2.3.3 点到直线的距离公式
课标要求
1.经历用坐标法、几何法以及向量法推导点到直线的距离公式的过程（逻辑推理、数学运算）. 2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活利用公式计算距离或证明几何命题（数学运算、直观想象）.
知识点一｜点到直线的距离公式
问题 （1）如图，在平面直角坐标系中，已知点P（x0，y0），直线l：Ax＋By＋C＝0（A≠0，B≠0），怎样求出点P到直线l的距离呢？
（2）向量是解决距离、角度问题的有力工具，如图，怎样用向量方法求点P（x0，y0）到直线l的距离呢？
【知识梳理】
1.定义：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是 .
2.公式：点P（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）的距离d＝ .
提醒：（1）利用公式时直线的方程必须是一般式；（2）若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可用数形结合求解.
【例1】 （链接教材P77例5）已知点P（－1，2），则点P到直线l1：y＋3＝0，l2：3x－4y＋6＝0的距离分别为（ ）
A.5，1 B.1，1
C.5，3 D.3，1
【规律方法】
点到直线距离的求法
（1）求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可；
（2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝｜x0－a｜或d＝｜y0－b｜.
训练1 （1）原点到直线y＝x＋的距离为 ；
（2）已知直线l经过点P（－3，1），倾斜角为直角，则点Q（2，－3）到l的距离为 .
知识点二｜点到直线距离公式的简单应用
【例2】 （1）（2025·苏州月考）点P在x轴上，且到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为 ；
（2）已知直线l经过点（－2，3），且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为 .
【规律方法】
1.若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可.
2.根据距离求方程时先设出方程，然后由题意列方程求参数，也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l的特征，然后由已知条件写出l的方程.
训练2 （1）已知坐标平面内两点A（3，2）和B（－1，4）到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为 ；
（2）已知△ABC的三个顶点分别为A（－1，3），B（－3，0），C（1，2），则△ABC的面积S＝ .
提能点｜点到直线距离的最值问题
【例3】 （1）已知点P（－2，3），若点Q是直线l：3x＋4y＋3＝0上的动点，则｜PQ｜的最小值为（ ）
A.2 B.
C. D.
（2）当点P（3，2）到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，实数m＝ .
【规律方法】
1.点在直线上运动时，与直线外一点最小距离为垂线段长度；直线围绕点转动时，与直线外一点最大距离为两定点距离.
2.注意画图，数形结合在此类问题求解中至关重要.
训练3 （1）（2025·韶关月考）动点P（x，y）在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则｜OP｜最小时点P的坐标为 ；
（2）已知直线l： （3m＋2）x＋（2m＋1）y＝m＋2，则点A（－1，－1）到直线l的距离的取值范围为 .
1.点A（0，－4）到直线y＝2－x的距离为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.到两条坐标轴距离相等的点（x，y）的坐标满足的方程是（ ）
A.x－y＝0 B.x＋y＝0
C.｜x｜－y＝0 D.｜x｜－｜y｜＝0
3.若点（－2，2）到直线3x＋4y＋c＝0的距离为3，则实数c＝ .
4.点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）距离的最大值为 .
课堂小结
1.理清单 （1）点到直线的距离公式； （2）点到直线距离公式的简单应用； （3）点到直线距离的最值问题. 2.应体会 （1）应用点到直线的距离公式解决问题时，常利用数形结合思想； （2）求解点到直线距离的最值问题要注意特殊到一般及分类讨论思想的应用. 3.避易错 在应用点到直线的距离公式时，特别注意直线的方程应为一般式.
提示：完成课后作业 第二章 2.3 2.3.3
2 / 22.3.3 点到直线的距离公式
课标要求
1.经历用坐标法、几何法以及向量法推导点到直线的距离公式的过程（逻辑推理、数学运算）.
2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活利用公式计算距离或证明几何命题（数学运算、直观想象）.
情境导入
在铁路的附近，有一大型仓库.现要修建一条公路与之连接起来，易知沿仓库垂直于铁路方向所修的公路最短.将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？
知识点一｜点到直线的距离公式
问题 （1）如图，在平面直角坐标系中，已知点P（x0，y0），直线l：Ax＋By＋C＝0（A≠0，B≠0），怎样求出点P到直线l的距离呢？
提示：点P到直线l的距离就是点P到直线l的垂线段的长，如图，过点P作直线l的垂线为l'，垂足为Q，由l'⊥l可知l'的斜率为，∴l'的方程为y－y0＝（x－x0），与l联立方程组，解得交点Q（，），
∴｜PQ｜＝.
（2）向量是解决距离、角度问题的有力工具，如图，怎样用向量方法求点P（x0，y0）到直线l的距离呢？
提示：可以看作在直线l的垂线上的投影向量，直线l：Ax＋By＋C＝0（AB≠0）的斜率为－，所以m＝（B，－A）是它的一个方向向量.
①由向量的数量积运算可求得与直线l垂直的一个单位向量n＝·（A，B）.
②在直线l上任取点M（x，y），可得向量＝（x－x0，y－y0）.
③｜PQ｜＝｜｜＝｜·n｜＝.
【知识梳理】
1.定义：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是 垂足 .
2.公式：点P（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）的距离d＝ .
提醒：（1）利用公式时直线的方程必须是一般式；（2）若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可用数形结合求解.
【例1】（链接教材P77例5）已知点P（－1，2），则点P到直线l1：y＋3＝0，l2：3x－4y＋6＝0的距离分别为（ ）
A.5，1 B.1，1
C.5，3 D.3，1
解析：A 点P（－1，2）到直线l1：y＋3＝0的距离d1＝＝5（也可利用d1＝｜2－（－3）｜＝5求得）.点P（－1，2）到直线l2：3x－4y＋6＝0的距离为d2＝＝1.
【规律方法】
点到直线距离的求法
（1）求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可；
（2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝｜x0－a｜或d＝｜y0－b｜.
训练1 （1）原点到直线y＝x＋的距离为；
解析：原点到直线y＝x＋即6x－8y＋15＝0的距离d＝＝.
（2）已知直线l经过点P（－3，1），倾斜角为直角，则点Q（2，－3）到l的距离为5.
解析：直线l经过点P（－3，1），倾斜角为直角，则直线l的方程为x＝－3，则点Q（2，－3）到l的距离为d＝｜－3－2｜＝5.
知识点二｜点到直线距离公式的简单应用
【例2】（1）（2025·苏州月考）点P在x轴上，且到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为（8，0）或（－12，0）；
解析：设点P的坐标为（x，0），则＝6，解得x＝8或x＝－12.∴点P的坐标为（8，0）或（－12，0）.
（2）已知直线l经过点（－2，3），且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为x＋2＝0或5x＋12y－26＝0.
解析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，符合原点到直线l的距离等于2；当直线l的斜率存在时，设所求直线l的方程为y－3＝k（x＋2），即kx－y＋2k＋3＝0，由原点到直线l的距离d＝＝2，得k＝－，即直线l的方程为5x＋12y－26＝0.综上，直线l的方程为x＋2＝0或5x＋12y－26＝0.
【规律方法】
1.若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可.
2.根据距离求方程时先设出方程，然后由题意列方程求参数，也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l的特征，然后由已知条件写出l的方程.
训练2 （1）已知坐标平面内两点A（3，2）和B（－1，4）到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为－6或；
解析：由＝，得｜3m＋5｜＝｜m－7｜，∴m＝－6或m＝.
（2）已知△ABC的三个顶点分别为A（－1，3），B（－3，0），C（1，2），则△ABC的面积S＝4.
解析：由两点间的距离公式得｜BC｜＝＝2，BC所在直线的方程为＝，即x－2y＋3＝0.点A到直线BC的距离d＝＝，所以△ABC的面积S＝｜BC｜·d＝×2×＝4.
提能点｜点到直线距离的最值问题
【例3】（1）已知点P（－2，3），若点Q是直线l：3x＋4y＋3＝0上的动点，则｜PQ｜的最小值为（ B ）
A.2 B.
C. D.
解析：由点P（－2，3），点Q是直线l：3x＋4y＋3＝0上的动点，则｜PQ｜的最小值为点P到直线l的距离，所以｜PQ｜的最小值为d＝＝.故选B.
（2）当点P（3，2）到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，实数m＝－1.
解析：直线mx－y＋1－2m＝0可化为y－1＝m（x－2）.由直线点斜式方程可知直线恒过定点Q（2，1）且斜率为m，结合图象（图略）可知当PQ与直线mx－y＋1－2m＝0垂直时，点到直线距离最大，此时m·＝－1，解得m＝－1.
【规律方法】
1.点在直线上运动时，与直线外一点最小距离为垂线段长度；直线围绕点转动时，与直线外一点最大距离为两定点距离.
2.注意画图，数形结合在此类问题求解中至关重要.
训练3 （1）（2025·韶关月考）动点P（x，y）在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则｜OP｜最小时点P的坐标为（2，2）；
解析：直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP＝1，∴OP所在的直线方程为y＝x.由解得∴点P的坐标为（2，2）.
（2）已知直线l： （3m＋2）x＋（2m＋1）y＝m＋2，则点A（－1，－1）到直线l的距离的取值范围为[0，5].
解析：直线l的方程可变形为m（3x＋2y－1）＋（2x＋y－2）＝0，易得直线过定点P（3，－4），如图，kAP＝－，当直线l与AP垂直时，直线l的斜率为，直线方程为4x－3y－24＝0，此时点A（－1，－1）到直线l的距离最大，最大值为｜AP｜＝＝5；当直线l经过A，P时，直线l的斜率为－，直线方程为3x＋4y＋7＝0，此时点A（－1，－1）在直线l上，d＝0.所以0≤d≤5，即点A（－1，－1）到直线l的距离的取值范围是[0，5].
1.点A（0，－4）到直线y＝2－x的距离为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
解析：C 点A（0，－4）到直线x＋y－2＝0的距离为d＝＝3.
2.到两条坐标轴距离相等的点（x，y）的坐标满足的方程是（ ）
A.x－y＝0 B.x＋y＝0
C.｜x｜－y＝0 D.｜x｜－｜y｜＝0
解析：D 到两条坐标轴距离相等的点（x，y）的坐标满足的方程是｜x｜＝｜y｜，即｜x｜－｜y｜＝0.
3.若点（－2，2）到直线3x＋4y＋c＝0的距离为3，则实数c＝13或－17.
解析：由点（－2，2）到直线3x＋4y＋c＝0的距离为3，得d＝＝＝3，解得c＝13或c＝－17.
4.点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）距离的最大值为.
解析：直线y＝k（x＋1）恒过（－1，0），当直线与（0，－1），（－1，0）的连线垂直时距离最大，最大值为＝.
课堂小结
1.理清单 （1）点到直线的距离公式； （2）点到直线距离公式的简单应用； （3）点到直线距离的最值问题. 2.应体会 （1）应用点到直线的距离公式解决问题时，常利用数形结合思想； （2）求解点到直线距离的最值问题要注意特殊到一般及分类讨论思想的应用. 3.避易错 在应用点到直线的距离公式时，特别注意直线的方程应为一般式.
1.点P（1，－1）到直线x＝－2的距离是（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
解析：C 因为直线x＝－2平行于y轴，所以所求距离d＝｜－2－1｜＝3.
2.已知点P（x0，y0）到直线x＝1的距离为1，则x0＝（ ）
A.0或2 B.1或2
C.0 D.2
解析：A 因为点P（x0，y0）到直线x＝1的距离为1，所以｜x0－1｜＝1，解得x0＝0或x0＝2.故选A.
3.已知A（－2，4），B（－4，6）两点到直线l：ax－y＋1＝0的距离相等，则a＝（ ）
A.－1或－ B.3或4
C.3 D.4
解析：A 由题意知，＝，整理得｜2a＋3｜＝｜4a＋5｜，即2a＋3＝±（4a＋5），解得a＝－1或a＝－.故选A.
4.已知O为原点，点P在直线x＋y－1＝0上运动，那么｜OP｜的最小值为（ ）
A. B.1
C. D.2
解析：A ｜OP｜的最小值为原点O到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝.
5.经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
解析：C 设所求直线l的方程为x＋3y－10＋λ（3x－y）＝0，即（1＋3λ）x＋（3－λ）y－10＝0，因为原点到直线的距离d＝＝1，所以λ＝±3，即直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0，所以和原点相距为1的直线的条数为2.
6.〔多选〕已知直线l经过点（3，4），且点A（－2，2），B（4，－2）到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为（ ）
A.2x＋3y－18＝0
B.2x－y－2＝0
C.x＋2y＋2＝0
D.2x－3y＋6＝0
解析：AB 当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k（x－3），即kx－y＋4－3k＝0，由点A（－2，2），B（4，－2）到直线l的距离相等，得＝，解得k＝2或k＝－，所以直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.故选A、B.
7.〔多选〕（2025·焦作月考）已知在△ABC中，A（3，2），B（－1，5），点C在直线3x－y＋3＝0上.若△ABC的面积为10，则点C的坐标可以为（ ）
A.（－1，0） B.（，8）
C.（1，6） D.（－，－2）
解析：AB 设C（m，n），由｜AB｜＝5，△ABC的面积为10，得点C到边AB所在直线的距离为4.又线段AB所在直线的方程为y－5＝－（x＋1），即3x＋4y－17＝0.所以解得或故点C坐标为（－1，0）或（，8）.
8.已知O为坐标原点，在直线y＝k（x－4）上存在点P，使得｜OP｜＝2，则k的取值范围为［－，］.
解析：由题意得原点到直线的距离d＝≤2，解得－≤k≤.
9.（2025·南阳月考）过点P（1，2）且与原点距离最大的直线方程为x＋2y－5＝0.
解析：由题意知，过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，∵kOP＝2，∴所求直线方程为y－2＝－（x－1），即x＋2y－5＝0.
10.在平面直角坐标系中，四边形OABC为等腰梯形，OA∥BC，点A（4，2），B（1，4）.求：
（1）点C的坐标；
（2）等腰梯形OABC的面积.
解：（1）因为OA∥BC，所以kBC＝kOA＝＝.
又B（1，4），所以直线BC的方程为y－4＝（x－1），即y＝x＋.
设C（a，a＋），由｜AB｜＝｜OC｜，得a2＋（a＋）2＝13，
解得a＝－3或a＝.
当a＝－3时，C（－3，2），kOC＝kAB＝－，OC∥AB，不符合题意，
当a＝时，C（，），kOC＝18≠－，OC与AB不平行，符合题意，
故点C的坐标为（，）.
（2）｜OA｜＝＝2，｜BC｜＝＝，
点B（1，4）到直线OA：x－2y＝0的距离d＝＝，
故等腰梯形OABC的面积S＝（｜OA｜＋｜BC｜）d＝×（2＋）×＝.
11.已知直线l：（a－2）x＋y－2a＋1＝0，直线l1：2x＋y＝6与直线l2：x－y＋3＝0的交点为A，则点A到直线l的距离最大时，a＝（ ）
A.1 B.－1
C.2 D.－2
解析：A 由解得即A（1，4）.由直线l：（a－2）x＋y－2a＋1＝0整理得（x－2）a－2x＋y＋1＝0，由解得所以直线l过定点B（2，3），则kAB＝＝－1，kl＝－（a－2）＝2－a，则当点A到直线l的距离最大时，（－1）×（2－a）＝－1，a＝1.故选A.
12.已知实数x，y满足2x＋y＋5＝0，那么的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
解析：D 表示直线2x＋y＋5＝0上的动点到点（0，－3）的距离，过点（0，－3）向直线2x＋y＋5＝0作垂线，由垂线段最短知的最小值为点（0，－3）到直线2x＋y＋5＝0的距离，即＝，故选D.
13.若a，b为正实数，直线x＋（a－1）y＋1＝0与直线bx＋y－1＝0互相垂直，则点（1，1）到直线ax＋by＋1＝0的距离的最大值为2.
解析：因为直线x＋（a－1）y＋1＝0与直线bx＋y－1＝0互相垂直，所以b＋a－1＝0.即a＋b＝1，则点（1，1）到直线ax＋by＋1＝0的距离d＝＝，因为≥（）2＝，所以a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时，等号成立，所以a2＋b2的最小值为，所以d≤2，所以dmax＝2.
14.已知点P（2，－1）.
（1）求过点P且与原点的距离为2的直线的方程；
（2）是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.
解：（1）①当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，即x－2＝0，符合题意；
②当直线的斜率存在时，设斜率为k，则直线方程为y＋1＝k（x－2），
即kx－y－2k－1＝0.
根据题意，得＝2，解得k＝，
所以直线方程为3x－4y－10＝0.
故符合题意的直线方程为x－2＝0或3x－4y－10＝0.
（2）不存在.理由如下：过点P且与原点的距离最大的直线为过点P且与OP垂直的直线，此时最大距离为｜OP｜＝＝，而6＞，故不存在过点P且与原点的距离为6的直线.
15.已知直线m：（a－1）x＋（2a＋3）y－a＋6＝0，n：x－2y＋3＝0.
（1）当a＝0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程；
（2）若坐标原点O到直线m的距离为，判断m与n的位置关系.
解：（1）联立方程组
解得即m与n的交点为（－21，－9）.
当直线l过原点时，直线l的方程为3x－7y＝0；
当直线l不过原点时，设l的方程为＋＝1，
将（－21，－9）代入得b＝－12，
所以直线l的方程为x－y＋12＝0，
所以直线l的方程为3x－7y＝0或x－y＋12＝0.
（2）设原点O到直线m的距离为d，
则d＝＝，
解得a＝－或a＝－，
当a＝－时，直线m的方程为x－2y－5＝0，此时m∥n；
当a＝－时，直线m的方程为2x＋y－5＝0，此时m⊥n.
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