重点解读
1.了解抛物线焦点弦性质的推导过程（逻辑推理、数学运算）. 2.理解和掌握焦点弦的性质及应用（数学运算）.
过焦点的直线与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的焦点弦.抛物线的焦点弦是研究抛物线性质的一个重要方面，它具有很多性质：
设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦，若A（x1，y1），B（x2，y2），则
（1）x1·x2＝，y1·y2＝－p2；
（2）｜AB｜＝x1＋x2＋p＝，S△OAB＝（α是直线AB的倾斜角，α≠0°）；
（3）＋＝为定值（F是抛物线的焦点）；
（4）以弦AB为直径的圆与准线相切.
同学们可以课下根据自己的兴趣，推导一下这些性质.
一、x1·x2＝，y1·y2＝－p2的应用
【例1】已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，点O为坐标原点，则∠AOB是（ ）
A.直角 B.锐角
C.钝角 D.与点A，B位置有关
解析：C 法一 抛物线C的焦点F的坐标为（0，1），由题意分析可知，直线m的斜率一定存在.设A（x1，y1），B（x2，y2），直线m的方程为y＝kx＋1，与抛物线C：x2＝4y联立，得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋·＝－4＋1＝－3＜0，所以∠AOB为钝角.
法二 抛物线焦点在y轴上，则x1x2＝－p2＝－4，y1y2＝＝1，则·＝x1x2＋y1y2＝－4＋1＝－3＜0，故∠AOB为钝角.
【规律方法】
1.在涉及一些求斜率之积或者数量积的问题时，往往需要x1x2或y1y2，通过抛物线特殊性质的记忆，可以避免联立方程组，从而快速求解.
2.该式子适用于y2＝±2px，在x2＝±2py中，x1x2＝－p2，y1y2＝.
训练1 已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·＝－12，则抛物线C的方程为（ ）
A.x2＝8y B.x2＝4y
C.y2＝8x D.y2＝4x
解析：C 设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），A（x1，y1），B（x2，y2）.
法一 设直线AB的方程为x＝my＋，联立消去x，得y2－2pmy－p2＝0，则y1y2＝－p2，x1x2＝＝，得·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2＝－12，解得p＝4（舍负），即抛物线C的方程为y2＝8x.
法二 直接运用x1·x2＝，y1·y2＝－p2，得·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2＝－12，解得p＝4（舍负），即抛物线C的方程为y2＝8x.
二、｜AB｜＝x1＋x2＋p＝（α是直线AB的倾斜角，α≠0°）的应用
【例2】经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p＝（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
解析：B 设A（x1，y1），B（x2，y2），∵AB的中点M的横坐标为7，∴x1＋x2＝14，∴14＋p＝，∴p＝2.
【规律方法】
在求解焦点弦长时，有多种公式可以运用，在选择、填空题的求解中可以灵活选择，从而实现快速求解.
训练2 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若｜AF｜＝2｜BF｜，则｜AB｜＝（ ）
A.4 B.
C.5 D.6
解析：B 由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设点A，B在准线上的射影分别为点D，C，作BE⊥AD于点E，设｜BF｜＝m，直线l的倾斜角为θ，则｜AB｜＝3m，由抛物线的定义知｜AD｜＝｜AF｜＝2m，｜BC｜＝｜BF｜＝m，所以cos θ＝＝，所以sin2θ＝.又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式｜AB｜＝＝.
三、＋＝的应用
【例3】（2025·宿迁月考）过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，若｜AF｜＝6，则｜BF｜＝（ ）
A.9或6 B.6或3 C.9 D.3
解析：D 法一 设点A为第一象限内的点，A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＞0，y1＞0，则由题意可得F（2，0），｜AF｜＝x1＋2＝6，则x1＝4，由＝8x1，得y1＝4，所以kAB＝＝2，直线AB的方程为y＝2（x－2），将直线AB的方程代入y2＝8x化简得x2－5x＋4＝0，所以x2＝1，所以｜BF｜＝x2＋2＝3.
法二 由抛物线焦点弦的性质可得，＋＝，所以＝－＝，可得｜BF｜＝3.
【规律方法】
将求弦长问题通过焦半径与p之间的关系，转化为焦半径问题.
训练3 如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且｜AF｜＝4，则线段AB的长为（ ）
A.5 B.6
C. D.
解析：C 如图，过点A作AD⊥l，｜AD｜＝｜AF｜＝｜AC｜＝4，｜OF｜＝＝4×＝1，所以p＝2，因为＋＝，｜AF｜＝4，所以｜BF｜＝，所以｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝4＋＝.
四、以弦AB为直径的圆与准线相切的应用
【例4】 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切.
证明：设抛物线的准线为l，焦点为F，如图，作AA'⊥l于点A'，BB'⊥l于点B'，M为AB的中点，作MM'⊥l于点M'，
则由抛物线定义可知｜AA'｜＝｜AF｜，｜BB'｜＝｜BF｜，在直角梯形BB'A'A中，
｜MM'｜＝（｜AA'｜＋｜BB'｜）＝（｜AF｜＋｜BF｜）＝｜AB｜，
即｜MM'｜等于以AB为直径的圆的半径.故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
变式 分别以焦半径AF，BF为直径作圆，与y轴有什么关系？
解：它们都与y轴相切，
证明如下：设抛物线的准线为l，如图，作AA'⊥l于点A'，交y轴于点E，
取AF的中点M，作MM'⊥y轴于点M'，则由抛物线的性质可知｜AA'｜＝｜AF｜，｜OF｜＝｜A'E｜，
在直角梯形OFAE中，｜MM'｜＝（｜OF｜＋｜AE｜）＝（｜A'E｜＋｜AE｜）＝｜AA'｜＝｜AF｜，
即｜MM'｜等于以AF为直径的圆的半径，故以AF为直径的圆与y轴相切，
同理可得以BF为直径的圆与y轴相切.
【规律方法】
把焦点三角形的外接圆转化为以弦AB为直径的圆与准线相切，进行问题的求解.
训练4 （2025·绍兴质检）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，以AB为直径的圆与准线l的公共点为M，若∠AMF＝60°，则∠MFO的大小为（ ）
A.15° B.30° C.45° D.不确定
解析：B 如图，取AB的中点G，连接MG，则以AB为直径的圆与准线l切于点M，根据抛物线性质，MG∥x轴，由已知F（，0）且直线AB斜率存在，设直线AB的方程为y＝k（x－），联立得y2－y－＝0，由根与系数的关系得y1＋y2＝，∴点M（－，），∴kMF＝＝－，∵k·kMF＝－1，∴MF⊥AB，∵∠AMF＝60°，∴∠GAM＝∠GMA＝30°，∴∠MFO＝∠GMF＝30°.
1.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点弦AB的两端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则＝（ ）
A.－4 B.4
C.p2 D.－p2
解析：A 由焦点弦的性质可知x1x2＝，y1y2＝－p2，∴＝－4，故选A.
2.已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），过F的直线l与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则下列直线与以AB为直径的圆相切的是（ ）
A.y轴 B.x＝－1
C.x＝－2 D.不存在
解析：B 抛物线焦点为F（1，0），即＝1，p＝2，故抛物线C：y2＝4x，准线方程为x＝－1，由焦点弦性质知，以弦AB为直径的圆与准线相切，故选B.
3.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于P，Q两点，且＋＝4，所以抛物线的焦点坐标为（，0）.
解析：由焦点弦的性质，可知＋＝，所以＝4，即p＝，所以抛物线的焦点坐标为.
4.抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，则该抛物线的方程为y2＝±4x.
解析：依题意可设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），则直线方程为y＝－x＋.设直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则｜AB｜＝，所以＝8，所以p＝2，故所求的抛物线方程为y2＝4x.当抛物线方程设为y2＝－2px（p＞0）时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.综上，所求抛物线的方程为y2＝±4x.
课堂小结
1.理清单 （1）x1·x2＝，y1·y2＝－p2的应用； （2）｜AB｜＝x1＋x2＋p＝（α是直线AB的倾斜角，α≠0°）的应用； （3）＋＝的应用； （4）以弦AB为直径的圆与准线相切的应用. 2.应体会 在应用抛物线的焦点弦性质解题时要注意方程思想、转化与化归思想的应用. 3.避易错 对焦点弦的性质记忆混淆出错.
1.（2025·烟台月考）已知抛物线y＝2x2的焦点为F，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点，若直线MN过点F，则x1x2＝（ ）
A.－ B.－
C.－1 D.－2
解析：B y＝2x2即x2＝y，由抛物线焦点弦的性质知，x1x2＝－p2＝－.
2.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，若｜AF｜＝4，｜BF｜＝1，则p＝（ ）
A. B.2
C. D.1
解析：C 由抛物线焦点弦的性质可得，＋＝，由｜AF｜＝4，｜BF｜＝1，得＝＋1＝，解得p＝.
3.直线l过抛物线C：y2＝12x的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，若弦AB的长为16，则直线l的倾斜角等于（ ）
A. B.
C.或 D.或
解析：D 设直线l的倾斜角为α，∵p＝6，由抛物线焦点弦的性质知，｜AB｜＝＝＝16，∴sin2α＝，则sin α＝.∴α＝或.
4.已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦.若｜AB｜＝4，则AB中点的纵坐标是（ ）
A.1 B.2
C. D.
解析：D 如图所示，设线段AB的中点为P（x0，y0），分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A'，Q，B'，由题意得｜AA'｜＋｜BB'｜＝｜AB｜＝4，｜PQ｜＝＝2.又｜PQ｜＝y0＋，∴y0＋＝2，∴y0＝.
5.抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，M为抛物线上一点.若△OFM的外接圆与抛物线的准线相切（O为坐标原点），且外接圆的面积为9π，则p＝（ ）
A.2 B.4
C.6 D.8
解析：B ∵△OFM的外接圆与抛物线的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.∵外接圆的面积为9π，∴外接圆的半径为3.又∵圆心在OF的垂直平分线上，｜OF｜＝，∴＋＝3，∴p＝4.
6.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A. B.
C. D.
解析：D 易知抛物线中p＝，由抛物线的性质可得弦长｜AB｜＝＝12，又O到直线AB的距离d＝·sin 30°＝，∴S△OAB＝｜AB｜·d＝.
7.〔多选〕在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝8y，若过焦点F的直线l交抛物线于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列说法中正确的是（ ）
A.x1x2＝－16 B.y1y2＝16
C.·的最大值为－16 D.｜｜·｜｜＞12
解析：ACD 由x2＝8y，得p＝4，由抛物线焦点弦的性质，得x1x2＝－p2＝－16，故A正确；y1y2＝＝4，故B错误；根据题意，直线l的斜率一定存在，又过点F（0，2），设直线l的方程为y＝kx＋2，联立得x2－8kx－16＝0，则x1＋x2＝8k，x1x2＝－16，＝（x1，y1－2），＝（x2，y2－2），则·＝x1x2＋（y1－2）（y2－2）＝x1x2＋y1y2－2（y1＋y2）＋4＝－16－2k（x1＋x2）＝－16－16k2≤－16，故当k＝0时，·的最大值为－16，故C正确；｜｜＝，｜｜＝，｜｜2·｜｜2＝（＋）（＋）＝（8y1＋）·（8y2＋）＝y1y2（8＋y1）·（8＋y2）＝4[64＋8（y1＋y2）＋y1y2]＝16（25＋16k2），所以｜｜·｜｜＝4≥20＞12，故D正确.
8.〔多选〕已知抛物线y2＝2px（p＞0）上三点A（x1，y1），B（1，2），C（x2，y2），F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（ ）
A.抛物线的准线方程为x＝－1
B.若＋＋＝0，则2｜｜＝｜｜＋｜｜
C.若A，F，C三点共线，则y1y2＝－1
D.若｜AC｜＝6，则AC的中点到y轴距离的最小值为2
解析：ABD 把点B（1，2）代入抛物线y2＝2px，得p＝2，所以抛物线的准线方程为x＝－1，故A正确；因为A（x1，y1），B（1，2），C（x2，y2），F（1，0），所以＝（x1－1，y1），＝（0，2），＝（x2－1，y2），又由＋＋＝0，得x1＋x2＝2，所以｜｜＋｜｜＝x1＋＋x2＋＝4＝2｜｜，故B正确；因为A，F，C三点共线，所以直线AC是焦点弦，所以y1y2＝－p2＝－4，故C不正确；设AC的中点为M（x0，y0），因为｜AF｜＋｜CF｜≥｜AC｜，｜AF｜＋｜CF｜＝x1＋1＋x2＋1＝2x0＋2，所以2x0＋2≥6，得x0≥2，即AC的中点到y轴距离的最小值为2，故D正确.
9.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，且A，C位于x轴同侧.若｜AC｜＝2｜AF｜，则｜BF｜＝4.
解析：抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），准线方程l：x＝－1，设准线l与x轴交于点H，不妨设点A在第四象限，过A和B分别作AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D，E，如图，由抛物线的定义可知｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BE｜，又｜AC｜＝2｜AF｜，所以｜AC｜＝2｜AD｜，则∠ACD＝.所以直线AB的倾斜角为，因为｜HF｜＝p＝2，＝＝，所以｜AF｜＝｜AD｜＝.又｜AB｜＝＝＝，即｜AF｜＋｜BF｜＝，所以｜BF｜＝4.
10.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线MN过焦点F且与抛物线C交于M，N两点，点P为抛物线C准线l上一点，且PF⊥MN，连接PM交y轴于点Q，过点Q作QD⊥MF于点D，若｜MD｜＝2｜NF｜，则｜MF｜＝2＋.
解析：作MM'⊥l于点M'，设MM'交y轴于点R.易知△MM'P≌△MFP，则∠PMM'＝∠FMP，从而有△MRQ≌△MDQ，所以｜MR｜＝｜MD｜.因为｜MM'｜＝｜MF｜，所以｜DF｜＝｜M'R｜＝1，设｜NF｜＝x，则｜MD｜＝2x.由＋＝＝1，得｜MF｜＝，所以＝1＋2x，解得x＝（负值舍去），｜MF｜＝1＋2x＝2＋.
11.已知直线l：x－my＋m－2＝0与抛物线C：y2＝2px（p＞0）恒有两个交点A，B.
（1）求p的取值范围；
（2）当m＝1时，直线l过抛物线C的焦点F，求此时线段AB的长度.
解：（1）将直线l与抛物线C方程联立，得 y2－2pmy＋2pm－4p＝0，
又因为直线l与抛物线C恒有两个交点，
所以其判别式Δ＝（－2pm）2－4（2pm－4p）＝4p2m2－8pm＋16p＞0对 m∈R恒成立，
故需使方程4p2m2－8pm＋16p＝0的判别式Δ1＝（－8p）2－4×4p2×16p＜0，
又p＞0，所以解得p＞，即p的取值范围为（，＋∞）.
（2）由题，当m＝1时，l：x－y－1＝0，由l过焦点F（，0）得p＝2，所以抛物线C：y2＝4x.
将直线l与抛物线C方程联立，并令A（x1，y1），B（x2，y2），得 x2－6x＋1＝0，Δ＞0，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，又因AB经过抛物线焦点，故｜AB｜＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
12.（2025·淮安月考）已知点P（1，m）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点，F为抛物线的焦点，且｜PF｜＝2，过焦点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若｜AB｜＝8，求直线l的斜率.
解：（1）由题意｜PF｜＝1＋＝2，p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.
（2）法一 由（1）知焦点为F（1，0），若直线l斜率不存在，则｜AB｜＝4，不符合题意，
因此设直线l的方程为y＝k（x－1）（k≠0），由得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝，｜AB｜＝x1＋x2＋2＝＋2＝8，
解得k＝1或k＝－1.
法二 若直线l的斜率不存在，则｜AB｜＝4，不符合题意，
设直线l的倾斜角为α，根据焦点弦的性质，｜AB｜＝，
代入可得sin2α＝＝，即α＝45°或135°，则k＝tan α＝±1.
1 / 8重点解读
1.了解抛物线焦点弦性质的推导过程（逻辑推理、数学运算）. 2.理解和掌握焦点弦的性质及应用（数学运算）.
过焦点的直线与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的焦点弦.抛物线的焦点弦是研究抛物线性质的一个重要方面，它具有很多性质：
设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦，若A（x1，y1），B（x2，y2），则
（1）x1·x2＝，y1·y2＝－p2；
（2）｜AB｜＝x1＋x2＋p＝，S△OAB＝（α是直线AB的倾斜角，α≠0°）；
（3）＋＝为定值（F是抛物线的焦点）；
（4）以弦AB为直径的圆与准线相切.
同学们可以课下根据自己的兴趣，推导一下这些性质.
一、x1·x2＝，y1·y2＝－p2的应用
【例1】 已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，点O为坐标原点，则∠AOB是（ ）
A.直角
B.锐角
C.钝角
D.与点A，B位置有关
【规律方法】
1.在涉及一些求斜率之积或者数量积的问题时，往往需要x1x2或y1y2，通过抛物线特殊性质的记忆，可以避免联立方程组，从而快速求解.
2.该式子适用于y2＝±2px，在x2＝±2py中，x1x2＝－p2，y1y2＝.
训练1 已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·＝－12，则抛物线C的方程为（ ）
A.x2＝8y
B.x2＝4y
C.y2＝8x
D.y2＝4x
二、｜AB｜＝x1＋x2＋p＝（α是直线AB的倾斜角，α≠0°）的应用
【例2】 经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p＝（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
【规律方法】
在求解焦点弦长时，有多种公式可以运用，在选择、填空题的求解中可以灵活选择，从而实现快速求解.
训练2 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若｜AF｜＝2｜BF｜，则｜AB｜＝（ ）
A.4 B.
C.5 D.6
三、＋＝的应用
【例3】 （2025·宿迁月考）过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，若｜AF｜＝6，则｜BF｜＝（ ）
A.9或6 B.6或3
C.9 D.3
【规律方法】
将求弦长问题通过焦半径与p之间的关系，转化为焦半径问题.
训练3 如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且｜AF｜＝4，则线段AB的长为（ ）
A.5 B.6
C. D.
四、以弦AB为直径的圆与准线相切的应用
【例4】 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切.
变式 分别以焦半径AF，BF为直径作圆，与y轴有什么关系？
【规律方法】
把焦点三角形的外接圆转化为以弦AB为直径的圆与准线相切，进行问题的求解.
训练4 （2025·绍兴质检）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，以AB为直径的圆与准线l的公共点为M，若∠AMF＝60°，则∠MFO的大小为（ ）
A.15° B.30°
C.45° D.不确定
1.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点弦AB的两端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则＝（ ）
A.－4 B.4
C.p2 D.－p2
2.已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），过F的直线l与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则下列直线与以AB为直径的圆相切的是（ ）
A.y轴 B.x＝－1
C.x＝－2 D.不存在
3.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于P，Q两点，且＋＝4，所以抛物线的焦点坐标为 .
4.抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，则该抛物线的方程为 .
课堂小结
1.理清单 （1）x1·x2＝，y1·y2＝－p2的应用； （2）｜AB｜＝x1＋x2＋p＝（α是直线AB的倾斜角，α≠0°）的应用； （3）＋＝的应用； （4）以弦AB为直径的圆与准线相切的应用. 2.应体会 在应用抛物线的焦点弦性质解题时要注意方程思想、转化与化归思想的应用. 3.避易错 对焦点弦的性质记忆混淆出错.
提示：完成课后作业 第三章 培优课
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