2.3.2 两点间的距离公式
课标要求
1.探索并掌握平面上两点间的距离公式（逻辑推理）. 2.会用坐标法证明简单的平面几何问题（数学运算、直观想象）.
知识点一｜两点间的距离公式
问题 （1）在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？
（2）如何用向量法求平面内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离？
（3）你能利用P1（x1，y1），P2（x2，y2）构造直角三角形，再用勾股定理求P1，P2两点间的距离吗？
【知识梳理】
条件 点P1（x1，y1），P2（x2，y2）
结论 ｜P1P2｜＝
特例 点P（x，y）到原点O（0，0）的距离｜OP｜＝
提醒：当A，B两点的连线平行x轴时，｜AB｜＝｜x1－x2｜；当两点的连线平行y轴时，｜AB｜＝｜y1－y2｜.
【例1】 （1）已知A（－1，0），B（5，6），C（3，4）三点，则＝（ ）
A.2 B.3
C. D.
（2）已知三角形的三个顶点A（2，4），B（3，－6），C（5，2），则BC边上中线的长为 .
【规律方法】
求两点间距离的方法
首先根据题目条件确定点的坐标，再代入到两点间的距离公式求值，代入时注意点的坐标的对应位置要准确.
训练1 （1）（2025·烟台月考）直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1，5，则｜PQ｜＝（ ）
A.4 B.4
C.2 D.2
（2）已知过A（m，2），B（－m，m－1）两点的直线的倾斜角是45°，则｜AB｜＝（ ）
A.2 B.
C.2 D.3
知识点二｜两点间距离公式的应用
【例2】 （1）在已知直线2x－y＝0上存在一点P，使它到点M（5，8）的距离为5，则直线PM的方程为 ；
（2）已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，－1），B（－1，3），C（3，0），试判断△ABC的形状.
变式 若本例（2）条件不变，试求△ABC的面积.
【规律方法】
关于两点间距离公式的应用
（1）已知距离求参数，一般通过两点间的距离公式建立方程求解，但是求出的值需要检验；
（2）判断三角形的形状，先根据两点间的距离公式分别求出三边的长，再结合三角形的性质判断.
训练2 已知点A（－3，4），B（2，），在x轴上找一点P，使｜PA｜＝｜PB｜，并求｜PA｜的值.
知识点三｜坐标法的应用
【例3】 （链接教材P73例4）在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：｜AB｜2＋｜AC｜2＝2（｜AD｜2＋｜DC｜2）.
【规律方法】
用坐标法解决几何问题的基本步骤
（1）建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；
（2）进行有关的代数运算；
（3）把代数运算结果“翻译”成几何关系.
提醒：建系时让图形中尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算.
训练3 （2025·常州月考）已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：｜AC｜＝｜BD｜.
1.原点O与点A（－6，8）之间的距离为（ ）
A.6 B.8 C.10 D.14
2.已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），若A，B，C是△ABC的三个顶点，则△ABC是（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
3.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，2）和B（0，b）满足｜OB｜＝｜BA｜，那么b＝ .
4.（链接教材P79习题11题）已知等腰三角形ABC的顶点是A（3，0），｜BC｜＝4，BC边的中点是D（5，4），则此三角形的腰长为 .
课堂小结
1.理清单 （1）两点间的距离公式； （2）两点间距离公式的应用； （3）坐标法的应用. 2.应体会 利用两点间距离公式解决平面几何问题时，要注意数形结合思想与坐标法的应用. 3.避易错 （1）已知距离求参数问题时易漏解； （2）利用坐标法判断几何图形的形状不仅考察平行、垂直等位置关系，同时不要忽视边长之间的相等关系.
提示：完成课后作业 第二章 2.3 2.3.2
2 / 22.3.2 两点间的距离公式
课标要求
1.探索并掌握平面上两点间的距离公式（逻辑推理）.
2.会用坐标法证明简单的平面几何问题（数学运算、直观想象）.
情境导入
在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区的住户出行.如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？
知识点一｜两点间的距离公式
问题 （1）在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？
提示：｜AB｜＝｜xA－xB｜.
（2）如何用向量法求平面内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离？
提示：因为＝（x2－x1，y2－y1），所以｜｜＝.
（3）你能利用P1（x1，y1），P2（x2，y2）构造直角三角形，再用勾股定理求P1，P2两点间的距离吗？
提示：如图，在Rt△P1QP2中，｜P1P2｜2＝｜P1Q｜2＋｜QP2｜2，所以｜P1P2｜＝.
【知识梳理】
条件 点P1（x1，y1），P2（x2，y2）
结论 ｜P1P2｜＝
特例 点P（x，y）到原点O（0，0）的距离｜OP｜＝
提醒：当A，B两点的连线平行x轴时，｜AB｜＝｜x1－x2｜；当两点的连线平行y轴时，｜AB｜＝｜y1－y2｜.
【例1】（1）已知A（－1，0），B（5，6），C（3，4）三点，则＝（ A ）
A.2 B.3
C. D.
解析：｜AC｜＝＝4，｜CB｜＝＝2，所以＝2.
（2）已知三角形的三个顶点A（2，4），B（3，－6），C（5，2），则BC边上中线的长为2.
解析：设BC的中点为D（x，y），由中点坐标公式得所以D（4，－2），所以｜AD｜＝＝＝2.
【规律方法】
求两点间距离的方法
首先根据题目条件确定点的坐标，再代入到两点间的距离公式求值，代入时注意点的坐标的对应位置要准确.
训练1 （1）（2025·烟台月考）直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1，5，则｜PQ｜＝（ B ）
A.4 B.4
C.2 D.2
解析：由题意得P（1，1），Q（5，5），∴｜PQ｜＝＝4.
（2）已知过A（m，2），B（－m，m－1）两点的直线的倾斜角是45°，则｜AB｜＝（ C ）
A.2 B.
C.2 D.3
解析：由题知，＝tan 45°＝1，解得m＝1，故A（1，2），B（－1，0），则A，B两点间的距离为＝2.故选C.
知识点二｜两点间距离公式的应用
【例2】（1）在已知直线2x－y＝0上存在一点P，使它到点M（5，8）的距离为5，则直线PM的方程为4x－3y＋4＝0或24x－7y－64＝0；
解析：∵点P在直线2x－y＝0上，∴可设P点坐标为（a，2a），∴＝5，即5a2－42a＋64＝0，解得a＝2或a＝，∴点P的坐标为（2，4）或（，）.∴直线PM的方程为＝或＝，即4x－3y＋4＝0或24x－7y－64＝0.
（2）已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，－1），B（－1，3），C（3，0），试判断△ABC的形状.
解：因为｜AB｜＝＝2，
｜AC｜＝＝，
｜BC｜＝＝5.
所以｜AB｜2＋｜AC｜2＝｜BC｜2，即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形.
变式 若本例（2）条件不变，试求△ABC的面积.
解：由例2（2）得｜AB｜＝2，｜AC｜＝.
又因为A＝90°，所以S△ABC＝｜AB｜｜AC｜＝×2×＝5.
【规律方法】
关于两点间距离公式的应用
（1）已知距离求参数，一般通过两点间的距离公式建立方程求解，但是求出的值需要检验；
（2）判断三角形的形状，先根据两点间的距离公式分别求出三边的长，再结合三角形的性质判断.
训练2 已知点A（－3，4），B（2，），在x轴上找一点P，使｜PA｜＝｜PB｜，并求｜PA｜的值.
解：设点P的坐标为（x，0），则有
｜PA｜＝＝，
｜PB｜＝
＝.
由｜PA｜＝｜PB｜，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－.
故所求点P的坐标为.
｜PA｜＝
＝.
知识点三｜坐标法的应用
【例3】（链接教材P73例4）在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：｜AB｜2＋｜AC｜2＝2（｜AD｜2＋｜DC｜2）.
证明：如图，以D为原点，以BC所在边的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设点A（b，c），C（a，0），则B（－a，0），
因为｜AB｜2＝（a＋b）2＋c2，
｜AC｜2＝（a－b）2＋c2，｜AD｜2＝b2＋c2，
｜DC｜2＝a2，
所以｜AB｜2＋｜AC｜2＝2（a2＋b2＋c2），
｜AD｜2＋｜DC｜2＝b2＋c2＋a2，
所以｜AB｜2＋｜AC｜2＝2（｜AD｜2＋｜DC｜2）.
【规律方法】
用坐标法解决几何问题的基本步骤
（1）建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；
（2）进行有关的代数运算；
（3）把代数运算结果“翻译”成几何关系.
提醒：建系时让图形中尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算.
训练3 （2025·常州月考）已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：｜AC｜＝｜BD｜.
证明：建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），
设B（a，0），C（b，c），则点D的坐标是（a－b，c），所以｜AC｜＝＝，
｜BD｜＝＝.
故｜AC｜＝｜BD｜.
1.原点O与点A（－6，8）之间的距离为（ ）
A.6 B.8 C.10 D.14
解析：C 因为｜OA｜2＝（－6）2＋64＝100，所以｜OA｜＝10.
2.已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），若A，B，C是△ABC的三个顶点，则△ABC是（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
解析：B 因为｜AB｜＝＝2，｜AC｜＝＝2，｜BC｜＝＝2，所以｜AC｜＝｜BC｜＞｜AB｜，△ABC为等腰三角形.
3.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，2）和B（0，b）满足｜OB｜＝｜BA｜，那么b＝5.
解析：由｜OB｜＝｜BA｜及两点间距离公式可得＝，即b2＝42＋（2－b）2，解得b＝5.
4.（链接教材P79习题11题）已知等腰三角形ABC的顶点是A（3，0），｜BC｜＝4，BC边的中点是D（5，4），则此三角形的腰长为2.
解析：｜BD｜＝｜BC｜＝2，｜AD｜＝＝2，所以在Rt△ADB中，｜AB｜＝＝2.
课堂小结
1.理清单 （1）两点间的距离公式； （2）两点间距离公式的应用； （3）坐标法的应用. 2.应体会 利用两点间距离公式解决平面几何问题时，要注意数形结合思想与坐标法的应用. 3.避易错 （1）已知距离求参数问题时易漏解； （2）利用坐标法判断几何图形的形状不仅考察平行、垂直等位置关系，同时不要忽视边长之间的相等关系.
1.已知点M（x，－4）与点N（2，3）间的距离为7，则x＝（ ）
A.－5 B.－9
C.－5或9 D.－9或5
解析：C 由｜MN｜＝7，得｜MN｜＝＝7，即x2－4x－45＝0，解得x1＝9或x2＝－5.故所求x的值为9或－5.
2.已知直线l1：x＋2y－5＝0，直线l2：3x－y－1＝0的交点为A，O为坐标原点，则点A到原点的距离为（ ）
A.1 B.2
C. D.
解析：C 解方程组得即A（1，2），而O为坐标原点，则｜AO｜＝＝，所以点A到原点的距离为.
3.到点A（1，3），B（－5，1）的距离相等的动点P满足的方程是（ ）
A.3x－y－8＝0 B.3x＋y＋4＝0
C.3x－y＋6＝0 D.3x＋y＋2＝0
解析：B 设P（x，y），则＝，化简得3x＋y＋4＝0.
4.光线从点A（－3，5）射到x轴上，经反射后经过点B（2，10），则光线从A到B经过的路程为（ ）
A.5 B.2
C.5 D.10
解析：C 点A（－3，5）关于x轴的对称点为A'（－3，－5），则光线从A到B经过的路程为A'B的长度，｜A'B｜＝＝5.故选C.
5.若点A（－3，4）与坐标轴上的点P的距离等于5，则点P的个数是（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
解析：C 若点P在x轴上，设点P的坐标为（x，0），由点P与点A之间的距离等于5，得＝5，解得x＝0或x＝－6.∴点P的坐标为（0，0）或（－6，0）.若点P在y轴上，设点P的坐标为（0， y），由点P与点A之间的距离等于5，得＝5，解得y＝0或y＝8.∴点P的坐标为（0，0）或（0，8）.综上所述，满足题意的点有3个.
6.〔多选〕在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，若点A，C的坐标分别为（0，4），（3，3），则点B的坐标可能是（ ）
A.（6，4） B.（2，0）
C.（4，6） D.（0，2）
解析：BC 设B（x，y），因为△ABC是等腰直角三角形，且∠C＝90°，点A，C的坐标分别为（0，4），（3，3），所以解得或故选B、C.
7.〔多选〕对于，下列说法正确的是（ ）
A.可看作点（x，0）与点（1，2）的距离
B.可看作点（x，0）与点（－1，－2）的距离
C.可看作点（x，0）与点（－1，2）的距离
D.可看作点（x，－1）与点（－1，1）的距离
解析：BCD ＝＝＝，可看作点（x，0）与点（－1，2）的距离，也可看作点（x，0）与点（－1，－2）的距离，或者可看作点（x，－1）与点（－1，1）的距离，故B、C、D正确.
8.已知A，B两点都在直线y＝2x－1上，且A，B两点的横坐标之差的绝对值为，则A，B两点间的距离为.
解析：设点A（a，2a－1），点B（b，2b－1），因为｜a－b｜＝，所以｜AB｜＝＝｜a－b｜＝.
9.（2025·杭州月考）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＋y＋a＝0与点A（2，0）.若直线l上存在点M满足｜MA｜＝2｜MO｜（O为坐标原点），则实数a的取值范围是［，］.
解析：设M（x，－x－a）.由｜MA｜＝2｜MO｜，得（x－2）2＋（－x－a）2＝4x2＋4（－x－a）2，整理得6x2＋（6a＋4）x＋3a2－4＝0.由Δ≥0得9a2－12a－28≤0，解得≤a≤，故实数a的取值范围为［，］.
10.已知A（－2，0），B（0，4），线段AB的垂直平分线为直线l.
（1）求直线l的一般式方程；
（2）若点C在直线l上，且｜AC｜＝，求点C坐标.
解：（1）因为A（－2，0），B（0，4），所以线段AB的中点坐标为（－1，2），kAB＝＝2.
又线段AB的垂直平分线为直线l，所以kl＝－＝－，
所以直线l的方程为y－2＝－（x＋1），
即x＋2y－3＝0.
（2）设点C的坐标为（a，b）.由题意有
解得或
所以点C的坐标为（1，1）或（－3，3）.
11.设m∈R，过定点A的直线x＋my－m＝0和过定点B的直线mx－y－m＋3＝0交于点P，则｜PA｜2＋｜PB｜2＝（ ）
A.5 B.
C. D.与m的取值有关
解析：A 直线x＋my－m＝0过定点A（0，1），直线mx－y－m＋3＝0过定点B（1，3），且直线x＋my－m＝0和直线mx－y－m＋3＝0满足1×m－m×1＝0，故两直线垂直，故｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2＝12＋22＝5.故选A.
12.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M（x，y）与点N（a，b）的距离.结合上述观点，可得y＝＋的最小值为（ ）
A.4 B.2
C.＋ D.3＋
解析：A 因为y＝f（x）＝＋＝＋，则f（x）可看作x轴上一点P（x，0）到点A（－2，－2）与点B（2，2）的距离之和，即｜PA｜＋｜PB｜，则可知当A，P，B三点共线时，｜PA｜＋｜PB｜取得最小值，即（｜PA｜＋｜PB｜）min＝｜AB｜＝＝4.故选A.
13.〔多选〕已知点A（－2，－1），B（2，2），直线l：ax＋y＋3a－3＝0上存在点P满足｜PA｜＋｜PB｜＝5，则实数a的取值可能为（ ）
A.－2 B.0
C.1 D.3
解析：CD 直线l：ax＋y＋3a－3＝0变形为y－3＝－a（x＋3），故直线l过定点C（－3，3），且斜率为－a，又｜AB｜＝＝5，要想直线l：ax＋y＋3a－3＝0上存在点P满足｜PA｜＋｜PB｜＝5，即l：ax＋y＋3a－3＝0与线段AB有交点，因为kBC＝＝－，kAC＝＝－4，故－a∈［－4，－］，解得a∈［，4］，故C、D满足要求，A，B不满足要求.故选C、D.
14.在△ABC中，D是BC边上的任意一点（D与B，C不重合），且｜AB｜2＝｜AD｜2＋｜BD｜｜DC｜.求证：△ABC为等腰三角形.
证明：作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
设A（0，h），B（b，0），C（c，0），D（d，0）.
因为｜AB｜2＝｜AD｜2＋｜BD｜｜DC｜，
则由两点间的距离公式得b2＋h2＝d2＋h2＋（d－b）·（c－d），
整理得－（d－b）（b＋d）＝（d－b）（c－d）.
因为点D与点B，C不重合，所以d－b≠0，
所以－b－d＝c－d，即－b＝c.
所以｜OB｜＝｜OC｜，于是｜AB｜＝｜AC｜，即△ABC为等腰三角形.
15.如图，梯形ABCD在平面直角坐标系中，AD∥BC，∠ADC＝90°，｜AB｜＝｜DA｜＋｜CB｜.腰DC在x轴上，O是线段DC的中点，｜BO｜＝4，且∠BOC＝60°.求：
（1）A，B，C，D各点的坐标；
（2）梯形ABCD的面积.
解：（1）如图所示，过点A作AE⊥BC于点E，
因为AD∥BC，∠ADC＝90°，
所以∠BCD＝90°，
又因为｜BO｜＝4，且∠BOC＝60°，
所以｜OC｜＝2，｜BC｜＝2，
所以点C的坐标为（2，0），点B的坐标为（2，2）.
又因为O为线段DC的中点，所以｜DO｜＝2，
所以点D的坐标为（－2，0），
设点A的纵坐标为y，所以点A的坐标为（－2，y）.
所以｜AE｜＝｜DC｜＝4，｜EC｜＝｜AD｜＝y，
｜BE｜＝｜BC｜－｜EC｜＝2－y.
因为｜AB｜＝｜DA｜＋｜CB｜＝y＋2，且∠BEA＝90°，
所以｜AB｜2＝｜AE｜2＋｜BE｜2，即（y＋2）2＝42＋（2－y）2，解得y＝，所以点A的坐标为（－2，）.
（2）S梯形ABCD＝×（＋2）×4＝.
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