第一课时 直线与圆的位置关系
课标要求
1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离（直观想象）.
2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系（逻辑推理）.
3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题（数学运算）.
情境导入
“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象.如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，日落的过程也体现了直线与圆的位置关系.
知识点一｜直线与圆的位置关系的判断
问题1 （1）在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？
提示：初中时，我们根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断直线与圆的位置关系，具体情形如下：①直线与圆相交 d＜r；②直线与圆相切 d＝r；③直线与圆相离 d＞r.
（2）类比用方程研究两条直线位置关系的方法，如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
提示：转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解.
【知识梳理】
直线Ax＋By＋C＝0与圆：（x－a）2＋（y－b）2＝r2的位置关系与判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2 个 1 个 0 个
判断方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d ＝ r d ＞ r
代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ ＞ 0 Δ ＝ 0 Δ ＜ 0
图示
【例1】已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当实数b为何值时，直线与圆：
（1）有两个公共点；
（2）只有一个公共点；
（3）没有公共点.
解：法一 圆心O（0，0）到直线x－y＋b＝0的距离为d＝，圆的半径r＝.
（1）当d＜r，即－2＜b＜2时，直线与圆有两个公共点.
（2）当d＝r，即b＝2或b＝－2时，直线与圆只有一个公共点.
（3）当d＞r，即b＞2或b＜－2时，直线与圆没有公共点.
法二 由方程组消去y，得2x2＋2bx＋b2－2＝0，
Δ＝4b2－8（b2－2）＝－4b2＋16.
（1）当Δ＞0，即－2＜b＜2时，直线与圆有两个公共点.
（2）当Δ＝0，即b＝2或b＝－2时，直线与圆只有一个公共点.
（3）当Δ＜0，即b＞2或b＜－2时，直线与圆没有公共点.
【规律方法】
判断直线与圆的位置关系的方法
（1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断；
（2）代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断.
训练1 （1）已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P（3，0）的直线，则（ A ）
A.l与圆C相交
B.l与圆C相切
C.l与圆C相离
D.以上三个选项均有可能
解析：将点P（3，0）代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3＜0，∴点P（3，0）在圆内.∴过点P的直线l必与圆C相交.
（2）直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为（ B ）
A.相切
B.相交但直线不过圆心
C.相交且直线过圆心
D.相离
解析：圆心（0，0）到直线y＝x＋1的距离d＝＝.因为0＜＜1，所以直线与圆相交但直线不过圆心，故选B.
知识点二｜圆的弦长问题
问题2 （1）当直线与圆相交时，你能推导用半径r与弦心距d表示弦长的方法吗？
提示：如图，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为｜AB｜，则有（）2＋d2＝r2，即｜AB｜＝2.
（2）当直线与圆相交时，你能推导用交点坐标表示弦长的方法吗？
提示：设直线斜率为k，方程y＝kx＋b，
｜AB｜＝
＝
＝｜x1－x2｜
＝，
同理｜AB｜＝.
【例2】求直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长.
解：法一（几何法） 如图，
O为坐标原点，设直线x－y＋2＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，弦AB的中点为M，则OM⊥AB，又｜OM｜＝＝，
所以｜AB｜＝2｜AM｜＝2＝2＝2.
法二（代数法） 直线x－y＋2＝0和圆x2＋y2＝4的公共点坐标就是方程组的解.
解这个方程组，得
所以公共点的坐标为（－，1），（0，2），
所以直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为＝2.
法三（弦长公式法） 联立消去x，得y2－3y＋2＝0，
所以y1＋y2＝3，y1y2＝2，
所以｜AB｜＝＝2＝2.
【规律方法】
求弦长常用的3种方法
（1）利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系＋d2＝r2解题；
（2）利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长；
（3）利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点（x1，y1），（x2，y2），将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝｜x1－x2｜＝（或l＝·）.
训练2 （1）若直线x－y＝2被圆（x－a）2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为0或4；
解析：由圆的方程，可知圆心坐标为（a，0），半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离d＝＝.又d＝，所以｜a－2｜＝2，解得a＝4或a＝0.
（2）过圆x2＋y2＝8内的点P（－1，2）作直线l交圆于A，B两点，若直线l的倾斜角为π，则弦AB的长为.
解析：法一 设A（x1，y1），B（x2，y2）.由题意知直线l的方程为y－2＝－（x＋1），即x＋y－1＝0.
由消去y，得2x2－2x－7＝0，
所以x1＋x2＝1，x1x2＝－，所以｜AB｜＝·｜x1－x2｜＝·＝·＝（k为直线l的斜率）.
法二 由题意知直线l的方程为y－2＝－（x＋1），即x＋y－1＝0.圆心（0，0）到直线l的距离d＝＝，则有｜AB｜＝2＝.
知识点三｜圆的切线问题
【例3】（2025·福州月考）过点M（2，4）向圆（x－1）2＋（y＋3）2＝1引切线，求其切线方程.
解：由于（2－1）2＋（4＋3）2＝50＞1，故点M在圆外.
当切线斜率存在时，设切线方程是y－4＝k（x－2），
即kx－y＋4－2k＝0，
由于直线与圆相切，圆心为（1，－3），r＝1，故＝1，解得k＝.
所以切线方程为24x－7y－20＝0.
又当切线斜率不存在时，直线x＝2与圆相切.
综上所述，所求切线方程为24x－7y－20＝0或x＝2.
变式 （1）若将本例中的点M的坐标改为（1，－2），其他条件不变，又如何求其切线方程？
解：由于（1－1）2＋（－2＋3）2＝1，
故点M在圆上，
设圆的圆心为C，则C（1，－3），显然CM的斜率不存在.
因为圆的切线垂直于经过切点的半径，
所以所求切线的斜率k＝0，
所以切线方程为y＝－2.
（2）若本例中的条件不变，如何求其切线长？
解：由题知，设切线长为d，
d＝
＝＝7.
【规律方法】
1.求过圆上一点（x0，y0）的圆的切线方程
先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程.如果切线斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
2.求过圆外一点（x0，y0）的圆的切线方程
设切线方程为y－y0＝k（x－x0），由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程.当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条.
3.求切线长（最值）的两种方法
（1）代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；
（2）几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题.
训练3 （1）切线的倾斜角为135°，且与圆O：x2＋y2＝25相切，则其切线方程为x＋y＋5＝0或x＋y－5＝0；
解析：由于切线倾斜角为135°，则切线的斜率为－1，设圆的切线方程为y＝－x＋b，代入圆的方程，整理得2x2－2bx＋b2－25＝0，∵直线与圆相切，∴Δ＝（－2b）2－4×2（b2－25）＝0，解得b＝±5，所求切线方程为x＋y－5＝0或x＋y＋5＝0.
（2）由直线y＝x＋1上任一点向圆（x－3）2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为.
解析：圆心C（3，0）到直线y＝x＋1的距离d＝＝2.所以切线长的最小值为l＝＝.
圆的切线与切点弦
【问题探究】
1.你能求在圆O：x2＋y2＝r2上一点P（x0，y0）处的圆的切线方程吗？
提示：若点P（x0，y0）不在坐标轴上，则kOP＝，切线斜率为－，切线方程为y－y0＝－（x－x0），整理得x0x＋y0y＝r2；若点P（x0，y0）在坐标轴上，如点P（0，r），切线方程为y＝r，也可以由方程x0x＋y0y＝r2得到.综上所述，所求切线方程为x0x＋y0y＝r2.
2.当点P0（x0，y0）在圆O外时，方程x0x＋y0y＝r2表示怎样的直线呢？
提示：如图，过P0（x0，y0）作圆O的两条切线，切点分别为A，B.设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线P0A的方程为x1x＋y1y＝r2.因为P0（x0，y0）在直线P0A上，所以x1x0＋y1y0＝r2，故（x1，y1）满足方程x0x＋y0y＝r2，即点A在直线x0x＋y0y＝r2上.同理点B在直线x0x＋y0y＝r2上.所以x0x＋y0y＝r2是直线AB的方程，即切点弦所在直线的方程.
3.当点P0（x0，y0）在圆O内（异于点O）时，方程x0x＋y0y＝r2表示怎样的直线？
提示：圆心O（0，0）到直线x0x＋y0y＝r2的距离d＝，∵点P0（x0，y0）在圆O内，即＜r，则d＞r，故直线与圆相离.
4.类比问题探究1，你能求在圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2上一点P（x0，y0）处的圆的切线方程吗？
提示：（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2.
【迁移应用】
1.已知圆O：x2＋y2＝25，点P（3，－4），则在点P处的圆的切线方程为（ ）
A.3x－4y＝25 B.3x－4y＝－25
C.3x－4y＝5 D.3x－4y＝－5
解析：A 法一 由kOP＝－，得切线斜率为，所以切线方程为y＋4＝（x－3），整理得3x－4y＝25.
法二 由在圆x2＋y2＝r2上一点P（x0，y0）处的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2，得3x－4y＝25.
2.已知圆O：x2＋y2＝1，点P（2，1），则过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A.2x＋y＋1＝0 B.2x＋y－1＝0
C.x－2y＋1＝0 D.x－2y－1＝0
解析：B 法一 设过点P（2，1）的圆的切线方程为y＝kx＋b，故2k＋b＝1，又＝1，解得或当k＝0，b＝1时，切线方程为y＝1，易得与圆的交点为（0，1）；当k＝，b＝－时，切线方程为y＝x－，联立解得此时与圆的交点为（，－）.由直线的两点式得＝，整理得直线方程为2x＋y－1＝0.
法二 由切点弦直线的方程为x0x＋y0y＝r2，得AB的方程为2x＋y＝1，即2x＋y－1＝0.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若直线与圆有公共点，则直线与圆相交.（ × ）
（2）如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切.（ √ ）
（3）若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.（ √ ）
（4）过圆外一点的直线与圆相离.（ × ）
2.直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是（ ）
A.相切 B.相交
C.相离 D.随a的变化而变化
解析：B ∵直线y＝ax＋1恒过定点（0，1），且点（0，1）在圆x2＋y2－2x－3＝0的内部，∴直线与圆相交.
3.〔多选〕过坐标原点且与圆x2＋y2－4x＋2y＋＝0相切的直线的方程为（ ）
A.y＝－3x B.y＝3x
C.y＝－x D.y＝x
解析：AD 设直线方程为y＝kx，即kx－y＝0.∵圆方程可化为（x－2）2＋（y＋1）2＝，∴圆心为（2，－1），半径为.依题意有＝，解得k＝－3或k＝，∴直线方程为y＝－3x或y＝x，故选A、D.
4.设直线ax－y＋3＝0与圆（x－1）2＋（y－2）2＝4相交于A，B两点，且弦AB的长为2，则实数a＝0.
解析：由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，得（）2＋（）2＝22，解得a＝0.
课堂小结
1.理清单 （1）直线与圆的三种位置关系； （2）圆的弦长问题； （3）圆的切线问题. 2.应体会 （1）判断或证明直线与圆的位置关系，通常利用数形结合思想转化为几何法解决； （2）求圆的切线方程，通常利用化归与转化思想化为过切点的半径垂直切线求解. 3.避易错 根据直线与圆的位置关系求直线方程时，易忽略直线的斜率不存在的情况.
1.（2025·河源月考）若直线x－y＝0与圆（x－1）2＋（y＋1）2＝m相离，则实数m的取值范围是（ ）
A.（0，2] B.（1，2]
C.（0，2） D.（1，2）
解析：C 由题意得圆心到直线的距离为d＝＞，∴m＜2.∵m＞0，∴0＜m＜2.故选C.
2.从圆（x－1）2＋（y－1）2＝1外一点P（2，3）向圆引切线，则此切线的长为（ ）
A. B.2
C. D.
解析：B 设切点为Q，圆心为C，连接PQ，PC，CQ，如图所示，则CQ⊥PQ，而｜PQ｜＝＝＝2.故选B.
3.（2025·珠海五校联考）若圆C的圆心为（3，1），且被y轴截得的弦长为8，则圆C的一般方程为（ ）
A.x2＋y2－6x＋2y－15＝0
B.x2＋y2－6x＋2y－7＝0
C.x2＋y2－6x－2y－15＝0
D.x2＋y2－6x－2y－7＝0
解析：C 如图，过点C作CD⊥AB 于D，依题意，｜BD｜＝｜AB｜＝4，因为C（3，1），故｜CD｜＝3，从而，圆的半径为｜BC｜＝＝5，故所求圆的方程为（x－3）2＋（y－1）2＝25，即x2＋y2－6x－2y－15＝0.故选C.
4.（2025·大庆期中）在圆x2＋y2－2x－2y－1＝0的所有经过坐标原点的弦中，最短的弦的长度为（ ）
A.1 B.2
C.2 D.4
解析：B 由x2＋y2－2x－2y－1＝0，得圆的标准方程为（x－1）2＋（y－1）2＝3，如图，图中AB⊥MO，｜MB｜＝，｜MO｜＝，M为圆x2＋y2－2x－2y－1＝0的圆心，A，B为直线AB与圆的交点，易知AB为所有经过坐标原点的弦中的最短弦，所以｜AB｜＝2＝2＝2.故选B.
5.（2025·中山期中）已知直线l：kx－y－k＋3＝0，若无论k取何值，直线l与圆（x－5）2＋（y－6）2＝r2（r＞0）恒有公共点，则r的取值范围是（ ）
A.[3，5] B.（3，＋∞）
C.[4，6） D.[5，＋∞）
解析：D 由直线l：kx－y－k＋3＝0的方程得（x－1）k＋（3－y）＝0，由解得即直线l恒过定点A（1，3），∴当点A（1，3）在圆上或圆内时，直线l与圆（x－5）2＋（y－6）2＝r2（r＞0）恒有公共点，∴（1－5）2＋（3－6）2≤r2，即r2≥25，又r＞0，∴r≥5，即r的取值范围为[5，＋∞）.故选D.
6.〔多选〕已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2（r＞0），点A（a，b），则下列说法正确的是（ ）
A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
解析：ABD 圆心C（0，0）到直线l的距离d＝，若点A（a，b）在圆C上， 则a2＋b2＝r2，所以d＝＝r（r＞0），则直线l与圆C相切，故A正确；若点A（a，b）在圆C内， 则a2＋b2＜r2，所以d＝＞r（r＞0），则直线l与圆C相离，故B正确；若点A（a，b）在圆C外，则a2＋b2＞r2，所以d＝＜r（r＞0），则直线l与圆C相交， 故C错误；若点A（a，b）在直线l上， 则a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，所以d＝＝r（r＞0）直线l与圆C相切， 故D正确.故选A、B、D.
7.〔多选〕与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程为（ ）
A.x＋y＝0 B.x－y＝0
C.x＝0 D.x＋y＝4
解析：ABD 圆C的方程可化为（x－2）2＋y2＝2.可分为两种情况讨论：
①直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则＝，解得k＝±1，所以直线方程为y＝±x；
②直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＋＝1（a≠0），即x＋y－a＝0（a≠0），则＝，解得a＝4（a＝0舍去），所以直线方程为x＋y－4＝0.
8.若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB＝120°（O为坐标原点），则r＝2.
解析：如图，过O点作OD⊥AB于D点，在Rt△DOB中，∠DOB＝60°，∴∠DBO＝30°，又｜OD｜＝＝1，∴r＝2｜OD｜＝2.
9.一条光线从点（－2，－3）射出，经y轴反射后与圆（x＋3）2＋（y－2）2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为－或－.
解析：由已知得点（－2，－3）关于y轴的对称点为（2，－3），由入射光线与反射光线的对称性知，反射光线一定过点（2，－3）.设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k（x－2），即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝＝1，解得k＝－或k＝－.
10.在平面内，已知A（3，0），B（－1，0），C为动点，若·＝5.
（1）求点C的轨迹方程；
（2）若直线l：x－y＋3＝0与曲线C交于M，N两点，求｜MN｜的长.
解：（1）设点C（x，y），则＝（x－3，y），
＝（x＋1，y），
由题意可得，·＝（x－3）（x＋1）＋y2＝5，
整理得（x－1）2＋y2＝9，
所以点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝9.
（2）由（1）可知，曲线C是以C（1，0）为圆心，r＝3为半径的圆，
则圆心C（1，0）到直线l：x－y＋3＝0的距离d＝＝2，
所以｜MN｜＝2＝2×＝2.
11.已知圆C与直线x＋y＋3＝0相切，直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，则圆C的方程为（ ）
A.x2＋y2－2y＝2 B.x2＋y2＋2y＝2
C.x2＋y2－2y＝1 D.x2＋y2＋2y＝1
解析：D 在直线mx＋y＋1＝0的方程中，令x＝0，得y＝－1，则直线mx＋y＋1＝0过定点（0，－1）.由于直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，则点（0，－1）是圆C的圆心，又圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的半径r＝＝.因此，圆C的方程为x2＋（y＋1）2＝2，即x2＋y2＋2y＝1.
12.（2025·泉州期中）若直线l：kx－y－2＝0与曲线C：＝x－1至少有一个公共点，则实数k的取值范围是（ ）
A.［，2］
B.［，4］
C.［－2，－］∪（，2］
D.［，＋∞）
解析：B 直线l：kx－y－2＝0恒过定点（0，－2），由方程＝x－1，两边平方得（x－1）2＋（y－1）2＝1（x≥1），所以曲线C表示以点（1，1）为圆心，半径为1，且位于直线x＝1右侧的半圆，包括点（1，2），（1，0），如图所示，当直线l经过点（1，2）时，l与曲线C有一个交点，此时k＝4；当l与半圆相切时，由＝1，解得k＝，由图可知，当≤k≤4时，l与曲线C至少有一个公共点，故选B.
13.若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2＋（y－1）2＝1相切于点B，与x轴交于点D，则｜AB｜＝，｜AD｜＝2.
解析：如图，圆x2＋（y－1）2＝1的圆心为C（0，1），半径r＝1，圆与x轴相切于原点O.设点A在y轴正半轴上，由斜率为的直线与x轴交于D，则tan∠ADO＝，所以∠ADO＝60°，∠DAO＝30°，因为｜BC｜＝1，BC⊥AD，所以｜AC｜＝2，｜AB｜＝，｜AO｜＝3，由△ABC∽△AOD，得＝ ｜OD｜＝，所以｜DB｜＝，｜AD｜＝｜AB｜＋｜BD｜＝2，即｜AB｜＝，｜AD｜＝2.
14.已知圆C过点（1，1），圆心在x轴正半轴上，且与直线y＝x－4相切.
（1）求圆C的标准方程；
（2）已知过点P（1，3）的直线l交圆C于A，B两点，且｜AB｜＝2，求直线l的方程.
解：（1）由题意，设圆心坐标为C（a，0）（a＞0），
由题意，得＝，
解得a＝－6（舍）或a＝2，
所以圆的半径为r＝＝，
则圆C的标准方程为（x－2）2＋y2＝2.
（2）若斜率不存在，则直线方程为x＝1，弦心距d＝1，半径r＝，
则｜AB｜＝2＝2，符合题意；
若斜率存在，设直线方程为y－3＝k（x－1），
即kx－y－k＋3＝0.
弦心距d＝，
得｜AB｜＝2＝2，
解得k＝－，直线方程为4x＋3y－13＝0.
综上所述，直线l的方程为x＝1或4x＋3y－13＝0.
15.已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点.
（1）求四边形PACB面积的最小值；
（2）直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
解：（1）如图，连接PC，由点P在直线3x＋4y＋8＝0上，可设点P坐标为.
圆的方程可化为（x－1）2＋（y－1）2＝1，
所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2××｜AP｜×｜AC｜＝｜AP｜.
因为｜AP｜2＝｜PC｜2－｜CA｜2＝｜PC｜2－1，
所以当｜PC｜最小时，｜AP｜最小.
因为｜PC｜2＝（1－x）2＋＝（x＋1）2＋9.
所以当x＝－时，｜PC＝9.
所以｜AP｜min＝＝2.
即四边形PACB面积的最小值为2.
（2）由（1）知圆心C到点P的最小距离为3即点C到直线上点的最小值，若∠BPA＝60°，则需｜PC｜＝2，这是不可能的，所以这样的点P不存在.
1 / 12第一课时 直线与圆的位置关系
课标要求
1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离（直观想象）. 2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系（逻辑推理）. 3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题（数学运算）.
知识点一｜直线与圆的位置关系的判断
问题1 （1）在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？
（2）类比用方程研究两条直线位置关系的方法，如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
【知识梳理】
直线Ax＋By＋C＝0与圆：（x－a）2＋（y－b）2＝r2的位置关系与判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 个 个 个
判断方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d r d r
代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ 0 Δ 0 Δ 0
图示
【例1】 已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当实数b为何值时，直线与圆：
（1）有两个公共点；
（2）只有一个公共点；
（3）没有公共点.
【规律方法】
判断直线与圆的位置关系的方法
（1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断；
（2）代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断.
训练1 （1）已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P（3，0）的直线，则（ ）
A.l与圆C相交
B.l与圆C相切
C.l与圆C相离
D.以上三个选项均有可能
（2）直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为（ ）
A.相切
B.相交但直线不过圆心
C.相交且直线过圆心
D.相离
知识点二｜圆的弦长问题
问题2 （1）当直线与圆相交时，你能推导用半径r与弦心距d表示弦长的方法吗？
（2）当直线与圆相交时，你能推导用交点坐标表示弦长的方法吗？
【例2】 求直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长.
【规律方法】
求弦长常用的3种方法
（1）利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系＋d2＝r2解题；
（2）利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长；
（3）利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点（x1，y1），（x2，y2），将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝｜x1－x2｜＝（或l＝·）.
训练2 （1）若直线x－y＝2被圆（x－a）2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为 ；
（2）过圆x2＋y2＝8内的点P（－1，2）作直线l交圆于A，B两点，若直线l的倾斜角为π，则弦AB的长为 .
知识点三｜圆的切线问题
【例3】 （2025·福州月考）过点M（2，4）向圆（x－1）2＋（y＋3）2＝1引切线，求其切线方程.
变式 （1）若将本例中的点M的坐标改为（1，－2），其他条件不变，又如何求其切线方程？
（2）若本例中的条件不变，如何求其切线长？
【规律方法】
1.求过圆上一点（x0，y0）的圆的切线方程
先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程.如果切线斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
2.求过圆外一点（x0，y0）的圆的切线方程
设切线方程为y－y0＝k（x－x0），由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程.当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条.
3.求切线长（最值）的两种方法
（1）代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；
（2）几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题.
训练3 （1）切线的倾斜角为135°，且与圆O：x2＋y2＝25相切，则其切线方程为 ；
（2）由直线y＝x＋1上任一点向圆（x－3）2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为 .
圆的切线与切点弦
【问题探究】
1.你能求在圆O：x2＋y2＝r2上一点P（x0，y0）处的圆的切线方程吗？
2.当点P0（x0，y0）在圆O外时，方程x0x＋y0y＝r2表示怎样的直线呢？
3.当点P0（x0，y0）在圆O内（异于点O）时，方程x0x＋y0y＝r2表示怎样的直线？
4.类比问题探究1，你能求在圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2上一点P（x0，y0）处的圆的切线方程吗？
【迁移应用】
1.已知圆O：x2＋y2＝25，点P（3，－4），则在点P处的圆的切线方程为（ ）
A.3x－4y＝25 B.3x－4y＝－25
C.3x－4y＝5 D.3x－4y＝－5
2.已知圆O：x2＋y2＝1，点P（2，1），则过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A.2x＋y＋1＝0 B.2x＋y－1＝0
C.x－2y＋1＝0 D.x－2y－1＝0
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若直线与圆有公共点，则直线与圆相交.（ ）
（2）如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切.（ ）
（3）若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.（ ）
（4）过圆外一点的直线与圆相离.（ ）
2.直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是（ ）
A.相切 B.相交
C.相离 D.随a的变化而变化
3.〔多选〕过坐标原点且与圆x2＋y2－4x＋2y＋＝0相切的直线的方程为（ ）
A.y＝－3x B.y＝3x
C.y＝－x D.y＝x
4.设直线ax－y＋3＝0与圆（x－1）2＋（y－2）2＝4相交于A，B两点，且弦AB的长为2，则实数a＝ .
课堂小结
1.理清单 （1）直线与圆的三种位置关系； （2）圆的弦长问题； （3）圆的切线问题.
2.应体会 （1）判断或证明直线与圆的位置关系，通常利用数形结合思想转化为几何法解决； （2）求圆的切线方程，通常利用化归与转化思想化为过切点的半径垂直切线求解. 3.避易错 根据直线与圆的位置关系求直线方程时，易忽略直线的斜率不存在的情况.
提示：完成课后作业 第二章 2.5 2.5.1 第一课时
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