重点解读
1.理解和掌握圆锥曲线中求最值（范围）问题的基本方法（数学运算）. 2.掌握圆锥曲线中定点、定值问题与探索性问题的基本解题思路（逻辑推理、数学运算）.
一、最值（范围）问题
【例1】 （1）已知双曲线－＝1与双曲线－＝1（其中a＞0，b＞0），设连接它们的顶点构成的四边形的面积为S1，连接它们的焦点构成的四边形的面积为S2，则的最大值为（ ）
A. B.1
C. D.2
（2）（2025·南京月考）抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝－4，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的一个动点，Q为曲线C：x2－10x＋y2－2y＋22＝0上的一个动点，则｜PF｜＋｜PQ｜的最小值为（ ）
A.7 B.7 C.8 D.8
【规律方法】
圆锥曲线中最值（范围）问题的求法
（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何图形的特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；
（2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值（范围），求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的性质法等.
训练1 如图所示，点A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于｜MB｜，则椭圆上的点到点M的距离d的最小值为 .
二、定点、定值问题
【例2】 （2025·无锡月考）设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点.
（1）若l的斜率为2，求｜AB｜的值；
（2）求证：·为定值.
【规律方法】
定点、定值问题的解题策略
（1）定点：首先将要研究的直线、曲线的方程表示出来，一是方程变形为特定形式后观察，如把直线的方程变为点斜式来观察定点；二是把参数提出来，把参数看作变量，令参数的系数为零后解出定点；
（2）定值：实质是求值，即把要研究的量求出来，求出来的量为常数，即为定值.
训练2 已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的一个顶点为D（0，－1），离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆右焦点且斜率为k（k≠0）的直线m与椭圆相交于两点A，B，与y轴交于点E，线段AB的中点为P，直线l过点E且垂直于直线OP（其中O为坐标原点），证明：直线l过定点.
三、探索性问题
【例3】 已知直线x＋y＋＝0与椭圆E：＋y2＝1有且只有一个公共点.
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在实数λ，使椭圆E上存在不同的两点P，Q关于直线2x－y－λ＝0对称？若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由.
【规律方法】
有关探索性问题的解题技巧
（1）通过特殊值、特殊位置先求出点的坐标、直线的方程等，再证明求出来的量符合题目条件；
（2）假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在，若结论不正确，则不存在.
训练3 （2025·杭州质检）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点A（2，0）的直线l交C于M，N两点，当MN与x轴垂直时，△MNF的周长为9.
（1）求C的方程；
（2）在x轴上是否存在点P，使得∠OPM＝∠OPN恒成立（O为坐标原点）？若存在求出坐标，若不存在说明理由.
1.已知M（x0，y0）是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2分别是C的左、右焦点，若·＜0，则y0的取值范围是（ ）
A.（－，） B.（－，）
C.（－，） D.（－，）
2.已知点P是椭圆C：＋＝1上一点，M，N分别是圆（x－6）2＋y2＝1和圆（x＋6）2＋y2＝4上的点，那么｜PM｜＋｜PN｜的最小值为（ ）
A.15 B.16
C.17 D.18
3.直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率k1，k2满足k1k2＝，则l的横截距（ ）
A.为定值－3 B.为定值3
C.为定值－1 D.不是定值
4.在椭圆F：＋y2＝1（a＞1）中，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，C，D两点均在直线x＝a上，且C，D两点的纵坐标分别为2和1，判断：直线BC与AD的交点是否在椭圆F上，并说明理由.
课堂小结
1.理清单 （1）最值（范围）问题； （2）定点、定值问题； （3）探索性问题. 2.应体会 圆锥曲线中的综合问题要注意方程思想、数形结合思想、由特殊到一般思想的应用. 3.避易错 直线与圆锥曲线联立后化简不正确，易漏掉对Δ取值范围的讨论.
提示：完成课后作业 第三章 培优课
1 / 3重点解读
1.理解和掌握圆锥曲线中求最值（范围）问题的基本方法（数学运算）. 2.掌握圆锥曲线中定点、定值问题与探索性问题的基本解题思路（逻辑推理、数学运算）.
一、最值（范围）问题
【例1】（1）已知双曲线－＝1与双曲线－＝1（其中a＞0，b＞0），设连接它们的顶点构成的四边形的面积为S1，连接它们的焦点构成的四边形的面积为S2，则的最大值为（ A ）
A. B.1 C. D.2
解析：易知两个双曲线的焦距相等.由题设得＝＝≤＝，当且仅当a＝b时，不等式取“＝”，故的最大值为.
（2）（2025·南京月考）抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝－4，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的一个动点，Q为曲线C：x2－10x＋y2－2y＋22＝0上的一个动点，则｜PF｜＋｜PQ｜的最小值为（ A ）
A.7 B.7
C.8 D.8
解析：由题意可知，抛物线方程为y2＝16x，曲线C：（x－5）2＋（y－1）2＝4，如图，过点P作PA⊥准线x＝－4于点A，则｜PA｜＝｜PF｜，∴｜PF｜＋｜PQ｜＝｜PA｜＋｜PQ｜，要使｜PA｜＋｜PQ｜最小，只需A，P，Q三点共线且｜QA｜最小即可，则需点Q到直线x＝－4的距离最短，∵点Q到直线x＝－4的最短距离为9－2＝7，∴｜PF｜＋｜PQ｜的最小值为7.
【规律方法】
圆锥曲线中最值（范围）问题的求法
（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何图形的特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；
（2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值（范围），求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的性质法等.
训练1 如图所示，点A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于｜MB｜，则椭圆上的点到点M的距离d的最小值为.
解析：由已知可得点A（－6，0），点B（6，0），点P（，）.直线AP的方程是x－y＋6＝0，设点M的坐标是（m，0），则点M到直线AP的距离是，于是＝｜m－6｜，又－6≤m≤6，解得m＝2.由椭圆上的点（x，y）到点M的距离为d，得d2＝（x－2）2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝（x－）2＋15，由于－6≤x≤6，由f（x）＝（x－）2＋15的图象可知，当x＝时，d取最小值，且最小值为.
二、定点、定值问题
【例2】（2025·无锡月考）设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点.
（1）若l的斜率为2，求｜AB｜的值；
解：依题意得F（1，0），所以直线l的方程为y＝2（x－1）.
设直线l与抛物线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
由得x2－3x＋1＝0，
所以x1＋x2＝3，所以｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋p＝3＋2＝5.
（2）求证：·为定值.
解：证明：设直线l的方程为x＝ky＋1，直线l与抛物线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
由得y2－4ky－4＝0，
所以y1＋y2＝4k，y1y2＝－4.
所以·＝（x1，y1）·（x2，y2）
＝x1x2＋y1y2＝（ky1＋1）（ky2＋1）＋y1y2
＝k2y1y2＋k（y1＋y2）＋1＋y1y2
＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3，
所以·为定值.
【规律方法】
定点、定值问题的解题策略
（1）定点：首先将要研究的直线、曲线的方程表示出来，一是方程变形为特定形式后观察，如把直线的方程变为点斜式来观察定点；二是把参数提出来，把参数看作变量，令参数的系数为零后解出定点；
（2）定值：实质是求值，即把要研究的量求出来，求出来的量为常数，即为定值.
训练2 已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的一个顶点为D（0，－1），离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
解：依题意，＝，
∴a2＝2c2，
又b＝1，a2＝b2＋c2，∴c2＝1，∴a2＝2，
∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.
（2）过椭圆右焦点且斜率为k（k≠0）的直线m与椭圆相交于两点A，B，与y轴交于点E，线段AB的中点为P，直线l过点E且垂直于直线OP（其中O为坐标原点），证明：直线l过定点.
解：证明：由（1）知右焦点坐标为（1，0），则直线m的方程为y＝k（x－1），设A（x1，y1），B（x2，y2），
由得（1＋2k2）x2－4k2x＋2k2－2＝0，
Δ＝（－4k2）2－4（1＋2k2）（2k2－2）＝8k2＋8＞0恒成立，
∴x1＋x2＝，
∴xP＝，
yP＝k（xP－1）＝，
∴直线OP的斜率kOP＝＝－，
∴直线l的斜率kl＝2k.易知点E坐标为（0，－k），
∴直线l的方程为y＝2kx－k，即y＝2k（ x－），
∴直线l恒过定点（ ，0）.
三、探索性问题
【例3】已知直线x＋y＋＝0与椭圆E：＋y2＝1有且只有一个公共点.
（1）求椭圆E的方程；
解：联立消去y得（1＋a2）x2＋2a2x＋2a2＝0，
∵直线x＋y＋＝0与椭圆E：＋y2＝1有且只有一个公共点，
∴Δ＝（2a2）2－8a2（1＋a2）＝0，解得a2＝2，即椭圆E的方程为＋y2＝1.
（2）是否存在实数λ，使椭圆E上存在不同的两点P，Q关于直线2x－y－λ＝0对称？若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由.
解：假设存在实数λ，使椭圆E上存在不同两点P，Q关于直线2x－y－λ＝0对称，
设lPQ：x＋2y＋t＝0，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立
消去x得6y2＋4ty＋t2－2＝0，则Δ＝16t2－24（t2－2）＞0，解得－＜t＜，
由根与系数的关系得y1＋y2＝－，∴x1＋x2＝－2（y1＋y2）－2t＝－，
∴2×－－λ＝－＋－λ＝－－λ＝0，∴λ＝－∈，
∴存在实数λ，使椭圆E上存在不同的两点P，Q关于直线2x－y－λ＝0对称，
且λ的取值范围是.
【规律方法】
有关探索性问题的解题技巧
（1）通过特殊值、特殊位置先求出点的坐标、直线的方程等，再证明求出来的量符合题目条件；
（2）假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在，若结论不正确，则不存在.
训练3 （2025·杭州质检）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点A（2，0）的直线l交C于M，N两点，当MN与x轴垂直时，△MNF的周长为9.
（1）求C的方程；
解：当MN与x轴垂直时，｜MF｜＝｜NF｜＝2＋，｜MN｜＝4，
从而有4＋p＋4＝9，解得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x.
（2）在x轴上是否存在点P，使得∠OPM＝∠OPN恒成立（O为坐标原点）？若存在求出坐标，若不存在说明理由.
解：假设存在点P使得∠OPM＝∠OPN恒成立，
设P（x0，0），M（x1，y1），N（x2，y2），
由题可知直线l斜率不为零，设l：x＝my＋2，代入抛物线方程y2＝2x消去x，
得y2－2my－4＝0，从而y1＋y2＝2m，y1y2＝－4， ①
由∠OPM＝∠OPN可得kMP＋kNP＝0，而kMP＋kNP＝＋
＝＋
＝，
将①代入，
从而得＝0恒成立，所以x0＝－2，
因此存在点P满足题意，P点坐标为（－2，0）.
1.已知M（x0，y0）是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2分别是C的左、右焦点，若·＜0，则y0的取值范围是（ ）
A.（－，） B.（－，）
C.（－，） D.（－，）
解析：A 因为F1（－，0），F2（，0），－＝1，所以·＝（－－x0，－y0）·（－x0，－y0）＝＋－3＜0，即3－1＜0，解得－＜y0＜.
2.已知点P是椭圆C：＋＝1上一点，M，N分别是圆（x－6）2＋y2＝1和圆（x＋6）2＋y2＝4上的点，那么｜PM｜＋｜PN｜的最小值为（ ）
A.15 B.16
C.17 D.18
解析：C 椭圆C：＋＝1中的a＝10，b＝8，所以c＝6，圆（x－6）2＋y2＝1和圆（x＋6）2＋y2＝4的圆心为椭圆的两个焦点，则｜PM｜＋｜PN｜的最小值为｜PF1｜＋｜PF2｜－（2＋1）＝2a－（2＋1）＝17.
3.直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率k1，k2满足k1k2＝，则l的横截距（ ）
A.为定值－3 B.为定值3
C.为定值－1 D.不是定值
解析：A 设A（x1，y1），B（x2，y2），则·＝.∴＝，∴y1y2＝6，设直线l：x＝my＋b，代入抛物线方程可化为y2－2my－2b＝0，∴y1y2＝－2b，∴－2b＝6，∴b＝－3，∴l的横截距为－3.
4.在椭圆F：＋y2＝1（a＞1）中，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，C，D两点均在直线x＝a上，且C，D两点的纵坐标分别为2和1，判断：直线BC与AD的交点是否在椭圆F上，并说明理由.
解：直线BC与AD的交点在椭圆F上.
由已知得A（－a，0），B（0，－1），C（a，2），D（a，1），∴直线BC的方程为y＝x－1，
直线AD的方程为y＝x＋，联立解得∴直线BC与AD的交点为（，），且＋（）2＝1，即交点坐标满足椭圆方程，因此该交点在椭圆F上.
课堂小结
1.理清单 （1）最值（范围）问题； （2）定点、定值问题； （3）探索性问题. 2.应体会 圆锥曲线中的综合问题要注意方程思想、数形结合思想、由特殊到一般思想的应用. 3.避易错 直线与圆锥曲线联立后化简不正确，易漏掉对Δ取值范围的讨论.
1.AB为过椭圆＋＝1（a＞b＞0）中心的弦，F（c，0）为椭圆的右焦点，则△AFB面积的最大值为（ ）
A.b2 B.ab
C.ac D.bc
解析：D 由椭圆的对称性知，A，B两点关于原点O对称，因此S△AFB＝2S△OFB＝c·｜yB｜，故当｜yB｜＝b时，△AFB面积最大，最大面积为bc.
2.设O为坐标原点，点A（1，0），动点P在抛物线y2＝2x上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的取值范围为（ ）
A.（0，1] B.（0，）
C.（0，］ D.［，＋∞）
解析：C 设P点的坐标为（，y0），y0＞0，则点M的坐标为（＋，），直线OM的斜率kOM＝＝≤＝，当且仅当y0＝，即y0＝时取等号.故选C.
3.一动圆的圆心在抛物线x2＝16y上，且该动圆恒与直线y＋4＝0相切，则动圆必经过的定点为（ ）
A.（0，4） B.（4，0） C.（2，0） D.（0，2）
解析：A 由抛物线x2＝16y，得到准线方程为y＝－4，焦点坐标为（0，4），∵动圆的圆心在抛物线x2＝16y上，且动圆恒与直线y＝－4相切，由抛物线的定义知｜MF｜＝｜MK｜，如图所示，即动圆必经过定点F（0，4）.
4.已知F是椭圆＋＝1（a＞b＞0）的右焦点，若直线x＝与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A.（0，］ B.（0，）
C.[－1，1] D.［，1）
解析：D 由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，又｜FA｜＝－c＝，｜PF｜∈[a－c，a＋c]，∴∈[a－c，a＋c]，∴ac－c2≤b2≤ac＋c2，∴
∴又∵e∈（0，1），∴e∈［，1）.
5.〔多选〕已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，点P（，1）在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则（ ）
A.椭圆C的离心率的取值范围是（0，］
B.当椭圆C的离心率为时，｜QF1｜的取值范围是[2－，2＋]
C.存在点Q使得·＝0
D.＋的最小值为1
解析：BCD 由题意得a＝2，又点P（，1）在椭圆C外，则＋＞1，解得b＜，所以椭圆C的离心率e＝＝＞，即椭圆C的离心率的取值范围是（，1），故A不正确；当e＝时，c＝，所以｜QF1｜的取值范围是[a－c，a＋c]，即[2－，2＋]，故B正确；设椭圆的上顶点为A（0，b），F1（－c，0），F2（c，0），由于·＝b2－c2＝2b2－a2＜0，所以存在点Q使得·＝0，故C正确；（｜QF1｜＋｜QF2｜）（＋）＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当｜QF1｜＝｜QF2｜＝2时，等号成立，又｜QF1｜＋｜QF2｜＝4，所以＋≥1，故D正确.
6.抛物线y2＝4x的顶点为O，点A的坐标为（2，0），倾斜角为的直线l与线段OA相交（不经过点O和点A）且交抛物线于P，Q两点，则｜PQ｜的取值范围为（4，4）.
解析：设直线l的方程为y＝x－m，有0＜m＜2，由方程组消去y，得x2－（2m＋4）x＋m2＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1＋x2＝2m＋4，x1·x2＝m2，所以｜PQ｜＝4×，所以4＜｜PQ｜＜4.
7.若直线y＝x＋t与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，当｜t｜变化时，｜AB｜的最大值为.
解析：联立两个方程，得5x2＋8tx＋4t2－4＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－t，x1x2＝（t2－1），∴｜AB｜＝＝
＝，而Δ＝（8t）2－4×5×（4t2－4）＞0，解得0≤t2＜5.∴取t2＝0得｜AB｜max＝.
8.已知△AOB的顶点O为抛物线y2＝2x的顶点，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°.
（1）求证：直线AB必过一定点；
（2）求△AOB面积的最小值.
解：（1）证明：设OA所在直线的方程为y＝kx（k≠0），
则直线OB的方程为y＝－x.
由得A（，），
由得B（2k2，－2k）.
∴AB所在直线方程为（y＋2k）（－2k2）＝（＋2k）（x－2k2），
化简得x－（－k）y－2＝0，
∴直线过定点P（2，0）.
（2）由于直线AB过定点P（2，0），
∴可设直线AB的方程为x＝my＋2，A（x1，y1），B（x2，y2）.
由得y2－2my－4＝0.
则Δ＝（－2m）2－4×（－4）＝4m2＋16＞0，
∴y1＋y2＝2m，y1y2＝－4，
∴｜y1－y2｜＝＝＝.
∴S△AOB＝｜y1｜·｜OP｜＋｜y2｜·｜OP｜＝｜OP｜·｜y1－y2｜＝｜y1－y2｜＝≥4（当且仅当m＝0时取“＝”）.
∴当m＝0时，△AOB面积的最小值为4.
9.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，且过点（，）.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）设Q为双曲线C右支第一象限上的一个动点，F为双曲线C的右焦点，在x轴的负半轴上是否存在定点M使得∠QFM＝2∠QMF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）依题意结合c2＝a2＋b2，解得a＝1，b＝，c＝2.
所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.
（2）假设存在点M（t，0）（t＜0）满足题设条件.
由（1）知双曲线C的右焦点为F（2，0）.设Q（x0，y0）（x0≥1）为双曲线C右支上一点.
当x0＝2时，因为∠QFM＝2∠QMF＝90°，所以∠QMF＝45°，于是｜MF｜＝｜QF｜＝3，
所以t＝－1.即M（－1，0）.当x0≠2时，
tan∠QFM＝－kQF＝－，
tan∠QMF＝kQM＝.因为∠QFM＝2∠QMF，
所以－＝.
将＝3－3代入并整理得－2＋（4＋2t）x0－4t＝－2－2tx0＋t2＋3，
所以解得t＝－1.即M（－1，0）.
综上，满足条件的点M存在，其坐标为（－1，0）.
10.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过焦点垂直于x轴的弦长为1，左顶点为B，定点C（4，0），过点C作与x轴不重合的直线l交椭圆于P，Q两点，直线BP，BQ分别与y轴交于M，N两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）试探究｜OM｜·｜ON｜是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，请说明理由.
解：（1）由已知得＝，即＝，即＝ a＝2b，由题意知椭圆过点（c，），
则＋＝1，解得b＝1，∴a＝2，b＝1，∴椭圆的方程为＋y2＝1.
（2）设PQ：x＝my＋4，P（`x1，y1），Q（x2，y2），
（m2＋4）y2＋8my＋12＝0，Δ＝（8m）2－4（m2＋4）×12＝16m2－192＞0，
即m2＞12，y1＋y2＝，y1y2＝，又B（－2，0），∴直线BP的方程为y＝（x＋2），
令x＝0，得yM＝，同理，yN＝，
∴｜OM｜·｜ON｜＝｜yM·yN｜＝·
＝
＝
＝
＝＝＝，
∴｜OM｜·｜ON｜为定值.
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