一、圆锥曲线的定义及应用
厘清椭圆、双曲线、抛物线的定义，会应用椭圆、双曲线、抛物线的定义解决有关轨迹方程、焦点三角形、最值（范围）等问题.
【例1】（1）已知双曲线C的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2，点A在C上.若｜F1A｜＝2｜F2A｜，则cos∠AF2F1＝（ B ）
A. B. C. D.
解析：由e＝＝2，得c＝2a，如图，由双曲线的定义得｜F1A｜－｜F2A｜＝2a，又｜F1A｜＝2｜F2A｜，故｜F1A｜＝4a，｜F2A｜＝2a.又｜F1F2｜＝2c＝4a，所以cos∠AF2F1＝
＝＝.故选B.
（2）平面内有两个定点F1（－5，0）和F2（5，0），动点P满足｜PF1｜－｜PF2｜＝6，则动点P的轨迹方程是－＝1（x≥3）；
解析：｜PF1｜－｜PF2｜＝6＜｜F1F2｜＝10，根据双曲线的定义可知点P的轨迹为双曲线的右支，且a＝3，c＝5，故b2＝16，故动点P的轨迹方程为－＝1（x≥3）.
（3）已知点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点M（3，4），则｜PM｜＋｜PN｜的最小值是2－1.
解析：由抛物线C：y2＝4x知，焦点F（1，0），准线方程为x＝－1，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图，由抛物线定义知｜PN｜＋｜PM｜＝｜PQ｜－1＋｜PM｜＝｜PF｜＋｜PM｜－1，当F，P，M三点共线时，｜PM｜＋｜PN｜取得最小值，则最小值为｜MF｜－1＝－1＝2－1.
【反思感悟】
1.在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程.
2.涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用定义结合解三角形的知识解决.
3.与圆锥曲线有关的最值问题，常利用定义转化，结合几何图形，利用几何意义去解决.
提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件.
二、圆锥曲线的标准方程
求圆锥曲线方程的常用方法
（1）直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程；
（2）定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量；
（3）待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数.
【例2】（1）在平面直角坐标系中，经过点P（2，－）且离心率为的双曲线的标准方程为－＝1；
解析：由e＝＝，得＝，当焦点在x轴时，设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0），代入P（2，－），得－＝1，解得a2＝7，b2＝14.当焦点在y轴时，设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0），代入P（2，－），得－＝1，无解.所以a2＝7，b2＝14，即双曲线的标准方程为－＝1.
（2）已知点P在椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）上，点F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，满足PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为12，椭圆C的焦距为8，则椭圆C的标准方程为＋＝1；
解析：椭圆C的焦距为8，则｜F1F2｜＝2c＝8，由PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为12，得｜PF1｜·｜PF2｜＝12，即｜PF1｜·｜PF2｜＝24，又｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝＝64，所以（｜PF1｜＋｜PF2｜）2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2＋2｜PF1｜｜PF2｜＝112，即4a2＝112，a2＝28，又c＝4，则b2＝a2－c2＝12，则椭圆C的标准方程为＋＝1.
（3）已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上
一点，且PQ⊥OP.若｜FQ｜＝6，则C的标准方程为y2＝6x.
解析：法一 由题易得｜OF｜＝，｜PF｜＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以＝，即＝，解得p＝3，所以C的标准方程为y2＝6x.
法二 由题易得｜OF｜＝，｜PF｜＝p，｜PF｜2＝｜OF｜·｜FQ｜，即p2＝×6，解得p＝3或p＝0（舍去），所以C的标准方程为y2＝6x.
【反思感悟】
求圆锥曲线方程的一般步骤
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤：
（1）定形：指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置；
（2）定式：根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，且m≠n）；双曲线方程常设为mx2－ny2＝1（mn＞0）；抛物线方程常设为y2＝2ax或x2＝2ay（a≠0）；
（3）定量：由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.
三、圆锥曲线的几何性质（考教衔接）
圆锥曲线的几何性质主要包括范围、对称性、顶点、焦点、离心率、渐近线等，通常考查由方程求性质，或由性质求方程.
【例3】（2024·新高考Ⅰ卷12题）设双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若｜F1A｜＝13，｜AB｜＝10，则C的离心率为.
解析：由双曲线的对称性，不妨设点A为双曲线C与直线AB在第一象限的交点.由题意知，｜AF2｜＝5，2a＝｜F1A｜－｜AF2｜＝8，所以a＝4，易知AF2⊥F1F2，所以在Rt△AF2F1中，｜F1F2｜＝＝＝12，即c＝6，所以双曲线C的离心率e＝＝.
变式1 由双曲线定义求渐近线方程
设双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y的直线交曲线C于A，B两点，若｜F1A｜＝13，｜AB｜＝10，则双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
解析：由双曲线的对称性，不妨设点A为双曲线C与直线AB在第一象限的交点.由题意知，｜AF2｜＝5，2a＝｜F1A｜－｜AF2｜＝8，所以a＝4，易知AF2⊥F1F2，所以在Rt△AF2F1中，｜F1F2｜＝＝＝12，即c＝6，则b＝＝2，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
变式2 双曲线与抛物线结合
已知双曲线C1：－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为x2＝16y.
解析：由e2＝1＋＝4得＝，则双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，抛物线C2的焦点坐标为（0，），则有＝2，解得p＝8，故抛物线C2的方程为x2＝16y.
变式3 求离心率的范围
已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F1，F2，在双曲线上存在点P满足2｜＋｜≤｜｜，则此双曲线的离心率e的取值范围是[2，＋∞）.
解析：当P不是双曲线与x轴的交点时，连接OP（图略），因为OP为△PF1F2的边F1F2上的中线，所以＝（＋）；当P是双曲线与x轴的交点时，同样满足上述等式.因为双曲线上存在点P满足2｜＋｜≤｜｜，所以4｜｜≤2c，由｜｜≥a，所以a≤｜｜≤，所以a≤，所以e≥2.
【反思感悟】
1.椭圆、双曲线的离心率（范围）的求法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值.
2.双曲线的渐近线的求法及用法
（1）求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得；
（2）用法：①可得或的值；②利用渐近线方程设所求双曲线的方程.
四、直线与圆锥曲线的位置关系
1.直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y（或x）得到关于变量x（或y）的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式.
2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是考查热点，常涉及焦半径、焦点弦、一般弦长、中点弦以及面积问题，对于计算能力的要求较高.
【例4】 （1）（2025·济南月考）已知椭圆＋y2＝1上存在两点M，N关于直线y＝－x＋t对称，且MN的中点在抛物线y2＝x上，则实数t的值为0；
解析：设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为E（x0，y0），则由点差法可得（y2－y1）·（y2＋y1）＝－（x2－x1）（x2＋x1），即·＝－①，显然x1≠x2.又因为②，将②代入①可得kMN·＝－，由M，N两点关于直线y＝－x＋t对称，可得kMN＝1，所以y0＝－x0，又因为y0＝－x0＋t，所以x0＝2t，y0＝－t，代入抛物线方程得（－t）2＝2t，解得t＝0或t＝2.当t＝2时，y＝－x＋2与椭圆相离，不符合题意.
（2）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0）.
①求椭圆的方程；
②若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程.
解：①由题设知解得∴椭圆的方程为＋＝1.
②由①知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，∴圆心到直线l的距离d＝，
由d＜1得｜m｜＜.
∴｜CD｜＝2＝2＝.设A（x1，y1），B（x2，y2），
由得x2－mx＋m2－3＝0，Δ＝m2－4（m2－3）＝12－3m2＞0.
由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.
∴｜AB｜＝＝.由＝，得＝1，解得m＝±，经检验满足｜m｜＜且12－3m2＞0.
∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－.
【反思感悟】
1.直线与圆锥曲线位置关系的判定方法
（1）判定直线与圆锥曲线的位置关系，一般用代数法；
（2）对于过定点的直线，可通过定点与曲线的位置关系进行判断.
2.求圆锥曲线中弦长的常用方法
（1）“设而不求法”，利用弦长公式·｜x1－x2｜＝·或·｜y1－y2｜＝·（k≠0）求弦长；
（2）特别地，圆中求弦长用垂径定理，抛物线y2＝2px（p＞0）求焦点弦弦长可用抛物线的焦点弦弦长公式｜AB｜＝x1＋x2＋p.
3.用“点差法”求解中点弦问题的解题步骤
五、圆锥曲线的综合问题
圆锥曲线的综合问题包括位置关系的证明及定点、定值、最值、探索性问题，解决的基本思路是利用代数法，通过直线与圆锥曲线的方程求解.
【例5】 如图，过抛物线E：y2＝2px（p＞0）焦点F的直线l交抛物线于点A，B，｜AB｜的最小值为4，直线x＝－4分别交直线AO，BO于点C，D（O为原点）.
（1）求抛物线E的方程；
解：当直线AB斜率不存在时，此时A，B（，－p），∴｜AB｜＝2p，
当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k，
联立抛物线方程得k2x2－（k2p＋2p）x＋＝0，Δ＝（k2p＋2p）2－k4p2＝4p2（k2＋1）＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），x1＋x2＝＝＋p，
此时｜AB｜＝x1＋x2＋p＝＋2p＞2p，显然当直线AB斜率不存在时，｜AB｜的值最小，
即2p＝4，解得p＝2，∴抛物线E的方程为y2＝4x.
（2）圆M过点C，D，交x轴于点G（t，0），H（m，0），证明：若t为定值时，m也为定值.并求t＝－8时，△ABH面积S的最小值.
解：证明：设A（，y1），B（，y2），C（－4，y3），D（－4，y4），则OA：y＝x，OB：y＝x，
由（1）知，x1x2＝，∴y1y2＝－p2＝－4，∴y3＝，y4＝＝＝4y1，
设圆心M（x0，y0），则y0＝＝2y1－.若G（t，0）（t为定值），H（m，0），则x0＝.
由｜MD｜＝｜MG｜，得（x0＋4）2＋（y0－y4）2＝（x0－t）2＋，
∴4t＋4m＋80＝－tm，∴m＝也为定值.∴H也为定点.
若t＝－8，则m＝12，S＝｜FH｜｜y1－y2｜＝｜y1－y2｜＝≥×4＝22，
当且仅当y1＝±2时取到最小值.故△ABH面积S的最小值为22.
【反思感悟】
1.解决最值问题常见的题型，可用建立目标函数的方法求解.
2.圆锥曲线的综合问题可以从分析问题的数量关系入手，利用直线系或曲线系方程或函数方程思想，通过联想与类比，使问题获解.
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一、圆锥曲线的定义及应用
厘清椭圆、双曲线、抛物线的定义，会应用椭圆、双曲线、抛物线的定义解决有关轨迹方程、焦点三角形、最值（范围）等问题.
【例1】 （1）已知双曲线C的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2，点A在C上.若｜F1A｜＝2｜F2A｜，则cos∠AF2F1＝（ ）
A. B. C. D.
（2）平面内有两个定点F1（－5，0）和F2（5，0），动点P满足｜PF1｜－｜PF2｜＝6，则动点P的轨迹方程是 ；
（3）已知点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点M（3，4），则｜PM｜＋｜PN｜的最小值是 .
【反思感悟】
1.在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程.
2.涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用定义结合解三角形的知识解决.
3.与圆锥曲线有关的最值问题，常利用定义转化，结合几何图形，利用几何意义去解决.
提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件.
二、圆锥曲线的标准方程
求圆锥曲线方程的常用方法
（1）直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程；
（2）定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量；
（3）待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数.
【例2】 （1）在平面直角坐标系中，经过点P（2，－）且离心率为的双曲线的标准方程为 ；
（2）已知点P在椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）上，点F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，满足PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为12，椭圆C的焦距为8，则椭圆C的标准方程为 ；
（3）已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若｜FQ｜＝6，则C的标准方程为 .
【反思感悟】
求圆锥曲线方程的一般步骤
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤：
（1）定形：指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置；
（2）定式：根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，且m≠n）；双曲线方程常设为mx2－ny2＝1（mn＞0）；抛物线方程常设为y2＝2ax或x2＝2ay（a≠0）；
（3）定量：由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.
三、圆锥曲线的几何性质（考教衔接）
圆锥曲线的几何性质主要包括范围、对称性、顶点、焦点、离心率、渐近线等，通常考查由方程求性质，或由性质求方程.
【例3】 （2024·新高考Ⅰ卷12题）设双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若｜F1A｜＝13，｜AB｜＝10，则C的离心率为 .
变式1 由双曲线定义求渐近线方程
设双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y的直线交曲线C于A，B两点，若｜F1A｜＝13，｜AB｜＝10，则双曲线C的渐近线方程为 .
变式2 双曲线与抛物线结合
已知双曲线C1：－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为 .
变式3 求离心率的范围
已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F1，F2，在双曲线上存在点P满足2｜＋｜≤｜｜，则此双曲线的离心率e的取值范围是 .
【反思感悟】
1.椭圆、双曲线的离心率（范围）的求法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值.
2.双曲线的渐近线的求法及用法
（1）求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得；
（2）用法：①可得或的值；②利用渐近线方程设所求双曲线的方程.
四、直线与圆锥曲线的位置关系
1.直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y（或x）得到关于变量x（或y）的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式.
2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是考查热点，常涉及焦半径、焦点弦、一般弦长、中点弦以及面积问题，对于计算能力的要求较高.
【例4】 （1）（2025·济南月考）已知椭圆＋y2＝1上存在两点M，N关于直线y＝－x＋t对称，且MN的中点在抛物线y2＝x上，则实数t的值为 ；
（2）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0）.
①求椭圆的方程；
②若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程.
【反思感悟】
1.直线与圆锥曲线位置关系的判定方法
（1）判定直线与圆锥曲线的位置关系，一般用代数法；
（2）对于过定点的直线，可通过定点与曲线的位置关系进行判断.
2.求圆锥曲线中弦长的常用方法
（1）“设而不求法”，利用弦长公式·｜x1－x2｜＝·或·｜y1－y2｜＝·（k≠0）求弦长；
（2）特别地，圆中求弦长用垂径定理，抛物线y2＝2px（p＞0）求焦点弦弦长可用抛物线的焦点弦弦长公式｜AB｜＝x1＋x2＋p.
3.用“点差法”求解中点弦问题的解题步骤
五、圆锥曲线的综合问题
圆锥曲线的综合问题包括位置关系的证明及定点、定值、最值、探索性问题，解决的基本思路是利用代数法，通过直线与圆锥曲线的方程求解.
【例5】 如图，过抛物线E：y2＝2px（p＞0）焦点F的直线l交抛物线于点A，B，｜AB｜的最小值为4，直线x＝－4分别交直线AO，BO于点C，D（O为原点）.
（1）求抛物线E的方程；
（2）圆M过点C，D，交x轴于点G（t，0），H（m，0），证明：若t为定值时，m也为定值.并求t＝－8时，△ABH面积S的最小值.
【反思感悟】
1.解决最值问题常见的题型，可用建立目标函数的方法求解.
2.圆锥曲线的综合问题可以从分析问题的数量关系入手，利用直线系或曲线系方程或函数方程思想，通过联想与类比，使问题获解.
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