章末检测（三） 圆锥曲线的方程
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知抛物线的准线方程为y＝－，则该抛物线的标准方程为（ ）
A.x2＝8y B.y2＝x
C.y2＝3x D.x2＝y
2.双曲线－＝1与椭圆＋＝1的焦点相同，则a＝（ ）
A.1 B.－2
C.1或－2 D.2
3.直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是（ ）
A.（1，＋∞） B.（0，1）∪（1，＋∞）
C.[1，5）∪（5，＋∞） D.（0，1）∪（1，5）
4.过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1＋x2＝6，且｜AB｜＝8，那么抛物线方程为（ ）
A.y2＝2x B.y2＝4x
C.y2＝8x D.y2＝6x
5.已知抛物线y2＝16x的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：（x－6）2＋（y－2）2＝4上，则｜PQ｜＋｜PF｜的最小值为（ ）
A.4 B.6
C.8 D.10
6.在椭圆＋＝1中，以点M（1，）为中点的弦所在直线的斜率为（ ）
A.－ B.－4
C.－ D.－2
7.已知F是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，且满足2＝，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
8.已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C上的一点（不同于左、右顶点），且sin∠PF2F1＝2sin∠PF1F2，则△PF1F2的面积是（ ）
A.2 B.3
C.2 D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知曲线mx2＋y2＝1，则（ ）
A.m＝－1表示两条直线
B.m＝1表示圆
C.m＜0表示焦点在x轴上的双曲线
D.0＜m＜1表示焦点在x轴上的椭圆
10.已知双曲线－＝1（a＞0）的左焦点F1与抛物线y2＝－4x的焦点重合，F2是双曲线的右焦点，则下列说法正确的有（ ）
A.抛物线的准线方程为x＝1
B.双曲线的实轴长为4
C.双曲线的离心率为2
D.P为双曲线上一点，若｜PF1｜＝，则｜PF2｜＝
11.法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆Γ：＋＝1（a＞b＞0）的蒙日圆为C：x2＋y2＝a2，过C上的动点M作Γ的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则下列结论正确的是（ ）
A.椭圆Γ的离心率为
B.△MPQ面积的最大值为a2
C.M到Γ的左焦点的距离的最小值为
D.若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则k1k2＝－
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.已知双曲线W：－＝1（其中a＞0）的两条渐近线互相垂直，则a＝ .
13.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1 000多年的历史.为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示.该伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为，当阳光与地面夹角为60°时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率为 .
14.已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，F1，F2为C的两个焦点，C的短轴长为4，且C上存在一点P，使得｜PF1｜＝6｜PF2｜，写出C的一个标准方程： .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知动点M与点F（2，0）的距离与其到直线x＝－2的距离相等.
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）求点M与点A（6，0）的距离的最小值，并指出此时M的坐标.
16.（本小题满分15分）已知点F1，F2分别为双曲线C：x2－＝1（b＞0）的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴的上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°.
（1）求双曲线C的方程；
（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1，P2，求，的值.
17.（本小题满分15分）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，且点P（，）在C上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过左焦点F1且斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，求△ABF2内切圆的面积.
18.（本小题满分17分）已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且线段AB恰好被点P（2，2）平分.
（1）求直线l的方程；
（2）抛物线上是否存在点C和D，使得C，D关于直线l对称？若存在，求出直线CD的方程；若不存在，请说明理由.
19.（本小题满分17分）焦距为2c的椭圆Г：＋＝1（a＞b＞0），如果满足“2b＝a＋c”，则称此椭圆为“等差椭圆”.
（1）如果椭圆Г：＋＝1（a＞b＞0）是“等差椭圆”，求的值；
（2）对于焦距为12的“等差椭圆”，点A为椭圆短轴的上顶点，P为椭圆上异于A点的任一点，Q为P关于原点O的对称点（Q也异于A），直线AP，AQ分别与x轴交于M，N两点，判断以线段MN为直径的圆是否过定点？说明理由.
3 / 3章末检测（三） 圆锥曲线的方程
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知抛物线的准线方程为y＝－，则该抛物线的标准方程为（ ）
A.x2＝8y B.y2＝x
C.y2＝3x D.x2＝y
解析：D 因为抛物线的准线方程为y＝－，所以＝，即p＝，所以所求抛物线的标准方程为x2＝y.
2.双曲线－＝1与椭圆＋＝1的焦点相同，则a＝（ ）
A.1 B.－2
C.1或－2 D.2
解析：A 因为双曲线－＝1的焦点在x轴上，所以椭圆＋＝1的焦点在x轴上，依题意得解得a＝1.
3.直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是（ ）
A.（1，＋∞）
B.（0，1）∪（1，＋∞）
C.[1，5）∪（5，＋∞）
D.（0，1）∪（1，5）
解析：C 直线y＝kx＋1过定点（0，1），只需该点落在椭圆内或椭圆上，∴＋≤1，解得m≥1，又m≠5，∴m的取值范围是[1，5）∪（5，＋∞）.
4.过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1＋x2＝6，且｜AB｜＝8，那么抛物线方程为（ ）
A.y2＝2x B.y2＝4x
C.y2＝8x D.y2＝6x
解析：B 因为直线AB过焦点F（，0），所以｜AB｜＝x1＋x2＋p＝6＋p＝8，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.
5.已知抛物线y2＝16x的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：（x－6）2＋（y－2）2＝4上，则｜PQ｜＋｜PF｜的最小值为（ ）
A.4 B.6
C.8 D.10
解析：C 如图，过点P向准线作垂线，垂足为A，则｜PF｜＝｜PA｜，当CP垂直于抛物线的准线时，｜CP｜＋｜PA｜最小，此时线段CP与圆C的交点为Q，因为准线方程为x＝－4，C（6，2），半径为2，所以｜PQ｜＋｜PF｜的最小值为｜AQ｜＝｜CA｜－2＝10－2＝8.
6.在椭圆＋＝1中，以点M（1，）为中点的弦所在直线的斜率为（ ）
A.－ B.－4
C.－ D.－2
解析：C 设弦的两端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得两式相减得＋＝0，即＝－，又x1＋x2＝2，y1＋y2＝1，所以＝－，即＝－，所以以点M（1，）为中点的弦所在的直线的斜率为－.
7.已知F是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，且满足2＝，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
解析：A F是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，则F（c，0），设过右焦点F（c，0）的直线与y＝x垂直，则该直线为y＝－（x－c），联立解得所以A（，），同理，联立可得B（，－），因为2＝，则2（c－）＝－c，b2＝c2－a2，因为e＞1，故e＝.故选A.
8.已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C上的一点（不同于左、右顶点），且sin∠PF2F1＝2sin∠PF1F2，则△PF1F2的面积是（ ）
A.2 B.3
C.2 D.
解析：D 在△PF1F2中，由正弦定理，得＝，又sin∠PF2F1＝2sin∠PF1F2，所以｜PF1｜＝2｜PF2｜.又｜PF1｜－｜PF2｜＝2，所以｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2.由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝＝，所以sin∠F1PF2＝，所以＝｜PF1｜·｜PF2｜sin∠F1PF2＝×2×4×＝.故选D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知曲线mx2＋y2＝1，则（ ）
A.m＝－1表示两条直线
B.m＝1表示圆
C.m＜0表示焦点在x轴上的双曲线
D.0＜m＜1表示焦点在x轴上的椭圆
解析：BD 对于A选项，当m＝－1时，y2－x2＝1表示焦点在y轴上的双曲线，故错误；对于B选项，当m＝1时，x2＋y2＝1表示圆心为原点，半径为1的圆，故正确；对于C选项，当m＜0时，y2＋mx2＝1表示焦点在y轴上的双曲线，故错误；对于D选项，当0＜m＜1时，方程为＋y2＝1，由于＞1，故表示焦点在x轴上的椭圆，故正确.故选B、D.
10.已知双曲线－＝1（a＞0）的左焦点F1与抛物线y2＝－4x的焦点重合，F2是双曲线的右焦点，则下列说法正确的有（ ）
A.抛物线的准线方程为x＝1
B.双曲线的实轴长为4
C.双曲线的离心率为2
D.P为双曲线上一点，若｜PF1｜＝，则｜PF2｜＝
解析：BD 对于A，抛物线y2＝－4x的准线方程是x＝，A选项错误.对于B，抛物线y2＝－4x的焦点是（－，0），所以F1（－，0），F2（，0），c＝.在双曲线中，c2＝a2＋b2，则a2＋3＝7，解得a＝2或a＝－2（舍去），所以双曲线的实轴长为2a＝4，B选项正确.对于C，双曲线的离心率e＝＝，C选项错误.对于D，由双曲线定义｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，即＝4，解得｜PF2｜＝或｜PF2｜＝＜－2（舍去），D选项正确.故选B、D.
11.法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆Γ：＋＝1（a＞b＞0）的蒙日圆为C：x2＋y2＝a2，过C上的动点M作Γ的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则下列结论正确的是（ ）
A.椭圆Γ的离心率为
B.△MPQ面积的最大值为a2
C.M到Γ的左焦点的距离的最小值为
D.若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则k1k2＝－
解析：ACD 依题意，过椭圆Γ的上顶点作y轴的垂线，过椭圆Γ的右顶点作x轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆C上，所以a2＋b2＝a2，即a2＝2b2，所以椭圆Γ的离心率e＝＝＝，故A正确.因为点M，P，Q都在圆C上，且∠PMQ＝90°，所以PQ为圆C的直径，所以｜PQ｜＝2×＝a，所以△MPQ面积的最大值为｜PQ｜×＝×＝a2，故B错误.设M（x0，y0），Γ的左焦点为F（－c，0），连接MF（图略），因为c2＝a2－b2＝a2，所以｜MF｜2＝（x0＋c）2＋＝＋＋2x0c＋c2＝a2＋2x0×a＋a2＝2a2＋ax0.又－a≤x0≤a，所以｜MF｜2≥（2－）a2，则M到Γ的左焦点的距离的最小值为，故C正确.由直线PQ经过坐标原点，易得点A，B关于原点对称.设A（x1，y1），D（x2，y2），则B（－x1，－y1），k1＝，k2＝.又所以＋＝0，所以＝·＝－，所以k1k2＝－，故D正确.故选A、C、D.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.已知双曲线W：－＝1（其中a＞0）的两条渐近线互相垂直，则a＝2.
解析：双曲线W：－＝1的渐近线方程为y＝±x，因为双曲线W的两条渐近线互相垂直，所以×（－）＝－1，又a＞0，所以a＝2.
13.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1 000多年的历史.为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示.该伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为，当阳光与地面夹角为60°时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率为.
解析：因为伞沿是半径为2的圆，圆心到伞柄底端的距离为，设伞柄与地面的夹角为θ，则tan θ＝＝，所以θ＝60°，阳光光线与伞柄平行，所以椭圆长半轴a＝＝，短半轴b＝2，离心率e＝＝.
14.已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，F1，F2为C的两个焦点，C的短轴长为4，且C上存在一点P，使得｜PF1｜＝6｜PF2｜，写出C的一个标准方程：＋＝1（答案不唯一）.
解析：因为｜PF1｜＝6｜PF2｜，所以｜PF1｜＋｜PF2｜＝7｜PF2｜＝2a，则｜PF2｜＝，又因为a－c≤｜PF2｜≤a＋c，所以≥a－c，即≥.根据题意可设C的方程为＋＝1（a＞b＞0），因为椭圆C的短轴长为4，则2b＝4，可得b＝2，又由≥，可得＝≥，解得a2≥，所以椭圆C的一个标准方程为＋＝1.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知动点M与点F（2，0）的距离与其到直线x＝－2的距离相等.
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）求点M与点A（6，0）的距离的最小值，并指出此时M的坐标.
解：（1）由题意知动点M到点F（2，0）的距离与它到直线x＝－2的距离相等，所以动点M的轨迹为以F（2，0）为焦点，以直线x＝－2为准线的抛物线，因此动点M的轨迹方程为y2＝8x.
（2）设M（，m），
由两点间的距离公式得｜MA｜＝＝＝，
当m2＝16，即m＝±4时，｜MA｜min＝4，
即当M（2，4）或M（2，－4）时，点M与点A的距离最小，最小值为4.
16.（本小题满分15分）已知点F1，F2分别为双曲线C：x2－＝1（b＞0）的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴的上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°.
（1）求双曲线C的方程；
（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1，P2，求，的值.
解：（1）在Rt△MF1F2中，因为∠MF1F2＝30°，所以tan∠MF1F2＝＝＝，
又a＝1，a2＋b2＝c2，联立解得c＝，b＝，所以双曲线C的方程是x2－＝1.
（2）设P（x0，y0）是双曲线C上任意一点，故有2－＝2，
两条渐近线方程为l1：x－y＝0，l2：x＋y＝0，设l1：x－y＝0的倾斜角为α，
故tan α＝，设两条渐近线在第一、四象限的夹角为θ，
所以cos θ＝cos 2α＝＝－，于是有cos＜，＞＝－cos θ＝.
因为P到双曲线两条渐近线的距离为｜PP1｜＝，
｜PP2｜＝，
所以·＝··cos＜，＞＝·＝.
17.（本小题满分15分）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，且点P（，）在C上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过左焦点F1且斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，求△ABF2内切圆的面积.
解：（1）由椭圆C离心率为，得＝，即＝，所以b2＝a2，
故椭圆C的方程为＋＝1，代入点P（，），得＋＝1，故a2＝4，b2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
（2）法一 由题意得，直线l的方程为y＝（x＋1），设A（x1，y1），B（x2，y2），
由消去y，得5x2＋4x－10＝0，所以Δ＝16－4×5×（－10）＝216，x1＋x2＝－，x1x2＝－2，
则｜AB｜＝｜x1－x2｜
＝＝×＝，
又F2（1，0），直线l的方程为x－y＋1＝0，则点F2到直线AB的距离d＝＝，所以＝｜AB｜·d＝××＝，
设△ABF2内切圆的半径为r，由×4ar＝＝，
解得r＝，故△ABF2内切圆的面积为πr2＝.
法二 由题意得，直线l的方程为x＝y－1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由消去x，得10y2－6y－9＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝－，
则＝｜F1F2｜·｜y1－y2｜＝×2×＝＝.
设△ABF2内切圆的半径为r，由×4ar＝＝，
解得r＝，故△ABF2内切圆的面积为πr2＝.
18.（本小题满分17分）已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且线段AB恰好被点P（2，2）平分.
（1）求直线l的方程；
（2）抛物线上是否存在点C和D，使得C，D关于直线l对称？若存在，求出直线CD的方程；若不存在，请说明理由.
解：（1）由题意，可得直线AB的斜率存在，且不为0.设直线AB：x－2＝m（y－2），
代入抛物线方程可得y2－8my＋16m－16＝0.判别式Δ＝（－8m）2－4（16m－16）＝64［（m－）2＋］＞0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则有y1＋y2＝8m，由8m＝4，得m＝.
所以直线l的方程为2x－y－2＝0.
（2）假设存在点C，D，则可设lCD：y＝－x＋n，与抛物线y2＝8x联立，
消去y得x2－（n＋8）x＋n2＝0，其中Δ＝（n＋8）2－n2＝16n＋64＞0，则n＞－4.（*）
又xC＋xD＝4（n＋8），所以CD的中点为（2（n＋8），－8），代入直线l的方程，得n＝－，不满足（*）式.所以满足题意的点C，D不存在.
19.（本小题满分17分）焦距为2c的椭圆Г：＋＝1（a＞b＞0），如果满足“2b＝a＋c”，则称此椭圆为“等差椭圆”.
（1）如果椭圆Г：＋＝1（a＞b＞0）是“等差椭圆”，求的值；
（2）对于焦距为12的“等差椭圆”，点A为椭圆短轴的上顶点，P为椭圆上异于A点的任一点，Q为P关于原点O的对称点（Q也异于A），直线AP，AQ分别与x轴交于M，N两点，判断以线段MN为直径的圆是否过定点？说明理由.
解：（1）因为椭圆Г：＋＝1（a＞b＞0）是“等差椭圆”，所以2b＝a＋c，所以c＝2b－a，又c2＝a2－b2，所以（2b－a）2＝a2－b2，化简得＝.
（2）过定点（0，±10），理由如下：
由2c＝12得c＝6，由得a＝10，b＝8，
椭圆方程为＋＝1，所以A（0，8），
设P（x0，y0）（x0≠0），则Q（－x0，－y0），
所以直线AP的方程为y＝x＋8，令y＝0，得x＝－，所以M（－，0），
同理可得N（－，0），所以以MN为直径的圆的方程为（x＋）·（x＋）＋（y－0）·（y－0）＝0，
结合＋＝1，化简得x2＋y2－x－100＝0，令x＝0，得y＝±10，所以该圆恒过定点（0，±10）.
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