第一课时 椭圆及其标准方程（一）
课标要求
1.理解并掌握椭圆的定义（数学抽象）. 2.掌握椭圆的标准方程的推导（逻辑推理）. 3.会求椭圆的标准方程（数学运算）.
知识点一｜椭圆的定义
问题1 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2（如图），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？
【知识梳理】
1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的 等于 （大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆.
2.焦点：两个定点F1，F2.
3.焦距：两焦点间的距离｜F1F2｜.
4.符号表示：｜MF1｜＋｜MF2｜＝ （常数）且2a ｜F1F2｜.
提醒：（1）当2a＝｜F1F2｜时，点的轨迹是线段F1F2；（2）当2a＜｜F1F2｜时，点的轨迹不存在.
【例1】 下列说法正确的是（ ）
A.已知点F1（－4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
B.已知点F1（－4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C.平面内到点F1（－4，0），F2（4，0）的距离之和等于点M（5，3）到点F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D.平面内到点F1（－4，0），F2（4，0）的距离相等的点的轨迹是椭圆
【规律方法】
椭圆的定义具有双向作用，即若｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a（2a＞｜F1F2｜），则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.
训练1 甲：动点P到两定点A，B的距离之和｜PA｜＋｜PB｜＝2a（a＞0，a为常数）；乙：P点轨迹是椭圆.则甲是乙的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
知识点二｜椭圆的标准方程
问题2 （1）如图1，观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
（2）类比圆的标准方程推导过程，你能利用椭圆定义推导出椭圆的标准方程吗？
（3）如图2，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是（0，－c），（0，c），a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
【知识梳理】
椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1（a＞b＞0） ＋＝1（a＞b＞0）
图形
焦点坐标 F1（－c，0），F2 F1 ，F2（0，c）
焦距 ｜F1F2｜＝
a，b，c的关系 c2＝
提醒：（1）x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上；（2）在椭圆的标准方程中不一定有a＞b＞c成立，只需a＞b，a＞c即可，b，c的大小关系不确定.
【例2】 （链接教材P107例1）求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别为F1（－3，0），F2（3，0），且椭圆上一点M与两焦点的距离和等于10；
（2）两个焦点的坐标分别为F1（0，－2），F2（0，2），且椭圆经过点（4，3）；
（3）经过点A（，－2）和点B（－2，1）.
【规律方法】
求椭圆标准方程的方法
（1）定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出方程；
（2）待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可，即“先定位，后定量”.
提醒：在求椭圆的标准方程时，若焦点的位置不确定，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.
训练2 （1）已知点A（－3，0），B（0，2）在椭圆＋＝1上，则椭圆的标准方程为（ ）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋＝1
（2）求满足过点（，－），且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程.
提能点｜椭圆的定义与标准方程的简单应用
【例3】 （1）已知椭圆＋＝1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，到另一个焦点的距离为7，则m＝（ ）
A.5 B.10
C.15 D.25
（2）若方程＋＝1表示椭圆，则实数k的取值范围为（ ）
A.（5，6） B.（5，7）
C.（6，7） D.（5，6）∪（6，7）
变式 若本例（2）条件变为“若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆”，则实数k的取值范围为 .
【规律方法】
由方程表示椭圆确定参数值（范围）时，要根据焦点所在的坐标轴来确定两个分母的大小；若给出椭圆方程为Ax2＋By2＝C，则应首先将其转化为椭圆的标准方程的形式＋＝1，再研究其焦点的位置等情况.
训练3 （1）〔多选〕设P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若△PF1F2是等腰三角形，则｜PF2｜的值可能为（ ）
A.4 B.5
C.6 D.7
（2）（2025·济源质检）已知椭圆方程为kx2＋3y2－6k＝0（k≠0），焦距为4，则k＝ .
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）已知点F1（－1，0），F2（1，0），动点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜＝4，则点P的轨迹是椭圆.（ ）
（2）已知点F1（－1，0），F2（1，0），动点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜＝2，则点P的轨迹是椭圆.（ ）
（3）椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.（ ）
（4）方程＋＝1（a＞0，b＞0）表示的曲线是椭圆.（ ）
2.已知椭圆＋＝1过点（2，），则其焦距为 .
3.如果x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 .
4.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）a＋c＝10，a－c＝4；
（2）与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足b＝2.
课堂小结
1.理清单 （1）椭圆的定义及其应用； （2）椭圆的标准方程的求解及判别. 2.应体会 （1）当椭圆焦点位置不确定时，要注意分类讨论思想的应用； （2）求椭圆的标准方程时体现了函数与方程思想. 3.避易错 （1）椭圆定义中a，b，c的关系易记错记混； （2）焦点在x轴、y轴上的椭圆标准方程易混淆.
提示：完成课后作业 第三章 3.1 3.1.1 第一课时
4 / 4第一课时 椭圆及其标准方程（一）
课标要求
1.理解并掌握椭圆的定义（数学抽象）.
2.掌握椭圆的标准方程的推导（逻辑推理）.
3.会求椭圆的标准方程（数学运算）.
情境导入
在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的现象，如图1、图2.我们还知道，圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆上的点的特征是任意一点到圆心的距离都等于半径.那么椭圆又有着怎样的几何特征呢？它是否与圆一样有自己的定义、方程？
知识点一｜椭圆的定义
问题1 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2（如图），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？
提示：椭圆；笔尖到两个定点的距离的和等于常数.
【知识梳理】
1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的 和 等于 常数 （大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆.
2.焦点：两个定点F1，F2.
3.焦距：两焦点间的距离｜F1F2｜.
4.符号表示：｜MF1｜＋｜MF2｜＝ 2a （常数）且2a ＞ ｜F1F2｜.
提醒：（1）当2a＝｜F1F2｜时，点的轨迹是线段F1F2；（2）当2a＜｜F1F2｜时，点的轨迹不存在.
【例1】下列说法正确的是（ ）
A.已知点F1（－4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
B.已知点F1（－4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C.平面内到点F1（－4，0），F2（4，0）的距离之和等于点M（5，3）到点F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D.平面内到点F1（－4，0），F2（4，0）的距离相等的点的轨迹是椭圆
解析：C 选项A中，｜F1F2｜＝8，故平面内到F1，F2两点的距离之和等于常数8的点的轨迹是线段F1F2；选项B中，动点到F1，F2两点的距离之和等于6，小于｜F1F2｜，故这样的轨迹不存在；选项C中，点（5，3）到点F1，F2的距离之和为＋＝4＞｜F1F2｜＝8，故选项C中的动点的轨迹是椭圆；选项D中的动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
【规律方法】
椭圆的定义具有双向作用，即若｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a（2a＞｜F1F2｜），则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.
训练1 甲：动点P到两定点A，B的距离之和｜PA｜＋｜PB｜＝2a（a＞0，a为常数）；乙：P点轨迹是椭圆.则甲是乙的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：B 利用椭圆定义，若P点轨迹是椭圆，则｜PA｜＋｜PB｜＝2a（a＞0，a为常数），∴甲是乙的必要条件.反过来，若｜PA｜＋｜PB｜＝2a（a＞0，a为常数），不能推出P点轨迹是椭圆，故选B.
知识点二｜椭圆的标准方程
问题2 （1）如图1，观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
提示：观察图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，得到的椭圆方程最简单.
（2）类比圆的标准方程推导过程，你能利用椭圆定义推导出椭圆的标准方程吗？
提示：根据椭圆的定义，
设焦点F1，F2的坐标分别为（－c，0），（c，0），点M（x，y）是椭圆上任意一点，点M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.即｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a，
因为｜MF1｜＝，
｜MF2｜＝，
所以＋＝2a.
即
＝2a－.
两边平方，得（x＋c）2＋y2＝4a2－4a＋（x－c）2＋y2，
整理得a2－cx＝a，
对方程再两边平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，整理得（a2－c2）x2＋a2y2＝a2（a2－c2），
将方程两边同除以a2（a2－c2），得＋＝1，由椭圆定义可知2a＞2c＞0，即a＞c＞0，所以a2－c2＞0，令b＝，
那么方程就是＋＝1（a＞b＞0）.
（3）如图2，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是（0，－c），（0，c），a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
提示：＋＝1（a＞b＞0）.
【知识梳理】
椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1（a＞b＞0） ＋＝1（a＞b＞0）
图形
焦点坐标 F1（－c，0），F2 （c，0） F1 （0，－c） ，F2（0，c）
焦距 ｜F1F2｜＝ 2c
a，b，c的关系 c2＝ a2－b2
提醒：（1）x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上；（2）在椭圆的标准方程中不一定有a＞b＞c成立，只需a＞b，a＞c即可，b，c的大小关系不确定.
【例2】（链接教材P107例1）求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别为F1（－3，0），F2（3，0），且椭圆上一点M与两焦点的距离和等于10；
解：因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝3，2a＝10，
所以a＝5，b＝＝＝4，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
（2）两个焦点的坐标分别为F1（0，－2），F2（0，2），且椭圆经过点（4，3）；
解：因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）.
法一 由椭圆的定义知2a＝＋＝6＋＋6－＝12，解得a＝6.又c＝2，所以b＝＝4.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
法二 因为所求椭圆过点（4，3），代入方程得＋＝1.又c2＝a2－b2＝4，
联立解得所以椭圆的标准方程为＋＝1.
（3）经过点A（，－2）和点B（－2，1）.
解：法一 ①当椭圆的焦点在x轴上时，设它的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）.
依题意有解得故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
②当椭圆的焦点在y轴上时，设它的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）.
依题意有解得不满足a＞b＞0，故方程不存在.
综上所述，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二 设所求椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），
依题意有解得故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
【规律方法】
求椭圆标准方程的方法
（1）定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出方程；
（2）待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可，即“先定位，后定量”.
提醒：在求椭圆的标准方程时，若焦点的位置不确定，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.
训练2 （1）已知点A（－3，0），B（0，2）在椭圆＋＝1上，则椭圆的标准方程为（ ）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋＝1
解析：B 由题意得解得所以椭圆的标准方程为＋＝1.
（2）求满足过点（，－），且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程.
解：因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）.
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16. ①
又点（，－）在椭圆上，所以＋＝1，
即＋＝1. ②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
提能点｜椭圆的定义与标准方程的简单应用
【例3】（1）已知椭圆＋＝1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，到另一个焦点的距离为7，则m＝（ D ）
A.5 B.10 C.15 D.25
解析：由题意得3＋7＝2，解得m＝25.故选D.
（2）若方程＋＝1表示椭圆，则实数k的取值范围为（ D ）
A.（5，6） B.（5，7）
C.（6，7） D.（5，6）∪（6，7）
解析：由题意知解得5＜k＜7且k≠6，所以实数k的取值范围是（5，6）∪（6，7）.
变式 若本例（2）条件变为“若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆”，则实数k的取值范围为（5，6）.
解析：由题意知解得5＜k＜6.
【规律方法】
由方程表示椭圆确定参数值（范围）时，要根据焦点所在的坐标轴来确定两个分母的大小；若给出椭圆方程为Ax2＋By2＝C，则应首先将其转化为椭圆的标准方程的形式＋＝1，再研究其焦点的位置等情况.
训练3 （1）〔多选〕设P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若△PF1F2是等腰三角形，则｜PF2｜的值可能为（ ABC ）
A.4 B.5
C.6 D.7
解析：由椭圆＋＝1知，F1（－3，0），F2（3，0），｜F1F2｜＝6.①若｜PF1｜＝｜PF2｜，点P是椭圆与y轴的交点，故｜PF2｜＝a＝5.②若｜PF1｜＝｜F1F2｜＝6，由｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝10知，｜PF2｜＝4.③若｜PF2｜＝｜F1F2｜＝6，则｜PF2｜＝6.所以｜PF2｜∈{4，5，6}.故选A、B、C.
（2）（2025·济源质检）已知椭圆方程为kx2＋3y2－6k＝0（k≠0），焦距为4，则k＝1或5.
解析：将方程kx2＋3y2－6k＝0化为＋＝1.∵焦距为4，∴2c＝4，即c＝2.当焦点在x轴上时，6－2k＝4，解得k＝1；当焦点在y轴上时，2k－6＝4，解得k＝5.综上，k＝1或5.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）已知点F1（－1，0），F2（1，0），动点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜＝4，则点P的轨迹是椭圆.（ √ ）
（2）已知点F1（－1，0），F2（1，0），动点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜＝2，则点P的轨迹是椭圆.（ × ）
（3）椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.（ √ ）
（4）方程＋＝1（a＞0，b＞0）表示的曲线是椭圆.（ × ）
2.已知椭圆＋＝1过点（2，），则其焦距为4.
解析：将点（2，）代入椭圆方程得＋＝1，解得b2＝12，则c2＝12－8＝4，c＝2，所以焦距为2c＝4.
3.如果x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（0，1）.
解析：椭圆的方程x2＋ky2＝2可化为＋＝1，∵x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，∴＞2，解得0＜k＜1.∴实数k的取值范围是（0，1）.
4.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）a＋c＝10，a－c＝4；
解：由a＋c＝10，a－c＝4，得a＝7，c＝3，所以b2＝a2－c2＝40.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
（2）与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足b＝2.
解：由9x2＋4y2＝36可得＋＝1，
所以所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝9－4＝5，又b＝2，所以b2＝20，a2＝25，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
课堂小结
1.理清单 （1）椭圆的定义及其应用； （2）椭圆的标准方程的求解及判别. 2.应体会 （1）当椭圆焦点位置不确定时，要注意分类讨论思想的应用； （2）求椭圆的标准方程时体现了函数与方程思想. 3.避易错 （1）椭圆定义中a，b，c的关系易记错记混； （2）焦点在x轴、y轴上的椭圆标准方程易混淆.
1.椭圆＋＝1上任意一点到两焦点的距离之和为（ ）
A.2 B.8
C.2 D.4
解析：B 因为a2＝16，所以椭圆＋＝1上任意一点到两焦点的距离之和为2a＝8.故选B.
2.椭圆4y2＋x2＝1的焦距为（ ）
A. B.
C.2 D.
解析：B 由椭圆的方程4y2＋x2＝1，得a2＝1，b2＝.又由c2＝a2－b2，得c2＝，解得c＝，所以焦距2c＝.故选B.
3.已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是（0，1），则实数k＝（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：B 椭圆方程可化为x2＋＝1，由题意知解得k＝2.
4.中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点（4，0），（0，2）的椭圆的标准方程为（ ）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：D 法一 验证排除，将点（4，0）代入验证可排除A、B、C；故选D.
法二 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），则解得故选D.
5.已知点F是椭圆＋＝1的一个焦点，点P在椭圆上，线段PF的中点为N，且｜ON｜＝2（O为坐标原点），则线段PF的长为（ ）
A.2 B.3
C.4 D.2
解析：A 设椭圆的另一个焦点为F'，连接PF'（图略），则ON PF'，所以PF'＝4，又PF'＋PF＝6，所以PF＝2.
6.〔多选〕对于曲线C：＋＝1，下面四个说法中正确的是（ ）
A.曲线C不可能是椭圆
B.“1＜k＜4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件
C.“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件
D.“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1＜k＜2.5”的充要条件
解析：CD 当1＜k＜4且k≠2.5时，曲线C是椭圆，所以A错误；当k＝2.5时，4－k＝k－1，此时曲线C是圆，所以B错误；若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则解得2.5＜k＜4，所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件，所以C正确；若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得1＜k＜2.5，所以D正确.故选C、D.
7.〔多选〕（2025·周口月考）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，点M在椭圆C上，且△F1MF2是等边三角形，则椭圆C的方程可能为（ ）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：ACD 因为△F1MF2是等边三角形，所以｜MF1｜＝｜MF2｜，所以点M在坐标轴上，∠MF1F2＝60°，所以＝sin 60°，则＝，椭圆C的焦点可以在x轴或y轴上，＋＝1，＋＝1，＋＝1满足条件.故选A、C、D.
8.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则｜MF1｜·｜MF2｜的最大值为9.
解析：由椭圆C：＋＝1，得｜MF1｜＋｜MF2｜＝2×3＝6，则｜MF1｜·｜MF2｜≤（）2＝32＝9，当且仅当｜MF1｜＝｜MF2｜＝3时等号成立.
9.已知椭圆的方程为＋＝1（m＞0），并且焦距为6，则实数m的值为4或.
解析：∵2c＝6，∴c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的方程知a2＝25，b2＝m2.由a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m＞0，故m＝4.当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的方程知a2＝m2，b2＝25.由a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m＞0，故m＝.综上可知，实数m的值为4或.
10.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在x轴上，中心为坐标原点，经过点（1，），（0，－）；
（2）以点F1（－1，0），F2（1，0）为焦点，经过点P（2，）；
（3）过P（，－4）和Q（－，3）两点.
解：（1）设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0），
由题意有解得
故椭圆的标准方程为＋＝1.
（2）设椭圆的标准方程为＋＝1（m＞n＞0），焦距为2c0.由题意知c0＝1，｜PF1｜＝＝，｜PF2｜＝＝，
有m＝＝＝，n＝＝2，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
（3）设经过点P（，－4）和点Q（－，3）的椭圆的方程为px2＋qy2＝1（p＞0，q＞0，p≠q），将P，Q两点的坐标代入得，解得所以所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
11.（2025·开封月考）椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为（ ）
A.± B.± C.± D.±
解析：D ∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点（F2为椭圆的另一个焦点），∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3，∵点P在椭圆上，∴＋＝1，即y2＝，∴y＝±.∴点M的纵坐标为±.
12.（2025·泰安质检）在平面直角坐标系Oxy中，已知△ABC的顶点A（－3，0）和C（3，0），顶点B在椭圆＋＝1上，则＝（ ）
A. B. C. D.1
解析：C 由椭圆的方程得a＝5，b＝4，c＝3.∵△ABC的顶点A（－3，0）和C（3，0），顶点B在椭圆＋＝1上，∴｜BC｜＋｜AB｜＝2a＝10，∴由正弦定理可知＝＝＝.
13.已知椭圆C：＋＝1（m＞4）的右焦点为F，点A（－2，2）为椭圆C内一点.若椭圆C上存在一点P，使得｜PA｜＋｜PF｜＝8，则实数m的取值范围是（6＋2，25].
解析：由题知椭圆C的右焦点为F（2，0），设左焦点为F'（－2，0），由椭圆的定义可得2＝｜PF｜＋｜PF'｜，即｜PF'｜＝2－｜PF｜，可得｜PA｜－｜PF'｜＝8－2.由｜｜PA｜－｜PF'｜｜≤｜AF'｜＝2可得－2≤8－2≤2，解得3≤≤5，所以9≤m≤25.又因为点A在椭圆C内，所以＋＜1，所以8m－16＜m（m－4），解得m＜6－2或m＞6＋2.综上，实数m的取值范围是（6＋2，25].
14.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）过点A（3，2）且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同的焦点；
（2）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（－1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.
解：（1）椭圆方程3x2＋8y2＝24可化为＋＝1，可得c＝，其焦点为（±，0），
设所求椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0），将点A（3，2）的坐标代入椭圆方程，
可得＋＝1，结合a2－b2＝5，解得a＝，b＝，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
（2）由题意，因为P3，P4两点关于y轴对称，所以椭圆C经过P3，P4两点，
又由P1（1，1），P4（1，）知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上，
因此解得所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
15.某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示.
（1）求曲线C的标准方程；
（2）某日，研究人员在A，B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置（即点P的坐标）？
解：（1）由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a＝8的椭圆，又2c＝4，则c＝2，a＝4，故b＝2，
∴曲线C的标准方程为＋＝1.
（2）由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，因此鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群距A，B两岛的距离分别为5海里和3海里，设P（x，y），B（2，0），由｜PB｜＝3，得＝3，
∴解得或∴点P的坐标为（2，3）或（2，－3）.
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