2.2.1 直线的点斜式方程
课标要求
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程和斜截式方程（数学抽象、数学运算）.
2.会用直线的斜截式方程解决直线的平行与垂直问题（数学运算、逻辑推理）.
情境导入
射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向.若把子弹飞行的轨迹看作一条直线，并且射击手达到了上述的两个动作要求.试从数学角度分析子弹是否会命中目标？
知识点一｜直线的点斜式方程
问题1 （1）经过原点的直线有多少条？经过原点且斜率为1的直线唯一确定吗？由此你能得到什么结论？
提示：无数条；唯一确定；平面内一点和斜率确定一条直线.
（2）由上述结论，经过点P0（x0，y0）且斜率为k的直线与直线上任一点P（x，y）有什么关系？试建立它们的代数关系式.
提示：如图所示，当P与P0不重合时，由斜率公式k＝得y－y0＝k（x－x0）.当P与P0重合，即x＝x0，y＝y0时，同样满足上式，这说明任意P（x，y）均满足：y－y0＝k（x－x0）.
【知识梳理】
1.方程 y－y0＝k（x－x0） 由直线上一定点（x0，y0）及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称 点斜式 .
2.特别地，当k＝0时（如图1），过P0（x0，y0）的直线可以写成 y＝y0 ；当k不存在时（如图2），过P0（x0，y0）的直线可以写成 x＝x0 .
提醒：（1）点斜式应用的前提条件是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能用此种形式；（2）＝k与y－y0＝k（x－x0）是不同的，前者缺少一个点（x0，y0），后者才是整条直线.
【例1】根据下列给定的条件，分别求直线的方程：
（1）直线过点（2，－3），倾斜角为135°；
解：因为直线过点（2，－3），倾斜角为135°，所以直线的斜率k＝tan 135°＝－1，所以直线的点斜式方程为y－（－3）＝－（x－2），即y＋3＝－（x－2）.
（2）直线经过点A（1，2），B（－3，5）；
解：因为直线经过点A（1，2），B（－3，5），所以直线的斜率为k＝＝－，所以直线的点斜式方程为y－2＝－（x－1）.
（3）直线经过原点，倾斜角为0°；
解：因为直线经过原点，倾斜角为0°，所以斜率为0，所以直线方程为y＝0.
（4）直线经过点P（2，－1），倾斜角为90°.
解：因为直线经过点P（2，－1），倾斜角为90°，所以斜率不存在，直线方程为x＝2.
【规律方法】
求直线的点斜式方程的思路
训练1 （1）已知直线的方程为y＋2＝－x－1，则（ C ）
A.该直线过点（－1，2），斜率为－1
B.该直线过点（－1，2），斜率为1
C.该直线过点（－1，－2），斜率为－1
D.该直线过点（－1，－2），斜率为1
解析：直线的方程可化为点斜式y－（－2）＝－[x－（－1）]，故直线过点（－1，－2），斜率为－1.
（2）（2025·龙岩月考）已知过定点（4，5）的直线m的一个方向向量是d＝（3，2），则直线m的点斜式方程为y－5＝（x－4）.
解析：因为直线的一个方向向量是d＝（3，2），所以直线的斜率为.又因为直线过点（4，5），所以直线的点斜式方程为y－5＝（x－4）.
知识点二｜直线的斜截式方程
问题2 （1）如果直线过点P0（0，b），斜率为k，如何求直线的方程？
提示：由直线的点斜式方程，得y－b＝k（x－0），即y＝kx＋b.
（2）如果直线方程为y＝kx＋b，则实数b的符号与经过的点P（0，b）的位置有什么联系？
提示：当b＞0时，点P（0，b）在y轴的正半轴上；当b＝0时，点P（0，b）为坐标原点；当b＜0时，点P（0，b）在y轴的负半轴上.
【知识梳理】
我们把直线l与y轴的交点（0，b）的纵坐标b叫做直线l在y轴上的 截距 .方程y＝kx＋b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，所以方程 y＝kx＋b 叫做直线的斜截式方程，简称 斜截式 .
提醒：（1）直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况，只能在直线斜率存在的前提下使用；（2）截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.
【例2】写出下列直线的斜截式方程：
（1）斜率为2，在y轴上的截距是5；
解：由直线方程的斜截式可知，
所求直线方程为y＝2x＋5.
（2）倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
解：∵倾斜角α＝150°，
∴斜率k＝tan 150°＝－.
由斜截式可得方程为y＝－x－2.
（3）倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
解：∵直线的倾斜角为60°，
∴斜率k＝tan 60°＝.
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，
∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
∴所求直线的斜截式方程为y＝x＋3或y＝x－3.
变式 若本例（2）条件不变，试求直线与两坐标轴围成的三角形的面积.
解：由直线的方程为y＝－x－2，又其在y轴上的截距为－2，令y＝0，得其在x轴上的截距为－2，所以所求三角形的面积S＝×｜－2｜×｜－2｜＝2.
【规律方法】
直线的斜截式方程的求解策略
（1）求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距，代入方程即可；
（2）当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程.
训练2 （1）已知直线l：y＝xsin θ＋cos θ的图象如图所示，则角θ是（ D ）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析：结合图象易知，sin θ＜0，cos θ＞0，则角θ为第四象限角.
（2）如果直线l的斜率和在y轴上的截距分别为直线y＝x＋2的斜率的一半和在y轴上截距的两倍，那么直线l的斜截式方程是y＝x＋4.
解析：直线y＝x＋2的斜率为，在y轴上的截距为2，则直线l的斜率为，在y轴上的截距为2×2＝4，故直线l的方程为y＝x＋4.
提能点｜直线斜截式方程的应用
问题3 上一节课我们已经讨论过斜率对于直线平行、垂直的影响，设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，思考一下什么时候：（1）l1∥l2；（2）l1，l2重合；（3）l1⊥l2.
提示：（1）k1＝k2且b1≠b2.
（2）k1＝k2且b1＝b2.
（3）k1k2＝－1.
【例3】已知直线l1：y＝－x＋和l2：6my＝－x＋4，问m为何值时，l1与l2平行或垂直？
解：当m＝0时，l1：4y－5＝0；l2：x－4＝0，l1与l2垂直；
当m≠0时，l2的方程可化为y＝－x＋.
由－＝－，得m＝±.
由≠，得m≠且m≠，
所以当m＝－时，l1与l2平行；
又－·（－）＝－1无解.
故当m＝－时，l1与l2平行；
当m＝0时，l1与l2垂直.
【规律方法】
两条直线平行和垂直的判定
（1）平行的判定
（2）垂直的判定
训练3 （1）以A（1，3），B（－5，1）为端点的线段的垂直平分线的斜截式方程为（ A ）
A.y＝－3x－4 B.y＝3x－4
C.y＝3x＋4 D.y＝－3x＋4
解析：因为直线AB的斜率kAB＝＝，则垂直平分线的斜率k＝－3，又因为线段AB的中点为M（－2，2），所以所求直线方程为y－2＝－3（x＋2），即y＝－3x－4.故选A.
（2）已知直线l：y＝－x＋与直线l'：y＝x－平行，且直线l与y轴的交点为（0，1），则a＝－，b＝2.
解析：由直线l：y＝－x＋与直线l'：y＝x－平行，且直线l与y轴的交点为（0，1），得解得
1.已知直线l的方程是y－2＝3（1－x），则直线l的斜率是（ ）
A.2 B.－1 C.3 D.－3
解析：D 将直线的方程化为点斜式方程为y－2＝－3（x－1），所以直线的斜率为－3.
2.直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则有（ ）
A.k＞0，b＞0 B.k＞0，b＜0
C.k＜0，b＞0 D.k＜0，b＜0
解析：B ∵直线经过第一、三、四象限，∴图象如图所示，由图知，k＞0，b＜0.
3.直线y＝6－3x的斜率为－3，在坐标轴上的截距之和等于8.
解析：由直线的斜截式方程y＝6－3x＝－3x＋6，直线的斜率为－3，在坐标轴上的截距之和等于6＋2＝8.
4.（1）求经过点（2，－3），且斜率为－4的直线方程；
（2）求经过直线y＝3－2x与y轴的交点且与该直线垂直的直线方程.
解：（1）由直线的点斜式方程得，过点（2，－3），斜率为－4的直线方程为y－（－3）＝－4（x－2），即y＋3＝－4（x－2）.
（2）直线y＝3－2x与y轴的交点为（0，3），直线的斜率为－2，故与该直线垂直的直线的斜率为，所求的直线的斜截式方程为y＝x＋3.
课堂小结
1.理清单 直线的点斜式方程与斜截式方程： 点斜式斜截式条件过点（x0，y0），斜率为k过点（0，b），斜率为k方程y－y0＝k（x－x0）y＝kx＋b
2.应体会 利用斜截式求直线方程时，要注意分类讨论思想的应用. 3.避易错 （1）求直线的点斜式与斜截式方程时忽略斜率不存在的情况； （2）混淆直线的截距和距离.
1.已知某直线的倾斜角为30°，在y轴上的截距为2，则此直线的方程为（ ）
A.y＝x＋2 B.y＝－x＋2
C.y＝－x－2 D.y＝x－2
解析：A 由题意得，直线的斜率k＝tan 30°＝，又直线在y轴上的截距为2，故直线的方程为y＝x＋2.故选A.
2.直线y－2＝－（x＋1）的倾斜角及在y轴上的截距分别为（ ）
A.60°，2 B.120°，2－
C.60°，2－ D.120°，2
解析：B 该直线的斜率为－，当x＝0时，y＝2－，所以其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－.
3.（2025·商丘月考）经过点（－1，1），斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是（ ）
A.x＝－1 B.y＝1
C.y－1＝（x＋1） D.y－1＝2（x＋1）
解析：C 由方程知，已知直线的斜率为，所以所求直线的斜率是，由直线的点斜式方程可得方程为y－1＝（x＋1）.
4.过点（1，0）且与直线y＝x－1垂直的直线方程是（ ）
A.y＝x－ B.y＝x＋
C.y＝－2x＋2 D.y＝－x＋
解析：C 由于直线y＝x－1的斜率为，故所求直线的斜率等于－2，故所求直线的方程为y－0＝－2（x－1），即y＝－2x＋2，故选C.
5.（2025·苏州月考）若直线y＝ax＋b经过第一、二、三象限，则点（－a，－b）位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：C 因为直线y＝ax＋b经过第一、二、三象限，所以a＞0，b＞0，所以（－a，－b）位于第三象限，故选C.
6.〔多选〕给出下列四个结论，正确的是（ ）
A.方程k＝与方程y－2＝k（x＋1）可表示同一直线
B.直线l过点P（x1，y1），倾斜角为90°，则其方程是x＝x1
C.直线l过点P（x1，y1），斜率为0，则其方程是y＝y1
D.所有的直线都有点斜式和斜截式方程
解析：BC A不正确，方程k＝不含点（－1，2）；B正确；C正确；D不正确，只有k存在时成立.
7.〔多选〕已知两条直线l1：y－3＝k（x－1），l2：y－3＝－（x－2），则下列说法正确的是（ ）
A.l1与l2一定相交 B.l1与l2一定平行
C.l1与l2一定垂直 D.l1与l2不可能平行
解析：ACD 两直线的斜率之积为－1，故l1与l2一定垂直并相交，A、C正确；当k＝－时，无实数解，故l1与l2不可能平行，D正确，B错误.故选A、C、D.
8.（2025·宁德质检）在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是y＝x－6或y＝－x－6.
解析：因为直线与y轴相交成30°角，所以直线的倾斜角为60°或120°，所以直线的斜率为或－，又因为在y轴上的截距为－6，所以直线的斜截式方程为y＝x－6或y＝－x－6.
9.（2025·云浮质检）已知直线l的斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的周长是30，则直线l的方程为y＝x±5.
解析：由直线l的斜率为，可设直线l的方程为y＝x＋b.令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－b.由题意得｜b｜＋＋＝30.∴｜b｜＋｜b｜＋｜b｜＝30，∴b＝±5.∴所求直线l的方程为y＝x±5.
10.分别求下列直线的方程：
（1）经过点A（2，－3），且与直线y＝2x－6平行；
（2）经过点B（－1，2），且与x轴平行；
（3）经过点C（0，－3），且与直线y＝x＋2垂直；
（4）经过点（2，2），且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2.
解：（1）由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为y＋3＝2（x－2）.
（2）由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，所以直线的方程为y－2＝0（x＋1），即y＝2.
（3）由题意知，所求直线的斜率为－1，在y轴上的截距为－3，所以直线的方程为y＝－x－3.
（4）当直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝2，经检验符合题目的要求；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为y－2＝k（x－2），
令y＝0，得x＝，
由三角形的面积为2，得×｜｜×2＝2.
解得k＝.
可得直线的方程为y－2＝（x－2）.
综上可知，直线的方程为x＝2或y＝x＋1.
11.（2025·常州月考）直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a（ab≠0，a≠b）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
解析：D 对于A，由l1得a＞0，b＜0，而由l2得a＞0，b＞0，矛盾；对于B，由l1得a＜0，b＞0，而由l2得a＞0，b＞0，矛盾；对于C，由l1得a＞0，b＜0，而由l2得a＜0，b＞0，矛盾；对于D，由l1得a＞0，b＞0，而由l2得a＞0，b＞0.故选D.
12.在同一平面直角坐标系中，直线y＝kx＋b总是在直线y＝2x－3的上方，则实数k，b的取值应该满足的条件是（ ）
A.k＞2，b＞－3 B.k＞2，b＝－3
C.k＝2，b＞－3 D.k＝2，b＝－3
解析：C 若两直线相交，则一定不满足题意，所以两直线平行，则k＝2.因为直线y＝kx＋b总是在直线y＝2x－3的上方，所以直线y＝kx＋b在y轴上的截距必大于直线y＝2x－3在y轴上的截距，即b＞－3.
13.〔多选〕已知直线l：y＝kx＋3k＋4，k∈R，则下列说法正确的是（ ）
A.直线恒过一定点
B.直线可以平行于x轴
C.直线可以垂直于x轴
D.若直线不过第四象限，则k＞0
解析：AB 直线l：y＝kx＋3k＋4即l：y－4＝k（x＋3），k∈R，所以直线经过定点P（－3，4），选项A正确；当k＝0时，直线平行于x轴，选项B正确；由于直线的斜率k存在且为任意实数，故直线不能垂直于x轴，选项C错误；若直线l不过第四象限，则即k≥0，故D错误.故选A、B.
14.已知在平面直角坐标系中的两点A（8，－6），B（2，2）.
（1）求线段AB的中垂线的方程；
（2）求以向量为方向向量且过点P（2，－3）的直线l的方程.
解：（1）易知线段AB的中点的坐标为（5，－2），
∵kAB＝＝－，
∴线段AB的中垂线的斜率为，
∴由直线的点斜式方程可得线段AB的中垂线的方程为y＋2＝（x－5），即y＝x－.
（2）由已知得＝（－6，8），则直线l的斜率为－，又直线过点P（2，－3），
由直线的点斜式方程得直线l的方程为y＋3＝－（x－2），即y＝－x－.
15.已知直线l的方程为y－1＝k（x－2）（k∈R）.
（1）证明：直线l恒过第一象限；
（2）若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，是否存在使△ABO面积最小的直线l？若存在，求出直线l方程；若不存在，请说明理由.
解：（1）证明：由点斜式方程y－1＝k（x－2）可知，直线l恒过点（2，1），该点位于第一象限，所以直线l恒过第一象限.
（2）存在，理由如下：
若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，则k＜0，A（2－，0），B（0，1－2k），
所以△ABO的面积S＝（1－2k）·（2－）＝［4＋（－4k）＋（－）］≥×（4＋4）＝4，当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立，故存在使△ABO面积最小的直线l，其方程为y－1＝－（x－2），即y＝－x＋2.
1 / 92.2 直线的方程
2.2.1 直线的点斜式方程
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程和斜截式方程（数学抽象、数学运算）. 2.会用直线的斜截式方程解决直线的平行与垂直问题（数学运算、逻辑推理）.
知识点一｜直线的点斜式方程
问题1 （1）经过原点的直线有多少条？经过原点且斜率为1的直线唯一确定吗？由此你能得到什么结论？
（2）由上述结论，经过点P0（x0，y0）且斜率为k的直线与直线上任一点P（x，y）有什么关系？试建立它们的代数关系式.
【知识梳理】
1.方程 由直线上一定点（x0，y0）及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称 .
2.特别地，当k＝0时（如图1），过P0（x0，y0）的直线可以写成 ；当k不存在时（如图2），过P0（x0，y0）的直线可以写成 .
提醒：（1）点斜式应用的前提条件是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能用此种形式；（2）＝k与y－y0＝k（x－x0）是不同的，前者缺少一个点（x0，y0），后者才是整条直线.
【例1】 根据下列给定的条件，分别求直线的方程：
（1）直线过点（2，－3），倾斜角为135°；
（2）直线经过点A（1，2），B（－3，5）；
（3）直线经过原点，倾斜角为0°；
（4）直线经过点P（2，－1），倾斜角为90°.
【规律方法】
求直线的点斜式方程的思路
训练1 （1）已知直线的方程为y＋2＝－x－1，则（ ）
A.该直线过点（－1，2），斜率为－1
B.该直线过点（－1，2），斜率为1
C.该直线过点（－1，－2），斜率为－1
D.该直线过点（－1，－2），斜率为1
（2）（2025·龙岩月考）已知过定点（4，5）的直线m的一个方向向量是d＝（3，2），则直线m的点斜式方程为 .
知识点二｜直线的斜截式方程
问题2 （1）如果直线过点P0（0，b），斜率为k，如何求直线的方程？
（2）如果直线方程为y＝kx＋b，则实数b的符号与经过的点P（0，b）的位置有什么联系？
【知识梳理】
我们把直线l与y轴的交点（0，b）的纵坐标b叫做直线l在y轴上的 .方程y＝kx＋b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，所以方程 叫做直线的斜截式方程，简称 .
提醒：（1）直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况，只能在直线斜率存在的前提下使用；（2）截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.
【例2】 写出下列直线的斜截式方程：
（1）斜率为2，在y轴上的截距是5；
（2）倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
（3）倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
变式 若本例（2）条件不变，试求直线与两坐标轴围成的三角形的面积.
【规律方法】
直线的斜截式方程的求解策略
（1）求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距，代入方程即可；
（2）当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程.
训练2 （1）已知直线l：y＝xsin θ＋cos θ的图象如图所示，则角θ是（ ）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
（2）如果直线l的斜率和在y轴上的截距分别为直线y＝x＋2的斜率的一半和在y轴上截距的两倍，那么直线l的斜截式方程是 .
提能点｜直线斜截式方程的应用
问题3 上一节课我们已经讨论过斜率对于直线平行、垂直的影响，设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，思考一下什么时候：（1）l1∥l2；（2）l1，l2重合；（3）l1⊥l2.
【例3】 已知直线l1：y＝－x＋和l2：6my＝－x＋4，问m为何值时，l1与l2平行或垂直？
【规律方法】
两条直线平行和垂直的判定
（1）平行的判定
（2）垂直的判定
训练3 （1）以A（1，3），B（－5，1）为端点的线段的垂直平分线的斜截式方程为（ ）
A.y＝－3x－4 B.y＝3x－4
C.y＝3x＋4 D.y＝－3x＋4
（2）已知直线l：y＝－x＋与直线l'：y＝x－平行，且直线l与y轴的交点为（0，1），则a＝ ，b＝ .
1.已知直线l的方程是y－2＝3（1－x），则直线l的斜率是（ ）
A.2 B.－1 C.3 D.－3
2.直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则有（ ）
A.k＞0，b＞0 B.k＞0，b＜0
C.k＜0，b＞0 D.k＜0，b＜0
3.直线y＝6－3x的斜率为 ，在坐标轴上的截距之和等于 .
4.（1）求经过点（2，－3），且斜率为－4的直线方程；
（2）求经过直线y＝3－2x与y轴的交点且与该直线垂直的直线方程.
1.理清单 直线的点斜式方程与斜截式方程： 点斜式斜截式条件过点（x0，y0），斜率为k过点（0，b），斜率为k方程y－y0＝k（x－x0）y＝kx＋b
2.应体会 利用斜截式求直线方程时，要注意分类讨论思想的应用. 3.避易错 （1）求直线的点斜式与斜截式方程时忽略斜率不存在的情况； （2）混淆直线的截距和距离.
提示：完成课后作业 第二章 2.2 2.2.1
1 / 2
