l1的倾斜角为150°，l2经过点M（3，2），N（－2，－3）.
课堂小结
1.理清单 （1）两直线平行的判定； （2）两直线垂直的判定； （3）两直线平行、垂直的综合应用. 2.应体会 探究及应用两直线平行、垂直的条件体现了数形结合、分类讨论的思想方法. 3.避易错 （1）研究两直线平行、垂直关系时不要忽略直线斜率为0或不存在的情况； （2）当两直线的斜率相等时，这两条直线可能平行，也可能重合.
提示：完成课后作业 第二章 2.1 2.1.2
2 / 32.1.2 两条直线平行和垂直的判定
课标要求
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直（数学运算、逻辑推理）.
2.能应用两条直线平行或垂直解决有关问题（数学运算、逻辑推理）.
情境导入
过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上，过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直，你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？本节课我们就来研究一下.
知识点一｜两条直线平行的判定
问题1 （1）我们知道，在平面几何中两条直线有两种位置关系相交和平行，当两条直线l1与l2平行时，它们的斜率满足什么关系？
提示：如图，由l1∥l2 α1＝α2 tan α1＝tan α2 k1＝k2.
（2）当两条直线l1与l2斜率相等时，这两条直线平行吗？
提示：由k1＝k2 tan α1＝tan α2 α1＝α2 l1∥l2.
（3）若直线的斜率不存在，则l1与l2有什么位置关系？
提示：由直线的斜率不存在，则α1＝α2＝90° l1∥l2.
【知识梳理】
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2 k1＝k2 .
提醒：（1）l1∥l2 k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合.（2）k1＝k2 l1∥l2或l1与l2重合（斜率存在）；（3）l1∥l2 k1＝k2或两条直线的斜率都不存在.
【例1】判断下列直线l1与l2是否平行：
（1）l1经过点E（－1，2），F（－1，5），l2经过点P（0，－2），Q（0，5）；
解：由题意知，l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2.
（2）l1经过点E（0，1），斜率为，l2经过点F（3，4），G（2，3）；
解：由题意知，k1＝，k2＝＝1，
kEF＝＝1，显然点E，F，G三点共线，所以直线l1与l2相交，交于点E.
（3）l1经过点E（0，1），F（－2，－1），l2经过点G（3，4），H（2，3）.
解：由题意知，k1＝＝1，k2＝＝1，所以k1＝k2，且kEG＝＝1，所以E，F，G，H四点共线，所以l1与l2重合.
【规律方法】
判断两条不重合直线是否平行的步骤
提醒：在证明（判断）两直线平行时，要区分平行与重合，必须强调不共线才能确定平行，因为两直线重合也可以推出两条直线的斜率相等.
训练1 （1）（2025·云浮月考）若过点A（m＋1，0），B（－5，m）的直线与过点C（－4，3），D（0，5）的直线平行，则m＝－2；
解析：由题易知直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在.kAB＝＝，kCD＝＝，由于AB∥CD，所以kAB＝kCD，即＝，得m＝－2.经验证m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2.
（2）（链接教材P56例3）已知A（2，3），B（－4，0），P（－3，1），Q（－1，2），求证：四边形ABPQ为梯形.
证明：由已知可得，直线AB的斜率kAB＝＝，
直线PQ的斜率kPQ＝＝，
直线AQ的斜率kAQ＝＝，
直线BP的斜率kBP＝＝1，
因为kAB＝kPQ，且kAB≠kAQ，所以直线AB，PQ不重合，所以直线AB∥PQ.
因为kAQ≠kBP，所以AQ，BP不平行，所以四边形ABPQ为梯形.
知识点二｜两条直线垂直的判定
问题2 （1）平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝（1，k1），b＝（1，k2），当两条直线互相垂直时，其斜率有什么关系？
提示：由l1⊥l2 a⊥b a·b＝0 1×1＋k1k2＝0，即k1k2＝－1.
（2）当直线l1的倾斜角为0°时，若l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为多少度？其斜率存在吗？
提示：如图，当直线l1的倾斜角为0°时，若l1⊥l2，则l2的倾斜角为90°，其斜率不存在.
【知识梳理】
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于 －1 ；反之，如果两条直线的斜率之积等于 －1 ，那么它们互相垂直，即l1⊥l2 k1k2＝－1 .
提醒：（1）l1⊥l2 k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在；（2）当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2.
【例2】根据下列给定的条件，分别判断直线l1与l2是否垂直：
（1）l1经过点A（1，3），B（－1，－1），l2经过点C（2，1），D（4，0）；
解：由题意知，k1＝＝2，
k2＝＝－，由于k1k2＝－1，故两条直线互相垂直.
（2）l1经过点E（－1，3），F（－1，－5），l2经过点G（2，4），H（－1，4）；
解：由题意知，l1的斜率不存在，l2的斜率为0，故两条直线互相垂直.
（3）l1的倾斜角为30°，l2经过点M（1，），N（2，0）；
解：由题意知，k1＝，k2＝＝－，由于k1k2＝－1，故两条直线互相垂直.
（4）l1经过点P（2， －1），Q（3，4），l2经过点R（5，2），S（0，1）.
解：由题意知，k1＝＝5，k2＝＝，由于k1k2≠－1，故两条直线不垂直.
【规律方法】
判断两直线是否垂直的策略
在两条直线的斜率都存在的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直.
训练2 （1）（2025·洛阳月考）直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是（ ）
A.平行 B.重合
C.相交但不垂直 D.垂直
解析：D 设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.∵直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，∴k1k2＝－1，∴l1⊥l2.故选D.
（2）已知△ABC的顶点为A（5，－1），B（1，1），C（2，m），若△ABC为直角三角形，求m的值.
解：若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，
即·＝－1，解得m＝－7；
若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，
即·＝－1，解得m＝3；
若∠C为直角，则AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1，
即·＝－1，解得m＝±2.
综上所述，m＝－7或m＝3或m＝±2.
提能点｜两条直线平行与垂直的综合应用
【例3】（2025·济南质检）已知A（－4，3），B（2，5），C（6，3），D（－3，0）四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判断四边形ABCD的形状.
解：由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图所示，由斜率公式可得kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－.
所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD.
由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行.
又因为kAB·kAD＝×（－3）＝－1，所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形.
【规律方法】
利用两直线平行或垂直来判定图形形状的步骤
训练3 （2025·福州月考）已知 ABCD中，A（1，2），B（5，0），C（3，4）.
（1）求点D的坐标；
（2）试判断 ABCD是否为菱形？
解：（1）设D点坐标为（a，b），因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，
所以解得所以D（－1，6）.
（2）因为kAC＝＝1，kBD＝＝－1，
所以kAC·kBD＝－1，
所以AC⊥BD，所以 ABCD为菱形.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2.（ × ）
（2）若直线l1的斜率为a，且l1⊥l2，则l2的斜率为－.（ × ）
（3）若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行.（ √ ）
2.过点A（2，5）和点B（－4，5）的直线与直线y＝3的位置关系是（ ）
A.相交 B.平行
C.重合 D.以上都不对
解析：B 易知两直线斜率都为0且不重合，所以两直线平行.
3.已知三角形三个顶点的坐标分别为A（4，2），B（1，－2），C（－2，4），则BC边上的高的斜率为（ ）
A.2 B.－2 C. D.－
解析：C ∵B（1，－2），C（－2，4），∴kBC＝＝－2，设BC边上的高的斜率为k，则k·kBC＝－1，∴k＝.
4.根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行或垂直：
（1）l1经过点A（2，1），B（－3，5），l2经过点C（3，－3），D（8，－7）；
（2）l1的倾斜角为150°，l2经过点M（3，2），N（－2，－3）.
解：（1）设两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.
由题意知k1＝＝－，k2＝＝－，
则k1＝k2，又因为kAC＝＝－4，所以k1≠kAC，
所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线，所以l1∥l2.
（2）设两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，由题意知k1＝tan 150°＝－tan 30°＝－，
k2＝＝，所以k1k2＝－1，所以l1⊥l2.
课堂小结
1.理清单 （1）两直线平行的判定； （2）两直线垂直的判定； （3）两直线平行、垂直的综合应用. 2.应体会 探究及应用两直线平行、垂直的条件体现了数形结合、分类讨论的思想方法. 3.避易错 （1）研究两直线平行、垂直关系时不要忽略直线斜率为0或不存在的情况； （2）当两直线的斜率相等时，这两条直线可能平行，也可能重合.
1.下列说法正确的是（ ）
A.若l1∥l2，则k1＝k2
B.若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1
C.若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2
D.只有斜率相等的两条直线才平行
解析：C 对于A，若直线l1∥l2，则直线的倾斜角相等，但斜率不一定存在，所以A错误；对于B，当一条直线与x轴垂直时，斜率不存在，所以B错误；对于C，由两直线平行得倾斜角一定相等，所以C正确；对于D，斜率不存在的两直线也平行，所以D错误.
2.已知直线l1经过A（2，7），B（3，8）两点，且直线l2⊥l1，则直线l2的倾斜角为（ ）
A.30° B.45°
C.135° D.150°
解析：C 设直线l2的倾斜角为α，因为直线l1的斜率k1＝＝1，由l1⊥l2，得k1·k2＝－1，所以k2＝－1，即tan α＝－1，又因为0°≤α＜180°，所以α＝135°，所以直线l2的倾斜角为135°.
3.已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A（1，），B（－2，－2），则直线l1，l2的位置关系是（ ）
A.平行或重合 B.平行
C.垂直 D.重合
解析：A 由题意可知直线l1的斜率k1＝tan 60°＝，直线l2的斜率k2＝＝.因为k1＝k2，所以l1∥l2或l1，l2重合.
4.已知两点M（2，2）和N（5，－2），点P在x轴上，且∠MPN为直角，则点P的坐标为（ ）
A.（1，0） B.（6，0）
C.（1，0）或（6，0） D.不存在
解析：C 设P点坐标为（x0，0），易知x0≠2且x0≠5，则kPM＝，kPN＝，由于∠MPN＝90°，故kPM·kPN＝－1，即·＝－1，解得x0＝1或x0＝6，故P点坐标为（1，0）或（6，0）.
5.已知点A（m，3），B（2m，m＋4），C（m＋1，2），D（1，0），且直线AB与直线CD平行，则m的值为（ ）
A.－1 B.0
C.0或1 D.－1或0
解析：C 当m＝0时，直线AB与直线CD的斜率均不存在且不重合，此时AB∥CD.当m≠0时，kAB＝，kCD＝，则kAB＝kCD，即＝，得m＝1，∴m＝0或1.
6.〔多选〕设平面内四点P（－4，2），Q（6，－4），R（12，6），S（2，12），下面四个结论正确的是（ ）
A.PQ∥SR B.PQ⊥PS
C.PS∥QS D.PR⊥QS
解析：ABD 由斜率公式知，kPQ＝＝－，kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝，∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS，∴PS与QS不平行，故A、B、D正确.
7.〔多选〕已知点A（0，2），B（－1，0），下列结论正确的是（ ）
A.若直线l的方向向量为（1，1），则l∥AB
B.若直线l的斜率为－，则l⊥AB
C.若C（1，－1），则△ABC为直角三角形
D.若C（1，－1），D（3，3），则四边形ABCD是平行四边形
解析：BC 对于A，直线l的斜率k＝1，又kAB＝＝2，故直线l与直线AB不平行，A错误；对于B，因为－kAB＝－1，所以l⊥AB，B正确；对于C，因为kBC＝＝－，kBC·kAB＝－1，所以AB⊥BC，C正确；对于D，因为kCD＝＝2＝kAB，kAD＝＝，kBC＝－，kAD≠kBC，所以四边形ABCD不是平行四边形，D错误.故选B、C.
8.若点A（－1，2），B（3，－4）关于直线l对称，则直线l的斜率为.
解析：由点A（－1，2），B（3，－4），可得kAB＝＝－，设直线l的斜率为k，因为点A，B关于直线l对称，可得k·kAB＝－1，解得k＝.
9.（2025·许昌月考）已知直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两实数根，若l1∥l2，则m＝2；若l1⊥l2，则m＝－2.
解析：若l1∥l2，则k1＝k2，即关于k的一元二次方程2k2－4k＋m＝0有两个相等的实根，∴Δ＝（－4）2－4×2×m＝0，∴m＝2.由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2＝，若l1⊥l2，则＝－1，∴m＝－2.
10.当m为何值时，过两点A（1，1），B（2m2＋1，m－2）的直线：
（1）倾斜角为135°；
（2）与过两点（3，2），（0，－7）的直线垂直；
（3）与过两点（2，－3），（－4，9）的直线平行.
解：（1）由kAB＝＝tan 135°＝－1，
得2m2＋m－3＝0，解得m＝－或m＝1.
（2）由＝3及垂直关系，得＝－，
解得m＝或m＝－3.
（3）由＝＝－2，解得m＝或m＝－1.
11.已知点A（－2，2），B（6，4），H（5，2），H是△ABC的垂心，则点C的坐标为（ ）
A.（6，2） B.（－2，2）
C.（－4，－2） D.（6，－2）
解析：D 设点C的坐标为（x，y），如图，∵直线AH的斜率kAH＝＝0，且BC⊥AH，点B的横坐标为6，∴x＝6，∵直线BH的斜率kBH＝＝2，BH⊥AC，∴直线AC的斜率kAC＝＝－，解得y＝－2，∴点C的坐标为（6，－2）.故选D.
12.〔多选〕如图所示，在平面直角坐标系中，以O（0，0），A（1，1），B（3，0）为顶点构造平行四边形，下列各点中能作为平行四边形顶点坐标的是（ ）
A.（－3，1） B.（4，1）
C.（－2，1） D.（2，－1）
解析：BCD 如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即 AOBC1， ABOC2， AOC3B.根据平行四边形的性质，可知选项B、C、D中的点分别是点C1，C2，C3的坐标.
13.已知两点A（2，0），B（3，4），直线l过点B，交y轴于点C（0，y），O是坐标原点，且O，A，B，C四点共圆，那么y的值是.
解析：由题易知OC⊥OA，即AC为圆的直径，∴AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，即×＝－1，解得y＝.
14.已知M（1，－1），N（2，2），P（3，0）.
（1）求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ；
（2）若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角.
解：（1）设Q（x，y），由已知得kMN＝3，
由PQ⊥MN，可得kPQ·kMN＝－1，
即×3＝－1. ①
由已知得kPN＝－2，
由PN∥MQ，可得kPN＝kMQ，
即＝－2. ②
联立①②解得即Q（0，1）.
（2）设Q（x，0），∵∠NQP＝∠NPQ，
∴kNQ＝－kNP.
又∵kNQ＝，kNP＝－2，∴＝2，即x＝1，
∴Q（1，0）.又∵M（1，－1），∴MQ⊥x轴，
故直线MQ的倾斜角为90°.
15.已知点A，B，C，D依次按逆时针方向排列，A（0，3），B（－1，0），C（3，0），求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形.
解：设所求点D的坐标为（x，y），如图.
由于kAB＝3，kBC＝0，∴kAB·kBC＝0≠－1即AB与BC不垂直，
故AB，BC都不可作为直角梯形的直角边.
①若CD是直角梯形的直角边，
则BC⊥CD，AD⊥CD.
∵kBC＝0，∴CD的斜率不存在，从而有x＝3，
又kAD＝0，∴＝0，即 y＝3，
此时AB与CD不平行，故所求点D的坐标为（3，3）.
②若AD是直角梯形的直角边，
则AD⊥AB，AD⊥CD，
∵kAD＝，kCD＝，又由于AD⊥AB，
∴×3＝－1，又AB∥CD，∴＝3，
解上述两式可得
此时AD与BC不平行，所求点D的坐标为（，）.
综上可知，使四边形ABCD为直角梯形的点D的坐标为（3，3）或（，）.
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