2.4.2 圆的一般方程
课标要求
1.在平面直角坐标系中，探索掌握圆的一般方程（数学抽象、逻辑推理）. 2.掌握待定系数法求圆的方程，能求与圆有关的轨迹方程（数学运算、直观想象）.
知识点一｜圆的一般方程的概念
问题 （1）如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需要满足什么条件？
（2）当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？
【知识梳理】
1.概念：当 时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程.
2.圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的圆的圆心为 ，半径长为 .
提醒：二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，xy的系数为0.
【例1】 判断下列二元二次方程是否表示圆.如果是，请求出圆的圆心坐标及半径：
（1）2x2＋y2－7y＋5＝0；
（2）x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
（3）x2＋y2－4x＝0；
（4）x2＋y2－4ax－2ay＋6a2＝0；
（5）4x2＋4y2－4x＋12y＋11＝0.
【规律方法】
圆的一般方程的辨析
（1）配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形为“标准”形式后，观察是否表示圆；
（2）运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F与0的关系，确定它是否表示圆.
训练1 （1）（2025·许昌月考）若方程x2＋y2－2y－m＝0表示的图形是圆，则实数m的取值范围为（ ）
A.（－∞，1） B.（1，＋∞）
C.（－∞，－1） D.（－1，＋∞）
（2）〔多选〕已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0的直径为4，则（ ）
A.m＝－1
B.m＝1
C.圆心为（－1，－2）
D.圆心为（1，－2）
知识点二｜求圆的一般方程
【例2】 （链接教材P86例4）求满足下列条件的圆的一般方程：
（1）过点A（－4，0），B（0，2）和原点；
（2）圆心在直线y＝x上，与x轴相交于（－1，0），（3，0）两点.
【规律方法】
待定系数法求圆的一般方程的步骤
（1）根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；
（2）根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组；
（3）解此方程组，求出D，E，F的值；
（4）将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程.
训练2 求满足下列条件的圆的一般方程：
（1）已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0的圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为；
（2）已知圆经过点（4，2）和（－2，－6），该圆与坐标轴的四个截距之和为－2.
提能点｜与圆有关的轨迹问题
角度1 直接法求轨迹方程
【例3】 求到点O（0，0）的距离是到点A（3，0）的距离的2倍的点M的轨迹方程.
角度2 定义法求轨迹方程
【例4】 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A（－1，0），B（3，0），求直角顶点C的轨迹方程.
角度3 代入法求轨迹方程
【例5】 已知点A（2，0）是圆x2＋y2＝4上的定点，P是圆上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.
变式 若本例条件不变，如图，点B（1，1）是圆内一点，Q为圆上的动点，若∠PBQ＝90°，如何求线段PQ的中点N的轨迹方程？
【规律方法】
求与圆有关的轨迹方程的3种方法
提醒：（1）弄清题中所求问题是动点的轨迹方程还是动点的轨迹，若求的是动点轨迹，则求出轨迹方程后应说明最后是什么样的图形；（2）要考虑轨迹上应去掉的点及轨迹不存在的情形.
训练3 （2025·徐州月考）已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半.
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹.
1.已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则实数k的取值范围是（ ）
A.（－∞，－1） B.（－1，＋∞）
C.（－1，0） D.（－1，1）
2.已知圆C：x2＋y2－4x＋6y＋9＝0，则下列直线中必过圆心C的是（ ）
A.3x－2y＋1＝0
B.3x＋2y＋1＝0
C.3x＋2y＝0
D.3x－2y＝0
3.（2025·威海质检）已知两定点A（－2，0），B（1，0），若动点P满足｜PA｜＝2｜PB｜，则P的轨迹为（ ）
A.直线 B.线段 C.圆 D.半圆
4.已知△ABC的三个顶点为A（1，4），B（－2，3），C（4，－5），求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径.
课堂小结
1.理清单 （1）圆的一般方程； （2）与圆有关的轨迹方程. 2.应体会 （1）求圆的一般方程常用待定系数法； （2）求动点的轨迹方程的常用的方法有定义法、直接法、代入法等. 3.避易错 （1）忽视一般方程表示圆的条件； （2）轨迹方程求出后，忽视点及轨迹不存在的情形.
提示：完成课后作业 第二章 2.4 2.4.2
3 / 32.4.2 圆的一般方程
课标要求
1.在平面直角坐标系中，探索掌握圆的一般方程（数学抽象、逻辑推理）.
2.掌握待定系数法求圆的方程，能求与圆有关的轨迹方程（数学运算、直观想象）.
情境导入
前面我们已学习了圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，现将其展开可得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式.请大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程都表示圆吗？下面我们来探讨这一方面的问题.
知识点一｜圆的一般方程的概念
问题 （1）如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需要满足什么条件？
提示：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方可得，（x＋）2＋（y＋）2＝，当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆.
（2）当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？
提示：①当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点（－，－）.
②当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形.
【知识梳理】
1.概念：当 D2＋E2－4F＞0 时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程.
2.圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的圆的圆心为 （－，－） ，半径长为 .
提醒：二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，xy的系数为0.
【例1】判断下列二元二次方程是否表示圆.如果是，请求出圆的圆心坐标及半径：
（1）2x2＋y2－7y＋5＝0；
解：2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，故原方程不表示圆.
（2）x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
解：x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy项，故原方程不表示圆.
（3）x2＋y2－4x＝0；
解：方程可变形为（x－2）2＋y2＝4，表示圆心坐标是（2，0），半径是2的圆.
（4）x2＋y2－4ax－2ay＋6a2＝0；
解：方程可变形为（x－2a）2＋（y－a）2＝a2.
当a＝0时，方程表示点（0，0），不表示圆；
当a≠0时，方程表示圆心坐标是（2a，a），半径是｜a｜的圆.
（5）4x2＋4y2－4x＋12y＋11＝0.
解：方程可变形为x2＋y2－x＋3y＋＝0，
法一 由D2＋E2－4F＝（－1）2＋32－4×＝－1＜0，不表示任何图形.
法二 方程可变形为（x－）2＋（y＋）2＝－，故方程不表示任何图形.
【规律方法】
圆的一般方程的辨析
（1）配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形为“标准”形式后，观察是否表示圆；
（2）运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F与0的关系，确定它是否表示圆.
训练1 （1）（2025·许昌月考）若方程x2＋y2－2y－m＝0表示的图形是圆，则实数m的取值范围为（ D ）
A.（－∞，1） B.（1，＋∞）
C.（－∞，－1） D.（－1，＋∞）
解析：法一 因为方程表示的图形是圆，所以4＋4m＞0，解得m＞－1.故实数m的取值范围为（－1，＋∞）.
法二 方程x2＋y2－2y－m＝0可化为x2＋（y－1）2＝m＋1，因为方程表示的图形是圆，所以m＋1＞0，解得m＞－1.故实数m的取值范围为（－1，＋∞）.故选D.
（2）〔多选〕已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0的直径为4，则（ BD ）
A.m＝－1
B.m＝1
C.圆心为（－1，－2）
D.圆心为（1，－2）
解析：根据题意，圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0，即（x－1）2＋（y＋2）2＝5－m，其圆心为（1，－2），半径为，若其直径为4，则＝2，解得m＝1.故选B、D.
知识点二｜求圆的一般方程
【例2】（链接教材P86例4）求满足下列条件的圆的一般方程：
（1）过点A（－4，0），B（0，2）和原点；
解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由已知条件得解得
故所求圆的方程为x2＋y2＋4x－2y＝0.
（2）圆心在直线y＝x上，与x轴相交于（－1，0），（3，0）两点.
解：法一 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为（－，－）.
因为圆心在直线y＝x上，且圆过（－1，0），（3，0）两点，
所以解得
所以圆的方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0.
法二 因为圆与x轴相交于（－1，0），（3，0）两点，
所以圆心在直线x＝1上.
又圆心在直线y＝x上，所以圆心坐标为（1，1）.
所以圆的半径为＝，
所以圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝5.
所以圆的一般方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0.
【规律方法】
待定系数法求圆的一般方程的步骤
（1）根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；
（2）根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组；
（3）解此方程组，求出D，E，F的值；
（4）将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程.
训练2 求满足下列条件的圆的一般方程：
（1）已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0的圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为；
解：由题意得圆心C（－，－），
∵圆心在直线x＋y－1＝0上，
∴－－－1＝0，即D＋E＝－2， ①
又半径r＝＝，
∴D2＋E2＝20， ②
由①②可得或
又圆心在第二象限，∴－＜0，－＞0，即D＞0，E＜0.
∴∴圆C的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
（2）已知圆经过点（4，2）和（－2，－6），该圆与坐标轴的四个截距之和为－2.
解：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）.
∵圆经过点（4，2）和（－2，－6），
∴
设圆在x轴上的截距为x1，x2，则它们是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根，故x1＋x2＝－D.
设圆在y轴上的截距为y1，y2，则它们是方程y2＋Ey＋F＝0的两个根，故y1＋y2＝－E.
由已知，得－D＋（－E）＝－2，
即D＋E－2＝0. ③
联立①②③，解得D＝－2，E＝4，F＝－20.
∴所求圆的一般方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
提能点｜与圆有关的轨迹问题
角度1 直接法求轨迹方程
【例3】求到点O（0，0）的距离是到点A（3，0）的距离的2倍的点M的轨迹方程.
解：设点M的坐标是（x，y），
则＝2.∴＝2.
化简，得x2＋y2－8x＋12＝0，
即所求轨迹方程为x2＋y2－8x＋12＝0.
角度2 定义法求轨迹方程
【例4】 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A（－1，0），B（3，0），求直角顶点C的轨迹方程.
解：设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D（1，0）.
由直角三角形的性质，知｜CD｜＝｜AB｜＝2.
由圆的定义，知动点C的轨迹是以D（1，0）为圆心，以2为半径长的圆（因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点）.
设C（x，y），则直角顶点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（x≠3，且x≠－1）.
角度3 代入法求轨迹方程
【例5】 已知点A（2，0）是圆x2＋y2＝4上的定点，P是圆上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.
解：设线段AP的中点为M（x，y），
由中点坐标公式，得点P的坐标为（2x－2，2y）.
∵点P在圆x2＋y2＝4上，
∴（2x－2）2＋（2y）2＝4，
故线段AP的中点M的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝1.
变式 若本例条件不变，如图，点B（1，1）是圆内一点，Q为圆上的动点，若∠PBQ＝90°，如何求线段PQ的中点N的轨迹方程？
解：设线段PQ的中点为N（x，y），
在Rt△PBQ中，｜PN｜＝｜BN｜，
连接ON（图略），
则ON⊥PQ，
∴｜OP｜2＝｜ON｜2＋｜PN｜2＝｜ON｜2＋｜BN｜2，
∴x2＋y2＋（x－1）2＋（y－1）2＝4，
故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
【规律方法】
求与圆有关的轨迹方程的3种方法
提醒：（1）弄清题中所求问题是动点的轨迹方程还是动点的轨迹，若求的是动点轨迹，则求出轨迹方程后应说明最后是什么样的图形；（2）要考虑轨迹上应去掉的点及轨迹不存在的情形.
训练3 （2025·徐州月考）已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半.
（1）求动点M的轨迹方程；
解：设动点M的坐标为（x，y）.
因为A（2，0），B（8，0），
｜MA｜＝｜MB｜.
所以（x－2）2＋y2＝[（x－8）2＋y2].
化简得x2＋y2＝16.
即动点M的轨迹方程为x2＋y2＝16.
（2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹.
解：设点N的坐标为（x0，y0），
因为A（2，0），N为线段AM的中点，
所以点M的坐标为（2x0－2，2y0）.
又点M在圆x2＋y2＝16上，
所以（2x0－2）2＋4＝16，
即得（x0－1）2＋＝4.
所以点N的轨迹是以（1，0）为圆心，2为半径的圆.
1.已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则实数k的取值范围是（ ）
A.（－∞，－1） B.（－1，＋∞）
C.（－1，0） D.（－1，1）
解析：A 方程可化为（x－1）2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即k＜－1时才能表示圆.
2.已知圆C：x2＋y2－4x＋6y＋9＝0，则下列直线中必过圆心C的是（ ）
A.3x－2y＋1＝0
B.3x＋2y＋1＝0
C.3x＋2y＝0
D.3x－2y＝0
解析：C 圆心为C（2，－3）在直线3x＋2y＝0上.故选C.
3.（2025·威海质检）已知两定点A（－2，0），B（1，0），若动点P满足｜PA｜＝2｜PB｜，则P的轨迹为（ ）
A.直线 B.线段 C.圆 D.半圆
解析：C 设点P的坐标为（x，y），∵A（－2，0），B（1，0），动点P满足｜PA｜＝2｜PB｜，∴＝2，两边平方得（x＋2）2＋y2＝4[（x－1）2＋y2]，即（x－2）2＋y2＝4.∴P的轨迹为圆.故选C.
4.已知△ABC的三个顶点为A（1，4），B（－2，3），C（4，－5），求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径.
解：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵点A，B，C在圆上，
∴
解得
∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，
即（x－1）2＋（y＋1）2＝25.
∴外心坐标为（1，－1），外接圆半径为5.
课堂小结
1.理清单 （1）圆的一般方程； （2）与圆有关的轨迹方程. 2.应体会 （1）求圆的一般方程常用待定系数法； （2）求动点的轨迹方程的常用的方法有定义法、直接法、代入法等. 3.避易错 （1）忽视一般方程表示圆的条件； （2）轨迹方程求出后，忽视点及轨迹不存在的情形.
1.已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为（－2，3），则D，E分别为（ ）
A.D＝4，E＝－6 B.D＝－4，E＝－6
C.D＝－4，E＝6 D.D＝4，E＝6
解析：A 圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为（－，－），又已知该圆的圆心坐标为（－2，3），∴－＝－2，－＝3，∴D＝4，E＝－6.
2.与圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0同圆心，且过点（1，－1）的圆的方程是（ ）
A.x2＋y2－4x＋6y－8＝0
B.x2＋y2－4x＋6y＋8＝0
C.x2＋y2＋4x－6y－8＝0
D.x2＋y2－4x－6y－4＝0
解析：B 依题意，设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋m＝0，由于所求圆过点（1，－1），所以1＋1－4－6＋m＝0，解得m＝8，所以所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0.故选B.
3.若点P（1，1）在圆x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，则实数k的取值范围是（ ）
A.（－2，＋∞） B.［－2，－］
C.（－2，） D.（－2，2）
解析：C 因为点P（1，1）在圆x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，所以需满足解得－2＜k＜.
4.圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，则a的值为（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
解析：C 由于圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0的圆心为M（，1），圆x2＋y2－4x＋3＝0的圆心为N（2，0），又两圆关于直线x－y－1＝0对称，故有×1＝－1，解得a＝2.
5.已知圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝1过点A（1，0），则圆C的圆心的轨迹是（ ）
A.点 B.直线
C.线段 D.圆
解析：D ∵圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝1过点A（1，0），∴（1－a）2＋（0－b）2＝1，∴（a－1）2＋b2＝1，∴圆C的圆心的轨迹是圆心为（1，0），半径为1的圆.
6.〔多选〕已知圆的方程为x2＋y2－4x－1＝0，则下列说法正确的有（ ）
A.关于点（2，0）对称
B.关于直线y＝0对称
C.关于直线x＋3y－2＝0对称
D.关于直线x－y＋2＝0对称
解析：ABC x2＋y2－4x－1＝0 （x－2）2＋y2＝5，所以圆心的坐标为（2，0），半径为.选项A，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点（2，0）是圆心，所以A正确；选项B，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，所以B正确；选项C，直线x＋3y－2＝0过圆心，所以C正确；选项D，直线x－y＋2＝0不过圆心，所以D不正确.故选A、B、C.
7.〔多选〕若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以（2，－4）为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是（ ）
A.F＝4
B.点（0，1）在圆外
C.圆与y轴相切
D.点（2，1）与圆上任一点距离的最大值为9
解析：ABD 由题知解得D＝－4，E＝8，F＝4，A正确；由A知圆的一般方程为x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，将（0，1）代入得0＋1－0＋8＋4＝13＞0，故点（0，1）在圆外，B正确；由题知圆心纵坐标的绝对值等于半径，故该圆与x轴相切，与y轴相交，C错误；因为圆心（2，－4）到点（2，1）的距离为5，所以圆上动点（x，y）到定点（2，1）的距离的最大值为5＋4＝9，D正确.
8.当圆C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0的面积最小时，m＝1.
解析：由圆C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0，得圆C的标准方程为（x－2）2＋（y－m）2＝m2－2m＋4，从而对于圆C的半径r有r2＝m2－2m＋4＝（m－1）2＋3≥3，所以当m＝1时，r2取得最小值，此时圆C的面积最小.
9.长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为x2＋y2＝9.
解析：设M（x，y），因为△AOB是直角三角形，所以｜OM｜＝｜AB｜＝3为定值，故M的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆，故x2＋y2＝9即为所求.
10.已知方程x2＋y2－2（t＋3）x＋2（1－4t2）y＋16t4＋9＝0表示一个圆.
（1）求t的取值范围；
（2）求该圆的圆心坐标和半径；
（3）求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程.
解：（1）圆的方程可化为[x－（t＋3）]2＋[y＋（1－4t2）]2＝1＋6t－7t2.
由1＋6t－7t2＞0，即7t2－6t－1＜0，得－＜t＜1.
故t的取值范围是（－，1）.
（2）由（1）知，圆的圆心坐标为（t＋3，4t2－1），半径为.
（3）r＝
＝≤.
所以r的最大值为，此时t＝，
故此时圆的标准方程为（x－）2＋（y＋）2＝.
11.（2025·淄博月考）若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为（ ）
A.（－∞，－2） B.（－∞，－1）
C.（1，＋∞） D.（2，＋∞）
解析：D 由题意得，曲线C的标准方程为（x＋a）2＋（y－2a）2＝4，因此曲线C是圆心为（－a，2a），半径为2的圆.∵曲线C上所有的点均在第二象限内，∴解得a＞2，∴a的取值范围是（2，＋∞）.
12.已知圆C：x2＋y2－4x＋2y＋m＝0与y轴交于A，B两点，圆心为C.若∠ACB＝，则实数m＝－3.
解析：∵x2＋y2－4x＋2y＋m＝0可化为（x－2）2＋（y＋1）2＝5－m，∴圆心C的坐标为（2，－1），圆C的半径r＝.由∠ACB＝可得△ACB为等腰直角三角形，∴2＝r，解得r＝2，∴＝2，解得m＝－3.
13.已知A（－2，0），B（0，2），实数k是常数，M，N是圆x2＋y2＋kx＝0上两个不同点，P是圆上的动点，如果M，N关于直线x－y－1＝0对称，则△PAB面积的最大值是3＋.
解析：依题意得圆x2＋y2＋kx＝0的圆心（－，0）位于直线x－y－1＝0上，于是有－－1＝0，即k＝－2，因此圆心坐标是（1，0），半径是1.由题意可得｜AB｜＝2，直线AB的方程是＋＝1，即x－y＋2＝0，圆心（1，0）到直线AB的距离等于＝，点P到直线AB的距离的最大值是＋1，△PAB面积的最大值为×2×＝3＋.
14.已知圆C经过（0，2），（1，），（，）三点.
（1）求圆C的方程；
（2）设定点M（－3，4），动点N在圆C上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP（O为坐标原点），求点P的轨迹.
解：（1）设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意得
解得
则圆C的方程为x2＋y2＝4.
（2）法一（定义法） 设点P（x，y）.由题意知｜MP｜＝｜ON｜＝2，所以动点P在以M为圆心，半径为2的圆上，即（x＋3）2＋（y－4）2＝4.又因为四边形MONP为平行四边形，所以O，M，P三点不共线.当点P在直线OM上时有或
因此所求轨迹为以（－3，4）为圆心，2为半径的圆除去点（－，）和点（－，）.
法二（代入法） 如图所示，
设点P（x，y），N（x0，y0），则线段OP的中点坐标为（，），线段MN的中点坐标为（，）.
由于平行四边形的对角线互相平分，故从而
又点N（x＋3，y－4）在圆x2＋y2＝4上，
故（x＋3）2＋（y－4）2＝4.
当点P在直线OM上时，
有或
因此所求轨迹为以（－3，4）为圆心，2为半径的圆并除去点（－，）和点（－，）.
15.已知曲线C：（1＋a）x2＋（1＋a）y2－4x＋8ay＝0，a∈R.
（1）当a取何值时，方程表示圆；
（2）求证：不论a为何值，曲线C必过两定点；
（3）当曲线C表示圆时，求圆的面积最小时a的值.
解：（1）当a＝－1时，方程为x＋2y＝0，表示一条直线；当a≠－1时，方程为（x－）2＋（y＋）2＝，因为＞0，所以a≠－1时方程表示圆.
（2）证明：方程变形为x2＋y2－4x＋a（x2＋y2＋8y）＝0.
对于a取任何值，上式成立，则有
解得或
所以C过定点A（0，0），B（，－）.
（3）由（2）知曲线C过定点A，B，在这些圆中，当以AB为直径时，圆的面积最小，
从而得以AB为直径圆的方程为
（x－）2＋（y＋）2＝，
所以＝，＝，＝，
解得a＝.
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