2.4.1 圆的标准方程
课标要求
1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程（数学抽象、直观想象）. 2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系（数学运算、逻辑推理）.
知识点一｜圆的标准方程
问题1 （1）回忆一下，圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？
（2）已知圆心为A（a，b），半径为r，你能推导出圆的方程吗？
【知识梳理】
确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径.
提醒：（1）当圆心在原点O（0，0），半径长r＝1时，圆的方程为x2＋y2＝1，称为单位圆；（2）相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的；（3）圆上的点的坐标都满足圆的方程，满足圆的方程的点都在圆上.
【例1】 （1）〔多选〕下列关于圆的标准方程（x－1）2＋（y＋2）2＝3的叙述正确的是（ ）
A.圆心坐标为（1，－2），半径r＝
B.圆心坐标为（－1，2），半径r＝3
C.圆上任意一点M与圆心C的距离满足｜CM｜＝3
D.圆上任意一点M与圆心C的距离满足｜CM｜＝
（2）以两点A（－3，－1）和B（5，5）为直径端点的圆的标准方程是 .
【规律方法】
直接法求圆的标准方程的策略
确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条不平行的弦的中垂线的交点必为圆心”等.
训练1 （2025·清远月考）分别求下列圆的标准方程：
（1）圆心为C（4，0），且过点（5，2）；
（2）圆心在y轴上，半径为5，且过点（3，－4）.
知识点二｜点与圆的位置关系
问题2 平面内的点与圆有哪几种位置关系？如何判断？
【知识梳理】
点M （x0，y0）与圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2的位置关系及判断方法
位置关系 用距离判断 用方程、不等式判断
M在圆上 ｜CM｜ r （x0－a）2＋（y0－b）2＝r2
M在圆外 ｜CM｜＞r （x0－a）2＋（y0－b）2 r2
M在圆内 ｜CM｜ r （x0－a）2＋（y0－b）2＜r2
【例2】 （1）〔多选〕下列点在圆（x＋1）2＋（y－2）2＝4的内部的是（ ）
A.（－1，0） B.（0，－1）
C.（－1，1） D.（－1，3）
（2）若点（1，a）不在圆（x＋2）2＋（y－3）2＝13的外部，则实数a的取值范围为 .
变式 若本例（2）变为若点P（3，3）与Q（5，3）有一点在圆O：（x－5）2＋（y－6）2＝a2（a＞0）内，另一点在圆O外，则实数a的取值范围为 .
【规律方法】
判断点与圆位置关系的两种方法
（1）几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小；
（2）代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，比较式子两边的大小，并作出判断.
训练2 （1）若圆的标准方程是（x－2）2＋（y－3）2＝4，则点（1，5）（ ）
A.是圆心 B.在圆上
C.在圆内 D.在圆外
（2）（链接教材P83例1）已知圆心为A（2，－3），半径为r，点M（－1，1），若点M在圆上，则圆的周长为 ；若点M在圆内，则圆的周长的范围是 .
提能点｜求圆的标准方程
【例3】 求经过点P（1，1）和坐标原点O，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程.
【规律方法】
求圆的标准方程的两种方法
（1）几何法：利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，从而得到圆的标准方程；
（2）待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程.
训练3 （1）过A（5，1），B（1，3）两点且圆心在x轴上的圆的标准方程是 ；
（2）已知△ABC的三个顶点分别为A（0，5），B（1，－2），C（－3，－4），则该三角形的外接圆的方程为 .
1.已知原点O（0，0），A（－6，8），则以OA为直径的圆的标准方程为（ ）
A.（x＋3）2＋（y＋4）2＝25
B.（x－3）2＋（y＋4）2＝25
C.（x＋3）2＋（y－4）2＝25
D.（x＋3）2＋（y－4）2＝100
2.点P（m2，5）与圆x2＋y2＝24的位置关系是（ ）
A.点P在圆内 B.点P在圆外
C.点P在圆上 D.不确定
3.已知圆C：（x＋1）2＋y2＝3，则圆的面积为 ，经过圆心C且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是 .
4.求圆心在直线x＝2上，且与y轴交于点A（0，－4），B（0，－2）的圆的标准方程.
课堂小结
1.理清单 （1）圆的标准方程； （2）点与圆的位置关系. 2.应体会 求圆的标准方程有待定系数法和几何法，要注意方程思想和数形结合思想的应用. 3.避易错 几何法求圆的标准方程易出现漏解的情况.
提示：完成课后作业 第二章 2.4 2.4.1
3 / 32.4.1 圆的标准方程
课标要求
1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程（数学抽象、直观想象）.
2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系（数学运算、逻辑推理）.
情境导入
月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写月亮，如果把天空看作一个平面，月亮当作一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆的坐标方程如何表示？
知识点一｜圆的标准方程
问题1 （1）回忆一下，圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？
提示：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.确定圆的要素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
（2）已知圆心为A（a，b），半径为r，你能推导出圆的方程吗？
提示：设圆上任一点M（x，y），则｜MA｜＝r，由两点间的距离公式，得＝r，两边平方，得（x－a）2＋（y－b）2＝r2.
【知识梳理】
确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径.
提醒：（1）当圆心在原点O（0，0），半径长r＝1时，圆的方程为x2＋y2＝1，称为单位圆；（2）相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的；（3）圆上的点的坐标都满足圆的方程，满足圆的方程的点都在圆上.
【例1】（1）〔多选〕下列关于圆的标准方程（x－1）2＋（y＋2）2＝3的叙述正确的是（ AD ）
A.圆心坐标为（1，－2），半径r＝
B.圆心坐标为（－1，2），半径r＝3
C.圆上任意一点M与圆心C的距离满足｜CM｜＝3
D.圆上任意一点M与圆心C的距离满足｜CM｜＝
解析：由圆的标准方程（x－1）2＋（y＋2）2＝3可知，圆心C（1，－2），半径r＝，故选A、D.
（2）以两点A（－3，－1）和B（5，5）为直径端点的圆的标准方程是（x－1）2＋（y－2）2＝25.
解析：∵AB为直径，∴AB的中点（1，2）为圆心，｜AB｜＝＝5为半径，∴该圆的标准方程为（x－1）2＋（y－2）2＝25.
【规律方法】
直接法求圆的标准方程的策略
确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条不平行的弦的中垂线的交点必为圆心”等.
训练1 （2025·清远月考）分别求下列圆的标准方程：
（1）圆心为C（4，0），且过点（5，2）；
解：圆心为C（4，0），且过点（5，2），
∴半径r＝＝，
∴圆的标准方程为（x－4）2＋y2＝5.
（2）圆心在y轴上，半径为5，且过点（3，－4）.
解：设圆心为C（0，b），
∴r＝＝5，
∴（4＋b）2＝16＝42，
∴4＋b＝4或4＋b＝－4，∴b＝0或b＝－8，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋（y＋8）2＝25.
知识点二｜点与圆的位置关系
问题2 平面内的点与圆有哪几种位置关系？如何判断？
提示：分为点在圆外、点在圆上、点在圆内，可以用圆心与点的距离与圆的半径相比较判断位置.
【知识梳理】
点M （x0，y0）与圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2的位置关系及判断方法
位置关系 用距离判断 用方程、不等式判断
M在圆上 ｜CM｜ ＝ r （x0－a）2＋（y0－b）2＝r2
M在圆外 ｜CM｜＞r （x0－a）2＋（y0－b）2 ＞ r2
M在圆内 ｜CM｜ ＜ r （x0－a）2＋（y0－b）2＜r2
【例2】（1）〔多选〕下列点在圆（x＋1）2＋（y－2）2＝4的内部的是（ CD ）
A.（－1，0） B.（0，－1）
C.（－1，1） D.（－1，3）
解析：将点的坐标分别代入只有选项C、D满足（x＋1）2＋（y－2）2＜4，故选C、D.
（2）若点（1，a）不在圆（x＋2）2＋（y－3）2＝13的外部，则实数a的取值范围为[1，5].
解析：因为点（1，a）不在圆（x＋2）2＋（y－3）2＝13的外部，所以（1＋2）2＋（a－3）2≤13，解得1≤a≤5.
变式 若本例（2）变为若点P（3，3）与Q（5，3）有一点在圆O：（x－5）2＋（y－6）2＝a2（a＞0）内，另一点在圆O外，则实数a的取值范围为（3，）.
解析：由已知，得圆心O（5，6）.∵｜PO｜＝＝，｜QO｜＝＝3，∴｜PO｜＞｜QO｜，故点P在圆外，点Q在圆内，∴a的取值范围是3＜a＜，即a∈（3，）.
【规律方法】
判断点与圆位置关系的两种方法
（1）几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小；
（2）代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，比较式子两边的大小，并作出判断.
训练2 （1）若圆的标准方程是（x－2）2＋（y－3）2＝4，则点（1，5）（ D ）
A.是圆心 B.在圆上
C.在圆内 D.在圆外
解析：由题意可得，圆心坐标为（2，3），半径为2，圆心到点（1，5）的距离为＝＞2，故点（1，5）在圆外.
（2）（链接教材P83例1）已知圆心为A（2，－3），半径为r，点M（－1，1），若点M在圆上，则圆的周长为10π；若点M在圆内，则圆的周长的范围是（10π，＋∞）.
解析：圆心为A（2，－3），半径为r的圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝r2，若点M（－1，1）在圆上，则r2＝（－1－2）2＋（1＋3）2＝25，得r＝5，所以圆的周长为2πr＝10π；若点M（－1，1）在圆内，则r2＞（－1－2）2＋（1＋3）2＝25，得r＞5，所以圆的周长为2πr＞10π.
提能点｜求圆的标准方程
【例3】求经过点P（1，1）和坐标原点O，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程.
解：法一（待定系数法） 设圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，
则有
解得
即圆的标准方程是（x－4）2＋（y＋3）2＝25.
法二（几何法） 由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴得
即圆心坐标为（4，－3），
半径为r＝＝5.
即圆的标准方程是（x－4）2＋（y＋3）2＝25.
【规律方法】
求圆的标准方程的两种方法
（1）几何法：利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，从而得到圆的标准方程；
（2）待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程.
训练3 （1）过A（5，1），B（1，3）两点且圆心在x轴上的圆的标准方程是（x－2）2＋y2＝10；
解析：线段AB的垂直平分线为y－2＝2（x－3），令y＝0，则x＝2，所以圆心坐标为（2，0），半径r＝＝，所以圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝10.
（2）已知△ABC的三个顶点分别为A（0，5），B（1，－2），C（－3，－4），则该三角形的外接圆的方程为（x＋3）2＋（y－1）2＝25.
解析：设所求圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2.因为A（0，5），B（1，－2），C（－3，－4）都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，于是有
解得故所求圆的标准方程是（x＋3）2＋（y－1）2＝25.
1.已知原点O（0，0），A（－6，8），则以OA为直径的圆的标准方程为（ ）
A.（x＋3）2＋（y＋4）2＝25
B.（x－3）2＋（y＋4）2＝25
C.（x＋3）2＋（y－4）2＝25
D.（x＋3）2＋（y－4）2＝100
解析：C 因为原点O（0，0），A（－6，8），得｜OA｜＝10，所以圆心C（－3，4），半径r＝5，所以圆的标准方程为（x＋3）2＋（y－4）2＝25.
2.点P（m2，5）与圆x2＋y2＝24的位置关系是（ ）
A.点P在圆内 B.点P在圆外
C.点P在圆上 D.不确定
解析：B 由（m2）2＋52＝m4＋25＞24，得点P在圆外.
3.已知圆C：（x＋1）2＋y2＝3，则圆的面积为3π，经过圆心C且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是x－y＋1＝0.
解析：由圆的方程（x＋1）2＋y2＝3，得r2＝3，所以圆的面积S＝πr2＝3π.因为圆心C的坐标为（－1，0），所求直线的斜率k＝1，所求直线的方程是y＝x＋1，即x－y＋1＝0.
4.求圆心在直线x＝2上，且与y轴交于点A（0，－4），B（0，－2）的圆的标准方程.
解：法一 因为圆心在直线x＝2上，
所以设圆心为C（2，y），
又圆经过A，B两点，所以｜AC｜＝｜BC｜，
即＝，
解得y＝－3，
所以圆心C（2，－3），半径r＝，
所以圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝5.
法二 因为圆与y轴交于点A（0，－4），B（0，－2），所以圆心在直线y＝－3上.
又圆心在直线x＝2上，所以圆心的坐标为（2，－3），所以圆的半径r＝＝，故圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝5.
课堂小结
1.理清单 （1）圆的标准方程； （2）点与圆的位置关系. 2.应体会 求圆的标准方程有待定系数法和几何法，要注意方程思想和数形结合思想的应用. 3.避易错 几何法求圆的标准方程易出现漏解的情况.
1.若直线x＋y＋a＝0过圆（x－1）2＋（y＋2）2＝2的圆心，则实数a的值为（ ）
A.－1 B.1
C.0 D.2
解析：B 由圆的标准方程（x－1）2＋（y＋2）2＝2，可得圆心坐标为（1，－2），因为直线x＋y＋a＝0过圆心（1，－2），所以1－2＋a＝0，解得a＝1.
2.（2025·汕头月考）若圆C与圆（x＋2）2＋（y－1）2＝1关于原点对称，则圆C的方程是（ ）
A.（x－2）2＋（y＋1）2＝1
B.（x－2）2＋（y－1）2＝1
C.（x－1）2＋（y＋2）2＝1
D.（x＋1）2＋（y－2）2＝1
解析：A 由两圆关于原点对称可知圆C的圆心坐标为（2，－1），半径为1，所以圆C的方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝1.
3.已知圆（x－a）2＋（y－1）2＝2a（0＜a＜1），则原点O在（ ）
A.圆内 B.圆外
C.圆上 D.圆上或圆外
解析：B 由圆的标准方程（x－a）2＋（y－1）2＝2a，知圆心为（a，1），则原点与圆心的距离为.∵0＜a＜1，∴＞＝r，即原点在圆外.
4.已知一圆的圆心为点A（2，－3），一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为（ ）
A.（x＋2）2＋（y－3）2＝13
B.（x－2）2＋（y＋3）2＝13
C.（x－2）2＋（y＋3）2＝52
D.（x＋2）2＋（y－3）2＝52
解析：B 如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，圆的半径为r＝＝.故所求圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝13.
5.已知圆C过点A（2，5），B（4，3），则圆心C到坐标原点的距离的最小值为（ ）
A.4 B.5 C. D.
解析：C 依题意，可知圆心C在线段AB的中垂线上，AB的斜率为－1，线段AB的中点为（3，4），故线段AB的中垂线的方程为y＝x＋1，故圆心C到坐标原点的距离的最小值为＝.故选C.
6.〔多选〕以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的标准方程可能为（ ）
A.x2＋（y－4）2＝20
B.（x－4）2＋y2＝20
C.x2＋（y－2）2＝20
D.（x－2）2＋y2＝20
解析：AD 令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝2.所以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A（0，4），B（2，0），｜AB｜＝＝2，以A为圆心，过B点的圆的标准方程为x2＋（y－4）2＝20.以B为圆心，过A点的圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝20.
7.〔多选〕若圆C与x轴和y轴均相切，且过点（1，2），则圆C的半径长可能为（ ）
A.1 B.2
C.4 D.5
解析：AD 根据题意，若圆C与x轴和y轴均相切，则圆心C在直线y＝x或y＝－x上，当圆心C在直线y＝x上时，设圆心C的坐标为（a，a），此时圆的标准方程为（x－a）2＋（y－a）2＝a2，将（1，2）代入可得（1－a）2＋（2－a）2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，此时圆的半径长为1或5；当圆心C在直线y＝－x上时，设圆心C的坐标为（a，－a），此时圆的标准方程为（x－a）2＋（y＋a）2＝a2，将（1，2）代入可得（1－a）2＋（2＋a）2＝a2，即a2＋2a＋5＝0，方程无解，综上所述，圆的半径长为1或5.
8.已知点P（x，y）为圆x2＋y2＝1上的动点，则x2－4y的最小值为－4.
解析：∵点P（x，y）为圆x2＋y2＝1上的动点，∴x2－4y＝1－y2－4y＝－（y＋2）2＋5.∵y∈[－1，1]，∴当y＝1时，－（y＋2）2＋5有最小值－4.
9.写出经过A（1，3），B（4，2）两点，且周长最小的圆的标准方程为（x－）2＋（y－）2＝.
解析：当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即所求圆以线段AB的中点D（，）为圆心，｜AB｜＝＝为半径，故所求圆的标准方程为（x－）2＋（y－）2＝.
10.根据下列条件，求圆的标准方程：
（1）过点（0，1）和点（2，1），半径为；
（2）以P（2，－1）为圆心作一个圆，使得A（3，2），B（5，－3），C（－1，3）三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外.
解：（1）设圆心坐标为（a，b），则圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝5.
因为（0，1），（2，1）是圆上的点，
所以
解得或
因此所求圆的标准方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5或（x－1）2＋（y－3）2＝5.
（2）由题设知｜PA｜＝，｜PB｜＝，
｜PC｜＝5，所以｜PA｜＜｜PB｜＜｜PC｜，
要使A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，所以圆以｜PB｜为半径，
故圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝13.
11.大约在2 000年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100多年.现有一动点P满足｜OP｜＝2，其中O为坐标原点，若M（，－），则｜PM｜的最小值为（ ）
A. B.1
C. D.2
解析：B 动点P的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，即x2＋y2＝4，而｜OM｜＝＝1＜2，故点M（，－）在圆内，所以当O，M，P三点共线且M在O，P之间时，｜PM｜最小，即｜PM｜min＝2－｜OM｜＝2－1＝1.
12.〔多选〕（2025·珠海月考）设圆Ck：（x－k）2＋（y－k）2＝4（k∈R），则下列说法正确的是（ ）
A.无论k如何变化，圆心Ck都在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点（3，0）
C.经过点（2，2）的圆Ck有且只有一个
D.所有圆Ck的面积均为4π
解析：ABD 易知圆心Ck（k，k）在直线y＝x上，∴A中说法正确；令（3－k）2＋（0－k）2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴方程2k2－6k＋5＝0无解，∴B中说法正确；令（2－k）2＋（2－k）2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，∴k2－4k＋2＝0有两个不相等的实数根，∴经过点（2，2）的圆Ck有两个，∴C中说法错误；易知圆Ck的半径为2，∴圆Ck的面积为4π，∴D中说法正确.
13.曲线y＝－（x≤0）的长度为π.
解析：由y＝－得x2＋y2＝4（x≤0，y≤0），所以曲线y＝－（x≤0）的图形是以原点为圆心，以2为半径的圆在第三象限的弧长，所以曲线y＝－（x≤0）的长度是×4π＝π.
14.已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T（－1，1）在AD边所在的直线上.
（1）求AD边所在直线的方程；
（2）求矩形ABCD外接圆的标准方程.
解：（1）因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，
所以直线AD的斜率为－3.
又点T（－1，1）在直线AD上，
所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3（x＋1），
即3x＋y＋2＝0.
（2）由解得点A的坐标为（0，－2），
因为矩形ABCD的两条对角线的交点为点M（2，0），
所以点M为矩形ABCD外接圆的圆心.
又r＝｜AM｜＝＝2，
所以矩形ABCD外接圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝8.
15.已知圆心为C的圆经过O（0，0），A（0，2）两点，且圆心C在直线l：y＝x上.
（1）求圆C的标准方程；
（2）点P在圆C上运动，求｜PO｜2＋｜PA｜2的取值范围.
解：（1）由圆经过O（0，0），A（0，2）两点，得圆心在OA的中垂线y＝上，
又圆心C在直线l：y＝x上，联立直线方程有得
即圆心坐标为C（1，），又r2＝｜CO｜2＝4，
故圆C的标准方程为（x－1）2＋（y－）2＝4.
（2）设P（x0，y0），易知x0∈[－1，3]，
则｜PO｜2＋｜PA｜2＝＋＋＋（y0－2）2＝2＋2（y0－）2＋6，（*）
因为点P在圆C上运动，则（x0－1）2＋（y0－）2＝4，
故（*）式可化简为｜PO｜2＋｜PA｜2＝2＋2[4－（x0－1）2]＋6＝4x0＋12，
由x0∈[－1，3]得｜PO｜2＋｜PA｜2的取值范围为[8，24].
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