第二课时 双曲线及其标准方程（二）
课标要求
1.能灵活应用双曲线的定义及标准方程解决焦点三角形问题（直观想象、数学运算）. 2.能熟练地求与双曲线有关的轨迹方程（逻辑推理、数学运算）. 3.会解决与双曲线的定义和标准方程有关的实际问题（数学建模、数学运算）.
知识点一｜双曲线中的焦点三角形问题
问题 （1）与椭圆一样，双曲线也有焦点三角形，思考一下，它的三边有哪些关系？
（2）在椭圆中有焦点三角形面积公式S＝b2tan，那么在双曲线中此公式还适用吗？
【例1】 （1）若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝120°，则△F1PF2的面积为（ ）
A. B.
C.8 D.16
（2）设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，｜PF1｜＝3｜PF2｜，则∠F1PF2的大小为（ ）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
变式 若将本例（1）中的“∠F1PF2＝120°”改为“｜PF2｜∶｜PF1｜＝2∶5”，则△F1PF2的面积为 .
【规律方法】
在焦点三角形中，常利用正弦定理、余弦定理，结合｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，运用平方的方法，建立与｜PF1｜·｜PF2｜的联系，求解｜PF1｜和｜PF2｜的值，△PF1F2的周长与面积等问题.
训练1 （1）已知有相同焦点F1，F2的椭圆＋y2＝1（m＞1）和双曲线－y2＝1（n＞0），P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.以上均有可能
（2）已知双曲线C：x2－＝1的右焦点为F，P是双曲线C左支上一点，M（0，2），则△PFM的周长的最小值为 .
知识点二｜与双曲线有关的轨迹问题
【例2】 如图，在△ABC中，已知｜AB｜＝4，O为线段AB的中点，且三内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，试求顶点C的轨迹方程.
【规律方法】
与曲线有关的轨迹问题的求解步骤
第一步：根据题设建立适当的平面直角坐标系，并结合图形灵活运用条件确定动点满足的等量关系式；
第二步：根据动点满足的等量关系式的几何意义，结合有关曲线的定义确定轨迹的形状；
第三步：确定曲线方程中的参数并写出方程；
第四步：验证所得到的曲线方程是否满足题意.
训练2 （1）在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A（－3，0），B（3，0），其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为（ ）
A.－＝1（x＞2）
B.－＝1（x＞3）
C.＋＝1（0＜x＜2）
D.＋＝1（0＜x＜3）
（2）设P为双曲线－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程为 .
知识点三｜双曲线的实际应用
【例3】 由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航.某日，甲舰在乙舰正东方向6 km处，丙舰在乙舰北偏西30°方向，相距4 km处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？
【规律方法】
利用双曲线解决实际问题的步骤
（1）建立适当的坐标系；
（2）求出双曲线的标准方程；
（3）根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题（注意实际意义）.
训练3 如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是 km.
1.相距4k千米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒k千米，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是（ ）
A.双曲线的一支 B.双曲线
C.椭圆 D.圆
2.设点P在双曲线－＝1上，F1，F2为双曲线的两个焦点，且｜PF1｜∶｜PF2｜＝1∶3，则△F1PF2的周长等于（ ）
A.10 B.20
C.22 D.25
3.已知点A（0，2），B（0，－2），C（3，2），若动点M（x，y）满足｜MA｜＋｜AC｜＝｜MB｜＋｜BC｜，则点M的轨迹方程为 .
4.已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线上，且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为 .
课堂小结
1.理清单 （1）双曲线的焦点三角形问题； （2）与双曲线有关的轨迹问题； （3）双曲线的实际应用问题. 2.应体会 求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程. 3.避易错 应检验所求的轨迹对应的双曲线是双曲线的一支还是两支.
提示：完成课后作业 第三章 3.2 3.2.1 第二课时
3 / 3第二课时 双曲线及其标准方程（二）
课标要求
1.能灵活应用双曲线的定义及标准方程解决焦点三角形问题（直观想象、数学运算）. 2.能熟练地求与双曲线有关的轨迹方程（逻辑推理、数学运算）. 3.会解决与双曲线的定义和标准方程有关的实际问题（数学建模、数学运算）.
知识点一｜双曲线中的焦点三角形问题
问题 （1）与椭圆一样，双曲线也有焦点三角形，思考一下，它的三边有哪些关系？
提示：①｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a.
②｜MF1｜2＋｜MF2｜2－2｜MF1｜｜MF2｜·cos θ＝4c2.
（2）在椭圆中有焦点三角形面积公式S＝b2tan，那么在双曲线中此公式还适用吗？
提示：不适用.双曲线中焦点三角形的面积公式为S＝.
【例1】（1）若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝120°，则△F1PF2的面积为（ A ）
A. B.
C.8 D.16
解析：法一 由双曲线的定义和余弦定理得，｜PF1｜－｜PF2｜＝±6，｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜cos 120°＝（｜PF1｜－｜PF2｜）2＋3｜PF1｜·｜PF2｜，即100＝36＋3｜PF1｜·｜PF2｜，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝，则＝｜PF1｜·｜PF2｜sin∠F1PF2＝××＝.
法二 ＝＝＝.
（2）设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，｜PF1｜＝3｜PF2｜，则∠F1PF2的大小为（ C ）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
解析：根据双曲线的定义得｜PF1｜－｜PF2｜＝4，又因为｜PF1｜＝3｜PF2｜，所以｜PF1｜＝6，｜PF2｜＝2.又因为｜F1F2｜＝2，所以在△F1PF2中结合余弦定理的推论得，cos∠F1PF2＝＝，因为0°＜∠F1PF2＜180°，所以∠F1PF2＝60°.故选C.
变式 若将本例（1）中的“∠F1PF2＝120°”改为“｜PF2｜∶｜PF1｜＝2∶5”，则△F1PF2的面积为8.
解析：由｜PF2｜∶｜PF1｜＝2∶5，｜PF1｜－｜PF2｜＝6，可知｜PF1｜＝10，｜PF2｜＝4，所以＝×｜PF2｜×＝×4×＝8.
【规律方法】
在焦点三角形中，常利用正弦定理、余弦定理，结合｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，运用平方的方法，建立与｜PF1｜·｜PF2｜的联系，求解｜PF1｜和｜PF2｜的值，△PF1F2的周长与面积等问题.
训练1 （1）已知有相同焦点F1，F2的椭圆＋y2＝1（m＞1）和双曲线－y2＝1（n＞0），P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（ B ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.以上均有可能
解析：因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝2，｜PF1｜－｜PF2｜＝±2，又m－1＝n＋1，所以｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝2（m＋n）＝4（m－1）＝｜F1F2｜2，所以△F1PF2是直角三角形.
（2）已知双曲线C：x2－＝1的右焦点为F，P是双曲线C左支上一点，M（0，2），则△PFM的周长的最小值为2＋4.
解析：设双曲线C的左焦点为F1，则｜PF｜－｜PF1｜＝2a，由题可知a＝1，c＝2，所以｜PF｜＝2＋｜PF1｜，F1（－2，0），F（2，0），所以｜MF｜＝2，△PFM的周长为｜MF｜＋｜MP｜＋｜PF｜＝2＋2＋｜MP｜＋｜PF1｜.当M，P，F1三点共线时，｜MP｜＋｜PF1｜取最小值，最小值为｜MF1｜＝2，所以△PFM的周长的最小值为2＋4.
知识点二｜与双曲线有关的轨迹问题
【例2】如图，在△ABC中，已知｜AB｜＝4，O为线段AB的中点，且三内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，试求顶点C的轨迹方程.
解：由题意得A（－2，0），B（2，0）.由正弦定理，得sin A＝，sin B＝，sin C＝（R为△ABC的外接圆半径）.∵2sin A＋sin C＝2sin B，
∴2｜BC｜＋｜AB｜＝2｜AC｜，即｜AC｜－｜BC｜＝＝2＜｜AB｜.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支（除去与x轴的交点）.
由题意，设所求轨迹方程为－＝1（x＞a），
∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6.
即所求轨迹方程为－＝1（x＞）.
【规律方法】
与曲线有关的轨迹问题的求解步骤
第一步：根据题设建立适当的平面直角坐标系，并结合图形灵活运用条件确定动点满足的等量关系式；
第二步：根据动点满足的等量关系式的几何意义，结合有关曲线的定义确定轨迹的形状；
第三步：确定曲线方程中的参数并写出方程；
第四步：验证所得到的曲线方程是否满足题意.
训练2 （1）在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A（－3，0），B（3，0），其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为（ A ）
A.－＝1（x＞2）
B.－＝1（x＞3）
C.＋＝1（0＜x＜2）
D.＋＝1（0＜x＜3）
解析：如图，设△ABC与其内切圆的切点分别为D，E，F，则有｜AD｜＝｜AE｜＝5，｜BF｜＝｜BE｜＝1，｜CD｜＝｜CF｜，所以｜CA｜－｜CB｜＝5－1＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外），即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，所以顶点C的轨迹方程为－＝1（x＞2）.
（2）设P为双曲线－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程为x2－4y2＝1.
解析：设M（x，y），P（x0，y0），则即又－＝1，则－（2y）2＝1，整理得x2－4y2＝1，即点M的轨迹方程为x2－4y2＝1.
知识点三｜双曲线的实际应用
【例3】由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航.某日，甲舰在乙舰正东方向6 km处，丙舰在乙舰北偏西30°方向，相距4 km处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？
解：设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A（3，0），B（－3，0），C（－5，2）.
∵｜PB｜＝｜PC｜，∴点P在线段BC的垂直平分线上，
又易知kBC＝－，线段BC的中点D（－4，），
∴直线PD的方程为y－＝（x＋4）， ①
又｜PB｜－｜PA｜＝4＜6＝｜AB｜，
∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a＝2，c＝3，∴b2＝c2－a2＝5，
∴商船的轨迹方程为－＝1（x≥2）， ②
联立①②，得点P坐标为（8，5），
∴kPA＝＝，因此甲舰行进的方向角为北偏东30°.
【规律方法】
利用双曲线解决实际问题的步骤
（1）建立适当的坐标系；
（2）求出双曲线的标准方程；
（3）根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题（注意实际意义）.
训练3 如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是2－2km.
解析：如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.则A（－2，0），B（2，0），｜DA｜－｜DB｜＝2，根据双曲线定义知，点D的轨迹（即曲线PQ）为双曲线的右支.故2c＝4，c＝2，2a＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3，故轨迹方程为x2－＝1（x≥1）.根据题意知C（3，），｜MB｜＋｜MC｜＝｜MA｜＋｜MC｜－2≥｜AC｜－2＝2－2.当且仅当A，M，C三点共线时，等号成立，故两条公路MB，MC的路程之和最短是2－2 km.
1.相距4k千米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒k千米，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是（ ）
A.双曲线的一支 B.双曲线
C.椭圆 D.圆
解析：B 由已知可得｜｜PA｜－｜PB｜｜＝2k＜4k＝｜AB｜，根据双曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点的双曲线上，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是双曲线.
2.设点P在双曲线－＝1上，F1，F2为双曲线的两个焦点，且｜PF1｜∶｜PF2｜＝1∶3，则△F1PF2的周长等于（ ）
A.10 B.20
C.22 D.25
解析：C 由题意知｜F1F2｜＝2＝10，｜｜PF2｜－｜PF1｜｜＝6，又｜PF1｜∶｜PF2｜＝1∶3，∴｜PF1｜＝3，｜PF2｜＝9，故△F1PF2的周长为3＋9＋10＝22.
3.已知点A（0，2），B（0，－2），C（3，2），若动点M（x，y）满足｜MA｜＋｜AC｜＝｜MB｜＋｜BC｜，则点M的轨迹方程为y2－＝1（y≤－1）.
解析：设M（x，y），因为｜MA｜＋｜AC｜＝｜MB｜＋｜BC｜，故｜MA｜＋3＝｜MB｜＋，即｜MA｜－｜MB｜＝2＜4.故点M（x，y）的轨迹是以A（0，2），B（0，－2）为焦点的双曲线的下支，且a＝1，c＝2.故b2＝c2－a2＝3.故方程为y2－＝1（y≤－1）.
4.已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线上，且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为.
解析：由题可得，a2＝6，b2＝3，c2＝a2－b2＝9，所以F1（－3，0），F2（3，0），设M（－3，yM），则－＝1，解得yM＝±，由于对称性，不妨取M（－3，），所以｜MF1｜＝.根据双曲线的定义可得｜MF2｜－｜MF1｜＝2a＝2，解得｜MF2｜＝，设F1到直线F2M的距离为d，在Rt△MF1F2中，×｜MF1｜×｜F1F2｜＝×｜MF2｜×d，所以d＝.
课堂小结
1.理清单 （1）双曲线的焦点三角形问题； （2）与双曲线有关的轨迹问题； （3）双曲线的实际应用问题. 2.应体会 求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程. 3.避易错 应检验所求的轨迹对应的双曲线是双曲线的一支还是两支.
1.设定点F1（0，－3），F2（0，3），动点P（x，y）满足条件｜PF1｜－｜PF2｜＝4，则动点P的轨迹是（ ）
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.不存在
D.双曲线或线段或不存在
解析：B 因为定点F1（0，－3），F2（0，3），动点P（x，y）满足条件｜PF1｜－｜PF2｜＝4＜｜F1F2｜，所以根据双曲线的定义及｜PF1｜＝4＋｜PF2｜＞｜PF2｜，可知动点P的轨迹是双曲线的一支，故选B.
2.已知F1，F2是双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，点P在C上，且PF2⊥x轴，则∠PF1F2＝（ ）
A. B.
C. D.
解析：A 由题意得a＝1，b＝，c＝，当x＝时，y＝±2，故｜PF2｜＝2.｜F1F2｜＝2，所以tan∠PF1F2＝＝，又∠PF1F2∈（0，），所以∠PF1F2＝.故选A.
3.设F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，点P在双曲线C的右支上，当｜PF1｜＝6时，△PF1F2的面积为（ ）
A.4 B.3
C. D.6
解析：B 因为双曲线C：x2－＝1，所以a＝1，b＝，c＝2，又点P在双曲线C的右支上，｜PF1｜＝6，所以｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，即6－｜PF2｜＝2，所以｜PF2｜＝4，又｜F1F2｜＝2c＝4，所以△PF1F2面积为×6×＝3.故选B.
4.地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失.根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中，两地震台A站和B站相距10 km.根据它们收到的信息，可知震中到B站与震中到A站的距离之差为6 km.据此可以判断，震中到地震台B站的距离至少为（ ）
A.8 km B.6 km C.4 km D.2 km
解析：A 设震中为P，依题意有｜PB｜－｜PA｜＝6＜｜AB｜＝10，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线靠近A的一支，因为｜PA｜＋｜PB｜≥｜AB｜＝10，当且仅当A，P，B三点共线时取等号，所以｜PB｜－6＋｜PB｜≥10，所以｜PB｜≥8，所以震中到地震台B站的距离至少为8 km.
5.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的焦点分别为F1（－5，0），F2（5，0），P为双曲线C上一点，PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝，则双曲线C的标准方程为（ ）
A.x2－＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：A ∵F1（－5，0），F2（5，0），∴c＝5，｜F1F2｜＝10.∵PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝，∴cos∠PF1F2＝＝，∴｜PF1｜＝8，｜PF2｜＝6.由双曲线的定义可知，｜PF1｜－｜PF2｜＝2＝2a，∴a＝1，∴b2＝c2－a2＝25－1＝24.∴双曲线C的标准方程为x2－＝1.故选A.
6.〔多选〕（2025·莆田质检）数缺形时少直观，形少数时难入微.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间的距离的几何问题.结合上述观点，可得方程｜－｜＝2的解为（ ）
A.x＝ B.x＝
C.x＝－ D.x＝－
解析：AC 由｜－｜＝2得｜－｜＝2.其几何意义为平面内一点（x，1）与两定点（－2，0），（2，0）距离之差的绝对值为2.平面内与两定点（－2，0），（2，0）距离之差的绝对值为2的点的轨迹是双曲线.设该双曲线的方程为－＝1（a＞0，b＞0），则解得所以该双曲线的方程是x2－＝1.由解得x＝±.故选A、C.
7.〔多选〕设F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，P为C上一点且｜PF1｜＝2｜PF2｜，则点P的纵坐标为（ ）
A.－2 B.－
C.2 D.
解析：AC 根据题意可知，a＝1，b＝，c＝，由｜PF1｜＝2｜PF2｜以及｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＝2可得｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，又｜F1F2｜＝2c＝2，由于｜PF1｜2＝｜PF2｜2＋｜F1F2｜2，故PF2⊥F1F2，即△PF1F2为直角三角形，将x＝代入x2－＝1得｜y｜＝2，故点P的纵坐标为2或－2.故选A、C.
8.已知动点M与两定点A（－1，0），B（1，0）构成△MAB，且直线MA，MB的斜率之积为4.设动点M的轨迹为C，则轨迹C的方程为x2－＝1（y≠0）.
解析：设点M的坐标为（x，y），当x＝－1时，直线MA的斜率不存在；当x＝1时，直线MB的斜率不存在.于是x≠1且x≠－1.此时，直线MA的斜率为，直线MB的斜率为.由题意有·＝4，化简得x2－＝1，因为x≠1且x≠－1，即y≠0，所以轨迹C的方程为x2－＝1（y≠0）.
9.已知双曲线C：x2－＝1（m＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l经过F2且与C的右支相交于A，B两点，若｜AB｜＝2，则△ABF1的周长为8.
解析：由x2－＝1（m＞0）得a＝1，由双曲线的定义，可得｜AF1｜－｜AF2｜＝2a＝2，｜BF1｜－｜BF2｜＝2a＝2，所以｜AF1｜＝2＋｜AF2｜，｜BF1｜＝2＋｜BF2｜，则△ABF1的周长为｜AF1｜＋｜BF1｜＋｜AB｜＝｜AF2｜＋｜BF2｜＋6＝｜AB｜＋6＝8.
10.设动圆M的半径为r，分别求满足下列条件的圆心M的轨迹方程：
（1）与圆C：（x＋2）2＋y2＝2内切，且过点A（2，0）；
（2）与圆C1：（x＋3）2＋y2＝9外切，且与圆C2：（x－3）2＋y2＝1内切.
解：（1）连接MC，MA（图略），∵圆C与圆M内切，点A在圆C外，∴｜MC｜＝r－，｜MA｜＝r，∴｜MA｜－｜MC｜＝，即动点M到两定点A（2，0），C（－2，0）的距离之差为常数，且＜｜AC｜＝4，∴点M的轨迹是以C，A为焦点的双曲线的左支，∴点M的轨迹方程是2x2－＝1（x≤－）.
（2）连接MC1，MC2（图略），∵圆M与圆C1外切，且圆M与圆C2内切，∴｜MC1｜＝r＋3，｜MC2｜＝r－1，∴｜MC1｜－｜MC2｜＝4＜｜C1C2｜＝6，∴点M的轨迹是以C1（－3，0），C2（3，0）为焦点的双曲线的右支，∴点M的轨迹方程是－＝1（x≥2）.
11.半径不等的两定圆O1，O2无公共点（O1，O2是两个不同的点），动圆O与圆O1，O2都内切，则圆心O的轨迹是（ ）
A.双曲线的一支
B.椭圆或圆
C.双曲线的一支或椭圆或圆
D.双曲线的一支或椭圆
解析：D 两定圆O1，O2无公共点，则它们的位置关系是外离或内含.设两定圆O1，O2的半径分别为r1，r2（r1＞r2），圆O的半径为R.又圆O与圆O1，O2都内切，则当两圆O1，O2外离时，｜OO1｜＝R－r1，｜OO2｜＝R－r2，∴｜OO2｜－｜OO1｜＝r1－r2＜｜O1O2｜，此时圆心O的轨迹是双曲线的一支；当两圆O1，O2内含时，｜OO1｜＝r1－R，｜OO2｜＝R－r2，∴｜OO2｜＋｜OO1｜＝r1－r2＞｜O1O2｜，此时圆心O的轨迹是椭圆.故选D.
12.〔多选〕已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的一点，∠PF1F2＝30°，I是△PF1F2的内心，则下列结论正确的是（ ）
A.△PF1F2是直角三角形
B.点I的横坐标为1
C.｜PI｜＝2－2
D.△PF1F2的内切圆的面积为π
解析：ABC 由已知可得，｜PF1｜－｜PF2｜＝2，｜F1F2｜＝2，设｜PF2｜＝x，｜PF1｜＝x＋2，则cos∠PF1F2＝＝，得x＝2，所以｜PF2｜＝2，｜PF1｜＝4，即｜PF2｜2＋｜F1F2｜2＝｜PF1｜2，所以PF2⊥F1F2，所以A正确；设内切圆半径为r，则·（｜PF1｜＋｜PF2｜＋｜F1F2｜）·r＝·｜PF2｜·｜F1F2｜，得r＝－1，所以点I的横坐标为－（－1）＝1，内切圆的面积为S＝π·（－1）2＝（4－2）π，所以B正确，D错误；不妨设点P在第一象限，则P（，2），I（1，－1），所以｜PI｜＝＝2（－1）＝2－2，所以C正确.故选A、B、C.
13.双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，点P在该双曲线上，且∠F1PF2＝，则点P到x轴的距离为.
解析：由双曲线的定义得｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝6，平方得｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜＝36，又因为∠F1PF2＝，所以由勾股定理得｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2＝4c2＝4（a2＋b2）＝100，代入｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜＝36，解得｜PF1｜·｜PF2｜＝32，因为＝｜PF1｜·｜PF2｜＝｜F1F2｜×｜yP｜，所以｜yP｜＝，所以点P到x轴的距离为｜yP｜＝.
14.（2025·苏州质检）已知双曲线过点（3，－2）且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若点M在双曲线上，F1，F2分别为左、右焦点，且｜MF1｜＋｜MF2｜＝6，试判断△MF1F2的形状.
解：（1）椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，故设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0），
则有解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
（2）不妨设M点在右支上，则有｜MF1｜－｜MF2｜＝2，
又｜MF1｜＋｜MF2｜＝6，
故解得｜MF1｜＝4，｜MF2｜＝2，
又｜F1F2｜＝2，
因此在△MF1F2中，边MF1最长，
而cos∠MF2F1＝
＜0，
所以∠MF2F1为钝角.
故△MF1F2为钝角三角形.
15.（2025·南京质检）在一次军事演习中，某时刻三艘舰艇呈“品”字形列阵（此时舰艇可视作静止的点），如图中的点A，B，C，且OA＝OB＝OC＝3，假设敌舰艇在某处发出信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早秒（注：v0为信号传播速度），C处舰艇保持静默.
（1）建立适当的坐标系，并求敌舰艇所有可能出现的位置的轨迹方程；
（2）在A，B两处的舰艇对敌舰艇攻击后，C处舰艇派出无人机到敌舰艇处观察攻击效果，则无人机飞行的最小距离是多少？
解：（1）如图，以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.设敌舰艇的位置为P（x，y），
由题意可知｜PB｜－｜PA｜＝v0·＝4＜｜AB｜＝6.
由双曲线的定义可知，敌舰艇的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支，
且2a＝4，c＝3，所以b＝.所以敌舰艇的轨迹方程为－＝1（x≤－2）.
（2）设方程－＝1（x≤－2）上一点M（x0，y0），
由题意知－＝1（x0≤－2），
即＝4＋，又C（0，3），
所以｜MC｜＝
＝
＝
＝（y0∈R），
所以当y0＝时，｜MC｜min＝2，即无人机飞行的最小距离是2.
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