第二课时 直线与圆的方程的实际应用
课标要求
1.在平面直角坐标系中，探索直线与圆的方程的实际应用（数学抽象）. 2.能用直线与圆的方程解决实际问题，体会坐标法在解题中的应用（数学建模）.
知识点一｜圆的方程的实际应用
问题1 初中时，我们多用综合法研究几何问题，它有什么特点？现在我们给圆建立了方程，那么还可以用什么方法？
提示：运用综合法有时需添加辅助线，侧重于解题技巧，同时对运算能力也有要求，往往计算复杂.还可以用坐标法.
【知识梳理】
用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将 几何 问题转化为 代数 问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
提醒：建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有着直接的影响.因此，建立直角坐标系，应使所给图形尽量对称，所需的几何元素的坐标或方程尽量简单.
【例1】（链接教材P93例3）一座圆拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽是（ ）
A.13米 B.14米
C.15米 D.16米
解析：D 建立如图所示的平面直角坐标系，则A（－6，－2），B（6，－2），设圆的方程为x2＋（y＋m）2＝m2（m＞0），将A点坐标代入圆的方程，则有m＝10，故圆的方程为x2＋（y＋10）2＝100，令y＝－4，则x＝±8，故｜EF｜＝16（米）.
【规律方法】
解决与圆有关的应用题的方法步骤
（1）建坐标系：充分利用线段及其垂直平分线，建立平面直角坐标系；
（2）求出方程：根据几何性质，确定圆心与半径，求圆的标准方程；
（3）计算求值：利用圆的方程，确定点的坐标，转化为实际问题的解.
训练1 河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈内部最高点距水面9 m，拱圈内部水面宽22 m.一条船在水面以上部分高6.5 m，船顶部宽4 m，可以通行无阻，近日水位暴涨了2.7 m，为此必须加重船载，降低船身，才能使船通过桥洞，则船身应该降低0.38m.（精确到0.01）
解析：以正常水位时河道中央为原点O，建立平面直角坐标系，如图所示.易知拱桥所在圆过点（11，0），（－11，0），（0，9），设拱桥所在圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）.故解得故拱桥所在圆的方程是x2＋y2＋y－121＝0.当x＝2时，可得y≈8.82.故当水位暴涨2.7 m后，船身应该降低6.5＋2.7－8.82＝0.38（m）.故船身应降低0.38 m，才能通过桥洞.
知识点二｜直线与圆的方程的实际应用
问题2 比较坐标法与向量法，它们在解决几何问题时，有什么异同点？
提示：向量法是将点、线、面等几何要素用向量表示，通过向量运算将结果“翻译”成相应结论，为几何问题的解决带来极大便利性.坐标法与它类似，也是将几何问题“代数化”，通过计算使繁杂的问题得到解决.
【例2】（链接教材P94例4）如图，某海面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C经过O，A，B三点.
（1）求圆C的方程；
解：由题意，得A（40，40），B（20，0），设过O，A，B三点的圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则
解得
∴圆C的方程为x2＋y2－20x－60y＝0.
（2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
解：该船初始位置为点D，
则D（－20，－20），
且该船航线所在直线l的斜率为1，
故该船航行方向为直线l：x－y＋20－20＝0，
由（1）得圆C的圆心为C（10，30），半径r＝10，
由于圆心C到直线l的距离d＝＝10＜10，
故该船有触礁的危险.
【规律方法】
直线与圆的方程实际应用的步骤
训练2 某考点配备的信号检测设备的监测范围是半径为100米的圆形区域，一名工作人员持手机以每分钟50米的速度从设备正东方向50米的A处出发，沿西北方向走向位于设备正北方向的B处，则这名工作人员被持续监测的时长为（ ）
A.1分钟 B.分钟
C.2分钟 D.分钟
解析：C 以设备的位置为坐标原点O，其正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系Oxy，如图所示， 则A（50，0），B（0，50），可得lAB：x＋y＝50，圆O：x2＋y2＝10 000.记从N处开始被监测，到M处监测结束，因为O到lAB的距离为｜OO'｜＝＝50（米），所以｜MN｜＝2＝100（米），故监测时长为＝2（分钟）.
1.如图是一个圆曲隧道的截面，若路面AB宽为10米，净高CD为7米，则此隧道圆的半径是（ ）
A.5米 B.米
C.米 D.7米
解析：B ∵OD⊥AB，∴AD＝DB＝AB＝×10＝5米，在Rt△OAD中，设半径OA＝R，则OD＝CD－R＝7－R，∴OA2＝OD2＋AD2，即R2＝（7－R）2＋52，解得R＝.∴此隧道圆的半径OA是米，故选B.
2.一辆货车宽2米，要经过一个半径为米的半圆形隧道，则这辆货车的车顶（平顶）距离地面的高度不得超过（ ）
A.2米 B.2.4米
C.3米 D.3.6米
解析：C 以半圆直径所在直线为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的坐标系.由半圆的半径为可知，半圆所在圆的方程为x2＋y2＝10.由图可知，当货车恰好在隧道中间经过时车顶可达到最高.此时x＝1或x＝－1，代入x2＋y2＝10，得y＝3（负值舍去）.
3.如图，已知一艘停在海面上的海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问这艘轮船被海盗船监测多长时间？
解：如图，以O为坐标原点，东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系，则A（40，0），B（0，30），圆O的方程为x2＋y2＝252，直线AB的方程为＋＝1，即3x＋4y－120＝0，设点O到AB的距离为d，
则d＝＝24＜25，
所以轮船能被海监船检测到，设监测时间为t，则t＝＝0.5（小时），
所以这艘轮船被海监船监测0.5小时.
课堂小结
1.理清单 （1）圆的方程的实际应用； （2）直线与圆的方程的实际应用. 2.应体会 解决直线与圆的实际问题，通常利用数形结合思想，建立数学模型解决问题. 3.避易错 不能正确进行数学建模.
1.一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，建立如图所示的直角坐标系，则该半圆的方程是（ ）
A.x2＋y2＝25
B.x2＋y2＝25（y≥0）
C.（x＋5）2＋y2＝25（y≤0）
D.x2＋y2＝25（y≤0）
解析：B 在给定的坐标系中，上半圆方程中满足y≥0，故选B.
2.如图，圆弧形拱桥的跨度｜AB｜＝12米，拱高｜CD｜＝4米，则拱桥的直径为（ ）
A.15米 B.13米
C.9米 D.6.5米
解析：B 如图，设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得｜OB｜2＝｜OD｜2＋｜BD｜2，即r2＝（r－4）2＋62，解得r＝，所以拱桥的直径为13米.
3.一艘科考船在点O处监测到北偏东30°方向40海里处有一个小岛A，距离小岛10海里范围内可能存在暗礁.若以点O为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，则暗礁所在区域边界的方程为（ ）
A.（x＋20）2＋（y－20）2＝100
B.（x－20）2＋（y＋20）2＝100
C.（x＋20）2＋（y＋20）2＝100
D.（x－20）2＋（y－20）2＝100
解析：D 易得暗礁所在区域边界为一个圆，过A作y轴的垂线，垂足为B（图略），则∠AOB＝30°，∵｜OA｜＝40，∴｜AB｜＝20，｜OB｜＝＝20，∴暗礁所在区域边界方程为（x－20）2＋（y－20）2＝100.
4.小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥，已知在某个时间段，这座桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米，当水面上涨2米后，桥在水面的跨度为（ ）
A.10米 B.10米
C.6米 D.6米
解析：C 根据题意，建立如图所示的圆拱桥模型.设圆O的半径为R，当水面跨度是20米，拱顶离水面4米时，水面为AB，M为AB的中点，即｜AB｜＝20，｜OM｜＝R－4，由勾股定理，得｜AM｜2＝（）2＝｜OA｜2－｜OM｜2，即100＝R2－（R－4）2，解得R＝.当水面上涨2米后，水面为CD，N为CD的中点，此时｜ON｜＝R－2，由勾股定理，得｜CD｜＝2｜CN｜＝2＝6（米）.
5.设某公园外围成圆形，其所在曲线的方程可用x2＋y2－2x＝0表示，在公园外两点A（－2，0），B（0，2）与公园边上任意一点修建一处三角形舞台，则舞台面积的最小值为（ ）
A.3－ B.3＋
C.3－ D.
解析：A 因为直线lAB：x－y＋2＝0，圆心为（1，0），半径为1，则圆心到直线lAB的距离为d＝＝，所以AB边上的高的最小值为－1，所以三角形舞台面积Smin＝×2×（－1）＝3－.
6.〔多选〕从点A（－3，3）发出的光线l射到x轴上被x轴反射后，照射到圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0上，则下列结论正确的是（ ）
A.若反射光线与圆C相切，则切线方程为3x－4y－3＝0
B.若反射光线穿过圆C的圆心，则反射光线方程为x－y＝0
C.若反射光线照射到圆上后被吸收，则光线经过最短路程是5－1
D.若反射光线反射后被圆C遮挡，则在x轴上被挡住的范围是［－，1］
解析：BCD 点A（－3，3）关于x轴的对称点为A'（－3，－3）.圆的方程为（x－2）2＋（y－2）2＝1，由题意知反射光线的斜率存在，设反射光线方程为y＋3＝k（x＋3），即kx－y＋3k－3＝0.由反射光线与圆C相切知＝1，解得k＝或k＝.所以反射光线方程为y＋3＝（x＋3）或y＋3＝（x＋3）.即4x－3y＋3＝0或3x－4y－3＝0，故A错误；过A'（－3，－3），C（2，2）的直线方程为y＝x，故B正确；因为｜A'C｜＝＝5，所以光线经过的最短路程为5－1，故C正确；由于两条与圆C相切的反射光线与x轴的交点为（1，0）和（－，0），所以被挡住的范围是［－，1］，故D正确.
7.〔多选〕某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36 m，拱高OP是6 m，在建造时，每隔3 m需用一个支柱支撑，则下列结论正确的是（ ）
A.该圆拱所在圆的半径为30 m
B.支柱A1P1的高为（9－24）m
C.支柱A2P2的高为（12＋24）m
D.支柱A2P2的高为（12－24）m
解析：ABD 如图，以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A，B，P的坐标分别为（－18，0），（18，0），（0，6）.设圆拱所在的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.因为A，B，P在此圆上，故有解得故圆拱所在圆的方程是x2＋y2＋48y－324＝0，即x2＋（y＋24）2＝302，圆的半径为30 m，选项A正确；将点P1的横坐标x＝3代入上式，结合图形解得y＝－24＋9，故支柱A1P1的高为（9－24）m，选项B正确；将点P2的横坐标x＝6代入上式，结合图形解得y＝－24＋12，故支柱A2P2的高为（12－24）m，选项C错误，D正确.故选A、B、D.
8.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为1h.
解析：如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则台风中心经过以B（40，0）为圆心，30为半径的圆内时城市B处于危险区，即B处于危险区时，台风中心在线段MN上，由题意知，台风路径用方程表示为y＝x，则圆心B（40，0）到直线y＝x的距离d＝＝20，可求得｜MN｜＝2＝20，所以城市B处于危险区的时间为1 h.
9.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地（如图），它的附近有一条公路，从基地中心O处向正东方向走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东走7 km到达公路上的点B.从基地中心O向正北方向走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，则｜DE｜的最小值为（4－1）（km）.
解析：以O为坐标原点，OB，OC所在的直线分别为x轴，y轴，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系（图略），则圆O的方程为x2＋y2＝1.因为点B（8，0），C（0，8），所以直线BC的方程为＋＝1，即x＋y－8＝0.易知，当O，D，E三点共线且OE⊥BC时，DE的长最小，｜DE｜的最小值为－1＝（4－1）（km）.故｜DE｜的最小值为（4－1）（km）.
10.设有半径长为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇.设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，甲、乙两人在何处相遇？
解：如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系.
设甲向东走到D转向到C恰好与乙相遇，设D点坐标为（a，0），C点坐标为（0，b），则CD所在直线的方程为＋＝1（a＞3，b＞3），设乙的速度为v，则甲的速度为3v.依题意有
解得
所以乙向北前进3.75 km时甲、乙两人相遇.
11.“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：现有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯去锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分），已知弦｜AB｜＝1尺，弓形高｜CD｜＝1寸，则阴影部分的面积约为（注：π≈3.14，sin 22.5°≈，1尺＝10寸）（ ）
A.6.33平方寸 B.5.35平方寸
C.7.37平方寸 D.8.39平方寸
解析：A 连接OD（图略），设半径为r.由题意知｜AD｜＝5寸，则｜OD｜＝r－1，在Rt△OAD中，｜OA｜2＝｜AD｜2＋｜OD｜2，即r2＝52＋（r－1）2，解得r＝13，则sin∠AOC＝，所以∠AOC≈22.5°，则∠AOB≈2×22.5°＝45°，所以扇形OAB的面积S1＝＝≈66.33（平方寸），△OAB的面积S2＝×10×12＝60（平方寸），所以阴影部分的面积为S1－S2≈66.33－60＝6.33（平方寸）.
12.某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心O的东北方向20米的点A处，有一360°全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度.那么观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为17.5米.
解析：以O为原点，正东方向为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系，则O（0，0），A（20，20），观景直道所在直线的方程为y＝－10，由图易知，过点A的直线l与圆O相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡，所以设直线l过点A且恰与圆O相切，①若直线l垂直于x轴，则l不可能与圆O相切；②若直线l不垂直于x轴，设l：y－20＝k（x－20），整理得kx－y－20k＋20＝0，所以圆心O到直线l的距离d＝＝4，解得k＝或k＝，所以直线l的方程为3x－4y＋20＝0或4x－3y－20＝0，设这两条直线与y＝－10交于D，E，由解得x＝－20，由解得x＝－2.5，所以｜DE｜＝17.5.
13.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示（单位：cm），四边形AFED为矩形，AB，CD，FE均与圆O相切，B，C为切点，零件的截面BC段为圆O的一段弧，已知tan α＝，tan β＝，则该零件的截面的周长为84＋6π.（结果保留π）
解析：以A为原点，AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，则直线AB的方程为4x＋3y＝0，直线CD的方程为3x－4y－105＝0，直线EF的方程为y＝12，设圆心为O（a，b），则圆心到直线AB，直线CD，直线y＝12的距离均相等且等于r，则r＝＝＝｜12－b｜，解得a＝15，b＝0，r＝12，易得｜AB｜＝＝9，｜CD｜＝＝16，对应弧长为圆的周长，故该零件的截面的周长为9＋16＋24＋35＋＝84＋6π.
14.（2025·阳江月考）有一种大型商品，A，B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回时，每单位距离，A地的运费是B地的2倍，已知A，B两地相距6千米，顾客购物的唯一标准是总费用较低.建立适当的平面直角坐标系.
（1）求A，B两地的售货区域的分界线的方程；
（2）画出分界线的方程表示的曲线的示意图，并指出在方程的曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地.
解：（1）以线段AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则点A（3，0），B（－3，0），
设每单位距离B地的运费为a元，设售货区域内一点为P（x，y），若在两地的购货费用相同，则2a＝a，
化简可得（x－5）2＋y2＝16，故在A，B两地的售货区域的分界线的方程为（x－5）2＋y2＝16.
（2）如图，由（1）可知，A，B两地的售货区域的分界线是以点（5，0）为圆心，以4为半径的圆，所以在圆（x－5）2＋y2＝16上的居民从A，B两地购货的总费用相同.
由2a＞
a，可得（x－5）2＋y2＞16，
所以在圆（x－5）2＋y2＝16外的居民从B地购货便宜；
由2a＜a，可得（x－5）2＋y2＜16，
所以在圆（x－5）2＋y2＝16内的居民从A地购货便宜.
15.如图，已知某市穿城公路MON自西向东到达市中心O后转向正北方向，∠MON＝，现准备修建一条直线型高架公路L，在MO上设一出入口A，在ON上设一出入口B.且要求市中心O到AB所在直线的距离为10 km.
（1）若将出入口A设计在距离中心O点10 km处，求A，B两出入口间的距离；
（2）在公路MO段上距离市中心O点30 km处有一古建筑C（视为点），现设立一个以C为圆心，5 km为半径的圆形保护区（包含边界），问如何在古建筑C和市中心O之间设出入口A，才能使高架公路及其延长线不经过保护区？
解：（1）如图，过点O作OE⊥AB交AB于点E，则OE＝10 km.
在Rt△AEO中，sin A＝＝，所以cos A＝，
在Rt△ABO中，AB＝＝＝20（km），
即A，B两出入口间的距离为20 km.
（2）以O为原点建立平面直角坐标系，则圆C的方程为（x＋30）2＋y2＝25.
设直线AB的方程为y＝kx＋t（k＞0，t＞0）.则｜OA｜＝，且需＝10，＞5，
解得t＜20k或t＞60k.
因为古建筑C距O点30 km，当t＞60k时，｜OA｜＞60，不合题意，
所以t＜20k，即｜OA｜＜20.故0＜｜OA｜＜20.
所以出口A应设计在与市中心距离20 km以内的位置.
1 / 11第二课时 直线与圆的方程的实际应用
课标要求
1.在平面直角坐标系中，探索直线与圆的方程的实际应用（数学抽象）. 2.能用直线与圆的方程解决实际问题，体会坐标法在解题中的应用（数学建模）.
知识点一｜圆的方程的实际应用
问题1 初中时，我们多用综合法研究几何问题，它有什么特点？现在我们给圆建立了方程，那么还可以用什么方法？
【知识梳理】
用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将 问题转化为 问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
提醒：建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有着直接的影响.因此，建立直角坐标系，应使所给图形尽量对称，所需的几何元素的坐标或方程尽量简单.
【例1】 （链接教材P93例3）一座圆拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽是（ ）
A.13米 B.14米 C.15米 D.16米
【规律方法】
解决与圆有关的应用题的方法步骤
（1）建坐标系：充分利用线段及其垂直平分线，建立平面直角坐标系；
（2）求出方程：根据几何性质，确定圆心与半径，求圆的标准方程；
（3）计算求值：利用圆的方程，确定点的坐标，转化为实际问题的解.
训练1 河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈内部最高点距水面9 m，拱圈内部水面宽22 m.一条船在水面以上部分高6.5 m，船顶部宽4 m，可以通行无阻，近日水位暴涨了2.7 m，为此必须加重船载，降低船身，才能使船通过桥洞，则船身应该降低 m.（精确到0.01）
知识点二｜直线与圆的方程的实际应用
问题2 比较坐标法与向量法，它们在解决几何问题时，有什么异同点？
【例2】 （链接教材P94例4）如图，某海面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C经过O，A，B三点.
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
【规律方法】
直线与圆的方程实际应用的步骤
训练2 某考点配备的信号检测设备的监测范围是半径为100米的圆形区域，一名工作人员持手机以每分钟50米的速度从设备正东方向50米的A处出发，沿西北方向走向位于设备正北方向的B处，则这名工作人员被持续监测的时长为（ ）
A.1分钟 B.分钟 C.2分钟 D.分钟
1.如图是一个圆曲隧道的截面，若路面AB宽为10米，净高CD为7米，则此隧道圆的半径是（ ）
A.5米 B.米
C.米 D.7米
2. 一辆货车宽2米，要经过一个半径为米的半圆形隧道，则这辆货车的车顶（平顶）距离地面的高度不得超过（ ）
A.2米 B.2.4米 C.3米 D.3.6米
3.如图，已知一艘停在海面上的海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问这艘轮船被海盗船监测多长时间？
课堂小结
1.理清单 （1）圆的方程的实际应用； （2）直线与圆的方程的实际应用. 2.应体会 解决直线与圆的实际问题，通常利用数形结合思想，建立数学模型解决问题. 3.避易错 不能正确进行数学建模.
提示：完成课后作业 第二章 2.5 2.5.1 第二课时
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