2.2.2 直线的两点式方程
课标要求
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程（逻辑推理、数学运算）.
2.能利用直线的两点式方程推导出直线的截距式方程（直观想象、数学运算）.
情境导入
当前，男子100米短跑世界纪录为9.58秒，女子100米短跑世界纪录为10.49秒.在学校运动会上，如果你参加100米短跑比赛，那么你就会从起点努力冲刺直奔终点，可见，两点确定一条直线，本节课就来研究直线的两点式方程.
知识点一｜直线的两点式方程
问题1 （1）我们知道两点确定一条直线，如图，给定直线l上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），x1≠x2，试用点斜式写出l的方程；
提示：y－y1＝（x－x1）.
（2）给定直线l上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），x1≠x2，任选直线上一点P（x，y），其中P不与P1，P2重合，那么与有什么关系？
提示：＝，即＝.
（3）上面两个问题得到的结果所表示的直线一样吗？它们能表示所有直线吗？
提示：不一样，问题（2）中直线上的动点不能表示点P1（x1，y1）；不能，两者都不能表示垂直于x轴的直线.
【知识梳理】
1.经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2）的直线方程为 ＝ ，我们把它叫做直线的两点式方程，简称 两点式 .
2.当x1＝x2时，直线P1P2垂直于x轴，直线方程为x－x1＝0，即 x＝x1 ；当y1＝y2时，直线P1P2 垂直于 y轴，直线方程为y－y1＝0，即y＝y1.
提醒：（1）当经过两点（x1，y1），（x2，y2）的直线斜率不存在（x1＝x2）或斜率为0（y1＝y2）时，不能用两点式方程表示；（2）两点式方程与这两个点的顺序无关；（3）把直线的两点式方程化为（x2－x1）（y－y1）＝（y2－y1）（x－x1），则该方程表示过平面内任意不同两点（x1，y1），（x2，y2）的直线.
【例1】（链接教材P63例4）已知△ABC的三个顶点是A（1，3），B（－2，－1），C（1，－1）.
（1）求这个三角形三边所在直线的方程；
解：直线AB过点A（1，3），B（－2，－1），其两点式方程为＝，整理得4x－3y＋5＝0，这就是边AB所在直线的方程.
直线AC垂直于x轴，故边AC所在直线的方程为x＝1.
直线BC平行于x轴，
故边BC所在直线的方程为y＝－1.
（2）求边AB上的中线所在直线的方程.
解：设边AB的中点为M（a，b），
则a＝＝－，b＝＝1，
即M（－，1），
又边AB的中线过点C（1，－1），
所以＝，
即4x＋3y－1＝0，
所以边AB上的中线所在直线的方程为4x＋3y－1＝0.
【规律方法】
利用两点式求直线方程的策略
（1）首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程；
（2）在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程.
训练1 （1）若点P（3，m2－3m）在过点A（2，－1），B（－3，4）的直线上，则m＝1或2；
解析：由直线方程的两点式得＝，∴直线AB的方程为y＝－x＋1，∵点P（3，m2－3m）在直线AB上，则－（m2－3m）＋1＝3，得m＝1或2.
（2）已知直线经过点A（1，0），B（m，1），求这条直线的方程.
解：由直线经过点A（1，0），B（m，1），因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在.
①当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1；
②当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝，
即x－（m－1）y－1＝0.
综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1；
当m≠1时，直线方程为x－（m－1）y－1＝0.
知识点二｜直线的截距式方程
问题2 若直线l经过两点P1（a，0），P2（0，b）（a≠0，b≠0），如何求直线的方程？
提示：由直线的两点式方程得＝，即＋＝1.
【知识梳理】
我们把直线与x轴的交点（a，0）的 横坐标a 叫做直线l在x轴上的 截距 ，此时直线l在y轴上的截距是b.方程 ＋＝1 由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定，所以把此方程叫做直线的截距式方程，简称 截距式 .
提醒：（1）如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式方程求解，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示；（2）将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图.
【例2】求过点A（3，4），且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.
解：①当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＋＝1.
又l过点A（3，4），所以＋＝1，解得a＝－1.
所以直线l的方程为＋＝1，即x－y＋1＝0.
②当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点（3，4），所以4＝k·3，解得k＝，直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0.
变式 若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？
解：①当截距不为0时，设直线l的方程为＋＝1，
又l过点A（3，4），所以＋＝1，解得a＝7，
所以直线l的方程为x＋y－7＝0.
②当截距为0时，由例可得直线l的方程为4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0.
【规律方法】
应用截距式方程的注意事项
（1）如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可；
（2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直；
（3）要注意截距式方程的逆向应用.
训练2 （链接教材P64练习3题）根据下列条件，求直线的方程：
（1）过点（0，3），且在两坐标轴上截距之差等于5；
解：设直线方程为＋＝1，
则解得或
则直线方程为＋＝1或＋＝1，
即3x＋8y－24＝0或3x－2y＋6＝0.
（2）过点（1，2），且在两坐标轴上截距之和为6.
解：显然直线不经过原点，设直线的截距式方程为＋＝1，
由直线经过点（1，2），得＋＝1.
依题意，得a＋b＝6，所以b＝6－a，
代入＋＝1，整理得a2－5a＋6＝0，
解得a＝2或a＝3.
当a＝2时，b＝4，直线方程为＋＝1，即2x＋y－4＝0；
当a＝3时，b＝3，直线方程为＋＝1，即x＋y－3＝0.
提能点｜直线截距式方程的应用
【例3】直线l过点P（ ，2），且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点.
（1）当△AOB的周长为12时，求直线l的方程；
解：设直线l的方程为＋＝1（a＞0，b＞0），
由题意知，a＋b＋＝12. ①
因为直线l过点P（，2），
所以＋＝1. ②
联立①②，解得或
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
（2）当△AOB的面积为6时，求直线l的方程.
解：设直线l的方程为＋＝1（a＞0，b＞0），
由题意知，ab＝6即ab＝12， ③
联立②③，解得或
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
【规律方法】
直线方程与三角形的面积、周长之间的关系
解决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时，一般选择直线方程的截距式，若设直线在x轴，y轴上的截距分别为a，b，则直线与坐标轴所围成的三角形的面积S＝｜a｜｜b｜，周长C＝｜a｜＋｜b｜＋.
训练3 已知直线l过点P（2，1），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB面积的最小值及其对应的直线方程.
解：设直线l的截距式方程为＋＝1，
依题意，a＞0，b＞0，
又因为点P（2，1）在直线l上，
所以＋＝1，即2b＋a＝ab.
因为△AOB面积S＝｜OA｜·｜OB｜＝ab，
法一 由2b＋a＝ab≥2＞0，得≥2，所以ab≥8.
从而S＝ab≥4，当且仅当2b＝a，即a＝4，b＝2时，S取得最小值4，此时直线的方程为＋＝1，
即x＋2y－4＝0.
法二 由S＝ab＝（2b＋a）＝（2b＋a）·（＋）＝（4＋＋）≥（4＋2）＝4，
当且仅当2b＝a，即a＝4，b＝2时，S取得最小值4，
此时直线的方程为＋＝1，
即x＋2y－4＝0.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.（ √ ）
（2）能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示.（ √ ）
（3）直线y＝x在x轴和y轴上的截距均为0.（ √ ）
2.过P1（2，0），P2（0，3）两点的直线方程是（ ）
A.＋＝0 B.＋＝0
C.＋＝1 D.－＝1
解析：C 由截距式，得所求直线的方程为＋＝1.
3.过点A（5，6），B（－1，2）的直线的两点式方程是（ ）
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
解析：C 由直线的两点式方程＝（x1≠x2，y1≠y2），过点A（5，6）和点B（－1，2）的直线的两点式方程是＝.故选C.
4.求过点A（3，－1）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程.
解：当截距都为零时满足题意要求，直线方程为y＝－x，即x＋3y＝0.
当截距不为零时，设直线方程为＋＝1，
∴∴或
∴直线方程为＋＝1或＋＝1，即x＋y－2＝0或x－y－4＝0，
故所求直线方程为x＋3y＝0或x＋y－2＝0或x－y－4＝0.
课堂小结
1.理清单 直线的两点式与截距式方程： 两点式截距式条件过点P1（x1，y1）， P2（x2，y2）过点A（a，0），B（0，b）方程＝＋＝1
2.应体会 利用截距式求直线方程时要注意数形结合思想与分类讨论思想的应用. 3.避易错 （1）两点式方程不能表示平行于坐标轴的直线； （2）利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解.
1.经过下列两点的直线可以用两点式方程表示的是（ ）
A.（1，2），（－3，2） B.（3，2），（3，－4）
C.（1，2），（－3，4） D.（3，5），（－3，5）
解析：C 当直线经过两点P1（x1，y1）， P2（x2，y2）的坐标满足x1≠x2，y1≠y2时，直线可以用两点式方程＝表示.
2.直线3x－2y＝6在x轴，y轴上的截距分别为（ ）
A.3，－2 B.2，3
C.－2，3 D.2，－3
解析：D 由直线3x－2y＝6得截距式方程为＋＝1，所以直线在x轴，y轴上的截距分别为2，－3.
3.（2025·湛江月考）已知△ABC的三个顶点分别为A（2，8），B（－4，0），C（6，0），则过点B将△ABC的面积平分的直线方程为（ ）
A.2x－y＋4＝0 B.x＋2y＋4＝0
C.2x＋y－4＝0 D.x－2y＋4＝0
解析：D 由A（2，8），C（6，0），得AC的中点坐标为D（4，4），则过点B将△ABC的面积平分的直线过点D（4，4），则所求直线方程为＝，即x－2y＋4＝0.
4.已知直线过点（2，1），且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为（ ）
A.2x＋y－5＝0
B.x＋2y－4＝0
C.x－2y＝0或x＋2y－4＝0
D.x－2y＝0或2x＋y－5＝0
解析：C 当截距为0时，设直线的方程为y＝kx，因为直线过点（2，1），所以1＝2k，即k＝，则直线的方程为y＝x，即x－2y＝0；当截距不为0时，设直线的方程为＋＝1，因为直线过点（2，1），所以＋＝1，则a＝2，所以直线的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0.综上，直线的方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0.
5.（2025·滨州月考）两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是（ ）
解析：A 将两方程化为截距式l1：＋＝1，l2：＋＝1.假定l1的位置，判断a，b的正负，从而确定l2的位置，知A项符合.
6.〔多选〕下列说法正确的是（ ）
A.不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示
B.若直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，且线段AB的中点为（4，1），则直线l的方程为＋＝1
C.在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程x＋y＝a（a∈R）表示
D.直线3x－2y＝4的截距式方程为＋＝1
解析：BD 与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A错误；因为线段AB的中点为（4，1），所以直线l过点（8，0），（0，2），所以直线l的方程为＋＝1，故B正确；直线x－y＝0在两坐标轴上的截距相等，但不能用x＋y＝a（a∈R）表示，故C错误；方程3x－2y＝4可化为＋＝1，故D正确.故选B、D.
7.〔多选〕光线自点（2，4）射入，经y轴反射后经过点（5，0），则下列选项中反射光线所在的直线经过的点有（ ）
A.（－9，8） B.（3，1）
C.（7，－1） D.（12，－4）
解析：AD 点（2，4）关于y轴的对称点为（－2，4），则反射光线所在的直线经过点（－2，4）和点（5，0），则反射光线所在直线的方程为＝，即4x＋7y－20＝0.将四个选项中的点的坐标分别代入直线方程进行验证可知A、D选项符合题意.
8.已知直线3x＋4y＝b与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数b＝±6.
解析：方程3x＋4y＝b，令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝.故与坐标轴围成的三角形的面积为S＝×｜｜×｜｜＝，解得b＝±6.
9.某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y（元）与行李重量x（kg）的关系如图所示，则旅客最多可免费携带行李的重量为30kg.
解析：由题图知点A（60，6），B（80，10），由直线方程的两点式，得直线AB的方程是＝，即y＝x－6.依题意，令y＝0，得x＝30，即旅客最多可免费携带30 kg行李.
10.（2025·日照月考）求满足下列条件的直线方程：
（1）在△ABC中，已知A（1，－4），B（6，6），C（－2，0），求△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程并化为截距式；
（2）经过点（2，1），且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程.
解：（1）平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线.
因为线段AB，AC的中点坐标分别为（，1），（－，－2），所以平行于BC边的中位线所在直线的方程为＝，整理得，6x－8y－13＝0，化为截距式方程为＋＝1.
（2）由题意设直线方程为＋＝1或＋＝1，把点（2，1）代入直线方程得＋＝1或＋＝1，解得a＝3或a＝1，所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，即x＋y－3＝0或x－y－1＝0.
11.（2025·广州期中）数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点坐标为A（0，0），B（0，4），C（4，4），则△ABC欧拉线的方程为（ ）
A.x＋y－4＝0 B.x－y＋4＝0
C.x＋y＋4＝0 D.x－y－4＝0
解析：A 由A（0，0），B（0，4），C（4，4），得AB⊥BC，则Rt△ABC的垂心为B（0，4），外心为（2，2），所以△ABC欧拉线的方程为＝，即x＋y－4＝0.
12.〔多选〕直线l经过点A（1，2），在x轴上的截距的取值范围是（－3，3），则其斜率的取值范围可以是（ ）
A.（－1，） B.（－∞，－1）
C.（，＋∞） D.（，＋∞）
解析：BD 设直线的斜率为k，如图，过定点A的直线经过点B（3，0）时，直线l在x轴上的截距为3，此时k＝－1；过定点A的直线经过点C（－3，0）时，直线l在x轴的截距为－3，此时k＝，满足条件的直线l的斜率范围是（－∞，－1）∪（，＋∞）.
13.已知A（3，0），B（0，4），直线AB上一动点P（x，y），则xy的最大值是3.
解析：直线AB的方程为＋＝1，P（x，y）在直线AB上，则x＝3－y，∴xy＝3y－y2＝（－y2＋4y）＝[－（y－2）2＋4]≤3.即当P点坐标为（，2）时，xy取得最大值3.
14.在△ABC中，A（4，2），B，C两点分别在x轴与y轴上，且直线AB在y轴上的截距为1，直线AC的倾斜角为45°.求：
（1）直线AB，AC的方程；
（2）△ABC的面积S.
解：（1）因为直线AB在y轴上的截距为1，
所以其过点D（0，1），
所以直线AB的方程为＝，化简得y＝x＋1.
由已知得直线AC的斜率为k＝tan 45°＝1，
所以直线AC的方程为y－2＝x－4，
化简得y＝x－2.
（2）由（1）知，直线AB的方程为y＝x＋1，
令y＝0，得x＝－4，故B（－4，0）.
直线AC的方程为y＝x－2，
令x＝0，得y＝－2，故C（0，－2），
所以△ABC的面积S＝S△ACD＋S△BCD＝｜CD｜×4＋｜CD｜×4＝4｜CD｜＝12.
15.如图，某小区内有一块荒地ABCDE，已知BC＝210 m，CD＝240 m，DE＝300 m，EA＝180 m，AE∥CD，BC∥DE，C＝90°，今欲在该荒地上划出一块长方形地面（不改变方位）进行开发.问如何设计才能使开发的面积最大？最大开发面积是多少？
解：以BC所在直线为x轴，AE所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图），由已知可得A（0，60），B（90，0），所以AB所在直线的方程为＋＝1，即y＝60（1－）.所以y＝60－x.从而可设P（x，60－x），其中0≤x≤90，所以所开发部分的面积为S＝（300－x）（240－y）.
故S＝（300－x）（240－60＋x）
＝－x2＋20x＋54 000（0≤x≤90），
所以当x＝－＝15，
且y＝60－×15＝50时，S取最大值为（300－15）×（240－50）＝54 150（m2）.
因此点P距AE 15 m，距BC 50 m时所开发的面积最大，最大开发面积为54 150 m2.
1 / 102.2.2 直线的两点式方程
课标要求
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程（逻辑推理、数学运算）. 2.能利用直线的两点式方程推导出直线的截距式方程（直观想象、数学运算）.
知识点一｜直线的两点式方程
问题1 （1）我们知道两点确定一条直线，如图，给定直线l上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），x1≠x2，试用点斜式写出l的方程；
（2）给定直线l上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），x1≠x2，任选直线上一点P（x，y），其中P不与P1，P2重合，那么与有什么关系？
（3）上面两个问题得到的结果所表示的直线一样吗？它们能表示所有直线吗？
【知识梳理】
1.经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2）的直线方程为 ，我们把它叫做直线的两点式方程，简称 .
2.当x1＝x2时，直线P1P2垂直于x轴，直线方程为x－x1＝0，即 ；当y1＝y2时，直线P1P2 y轴，直线方程为y－y1＝0，即y＝y1.
提醒：（1）当经过两点（x1，y1），（x2，y2）的直线斜率不存在（x1＝x2）或斜率为0（y1＝y2）时，不能用两点式方程表示；（2）两点式方程与这两个点的顺序无关；（3）把直线的两点式方程化为（x2－x1）（y－y1）＝（y2－y1）（x－x1），则该方程表示过平面内任意不同两点（x1，y1），（x2，y2）的直线.
【例1】 （链接教材P63例4）已知△ABC的三个顶点是A（1，3），B（－2，－1），C（1，－1）.
（1）求这个三角形三边所在直线的方程；
（2）求边AB上的中线所在直线的方程.
【规律方法】
利用两点式求直线方程的策略
（1）首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程；
（2）在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程.
训练1 （1）若点P（3，m2－3m）在过点A（2，－1），B（－3，4）的直线上，则m＝ ；
（2）已知直线经过点A（1，0），B（m，1），求这条直线的方程.
知识点二｜直线的截距式方程
问题2 若直线l经过两点P1（a，0），P2（0，b）（a≠0，b≠0），如何求直线的方程？
【知识梳理】
我们把直线与x轴的交点（a，0）的 叫做直线l在x轴上的 ，此时直线l在y轴上的截距是b.方程 由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定，所以把此方程叫做直线的截距式方程，简称 .
提醒：（1）如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式方程求解，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示；（2）将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图.
【例2】 求过点A（3，4），且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.
变式 若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？
【规律方法】
应用截距式方程的注意事项
（1）如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可；
（2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直；
（3）要注意截距式方程的逆向应用.
训练2 （链接教材P64练习3题）根据下列条件，求直线的方程：
（1）过点（0，3），且在两坐标轴上截距之差等于5；
（2）过点（1，2），且在两坐标轴上截距之和为6.
提能点｜直线截距式方程的应用
【例3】 直线l过点P（ ，2），且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点.
（1）当△AOB的周长为12时，求直线l的方程；
（2）当△AOB的面积为6时，求直线l的方程.
【规律方法】
直线方程与三角形的面积、周长之间的关系
解决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时，一般选择直线方程的截距式，若设直线在x轴，y轴上的截距分别为a，b，则直线与坐标轴所围成的三角形的面积S＝｜a｜｜b｜，周长C＝｜a｜＋｜b｜＋.
训练3 已知直线l过点P（2，1），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB面积的最小值及其对应的直线方程.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.（ ）
（2）能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示.（ ）
（3）直线y＝x在x轴和y轴上的截距均为0.（ ）
2.过P1（2，0），P2（0，3）两点的直线方程是（ ）
A.＋＝0 B.＋＝0
C.＋＝1 D.－＝1
3.过点A（5，6），B（－1，2）的直线的两点式方程是（ ）
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
4.求过点A（3，－1）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程.
课堂小结
1.理清单 直线的两点式与截距式方程： 两点式截距式条件过点P1（x1，y1）， P2（x2，y2）过点A（a，0），B（0，b）方程＝＋＝1
2.应体会 利用截距式求直线方程时要注意数形结合思想与分类讨论思想的应用. 3.避易错 （1）两点式方程不能表示平行于坐标轴的直线； （2）利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解.
提示：完成课后作业 第二章 2.2 2.2.2
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