2.3.4 两条平行直线间的距离
课标要求
1.经历用点到直线的距离公式推导两条平行直线间距离的过程（逻辑推理、数学运算）.
2.掌握平行直线间的距离公式，能灵活利用公式计算距离或证明几何命题（逻辑推理、数学运算）.
情境导入
在火车出现之前，铁轨就已经存在了，当时人们利用马车将煤用铁轨运出，所以铁轨的轨距，就是马车的车轮距.中国高速铁路的铁轨宽度通常为1 435毫米，是现在大部分普快、货运铁路的标准轨道宽度.本节课我们就来研究两条平行直线间的距离.
知识点一｜两条平行直线间的距离公式
问题 （1）已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？
提示：根据两条平行直线间距离的含义，如图，在直线l1上取任一点P（x0，y0），点P（x0，y0）到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离.
（2）如果给出两条平行直线的方程为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0.试用点线距离的求法求平行直线间的距离并作进一步化简.
提示：在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P（x0，y0），点P（x0，y0）到直线Ax＋By＋C2＝0的距离，就是这两条平行直线间的距离，即d＝，因为点P（x0，y0）在直线Ax＋By＋C1＝0上，所以Ax0＋By0＋C1＝0，即Ax0＋By0＝－C1，因此d＝＝＝.
【知识梳理】
1.定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的 公垂线段 的长.
2.公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0（A，B不同时为0，C1≠C2）之间的距离d＝ .
提醒：使用平行直线间的距离公式的前提有两点：一是直线方程为一般式；二是两直线方程中x，y的系数分别相同.
【例1】分别求下列两条平行线间的距离：
（1）l1：3x－4y＝1，l2：3x－4y＝－4；
解：由l1：3x－4y－1＝0，l2：3x－4y＋4＝0，利用平行直线间的距离公式，得d＝＝1.
（2）l1：y＝2x－3，l2：y＝2x＋5；
解：由l1：2x－y－3＝0，l2：2x－y＋5＝0，利用平行直线间的距离公式，得d＝＝.
（3）l1：y＝2 025，l2：y＝－1.
解：由l1：y＝2 025，l2：y＝－1，得两条平行直线间的距离为2 026.
【规律方法】
求两条平行直线间的距离的方法
（1）转化法：将两条平行直线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.因为结果与点的选择无关，所以选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算；
（2）公式法：直接利用公式计算，但要注意两直线方程中x，y的系数对应相等.
训练1 （1）已知直线l1：mx＋y－3＝0与直线l2：x－y－m＝0平行，则它们之间的距离是（ C ）
A.2 B.4 C. D.2
解析：由直线l1：mx＋y－3＝0与直线l2：x－y－m＝0平行，得m×（－1）－1×1＝0，解得m＝－1.所以直线l1：x－y＋3＝0与直线l2：x－y＋1＝0之间的距离为d＝＝＝.
（2）平行线l1：3x－2y－5＝0与l2：6x－4y＋3＝0之间的距离为.
解析：将l1：3x－2y－5＝0化成6x－4y－10＝0，所以l1：6x－4y－10＝0与l2：6x－4y＋3＝0之间的距离为d＝＝＝.
知识点二｜平行线间距离公式的简单应用
【例2】（1）（2025·云浮月考）已知两平行直线x＋2y－5＝0与2x＋4y＋m＝0间的距离为，则m＝（ B ）
A.0或－10 B.0或－20
C.15或－25 D.0
解析：∵2x＋4y＋m＝0可化为x＋2y＋＝0，∴两平行直线间的距离为＝＝，解得m＝0或m＝－20.
（2）与直线2x＋y－1＝0的距离等于的直线方程为（ C ）
A.2x＋y＝0
B.2x＋y－2＝0
C.2x＋y＝0或2x＋y－2＝0
D.2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0
解析：设与直线2x＋y－1＝0的距离等于的直线方程为2x＋y＋m＝0，依题意，得＝，解得m＝0或m＝－2.∴与直线2x＋y－1＝0的距离等于的直线方程为2x＋y＝0或2x＋y－2＝0.
【规律方法】
1.注意两条平行直线之间的距离公式的使用条件及绝对值方程的求解.
2.巧用平行直线系设方程，利用平行直线之间的距离公式求参数.
训练2 （1）已知直线l与直线l1：3x－y＋3＝0和l2：3x－y－1＝0的距离相等，则直线l的方程是（ D ）
A.3x－y＋2＝0 B.3x－y－2＝0
C.3x－y－3＝0 D.3x－y＋1＝0
解析：设直线l的方程为3x－y＋c＝0.因为直线l与直线l1：3x－y＋3＝0和l2：3x－y－1＝0的距离相等，所以＝，解得c＝1，所以直线l的方程为3x－y＋1＝0.
（2）在梯形ABCD中，｜CD｜＝2｜AB｜＝6，且AB和CD所在直线的方程分别是x＋2y－3＝0与x＋2y＋7＝0，则梯形ABCD的面积为9.
解析：由AB：x＋2y－3＝0，CD：x＋2y＋7＝0知AB∥CD，所以梯形ABCD的高即为直线AB和CD间的距离d＝＝2，所以梯形ABCD的面积为（｜AB｜＋｜CD｜）·d＝×（3＋6）×2＝9.
提能点｜平行线间距离的最值问题
【例3】两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（－3，－1），并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：
（1）d的变化范围；
解：如图，显然有0＜d≤｜AB｜.
而｜AB｜＝＝3.
故d的变化范围为（0，3].
（2）当d取最大值时，两条直线的方程.
解：由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直.
而kAB＝＝，
所以所求直线的斜率为－3.
故所求的直线方程分别为y－2＝－3（x－6）和y＋1＝－3（x＋3），
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
【规律方法】
求平行线间距离有关的最值问题的结论与方法
（1）重要结论：平行线间的距离是分别在两条直线上的两个动点之间距离的最小值；
（2）数形结合：解决与平行线距离有关的最值或取值范围问题，通常利用图形帮助解决问题.
训练3 （1）P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任一点，则｜PQ｜的最小值为3；
解析：6x＋8y＋6＝0可化为3x＋4y＋3＝0，则两直线平行，｜PQ｜的最小值即为两平行线之间的距离，故｜PQ｜min＝＝＝3.
（2）若直线2x＋y－3＝0与直线4x＋2y＋a＝0之间的距离不大于，则实数a的取值范围是[－16，4].
解析：直线2x＋y－3＝0可化为4x＋2y－6＝0，则两直线之间的距离d＝≤，即｜a＋6｜≤10，解得－16≤a≤4.所以实数a的取值范围为[－16，4].
1.平行于x轴且与x轴的距离为1的直线方程为（ ）
A.x＝1 B.x＝－1
C.y＝1 D.y＝±1
解析：D 平行于x轴且与x轴的距离为1的直线方程为y＝±1.
2.若直线l1：ax＋y－1＝0与直线l2：x＋ay＋1＝0平行，则两条平行线间的距离为（ ）
A.1 B.
C.2 D.2
解析：B 由直线l1：ax＋y－1＝0与直线l2：x＋ay＋1＝0平行，则a2－1＝0，解得a＝±1，当a＝－1时，直线l1：x－y＋1＝0与直线l2：x－y＋1＝0重合，故舍去.当a＝1时，直线l1：x＋y－1＝0与直线l2：x＋y＋1＝0平行，故两条平行线间的距离d＝＝.
3.直线y＝2x与y＝mx＋n（n＞0）平行且距离为，则mn＝10.
解析：易知m＝2，由＝＝，得n＝5（－5舍去），故mn＝2×5＝10.
4.求与三条直线l1：x－y＋2＝0，l2：x－y－3＝0，l3：x＋y－5＝0可围成正方形的直线方程.
解：易知l1∥l2，且它们之间的距离d＝＝.
设所求直线为l4，则l4∥l3，
所以可设l4：x＋y＋c＝0，则＝，
解得c＝0或－10，
所以所求直线方程为x＋y＝0或x＋y－10＝0.
课堂小结
1.理清单 （1）两条平行直线间的距离公式； （2）平行线间距离公式的简单应用； （3）平行线间距离的最值问题. 2.应体会 应用两平行直线间的距离公式解决问题时，要注意数形结合思想、分类讨论思想的应用. 3.避易错 （1）利用平行线间的距离公式计算距离一定将直线方程化为一般式，且x，y的系数分别对应相等； （2）由两平行直线距离求方程时，要注意斜率不存在的情形.
1.直线－＝1与y＝x＋1之间的距离为（ ）
A. B.
C. D.24
解析：B 两直线变形为3x－2y－12＝0与3x－2y＋2＝0，两直线平行，则两直线间的距离d＝＝＝.故选B.
2.（2025·温州月考）两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0间的距离为d，则（ ）
A.a＝6，d＝ B.a＝－6，d＝
C.a＝－6，d＝ D.a＝6，d＝
解析：D 根据两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0，可得＝≠.可得a＝6.可得两条平行直线为6x－3y＋9＝0和6x－3y＋4＝0，故它们间的距离d＝＝.
3.已知A，B两点的坐标分别为（1，0），（－1，2），若两平行直线l1，l2分别过点A，B，则l1，l2间的距离的最大值为（ ）
A.1 B.
C.2 D.2
解析：D 当l1，l2垂直AB时，l1，l2间的距离取最大值，即最大值为｜AB｜＝＝2.故选D.
4.已知点A（1，0），B（3，1），C为直线l：x－2y＋4＝0上一动点，则△ABC的面积为（ ）
A.5 B.
C. D.
解析：D 因为直线AB的方程为＝，即x－2y－1＝0，则l∥AB，所以△ABC的边AB上的高为两平行线之间的距离d＝＝.又因为｜AB｜＝＝，所以S△ABC＝｜AB｜×d＝.故选D.
5.已知平面内两点A（1，2），B（3，1）到直线l的距离分别是，－，则满足条件的直线l的条数为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
解析：C 如图，由于＞－，所以满足题意的直线l在线段AB两侧各有1条，又因为｜AB｜＝，所以还有1条为过线段AB上的一点且与AB垂直的直线，故共3条.
6.〔多选〕已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为（ ）
A.2x＋3y－8＝0 B.4x＋6y＋5＝0
C.6x＋9y－10＝0 D.12x＋18y－13＝0
解析：BD 设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，直线l到直线l1和到直线l2的距离分别为d1，d2.则d1＝，d2＝.因为＝，所以＝，即2｜m＋2｜＝｜m＋9｜，解得m＝5或m＝－，所以直线l的方程为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.故选B、D.
7.〔多选〕设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是方程x2＋2x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤，则下列关于这两条直线之间的距离d的说法，正确的是（ ）
A.d的最大值为2 B.d的最大值为1
C.d的最小值为 D.d的最小值为
解析：BC 因为a，b是方程x2＋2x＋c＝0的两个实根，所以a＋b＝－2，ab＝c，又因为0≤c≤，所以｜a－b｜＝＝∈[，2]，所以两条平行直线之间的距离d＝＝∈［，1］.故选B、C.
8.若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为.
解析：由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行线间的距离公式，得｜AB｜＝＝.
9.若动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：2x＋y－7＝0和l2：2x＋y－5＝0上移动，则AB的中点到原点的距离的最小值为.
解析：由题意知，AB的中点的轨迹为平行于直线l1，l2且到l1，l2距离相等的直线l，故其方程为2x＋y－6＝0，可得AB的中点到原点的距离的最小值为d＝＝.
10.已知直线l1：2x＋3y＋18＝0，l2：2x＋3y－8＝0，在l1上任取点A，在l2上任取点B，过线段AB的中点作l2的平行线l3.
（1）求直线l1与l2之间的距离；
（2）求直线l3的方程.
解：（1）易知直线l1与l2平行，所以两平行直线l1与l2间的距离为d＝＝2.
（2）由l3与l2平行可设l3的方程为2x＋3y＋C＝0（－8＜C＜18）.
由（1）知l3与l1之间的距离为，
所以有＝，解得C＝5或C＝31（舍去），所以直线l3的方程为2x＋3y＋5＝0.
11.已知两点A（1，6），B（0，5）到直线l的距离均等于a，若这样的直线可作4条，则a的取值范围是（ ）
A.a≥1 B.0＜a＜1
C.0＜a≤1 D.0＜a＜2
解析：B 如图所示，若A，B在直线的同一侧，可作2条直线，因为这样的直线有4条，则当A，B两点分别在直线的两侧时，还应该有2条直线，经过AB的中点，且与AB不垂直，所以2a＜｜AB｜，因为｜AB｜＝＝2，所以0＜2a＜2，所以0＜a＜1.
12.〔多选〕若直线m被两条平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：2x－2y＋5＝0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角等于（ ）
A.45° B.135° C.105° D.165°
解析：CD 如图，作与平行线垂直的直线n，由于两条平行线的倾斜角为45°，故直线n的倾斜角为135°，由于两条平行线间的距离为d＝＝，直线m被平行线截得线段的长为，且sin 60°＝＝，可得直线m和两平行线的夹角为60°，所以直线m的倾斜角为105°或165°.
13.设m∈R，动直线l1：x＋my－1＝0过定点A，动直线l2：mx－y－2m＋＝0过定点B，若直线l1与l2相交于点P（异于点A，B），则△PAB周长的最大值为2＋2.
解析：直线l1：x＋my－1＝0过定点A（1，0），直线l2：mx－y－2m＋＝0即m（x－2）＝y－，可得过定点B（2，），由于1·m＋m·（－1）＝0，得l1与l2始终垂直，又P是两条直线的交点，∴PA⊥PB，∴｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2＝4.由a2＋b2≥2ab，可得2（a2＋b2）≥（a＋b）2，那么2（｜PA｜2＋｜PB｜2）≥（｜PA｜＋｜PB｜）2，即有｜PA｜＋｜PB｜≤2，当且仅当｜PA｜＝｜PB｜＝时，上式取得等号，∴△PAB周长的最大值为2＋2.
14.（2025·丽水月考）已知直线l1经过点P（0，1），直线l2经过点Q（5，0），且l1∥l2.
（1）求l1与l2之间的最大距离，并求此时两直线的方程；
（2）若l1与l2间的距离为5，求两直线的方程.
解：（1）连接PQ（图略），则当直线l1，l2均与直线PQ垂直时，l1与l2之间的距离最大.
因为直线PQ的斜率为＝－，所以此时直线l1与l2的斜率均为5，l1与l2之间的最大距离为＝，直线l1的方程为y＝5x＋1，
即5x－y＋1＝0，直线l2的方程为y＝5（x－5），即5x－y－25＝0.
（2）①若l1，l2的斜率都存在，设其斜率为k，则l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，l2的方程为y＝k（x－5），即kx－y－5k＝0.由题意得＝5，解得k＝，所以直线l1的方程为y＝x＋1，即12x－5y＋5＝0，直线l2的方程为y＝（x－5），即12x－5y－60＝0.
②若l1，l2的斜率都不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，符合题意.综上所述，两直线的方程为l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5.
15.已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0（a＞0），l2：－4x＋2y＋1＝0，l3：x＋y－1＝0，且l1与l2之间的距离是.
（1）求a的值；
（2）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶？若能，求P点坐标；若不能，请说明理由.
解：（1）l2可化为2x－y－＝0，
∴l1与l2之间的距离d＝＝，
∴｜a－（－）｜＝.∵a＞0，
∴a＝3.
（2）设点P（x0，y0），若点P满足条件②，则点P在与l1，l2平行的直线l'：2x－y＋C＝0上，且＝×，即C＝或C＝.
∴2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0.
若点P满足条件③，由点到直线的距离公式有
＝·，
即｜2x0－y0＋3｜＝｜x0＋y0－1｜.
∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0.
∵点P在第一象限，∴3x0＋2＝0不合题意，舍去.
由
解得不合题意，舍去.
由解得
即点P（，）同时满足三个条件.
9 / 92.3.4 两条平行直线间的距离
课标要求
1.经历用点到直线的距离公式推导两条平行直线间距离的过程（逻辑推理、数学运算）. 2.掌握平行直线间的距离公式，能灵活利用公式计算距离或证明几何命题（逻辑推理、数学运算）.
知识点一｜两条平行直线间的距离公式
问题 （1）已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？
（2）如果给出两条平行直线的方程为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0.试用点线距离的求法求平行直线间的距离并作进一步化简.
【知识梳理】
1.定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的 的长.
2.公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0（A，B不同时为0，C1≠C2）之间的距离d＝ .
提醒：使用平行直线间的距离公式的前提有两点：一是直线方程为一般式；二是两直线方程中x，y的系数分别相同.
【例1】 分别求下列两条平行线间的距离：
（1）l1：3x－4y＝1，l2：3x－4y＝－4；
（2）l1：y＝2x－3，l2：y＝2x＋5；
（3）l1：y＝2 025，l2：y＝－1.
【规律方法】
求两条平行直线间的距离的方法
（1）转化法：将两条平行直线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.因为结果与点的选择无关，所以选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算；
（2）公式法：直接利用公式计算，但要注意两直线方程中x，y的系数对应相等.
训练1 （1）已知直线l1：mx＋y－3＝0与直线l2：x－y－m＝0平行，则它们之间的距离是（ ）
A.2 B.4
C. D.2
（2）平行线l1：3x－2y－5＝0与l2：6x－4y＋3＝0之间的距离为 .
知识点二｜平行线间距离公式的简单应用
【例2】 （1）（2025·云浮月考）已知两平行直线x＋2y－5＝0与2x＋4y＋m＝0间的距离为，则m＝（ ）
A.0或－10 B.0或－20
C.15或－25 D.0
（2）与直线2x＋y－1＝0的距离等于的直线方程为（ ）
A.2x＋y＝0
B.2x＋y－2＝0
C.2x＋y＝0或2x＋y－2＝0
D.2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0
【规律方法】
1.注意两条平行直线之间的距离公式的使用条件及绝对值方程的求解.
2.巧用平行直线系设方程，利用平行直线之间的距离公式求参数.
训练2 （1）已知直线l与直线l1：3x－y＋3＝0和l2：3x－y－1＝0的距离相等，则直线l的方程是（ ）
A.3x－y＋2＝0 B.3x－y－2＝0
C.3x－y－3＝0 D.3x－y＋1＝0
（2）在梯形ABCD中，｜CD｜＝2｜AB｜＝6，且AB和CD所在直线的方程分别是x＋2y－3＝0与x＋2y＋7＝0，则梯形ABCD的面积为 .
提能点｜平行线间距离的最值问题
【例3】 两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（－3，－1），并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：
（1）d的变化范围；
（2）当d取最大值时，两条直线的方程.
【规律方法】
求平行线间距离有关的最值问题的结论与方法
（1）重要结论：平行线间的距离是分别在两条直线上的两个动点之间距离的最小值；
（2）数形结合：解决与平行线距离有关的最值或取值范围问题，通常利用图形帮助解决问题.
训练3 （1）P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任一点，则｜PQ｜的最小值为 ；
（2）若直线2x＋y－3＝0与直线4x＋2y＋a＝0之间的距离不大于，则实数a的取值范围是 .
1.平行于x轴且与x轴的距离为1的直线方程为（ ）
A.x＝1 B.x＝－1
C.y＝1 D.y＝±1
2.若直线l1：ax＋y－1＝0与直线l2：x＋ay＋1＝0平行，则两条平行线间的距离为（ ）
A.1 B.
C.2 D.2
3.直线y＝2x与y＝mx＋n（n＞0）平行且距离为，则mn＝ .
4.求与三条直线l1：x－y＋2＝0，l2：x－y－3＝0，l3：x＋y－5＝0可围成正方形的直线方程.
课堂小结
1.理清单 （1）两条平行直线间的距离公式； （2）平行线间距离公式的简单应用； （3）平行线间距离的最值问题. 2.应体会 应用两平行直线间的距离公式解决问题时，要注意数形结合思想、分类讨论思想的应用. 3.避易错 （1）利用平行线间的距离公式计算距离一定将直线方程化为一般式，且x，y的系数分别对应相等； （2）由两平行直线距离求方程时，要注意斜率不存在的情形.
提示：完成课后作业 第二章 2.3 2.3.4
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