第二课时 椭圆及其标准方程（二）
课标要求
1.能灵活应用椭圆的定义及标准方程解决焦点三角形问题（直观想象、数学运算）. 2.能熟练地求与椭圆有关的轨迹方程（逻辑推理、数学运算）.
知识点｜椭圆中的焦点三角形问题
问题 如图，在椭圆＋＝1（a＞b＞0）中，设F1，F2为椭圆的两个焦点，｜F1F2｜＝2c，P（x0，y0）为椭圆上的任意一点，∠F1PF2＝θ.
（1）△PF1F2的周长能用关于a，b，c的式子表示吗？
（2）△PF1F2的面积能用关于｜PF1｜，｜PF2｜及θ有关的式子表示吗？｜F1F2｜2呢？
【例1】 已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.
变式 若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠F1PF2＝120°”，求△F1PF2的面积.
【规律方法】
椭圆上的点P（x0，y0）（点P不在x轴上）与两焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，解关于焦点三角形的问题时要充分利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理等知识.
提醒：（1）＝b2tan；（2）当P为椭圆与y轴的交点时，取得最大值为bc.
训练1 （1）设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P是椭圆上一点，且｜PF1｜∶｜PF2｜＝4∶3，则∠F1PF2＝（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
（2）已知椭圆C：＋＝1的左焦点为F，A，B是C上关于原点对称的两点，且∠AFB＝90°，则△ABF的周长为 .
提能点｜与椭圆有关的轨迹问题
角度1 定义法求轨迹方程
【例2】 一动圆P与圆A：（x＋1）2＋y2＝1外切，而与圆B：（x－1）2＋y2＝16内切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是（ ）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
角度2 相关点法（代入法）求轨迹方程
【例3】 已知P是圆O：x2＋y2＝4上一动点，点P在x轴上的射影是点D，点M满足＝，则动点M的轨迹方程为 .
角度3 直接法求轨迹方程
【例4】 已知△ABC的两个顶点分别是B（0，6）和C（0，－6），边AB，AC所在直线的斜率的乘积是－，求顶点A的轨迹方程.
【规律方法】
求与椭圆有关的轨迹方程的常用方法
（1）定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹（如椭圆、圆等）的定义，则可用定义法直接求解；
（2）相关点法（代入法）：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点的轨迹方程；
（3）直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程.
训练2 （1）点M与定点F（1，0）的距离和它到定直线x＝4的距离的比为1∶2，则点M的轨迹方程为（ ）
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
（2）已知椭圆x2＋＝1上一点P，过点P作PD⊥x轴于点D，E为线段PD的中点，则点E的轨迹方程为（）
A.y＝2 B.x2＋y2＝1
C.（x－1）2＋（y＋2）2＝1 D.＋y2＝1
（3）已知动圆M过定点A（－3，0），并且在定圆B：（x－3）2＋y2＝64的内部与其相内切，则动圆圆心M的轨迹方程是 .
1.已知F1，F2为两定点，｜F1F2｜＝4，动点M满足｜MF1｜＋｜MF2｜＝6，则动点M的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
2.设点P为椭圆C：＋＝1（a＞2）上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为 .
3.已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上.若｜PF1｜＝4，则｜PF2｜＝ ，∠F1PF2＝ .
4.若线段AB的两个端点分别在x轴，y轴上滑动，｜AB｜＝6，点M是线段AB上一点，且｜AM｜＝2，求动点M的轨迹方程.
课堂小结
1.理清单 （1）椭圆中焦点三角形的周长与面积等问题； （2）与椭圆有关的轨迹问题. 2.应体会 解决椭圆中的焦点三角形及与椭圆有关的轨迹问题时，注意数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想的应用. 3.避易错 求动点轨迹方程时，要注意特殊点、位置的取舍.
提示：完成课后作业 第三章 3.1 3.1.1 第二课时
2 / 2第二课时 椭圆及其标准方程（二）
课标要求
1.能灵活应用椭圆的定义及标准方程解决焦点三角形问题（直观想象、数学运算）. 2.能熟练地求与椭圆有关的轨迹方程（逻辑推理、数学运算）.
知识点｜椭圆中的焦点三角形问题
问题 如图，在椭圆＋＝1（a＞b＞0）中，设F1，F2为椭圆的两个焦点，｜F1F2｜＝2c，P（x0，y0）为椭圆上的任意一点，∠F1PF2＝θ.
（1）△PF1F2的周长能用关于a，b，c的式子表示吗？
提示：能.△PF1F2的周长l＝2a＋2c.
（2）△PF1F2的面积能用关于｜PF1｜，｜PF2｜及θ有关的式子表示吗？｜F1F2｜2呢？
提示：能.由正弦定理，知＝｜PF1｜·｜PF2｜sin θ.
由余弦定理得，｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜cos θ.
【例1】已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.
解：由题意知，c＝3，所以｜F1F2｜＝6.
在△F1PF2中，
｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜·cos 60°.
即36＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－｜PF1｜·｜PF2｜. ①
由椭圆定义得｜PF1｜＋｜PF2｜＝4.
即48＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2＋2｜PF1｜·｜PF2｜. ②
由①②得｜PF1｜·｜PF2｜＝4，
所以＝｜PF1｜·｜PF2｜sin 60°＝.
变式 若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠F1PF2＝120°”，求△F1PF2的面积.
解：当P为椭圆与y轴的交点时，由于｜PF1｜＝｜PF2｜＝a＝2，｜OP｜＝.
所以∠PF1F2＝∠PF2F1＝30°，此时满足∠F1PF2＝120°，
所以＝｜F1F2｜·｜OP｜＝×2cb＝3.
【规律方法】
椭圆上的点P（x0，y0）（点P不在x轴上）与两焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，解关于焦点三角形的问题时要充分利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理等知识.
提醒：（1）＝b2tan；（2）当P为椭圆与y轴的交点时，取得最大值为bc.
训练1 （1）设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P是椭圆上一点，且｜PF1｜∶｜PF2｜＝4∶3，则∠F1PF2＝（ D ）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
解析：因为｜PF1｜∶｜PF2｜＝4∶3，所以可设｜PF1｜＝4k，｜PF2｜＝3k.则3k＋4k＝2a＝14，所以k＝2，所以｜PF1｜＝8，｜PF2｜＝6，因为｜F1F2｜＝10，｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2，所以∠F1PF2＝90°.故选D.
（2）已知椭圆C：＋＝1的左焦点为F，A，B是C上关于原点对称的两点，且∠AFB＝90°，则△ABF的周长为14.
解析：设椭圆的右焦点为F1，连接AF1，BF1，易知∠AF1B＝90°，即四边形AFBF1为矩形，所以｜BF｜＝｜AF1｜，｜AB｜＝｜FF1｜＝2c＝2＝6，由椭圆的定义可得｜AF｜＋｜AF1｜＝2a＝8，所以｜AF｜＋｜BF｜＝8，所以△ABF的周长为｜AF｜＋｜BF｜＋｜AB｜＝8＋6＝14.
提能点｜与椭圆有关的轨迹问题
角度1 定义法求轨迹方程
【例2】一动圆P与圆A：（x＋1）2＋y2＝1外切，而与圆B：（x－1）2＋y2＝16内切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是（ ）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：B 设动圆P的半径为r，又圆A：（x＋1）2＋y2＝1的半径为1，圆B：（x－1）2＋y2＝16的半径为4，则｜PA｜＝r＋1，｜PB｜＝4－r，可得｜PA｜＋｜PB｜＝5，又5＞2＝｜AB｜，则动圆的圆心P的轨迹是以A，B为焦点，与A，B的距离的和为5的椭圆.a＝，c＝1，b＝，故所求轨迹方程为＋＝1.故选B.
角度2 相关点法（代入法）求轨迹方程
【例3】已知P是圆O：x2＋y2＝4上一动点，点P在x轴上的射影是点D，点M满足＝，则动点M的轨迹方程为＋y2＝1.
解析：设M（x，y），P（x1，y1），则D（x1，0），由＝，得（x－x1，y）＝（0，y1），即x1＝x，y1＝2y，因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以x2＋4y2＝4，故动点M的轨迹方程为＋y2＝1.
角度3 直接法求轨迹方程
【例4】 已知△ABC的两个顶点分别是B（0，6）和C（0，－6），边AB，AC所在直线的斜率的乘积是－，求顶点A的轨迹方程.
解：设顶点A（x，y），
则kAB＝，kAC＝.
由题意得·＝－，
化简可得顶点A的轨迹方程为＋＝1（x≠0）.
【规律方法】
求与椭圆有关的轨迹方程的常用方法
（1）定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹（如椭圆、圆等）的定义，则可用定义法直接求解；
（2）相关点法（代入法）：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点的轨迹方程；
（3）直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程.
训练2 （1）点M与定点F（1，0）的距离和它到定直线x＝4的距离的比为1∶2，则点M的轨迹方程为（ C ）
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：设M（x，y），由题意得＝，即4（x－1）2＋4y2＝（x－4）2，整理得＋＝1.
（2）已知椭圆x2＋＝1上一点P，过点P作PD⊥x轴于点D，E为线段PD的中点，则点E的轨迹方程为（ B ）
A.y＝2 B.x2＋y2＝1
C.（x－1）2＋（y＋2）2＝1 D.＋y2＝1
解析：设点E的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），则点D的坐标为（x0，0），即因为点P（x0，y0）在椭圆x2＋＝1上，所以x2＋＝1，即x2＋y2＝1.所以点E的轨迹方程是x2＋y2＝1.
（3）已知动圆M过定点A（－3，0），并且在定圆B：（x－3）2＋y2＝64的内部与其相内切，则动圆圆心M的轨迹方程是＋＝1.
解析：设动圆M和定圆B内切于点C，动圆圆心M到定点A（－3，0），定圆B的圆心B（3，0）的距离之和恰好等于定圆B的半径长，即｜MA｜＋｜MB｜＝｜MC｜＋｜MB｜＝｜BC｜＝8.所以动圆圆心M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，并且2a＝8，2c＝6，所以b＝＝.所以动圆圆心M的轨迹方程是＋＝1.
1.已知F1，F2为两定点，｜F1F2｜＝4，动点M满足｜MF1｜＋｜MF2｜＝6，则动点M的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.直线
C.圆 D.线段
解析：A 因为｜MF1｜＋｜MF2｜＝6＞｜F1F2｜，所以动点M的轨迹是椭圆.故选A.
2.设点P为椭圆C：＋＝1（a＞2）上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为.
解析：由题意得b2＝4，∠F1PF2＝60°，∴＝4×tan 30°＝.
3.已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上.若｜PF1｜＝4，则｜PF2｜＝2，∠F1PF2＝120°.
解析：∵｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝6，∴｜PF2｜＝6－｜PF1｜＝2.在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝＝－，∴∠F1PF2＝120°.
4.若线段AB的两个端点分别在x轴，y轴上滑动，｜AB｜＝6，点M是线段AB上一点，且｜AM｜＝2，求动点M的轨迹方程.
解：设M（x，y），A（xA，0），B（0，yB）.
如图，由｜AB｜＝6，｜AM｜＝2，得＝，则（x－xA，y）＝（－xA，yB），
即得
又＋＝36，则动点M的轨迹方程为＋＝1.
课堂小结
1.理清单 （1）椭圆中焦点三角形的周长与面积等问题； （2）与椭圆有关的轨迹问题. 2.应体会 解决椭圆中的焦点三角形及与椭圆有关的轨迹问题时，注意数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想的应用. 3.避易错 求动点轨迹方程时，要注意特殊点、位置的取舍.
1.已知△ABC的周长为12，B（0，－2），C（0，2），则顶点A的轨迹方程为（ ）
A.＋＝1（x≠0） B.＋＝1（y≠0）
C.＋＝1（x≠0） D.＋＝1（y≠0）
解析：A ∵△ABC的周长为12，顶点B（0，－2），C（0，2），∴｜BC｜＝4，｜AB｜＋｜AC｜＝12－4＝8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，又8＞4，∴点A的轨迹是椭圆，且a＝4，c＝2，∴b2＝12，∴椭圆的方程为＋＝1（x≠0）.
2.已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，若｜AB｜＝5，则｜AF1｜＋｜BF1｜＝（ ）
A.9 B.10
C.11 D.12
解析：C 根据椭圆定义，｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a＝8，｜BF1｜＋｜BF2｜＝2a＝8，所以△AF1B的周长为｜AF1｜＋｜BF1｜＋｜AB｜＝16，所以｜AF1｜＋｜BF1｜＝16－｜AB｜＝11.
3.已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，M是椭圆C上一点，且MF1⊥F1F2，则cos∠F1MF2＝（ ）
A. B.
C. D.
解析：A 由椭圆的方程，得F1（－，0），F2（，0），因为MF1⊥F1F2，所以设M（－，y0），又M（－，y0）在椭圆C上，所以＋＝1，解得｜y0｜＝，即｜MF1｜＝，｜MF2｜＝6－｜MF1｜＝，所以cos∠F1MF2＝＝.故选A.
4.已知点P是椭圆＋＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝，则△PF1F2的面积为（ ）
A.6 B.12
C. D.2
解析：C 由椭圆＋＝1，得a＝5，b＝3，c＝4.设｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，所以m＋n＝10，在△PF1F2中，由余弦定理可得：（2c）2＝m2＋n2－2mn·cos∠F1PF2＝（m＋n）2－2mn－2mn·，可得64＝100－mn，得mn＝，故＝mn·sin∠F1PF2＝××＝.故选C.
5.设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P为椭圆上一点，已知点P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF1｜＞｜PF2｜，则＝（ ）
A.2 B.3
C.2或 D.3或
解析：C 若∠PF2F1＝90°，则｜PF1｜2＝｜PF2｜2＋｜F1F2｜2，又｜PF1｜＋｜PF2｜＝6，｜F1F2｜＝2，解得｜PF1｜＝，｜PF2｜＝，∴＝.若∠F1PF2＝90°，则｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2，∴｜PF1｜2＋（6－｜PF1｜）2＝20，又｜PF1｜＞｜PF2｜，∴｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，∴＝2.综上知，＝或2.故选C.
6.〔多选〕已知F1，F2为椭圆C的两个焦点，椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2＝90°，则椭圆C的方程可以是（ ）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：ACD 结合选项可设椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），并设椭圆与y轴正半轴的交点为B.若椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2＝90°，则需∠F1BF2≥90°，∴｜BF1｜2＋｜BF2｜2≤｜F1F2｜2，即a2＋a2≤4c2.又c2＝a2－b2，∴a2≥2b2，检验可得选项A、C、D满足.故选A、C、D.
7.〔多选〕设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且｜PF1｜－｜PF2｜＝2.则下列说法中正确的是（ ）
A.｜PF1｜＝5，｜PF2｜＝3
B.△PF1F2为直角三角形
C.△PF1F2的面积为6
D.△PF1F2的面积为12
解析：ABC 由＋＝1，得a2＝16，b2＝12，则a＝4，b＝2，c＝＝2，因为P是椭圆上一点，所以｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝8，因为｜PF1｜－｜PF2｜＝2，所以｜PF1｜＝5，｜PF2｜＝3，所以A正确；对于B，因为｜F1F2｜＝2c＝4，所以｜PF2｜2＋｜F1F2｜2＝｜PF1｜2，所以△PF1F2为直角三角形，所以B正确；对于C、D，因为△PF1F2为直角三角形，PF2⊥F1F2，所以＝×3×4＝6，所以C正确，D错误.故选A、B、C.
8.已知定点M（4，0），N（1，0），动点P满足·＝6｜｜.设点P的轨迹为E，则轨迹E的方程为＋＝1.
解析：设动点P（x，y），则＝（x－4，y），＝（－3，0），＝（1－x，－y）.又∵·＝6｜｜，∴－3（x－4）＝6.化简得3x2＋4y2＝12，即＋＝1，∴轨迹E的方程为＋＝1.
9.已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若在椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积是2，则a＝.
解析：根据椭圆定义知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，由PF1⊥PF2，得△PF1F2为直角三角形，∴｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝（2c）2，又∵△PF1F2的面积为2，∴·｜PF1｜·｜PF2｜＝2，则｜PF1｜·｜PF2｜＝4，∴（2a）2＝（｜PF1｜＋｜PF2｜）2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2＋2｜PF1｜·｜PF2｜＝4c2＋8，可得a2－c2＝2＝b2，由＋＝1可得b2＝a2－4，∴a2－4＝2，解得a＝.
10.已知A，B两点的坐标分别是（－1，0），（1，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为m（m＜0），求点M的轨迹方程并判断其轨迹的形状.
解：设点M的坐标为（x，y），因为点A的坐标是（－1，0），
所以直线AM的斜率为kAM＝（x≠－1）.
同理，直线BM的斜率为kBM＝（x≠1）.
由已知，有×＝m（x≠±1），
化简得点M的轨迹方程为x2＋＝1（x≠±1）.
当m＝－1时，M的轨迹方程为x2＋y2＝1（x≠±1），M的轨迹是单位圆去掉两个点（±1，0）.
当－1＜m＜0时，M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆去掉两个点（±1，0）.
当m＜－1时，M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆去掉两个点（±1，0）.
11.设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是圆A：（x＋4）2＋y2＝1和圆B：（x－4）2＋y2＝1上的点，则｜PM｜＋｜PN｜的最小值、最大值分别为（ ）
A.9，12 B.8，11
C.8，12 D.10，12
解析：C 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆的定义知｜PA｜＋｜PB｜＝2a＝10，连接PA，PB，分别与左、右两圆相交于M，N两点，设r为两圆的半径，此时｜PM｜＋｜PN｜最小，最小值为｜PA｜＋｜PB｜－2r＝8.延长PA，PB，分别与左、右两圆相交于M'，N'两点，此时｜PM｜＋｜PN｜最大，最大值为｜PA｜＋｜PB｜＋2r＝12，即最小值和最大值分别为8，12.
12.〔多选〕已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，P为异于椭圆C与x轴的两个交点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A.△PF1F2的周长为10
B.△PF1F2的面积的最大值为2
C.当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为
D.存在点P使得·＝0
解析：AB 由椭圆C：＋＝1的方程可得a＝3，b＝，c＝2，△PF1F2的周长为2a＋2c＝10，故A正确；当点P位于y轴与椭圆C的交点时，△PF1F2的面积最大，最大值为×2c×b＝2，故B正确；当∠F1PF2＝60°时，由余弦定理可得｜PF1｜2＋｜PF2｜2－｜PF1｜·｜PF2｜＝16，所以（｜PF1｜＋｜PF2｜）2－3｜PF1｜·｜PF2｜＝16，所以（2a）2－3｜PF1｜·｜PF2｜＝16，可得｜PF1｜·｜PF2｜＝，所以△PF1F2的面积为｜PF1｜·｜PF2｜·sin 60°＝，故C错误；设P（x0，y0），则＋＝1，由·＝0可得＋＝4，从而＝－，＝不成立，故D错误.故选A、B.
13.已知圆C：（x－2）2＋y2＝64，F（－2，0）为圆内一点，将圆折起使得圆周过点F（如图），然后将纸片展开，得到一条折痕l，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为＋＝1.
解析：由题知，F（－2，0），C（2，0），记点F关于折痕l的对称点为A，折痕l与AC相交于点P，则点A在圆周上，折痕l为线段AF的垂直平分线，如图所示，则有｜PA｜＝｜PF｜，可知｜PF｜＋｜PC｜＝｜PA｜＋｜PC｜＝｜AC｜＝8＞｜FC｜＝4，所以点P的轨迹是以F，C为左、右焦点的椭圆，其中2a＝8，2c＝4，所以a＝4，c＝2，b＝2，所以点P的轨迹方程，即折痕围成轮廓的圆锥曲线的方程为＋＝1.
14.已知椭圆M与椭圆N：＋＝1有相同的焦点，且椭圆M过点（－1，）.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标.
解：（1）由题意，知椭圆N的焦点为（－2，0），（2，0），
设椭圆M的方程为＋＝1（a＞b＞0），则化简并整理得5b4＋11b2－16＝0，故b2＝1或b2＝－（舍去），a2＝5，
故椭圆M的标准方程为＋y2＝1.
（2）由（1）知F1（－2，0），F2（2，0），设P（x0，y0），则△PF1F2的面积为×4×｜y0｜＝1，解得y0＝±.又＋＝1，所以＝，x0＝±，
所以点P有4个，它们的坐标分别为（，），（－，），（，－），（－，－）.
15.设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，B为椭圆上的点且坐标为（0，－1）.
（1）若P是该椭圆上的一个动点，求｜PF1｜·｜PF2｜的最大值；
（2）若C为椭圆上异于B的一点，且＝λ，求实数λ的值.
解：（1）因为椭圆的方程为＋y2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝，又因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝4，所以｜PF1｜·｜PF2｜≤（）2＝（）2＝4，当且仅当｜PF1｜＝｜PF2｜＝2时取等号，所以｜PF1｜·｜PF2｜的最大值为4.
（2）设C（x0，y0），因为B（0，－1），F1（－，0），所以＝（－，1），＝（－－x0，－y0）.因为＝λ，即（－，1）＝λ（－－x0，－y0），得x0＝，y0＝－.
又＋＝1，所以有λ2＋6λ－7＝0，解得λ＝－7或λ＝1.因为C异于B点，故λ＝1舍去，所以λ＝－7.
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