重点解读
1.理解和掌握与椭圆有关的最值（范围）问题的解决方法（数学运算）. 2.掌握直线与椭圆的综合问题及椭圆的实际应用问题（逻辑推理、数学运算）.
一、与椭圆有关的最值（范围）问题
【例1】（2025·开封质检）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A（－2，0），离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程；
解：设椭圆C的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）.
由题意得解得c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
（2）斜率为1的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，求｜PQ｜的最大值.
解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为y＝x＋t.
由得7x2＋8tx＋4（t2－3）＝0，
由Δ＝（8t）2－112（t2－3）＞0，得0≤t2＜7，则x1＋x2＝－t，x1x2＝，
所以｜PQ｜＝·｜x1－x2｜
＝·
＝·
＝·，
又0≤t2＜7，所以当t＝0时，
可得｜PQ｜max＝.
【规律方法】
解决与椭圆有关的最值问题的常用方法
（1）利用定义转化为几何问题处理；
（2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征，进而求解；
（3）利用函数最值的研究方法，将其转化为函数的最值问题来处理，此时应注意椭圆中x，y的取值范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值问题来求解.
训练1 （1）若点（x，y）在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为（ ）
A.1 B.－1
C.－ D.以上都不正确
解析：C 设＝k，则y＝k（x－2）.由消去y，整理得（k2＋4）x2－4k2x＋4（k2－1）＝0，由题意得Δ＝16k4－4×4（k2－1）（k2＋4）≥0，解得－≤k≤，所以的最小值为－.故选C.
（2）在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离.
解：设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝x＋m，代入＋＝1，
并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，
由Δ＝9m2－16（m2－7）＝0得m2＝16，∴m＝±4，
故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4，
显然y＝x－4即3x－2y－8＝0距l最近，它们之间的距离即为所求最短距离，且y＝x－4与椭圆的切点即为所求点P，
故所求最短距离为d＝＝＝.
由得
即P（，－）.
二、直线与椭圆的综合问题
【例2】已知点F（0，1），直线l：y＝4，P为曲线C上的任意一点，且｜PF｜是P到l的距离的.
（1）求曲线C的方程；
解：设P（x，y），由已知＝｜y－4｜，
整理得＋＝1，即为曲线C的方程.
（2）若经过点F且斜率为k（k≠0）的直线交曲线C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点H，求证：为定值.
解：证明：设经过点F且斜率为k（k≠0）的直线的方程为y＝kx＋1，与曲线C的方程联立得消去y整理得（4＋3k2）x2＋6kx－9＝0，Δ＝36k2＋4×9×（4＋3k2）＝144（1＋k2）＞0恒成立，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则｜MN｜＝｜x1－x2｜＝×＝，x1＋x2＝－，
设线段MN的中点为T（x0，y0），则x0＝＝－，y0＝kx0＋1＝，线段MN的垂直平分线的斜率为－，
方程为y－＝－（x＋），令x＝0，解得y＝，即为点H的纵坐标，
∴｜FH｜＝1－＝，∴＝＝，即为定值.
【规律方法】
解决直线与椭圆综合问题的注意点
（1）根据条件设出合适的直线方程，当不知直线是否有斜率时需要分两种情况讨论（也可将方程设成用y表示x的形式）；
（2）在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算更简单；
（3）不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的作用.
训练2 （2025·嘉兴月考）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的2倍，F是椭圆C的一个焦点，点M（0，2），且｜MF｜＝.
（1）求椭圆C的方程；
解：由题意，可得解得故椭圆C的方程为＋＝1.
（2）若过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，且满足｜AM｜＝｜BN｜，求直线l的方程.
解：根据题意可得，点A必在点B的上方，才有｜AM｜＝｜BN｜.
当l的斜率不存在时，｜AM｜＝2－，｜BN｜＝，｜AM｜≠｜BN｜，不符合题意，故l的斜率必定存在.
设l的方程为y＝kx＋2，由得（1＋4k2）x2＋16kx＋8＝0，
则Δ＝（16k）2－32（1＋4k2）＝128k2－32＞0，即k2＞.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－，x1x2＝.
设N（x0，y0），则x0＝＝－.
由｜AM｜＝｜BN｜可得，｜AB｜＝｜MN｜，
∴｜x1－x2｜＝｜x0－0｜，
则＝｜x0｜，
即＝｜－｜，
整理得k2＝＞，故k＝±，
∴直线l的方程为y＝±x＋2.
三、椭圆的实际应用问题
【例3】如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭球面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭球面反射后集中到另一个焦点F2.已知BF1⊥F1F2，｜F1B｜＝，｜F1F2｜＝4.
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求截口BAC所在的椭圆的方程；
解：设截口BAC所在椭圆的方程为＋＝1（a＞b＞0），
∵BF1⊥F1F2，｜F1B｜＝，｜F1F2｜＝4，
∴在Rt△BF1F2中，｜F2B｜＝＝，
故2a＝｜F1B｜＋｜F2B｜＝2，得a＝，
又2c＝｜F1F2｜＝4，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝2，
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
（2）若透明窗DE所在的直线与截口BAC所在的椭圆交于一点P，且∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积.
解：∵点P在椭圆上，∴｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝2，
又∠F1PF2＝90°，即△F1PF2为直角三角形，
∴｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝16.
由得｜PF1｜·｜PF2｜＝4，
故△F1PF2的面积为｜PF1｜·｜PF2｜＝2.
【规律方法】
求解椭圆实际应用问题的思路
（1）通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题；
（2）确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解；
（3）用解得的结果说明原来的实际问题.
训练3 船上两根高7.5 m的桅杆相距15 m，一条30 m长的绳子两端系在桅杆的顶上，并按如图所示的方式绷紧.假设绳子位于两根桅杆所在的平面内，则绳子与甲板接触点P到桅杆AB的距离为4.75m（精确到0.01 m，参考数据：≈12.247）.
解析：由题意P在以A，C为焦点的椭圆上，2a＝｜PA｜＋｜PC｜＝30，a＝15，2c＝15，即c＝7.5，所以b＝＝＝，所以椭圆方程为＋＝1，又yP＝－7.5，代入椭圆方程得＋＝1，xP＝－（正值舍去），所以点P到桅杆AB的距离为｜PB｜＝－7.5≈4.75（m）.
1.已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF的面积的最大值为（ ）
A.6 B.15
C.20 D.12
解析：D 设A（x1，y1），B（x2，y2），由题知a＝5，b＝3，c＝4，所以S△ABF＝｜OF｜·｜y1－y2｜≤｜OF｜·2b＝12.
2.已知椭圆C1：＋＝1的两个焦点与椭圆C2：＋＝1（m＞0）的两个焦点构成正方形的四个顶点，则m＝（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
解析：B 由椭圆C1：＋＝1，可得椭圆C1的焦点为（±2，0），因为椭圆C1的两个焦点与椭圆C2的两个焦点构成正方形，所以椭圆C2：＋＝1（m＞0）的两个焦点在y轴上，所以椭圆C2的焦点为（0，±），所以＝2，解得m＝2（m＞0）.故选B.
3.某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6 m（如图所示），路面设计是双向车道，车道总宽为8 m，如果限制通行车辆的高度不超过4.5 m，那么隧道设计的拱宽d至少应是32m.
解析：设椭圆方程为＋＝1，当点（4，4.5）在椭圆上时，＋＝1，解得a＝16，∵车辆高度不超过4.5 m，∴a≥16，d＝2a≥32，故拱宽至少为32 m.
4.已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C上，则△MF1F2的内切圆半径的取值范围为（0，］.
解析：设△MF1F2的内切圆半径为r，由题意得a＝5，b＝4，c2＝a2－b2＝9，即c＝3，又＝（｜MF1｜＋｜MF2｜＋｜F1F2｜）r＝（2a＋2c）r＝8r，所以r＝，由于0＜≤b·｜F1F2｜＝×4×6＝12，所以0＜r≤.
课堂小结
1.理清单 （1）与椭圆有关的最值（范围）问题； （2）直线与椭圆的综合问题； （3）椭圆的实际应用问题. 2.应体会 解决椭圆的综合问题时要注意数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想的应用. 3.避易错 求解椭圆的实际应用问题，要认真审题，切勿弄错椭圆的位置及要素.
1.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，离心率相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为（ ）
A.30 cm B.20 cm
C.10 cm D.10 cm
解析：B 因为两个椭圆的离心率相同，所以＝，所以＝，所以2a小＝20，所以小椭圆的长轴长为20 cm.
2.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴长为2，点M在椭圆上，若｜MF｜的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为（ ）
A.3 B.4
C.1 D.2
解析：D 依题意，椭圆短轴长为2，得b＝，则a2－c2＝b2＝3，又｜MF｜的最大值是最小值的3倍，即a＋c＝3（a－c），所以a＝2c，所以a＝2，c＝1，则其焦距为2c＝2.故选D.
3.（2025·莱芜月考）已知P（m，n）是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是（ ）
A.（1，2） B.[1，2）
C.[1，2] D.（1，2]
解析：C 因为P（m，n）是椭圆x2＋＝1上的一个动点，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，则0≤m2≤1，所以1≤2－m2≤2，即1≤m2＋n2≤2，所以m2＋n2的取值范围是[1，2].
4.已知（2，1）是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）上一点，则连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积（ ）
A.有最小值4 B.有最小值8
C.有最大值8 D.有最大值16
解析：B 因为（2，1）是椭圆C：＋＝1上一点，所以＋＝1，所以＋≥2××（当且仅当＝，即a＝2b时，取等号），所以1≥，即ab≥4，所以连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积为S＝·2a·2b＝2ab≥8，所以连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积的最小值为8，故选B.
5.如图是一个篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22 cm，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
解析：B 如图，l1，l2是两条与球相切的直线，分别切于点A，C，与底面交于点B，D，设篮球的半径为R，∴AC＝2R＝22，R＝11，过C作CE∥BD交l1于点E，则CE＝BD，在Rt△ACE中，CE＝，∴CE＝22×＝2a，∴a＝＝，b＝R，∴c＝＝R，∴e＝＝＝.
6.〔多选〕设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m（0＜m＜）与椭圆交于A，B两点，则（ ）
A.｜AF｜＋｜BF｜为定值
B.△ABF的周长的取值范围是[6，12]
C.当m＝时，△ABF为直角三角形
D.当m＝1时，△ABF的面积为
解析：ACD 设椭圆的左焦点为F'，则｜AF'｜＝｜BF｜，所以｜AF｜＋｜BF｜＝｜AF｜＋｜AF'｜＝6为定值，A正确；△ABF的周长为｜AB｜＋｜AF｜＋｜BF｜，因为｜AF｜＋｜BF｜为定值6，｜AB｜的取值范围是（0，6），所以△ABF的周长的取值范围是（6，12），B错误；将y＝与椭圆方程联立，可解得A（－，），B（，），又因为F（，0），∴·＝（＋）×（－）＋（）2＝0，所以△ABF为直角三角形，C正确；将y＝1与椭圆方程联立，解得A（－，1），B（，1），所以S△ABF＝×2×1＝，D正确，故选A、C、D.
7.〔多选〕中国的“嫦娥四号”探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（ ）
A.a1＋c1＝a2＋c2 B.a1－c1＝a2－c2
C.＜ D.＞
解析：BD 由题图可知，a1＞a2，c1＞c2，所以a1＋c1＞a2＋c2，所以A错误；在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1－c1＝｜PF｜，在椭圆轨道Ⅱ中可得，a2－c2＝｜PF｜，所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确；所以a1＋c2＝a2＋c1，两边同时平方，得＋＋2a1c2＝＋＋2a2c1，所以－＋2a1c2＝－＋2a2c1，即＋2a1c2＝＋2a2c1，由题图可得，＞，所以2a1c2＜2a2c1，即＜，所以C错误，D正确.
8.在平面直角坐标系中，动点P在椭圆C：＋＝1上运动，则点P到直线x－y－5＝0的距离的最大值为5.
解析：设直线x－y＋m＝0与椭圆＋＝1相切，联立消去y，得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，∴Δ＝（32m）2－4×25×（16m2－144）＝0，解得m＝5或m＝－5，∴与直线x－y－5＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋5＝0，且两平行直线间的距离为d＝＝＝5，∴点P到直线x－y－5＝0的最大距离为5.
9.已知动点P在椭圆C：＋＝1上，若点A的坐标为（3，0），点M满足｜｜＝1，·＝0，则｜｜的最小值是2.
解析：因为｜｜＝1，所以点M的轨迹为以A为圆心，半径为1的圆，因为·＝0，所以PM⊥AM，要使｜｜最小，只需｜｜最小，设P（m，n），－6≤m≤6，则＋＝1，其中｜AP｜＝＝＝＝，因为－6≤m≤6，所以当m＝6时，｜AP｜min＝3，此时｜｜min＝＝2.
10.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P，使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为（－1，1）.
解析：在△PF1F2中，由正弦定理得＝.∵＝，∴＝，即｜PF1｜＝·｜PF2｜.由椭圆定义知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，则·｜PF2｜＋｜PF2｜＝2a，即｜PF2｜＝.由椭圆的几何性质知｜PF2｜＜a＋c，则＜a＋c，即c2＋2ac－a2＞0，∴e2＋2e－1＞0，解得e＜－－1或e＞－1.又e∈（0，1），∴e∈（－1，1）.
11.（2025·绍兴月考）如图，某市新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆＋＝1（x≤0）和＋＝1（x≥0）组成，其中a＞b＞9，“挞圆”内切于矩形（即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点）.
（1）求“挞圆”的方程；
（2）在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y＝t（t∈（0，15）），求该网箱所占水面面积的最大值.
解：（1）由题意知b＝15，a＋9＝34，解得a＝25，b＝15.
所以“挞圆”方程为＋＝1（x≤0）和＋＝1（x≥0）.
（2）设P（x0，t）为矩形在第一象限内的顶点，Q（x1，t）为矩形在第二象限内的顶点，
则＋＝1，＋＝1，可得x1＝－x0.
所以内接矩形的面积S＝2t（x0－x1）＝2t·x0＝15×34×2··≤15×34（＋）＝510，
当且仅当＝时，S取最大值510.所以网箱所占水面面积的最大值为510平方米.
12.在平面直角坐标系中，C1（0，－），圆C2：x2＋（y－）2＝12，动圆P过C1且与圆C2相切.
（1）求动圆圆心P所在曲线C的方程；
（2）若直线l过点（0，1）且与曲线C交于A，B两点，线段AB的中点在直线x＝－上，求直线l的方程.
解：（1）连接PC1，PC2（图略），设动圆P的半径为r，
由题知｜PC1｜＝r，｜PC2｜＝2－r，所以｜PC1｜＋｜PC2｜＝2＞｜C1C2｜＝2，
所以点P的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，其长轴长为2a＝2，焦距为2c＝2，
则a＝，c＝，故b＝＝1，
所以曲线C的方程为＋x2＝1.
（2）若直线l的斜率不存在，则线段AB的中点为坐标原点，不符合题意.
若直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋1，
将y＝kx＋1代入＋x2＝1，得（3＋k2）x2＋2kx－2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1＋x2＝－，即＝－＝－，
所以k2－4k＋3＝0，解得k＝1或k＝3，
所以直线l的方程为y＝x＋1或y＝3x＋1.
1 / 9重点解读
1.理解和掌握与椭圆有关的最值（范围）问题的解决方法（数学运算）. 2.掌握直线与椭圆的综合问题及椭圆的实际应用问题（逻辑推理、数学运算）.
一、与椭圆有关的最值（范围）问题
【例1】 （2025·开封质检）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A（－2，0），离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）斜率为1的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，求｜PQ｜的最大值.
【规律方法】
解决与椭圆有关的最值问题的常用方法
（1）利用定义转化为几何问题处理；
（2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征，进而求解；
（3）利用函数最值的研究方法，将其转化为函数的最值问题来处理，此时应注意椭圆中x，y的取值范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值问题来求解.
训练1 （1）若点（x，y）在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为（ ）
A.1 B.－1
C.－ D.以上都不正确
（2）在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离.
二、直线与椭圆的综合问题
【例2】 已知点F（0，1），直线l：y＝4，P为曲线C上的任意一点，且｜PF｜是P到l的距离的.
（1）求曲线C的方程；
（2）若经过点F且斜率为k（k≠0）的直线交曲线C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点H，求证：为定值.
【规律方法】
解决直线与椭圆综合问题的注意点
（1）根据条件设出合适的直线方程，当不知直线是否有斜率时需要分两种情况讨论（也可将方程设成用y表示x的形式）；
（2）在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算更简单；
（3）不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的作用.
训练2 （2025·嘉兴月考）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的2倍，F是椭圆C的一个焦点，点M（0，2），且｜MF｜＝.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，且满足｜AM｜＝｜BN｜，求直线l的方程.
三、椭圆的实际应用问题
【例3】 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭球面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭球面反射后集中到另一个焦点F2.已知BF1⊥F1F2，｜F1B｜＝，｜F1F2｜＝4.
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求截口BAC所在的椭圆的方程；
（2）若透明窗DE所在的直线与截口BAC所在的椭圆交于一点P，且∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积.
【规律方法】
求解椭圆实际应用问题的思路
（1）通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题；
（2）确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解；
（3）用解得的结果说明原来的实际问题.
训练3 船上两根高7.5 m的桅杆相距15 m，一条30 m长的绳子两端系在桅杆的顶上，并按如图所示的方式绷紧.假设绳子位于两根桅杆所在的平面内，则绳子与甲板接触点P到桅杆AB的距离为 m（精确到0.01 m，参考数据：≈12.247）.
1.已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF的面积的最大值为（ ）
A.6 B.15
C.20 D.12
2.已知椭圆C1：＋＝1的两个焦点与椭圆C2：＋＝1（m＞0）的两个焦点构成正方形的四个顶点，则m＝（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
3.某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6 m（如图所示），路面设计是双向车道，车道总宽为8 m，如果限制通行车辆的高度不超过4.5 m，那么隧道设计的拱宽d至少应是 m.
4.已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C上，则△MF1F2的内切圆半径的取值范围为 .
课堂小结
1.理清单 （1）与椭圆有关的最值（范围）问题； （2）直线与椭圆的综合问题； （3）椭圆的实际应用问题. 2.应体会 解决椭圆的综合问题时要注意数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想的应用. 3.避易错 求解椭圆的实际应用问题，要认真审题，切勿弄错椭圆的位置及要素.
提示：完成课后作业 第三章 培优课
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