第一课时 双曲线及其标准方程（一）
课标要求
1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用（数学抽象）.
2.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程（逻辑推理、数学运算）.
3.掌握双曲线的标准方程及其求法（数学运算）.
情境导入
双曲线是一种很优美的曲线，就好像人的身形一样婉转婀娜.在实际生活中，双曲线也有着广泛的应用，例如很多工程建筑就是仿照双曲线的外形特点而设计，在兼具美学的情况下又保证了建筑物的坚实程度.我们已经学习过椭圆的相关知识，那么双曲线又有着怎样的定义、方程与几何性质呢？让我们慢慢揭开它的神秘面纱吧！
知识点一｜双曲线的定义
问题1 如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在拉链的拉手M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么条件？
提示：双曲线.曲线上的点满足条件：｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝常数，且常数小于｜F1F2｜.
【知识梳理】
1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的 差的绝对值 等于非零常数（小于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做双曲线.
2.符号表示：｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝ 2a （常数），且0＜2a＜｜F1F2｜.
3.焦点：两个定点 F1，F2 .
4.焦距： 两焦点间 的距离，表示为｜F1F2｜.
提醒：（1）常数要小于两个定点的距离；（2）如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支；（3）当2a＝｜F1F2｜时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线（包括端点）；（4）当2a＞｜F1F2｜时，动点的轨迹不存在；（5）当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线.
【例1】已知点F1（－5，0），F2（5，0），动点P满足｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，当a＝0和3时，点P的轨迹分别为（ ）
A.一条射线、双曲线
B.一条射线、双曲线一支
C.线段F1F2的垂直平分线、双曲线
D.线段F1F2的垂直平分线、双曲线一支
解析：D 由题意得｜F1F2｜＝10，当a＝0时，｜PF1｜＝｜PF2｜，故点P的轨迹为线段F1F2的垂直平分线；当a＝3时，2a＝6＜｜F1F2｜，故点P的轨迹为双曲线的一支.故选D.
【规律方法】
双曲线的定义中，距离的差要加绝对值，否则只表示双曲线的一支.
训练1 （1）已知F1（－8，3），F2（2，3），动点P满足｜PF1｜－｜PF2｜＝10，则P点的轨迹是（ D ）
A.双曲线 B.双曲线的一支
C.直线 D.一条射线
解析：F1，F2是定点，且｜F1F2｜＝10，所以满足条件｜PF1｜－｜PF2｜＝10的点P的轨迹应为一条射线.
（2）平面内动点P到两定点F1（－2，0），F2（2，0）的距离之差为m，若动点P的轨迹是双曲线，则m的取值范围是（ D ）
A.（－4，＋∞） B.（4，＋∞）
C.（－4，4） D.（－4，0）∪（0，4）
解析：由双曲线的定义可得，｜m｜＜4且m≠0，解得m∈（－4，0）∪（0，4）.
知识点二｜双曲线的标准方程
问题2 （1）类比求椭圆标准方程的过程，如何建立适当的坐标系，才能使得到的双曲线方程更简单？
提示：观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy，得到的双曲线方程最简单.
（2）设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，c＞0.试根据上面所建立的坐标系，推导双曲线的标准方程.
提示：设F1，F2的坐标分别是（－c，0），（c，0），P（x，y）是双曲线上一点，则｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a（a为大于0的常数），
因为｜PF1｜＝，
｜PF2｜＝，
所以－
＝±2a， ①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①得（c2－a2）·x2－a2y2＝a2（c2－a2），两边同除以a2（c2－a2），得－＝1.
由双曲线的定义知2c＞2a，即c＞a，所以c2－a2＞0，
类比椭圆标准方程的建立过程，
令b2＝c2－a2，其中b＞0，代入上式，得－＝1（a＞0，b＞0）.
【知识梳理】
双曲线的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 －＝1 （a＞0，b＞0） －＝1 （a＞0，b＞0）
图形
焦点坐标 F1（－c，0），F2 （c，0） F1 （0，－c） ，F2（0，c）
焦距 ｜F1F2｜＝ 2c
a，b，c的关系 c2＝ a2＋b2
提醒：（1）若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上.记忆口诀：“焦点跟着正项走”；（2）a与b没有大小关系.
角度1 双曲线标准方程的认识
【例2】已知－＝－1，当k为何值时：
（1）方程表示双曲线？
解：原方程可变形为－＝1.
要使方程表示双曲线，必须满足（｜k｜－3）（1－k）＞0.
即或解得k＜－3或1＜k＜3.
（2）方程表示焦点在x轴上的双曲线？
解：若方程表示焦点在x轴上的双曲线，
则解得1＜k＜3.
【规律方法】
方程表示双曲线的条件
（1）对于方程＋＝1，当mn＜0时表示双曲线，进一步，当m＞0，n＜0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＞0时表示焦点在y轴上的双曲线；
（2）对于方程－＝1，当mn＞0时表示双曲线，且当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＜0时表示焦点在y轴上的双曲线.
角度2 求双曲线的标准方程
【例3】根据下列条件，求双曲线的标准方程：
（1）左、右焦点分别为F1（－5，0），F2（5，0），且双曲线上一点P满足｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝8；
解：由题意c＝5，｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝8，a＝4，所以b＝＝3，所以双曲线的标准方程为－＝1.
（2）与双曲线－＝1有公共焦点，且过点（3，2）；
解：法一 设双曲线的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0），由题意得c＝2.
又双曲线过点（3，2），
所以－＝1， ①
又a2＋b2＝20， ②
由①②得a2＝12，b2＝8，故双曲线的标准方程为－＝1.
法二 设双曲线的方程为－＝1（－4＜k＜16），将点（3，2）代入得k＝4.
故双曲线的标准方程为－＝1.
（3）过点P（3，），Q（－，5）且焦点在坐标轴上.
解：设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB＜0.
因为点P，Q在双曲线上，
所以解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
【规律方法】
求双曲线标准方程的两个关注点
提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论.也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn＜0.
训练2 （1）（2025·聊城月考）椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a＝1；
解析：由双曲线方程知，焦点在x轴上，且c2＝a＋2（a＞0）.由椭圆方程，知c2＝4－a2，所以a＋2＝4－a2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2（舍去）.所以a＝1.
（2）（2025·常州质检）若圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为－＝1.
解析：将x＝0代入x2＋y2－4x－9＝0，得y2＝9，即y＝±3.所以点A，B的坐标分别为（0，－3），（0，3）.因为A，B两点都在双曲线上，且将此双曲线的焦距三等分，所以双曲线焦点在y轴上且解得所以双曲线方程为－＝1.
提能点｜双曲线定义与标准方程的简单应用
【例4】 （1）已知F1、F2分别是双曲线C：－y2＝1（a＞0）的左、右焦点，且C上存在点P使得｜PF1｜＝4｜PF2｜，则实数a的取值范围是［，＋∞）；
解析：因为｜PF1｜＝4｜PF2｜，双曲线C：－y2＝1（a＞0），又｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，所以｜PF1｜＝，｜PF2｜＝，又＝｜PF1｜＋｜PF2｜≥｜F1F2｜＝2c＝2，解得a≥，即实数a的取值范围是［，＋∞）.
（2）已知F是双曲线－y2＝1的左焦点，P是双曲线右支上一动点，定点M（4，3），则｜PM｜＋｜PF｜的最小值是＋2.
解析：设双曲线－y2＝1的右焦点为F'，则F（－2，0），F'（2，0），由P是双曲线右支上一动点，根据定义得｜PF｜－｜PF'｜＝2a＝2，即｜PF｜＝｜PF'｜＋2，故｜PM｜＋｜PF｜＝｜PM｜＋｜PF'｜＋2≥｜MF'｜＋2＝＋2＝＋2.
【规律方法】
1.已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离.
2.设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0），F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，Q（x0，y0）为平面上一定点，M为双曲线右支上任意一点.
（1）若定点Q（x0，y0）与双曲线右焦点F2在双曲线右支的同侧，则｜MQ｜＋｜MF2｜的最小值是｜QF1｜－2a，最大值不存在；
（2）若定点Q（x0，y0）与双曲线右焦点F2在双曲线右支的异侧，则｜MQ｜＋｜MF2｜的最小值是｜QF2｜，最大值不存在.
训练3 （1）已知P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，且｜PF1｜＝17，则｜PF2｜＝（ B ）
A.30 B.33
C.35 D.42
解析：由题意得a＝8，b＝6，c＝10，由双曲线的图象可得点P到右焦点F2的距离d≥c－a＝2.因为｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝16，又｜PF1｜＝17，所以｜PF2｜＝1（舍去）或｜PF2｜＝33.故选B.
（2）已知双曲线C：－＝1，F1，F2是其左、右焦点.圆E：x2＋y2－4y＋3＝0，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则｜PF1｜＋｜PQ｜的最小值为5＋2.
解析：由题意，F1（－4，0），F2（4，0），E（0，2），圆E的半径r＝1，由点P为双曲线C右支上的动点知｜PF1｜＝｜PF2｜＋6，所以｜PF1｜＋｜PQ｜＝｜PF2｜＋｜PQ｜＋6，所以（｜PF1｜＋｜PQ｜）min＝（｜PF2｜＋｜PQ｜）min＋6＝｜F2E｜－r＋6＝2－1＋6＝5＋2.
1.已知M（－2，0），N（2，0），｜PM｜－｜PN｜＝4，则动点P的轨迹是（ ）
A.双曲线 B.双曲线左支
C.一条射线 D.双曲线右支
解析：C 因为｜PM｜－｜PN｜＝4＝｜MN｜，所以动点P的轨迹是一条射线.故选C.
2.若方程＋＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是（ ）
A.k＜1 B.k＞4
C.1＜k＜4 D.k＜1或k＞4
解析：C 根据题意有（k－1）（k－4）＜0，所以1＜k＜4.故选C.
3.若椭圆＋＝1（m＞0）与双曲线－＝1有相同的焦点，则m＝ .
答案：1
解析：双曲线－＝1的焦点在x轴上，依题意，0＜m2＜4，即0＜m＜2，又＝，解得m＝1，所以m＝1.
4.（1）以椭圆＋＝1的长轴端点为焦点，且经过点（3，）的双曲线的标准方程是－＝1；
解析：依题意，双曲线的焦点在x轴上，c＝2.设双曲线的标准方程为－＝1（a＞b＞0）.代入点（3，）得－＝1.又a2＋b2＝c2＝8，解得a2＝3，b2＝5.所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
（2）焦距为26，且经过点M（0，12）的双曲线的标准方程是－＝1.
解析：∵双曲线经过点M（0，12），∴M（0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.∴双曲线的标准方程为－＝1.
课堂小结
1.理清单 （1）双曲线的定义； （2）双曲线标准方程的认识与求解； （3）双曲线定义与标准方程的简单应用.
课堂小结
2.应体会 （1）求解双曲线的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法； （2）用待定系数法求双曲线的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，体现分类讨论思想及方程思想. 3.避易错 （1）双曲线中a，b，c的关系与椭圆中的不同，易记错记混； （2）忽略双曲线的定义中的2a＜｜F1F2｜或把双曲线的一支误认为是两支.
1.已知定点F1（－2，0），F2（2，0），则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是（ ）
A.｜PF1｜－｜PF2｜＝±3
B.｜PF1｜－｜PF2｜＝±4
C.｜PF1｜－｜PF2｜＝±5
D.｜PF1｜2－｜PF2｜2＝±4
解析：A 当｜PF1｜－｜PF2｜＝±3时，｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝3＜｜F1F2｜＝4，满足双曲线的定义，所以选项A中P点的轨迹是双曲线.
2.若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为（ ）
A.（，0） B.（，0）
C.（，0） D.（，0）
解析：B 将双曲线方程化为标准方程为x2－＝1，∴a2＝1，b2＝，∴c2＝a2＋b2＝，∴c＝，故右焦点坐标为（，0）.
3.与双曲线－y2＝1有公共焦点，且过点（，）的双曲线标准方程为（ ）
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D.x2－＝1
解析：D 双曲线－y2＝1的焦点为（±，0），设双曲线的方程为－＝1（a，b＞0），可得a2＋b2＝3，将点（，）代入双曲线方程可得－＝1，解得a＝1，b＝，即所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
4.已知直线ax＋by＋c＝0在平面直角坐标系中的位置如图所示，则方程ax2－by2－c＝0表示（ ）
A.焦点在x轴上的双曲线
B.焦点在y轴上的双曲线
C.焦点在x轴上的椭圆
D.焦点在y轴上的椭圆
解析：B 将直线的方程化为y＝－x－，可知即将方程ax2－by2－c＝0化为－＝1，由可得＜0，故方程ax2－by2－c＝0表示焦点在y轴上的双曲线.故选B.
5.设F1，F2分别是双曲线C：－＝1的左、右焦点，过F2的直线与C的右支交于P，Q两点，则｜F1P｜＋｜F1Q｜－｜PQ｜＝（ ）
A.5 B.6 C.8 D.12
解析：C 由双曲线C：－＝1，得a2＝4，即a＝2，由双曲线的定义知｜F1P｜－｜PF2｜＝2a＝4，｜F1Q｜－｜QF2｜＝2a＝4，｜PQ｜＝｜PF2｜＋｜QF2｜，所以｜F1P｜＋｜F1Q｜－｜PQ｜＝｜F1P｜＋｜F1Q｜－（｜PF2｜＋｜QF2｜）＝｜F1P｜－｜PF2｜＋｜F1Q｜－｜QF2｜＝8.故选C.
6.〔多选〕（2025·泉州月考）若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个选项中正确的是（ ）
A.若1＜t＜3，则曲线C为椭圆
B.若曲线C为椭圆，且长轴在y轴上，则2＜t＜3
C.若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞3
D.曲线C可能是圆
解析：BCD 若方程＋＝1表示椭圆，则解得1＜t＜3且t≠2，故A错误；若曲线C为椭圆，且长轴在y轴上，则解得2＜t＜3，故B正确；若曲线C为双曲线，则（3－t）·（t－1）＜0，解得t＜1或t＞3，故C正确；若曲线C是圆，则解得t＝2，故D正确.故选B、C、D.
7.〔多选〕过点（1，1），且b＝a的双曲线的标准方程可以是（ ）
A.－y2＝1 B.－x2＝1
C.x2－＝1 D.y2－＝1
解析：AB 由于b＝a，∴b2＝2a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1，代入（1，1）点，得a2＝，此时双曲线方程为－y2＝1.同理求得焦点在y轴上时，双曲线方程为－x2＝1.
8.已知双曲线方程为2x2－y2＝k（k≠0），焦距为6，则k＝6或－6.
解析：若焦点在x轴上，则方程可化为－＝1，所以＋k＝32，即k＝6.若焦点在y轴上，则方程可化为－＝1，所以－k＋（－）＝32，即k＝－6.
9.双曲线－＝1（a＞0）的两个焦点分别是F1与F2，焦距为8，M是双曲线上的一点，且｜MF1｜＝5，则｜MF2｜＝9.
解析：由题意得，2c＝8，可得c＝4，所以a2＝c2－b2＝16－12＝4，解得a＝2，又｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a＝4，所以｜5－｜MF2｜｜＝4，解得｜MF2｜＝1或｜MF2｜＝9，当｜MF2｜＝1时，｜MF1｜＋｜MF2｜＝6＜8，不满足题意，故舍去；当｜MF2｜＝9时，｜MF1｜＋｜MF2｜＝14＞8，满足题意，所以｜MF2｜＝9.
10.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在y轴上，焦距为10，且经过点（0，4）；
（2）a＝4，经过点A（1，－）.
解：（1）∵双曲线焦点在y轴上，
∴设双曲线的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0），由其焦距为10，得2c＝10，c＝5，
又该双曲线过点（0，4），则a＝4，
∴b2＝c2－a2＝25－16＝9，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
（2）当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1（b＞0），把点A的坐标代入，得b2＝－×＜0，不符合题意；
当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1（b＞0），把点A的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为－＝1.
11.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且AB＝BC＝CD＝2，视AD所在直线为x轴，则双曲线的标准方程为（ ）
A.x2－＝1 B.2x2－y2＝1
C.x2－＝1 D.x2－＝1
解析：A 依题意，设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0），因为｜BC｜＝2，则a＝1，显然圆O的半径为3，又因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，所以双曲线与圆O在第一象限内的交点坐标为（，），于是（）2－＝1，解得b2＝，所以双曲线的方程为x2－＝1.故选A.
12.已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.若点M在双曲线上，且·＝0，则M点到x轴的距离为（ ）
A. B. C. D.
解析：B 如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，∵·＝0，∴MF1⊥MF2，设｜MF1｜＝m，｜MF2｜＝n，由双曲线定义，知m－n＝2a＝8 ①，又m2＋n2＝（2c）2＝80 ②，由①②得mn＝8，∴mn＝4＝｜F1F2｜·h，∴h＝.
13.已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，P（3，1）为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则｜AP｜＋｜AF2｜的最小值为－2.
解析：因为｜AP｜＋｜AF2｜＝｜AP｜＋｜AF1｜－2，所以要求｜AP｜＋｜AF2｜的最小值，只需求｜AP｜＋｜AF1｜的最小值.如图，连接F1P交双曲线的右支于点A0.由已知得F1（－3，0），当点A位于点A0处时，｜AP｜＋｜AF1｜最小，最小值为｜PF1｜＝＝.故｜AP｜＋｜AF2｜的最小值为－2.
14.已知曲线C：＋＝1（t≠0，t≠±1）.
（1）求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线；
（2）求证：不论t为何值，曲线C总有相同的焦点.
解：（1）当t2＞0，t2－1＞0且t2≠t2－1，
即t＞1或t＜－1时，曲线C为椭圆；当t2＞0，t2－1＜0，即－1＜t＜0或0＜t＜1时，曲线C为双曲线.
（2）证明：由（1）可知，当t＞1或t＜－1时，
曲线C是椭圆，且t2＞t2－1，
因此c2＝a2－b2＝t2－（t2－1）＝1，
所以焦点为F1（－1，0），F2（1，0）；
当－1＜t＜0或0＜t＜1时，双曲线C的方程为－＝1，
因为c2＝a2＋b2＝t2＋1－t2＝1，
所以焦点为F1（－1，0），F2（1，0）.
综上所述，无论t为何值，曲线C总有相同的焦点.
15.已知△OFQ的面积为2，且·＝m，其中O为坐标原点.
（1）设＜m＜4，求与的夹角θ的正切值的取值范围；
（2）设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，｜｜＝c，m＝（－1）c2，当｜｜取得最小值时，求此双曲线的标准方程.
解：（1）因为｜｜·｜｜sin（π－θ）＝2，｜｜·｜｜cos θ＝m，
所以tan θ＝，
又＜m＜4，所以1＜tan θ＜4，
即tan θ的取值范围为（1，4）.
（2）设双曲线的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0），
Q（x1，y1），则＝（x1－c，y1），
所以S△OFQ＝｜｜·｜y1｜＝2，
则y1＝±，又·＝m.
即（c，0）·（x1－c，y1）＝（－1）c2，
解得x1＝c，
所以｜｜＝
＝≥＝2，
当且仅当c＝4时取等号，｜｜最小，
此时Q的坐标为（，）或（，－）.
因此所以
所以双曲线的标准方程为－＝1.
11 / 11第一课时 双曲线及其标准方程（一）
课标要求
1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用（数学抽象）. 2.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程（逻辑推理、数学运算）. 3.掌握双曲线的标准方程及其求法（数学运算）.
知识点一｜双曲线的定义
问题1 如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在拉链的拉手M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么条件？
【知识梳理】
1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的 等于非零常数（小于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做双曲线.
2.符号表示：｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝ （常数），且0＜2a＜｜F1F2｜.
3.焦点：两个定点 .
4.焦距： 的距离，表示为｜F1F2｜.
提醒：（1）常数要小于两个定点的距离；（2）如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支；（3）当2a＝｜F1F2｜时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线（包括端点）；（4）当2a＞｜F1F2｜时，动点的轨迹不存在；（5）当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线.
【例1】 已知点F1（－5，0），F2（5，0），动点P满足｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，当a＝0和3时，点P的轨迹分别为（ ）
A.一条射线、双曲线
B.一条射线、双曲线一支
C.线段F1F2的垂直平分线、双曲线
D.线段F1F2的垂直平分线、双曲线一支
【规律方法】
双曲线的定义中，距离的差要加绝对值，否则只表示双曲线的一支.
训练1 （1）已知F1（－8，3），F2（2，3），动点P满足｜PF1｜－｜PF2｜＝10，则P点的轨迹是（ ）
A.双曲线 B.双曲线的一支
C.直线 D.一条射线
（2）平面内动点P到两定点F1（－2，0），F2（2，0）的距离之差为m，若动点P的轨迹是双曲线，则m的取值范围是（ ）
A.（－4，＋∞） B.（4，＋∞）
C.（－4，4） D.（－4，0）∪（0，4）
知识点二｜双曲线的标准方程
问题2 （1）类比求椭圆标准方程的过程，如何建立适当的坐标系，才能使得到的双曲线方程更简单？
（2）设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，c＞0.试根据上面所建立的坐标系，推导双曲线的标准方程.
【知识梳理】
双曲线的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准 方程 －＝1（a＞0，b＞0） －＝1（a＞0，b＞0）
图形
焦点坐标 F1（－c，0），F2 F1 ，F2（0，c）
焦距 ｜F1F2｜＝
a，b，c的关系 c2＝
提醒：（1）若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上.记忆口诀：“焦点跟着正项走”；（2）a与b没有大小关系.
角度1 双曲线标准方程的认识
【例2】 已知－＝－1，当k为何值时：
（1）方程表示双曲线？
（2）方程表示焦点在x轴上的双曲线？
【规律方法】
方程表示双曲线的条件
（1）对于方程＋＝1，当mn＜0时表示双曲线，进一步，当m＞0，n＜0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＞0时表示焦点在y轴上的双曲线；
（2）对于方程－＝1，当mn＞0时表示双曲线，且当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＜0时表示焦点在y轴上的双曲线.
角度2 求双曲线的标准方程
【例3】 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
（1）左、右焦点分别为F1（－5，0），F2（5，0），且双曲线上一点P满足｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝8；
（2）与双曲线－＝1有公共焦点，且过点（3，2）；
（3）过点P（3，），Q（－，5）且焦点在坐标轴上.
【规律方法】
求双曲线标准方程的两个关注点
提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论.也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn＜0.
训练2 （1）（2025·聊城月考）椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a＝ ；
（2）（2025·常州质检）若圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为 .
提能点｜双曲线定义与标准方程的简单应用
【例4】 （1）已知F1、F2分别是双曲线C：－y2＝1（a＞0）的左、右焦点，且C上存在点P使得｜PF1｜＝4｜PF2｜，则实数a的取值范围是 ；
（2）已知F是双曲线－y2＝1的左焦点，P是双曲线右支上一动点，定点M（4，3），则｜PM｜＋｜PF｜的最小值是 .
【规律方法】
1.已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离.
2.设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0），F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，Q（x0，y0）为平面上一定点，M为双曲线右支上任意一点.
（1）若定点Q（x0，y0）与双曲线右焦点F2在双曲线右支的同侧，则｜MQ｜＋｜MF2｜的最小值是｜QF1｜－2a，最大值不存在；
（2）若定点Q（x0，y0）与双曲线右焦点F2在双曲线右支的异侧，则｜MQ｜＋｜MF2｜的最小值是｜QF2｜，最大值不存在.
训练3 （1）已知P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，且｜PF1｜＝17，则｜PF2｜＝（ ）
A.30 B.33
C.35 D.42
（2）已知双曲线C：－＝1，F1，F2是其左、右焦点.圆E：x2＋y2－4y＋3＝0，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则｜PF1｜＋｜PQ｜的最小值为 .
1.已知M（－2，0），N（2，0），｜PM｜－｜PN｜＝4，则动点P的轨迹是（ ）
A.双曲线 B.双曲线左支
C.一条射线 D.双曲线右支
2.若方程＋＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是（ ）
A.k＜1 B.k＞4
C.1＜k＜4 D.k＜1或k＞4
3.若椭圆＋＝1（m＞0）与双曲线－＝1有相同的焦点，则m＝ .
4.（1）以椭圆＋＝1的长轴端点为焦点，且经过点（3，）的双曲线的标准方程是 ；
（2）焦距为26，且经过点M（0，12）的双曲线的标准方程是 .
课堂小结
1.理清单 （1）双曲线的定义； （2）双曲线标准方程的认识与求解； （3）双曲线定义与标准方程的简单应用. 2.应体会 （1）求解双曲线的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法； （2）用待定系数法求双曲线的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，体现分类讨论思想及方程思想. 3.避易错 （1）双曲线中a，b，c的关系与椭圆中的不同，易记错记混； （2）忽略双曲线的定义中的2a＜｜F1F2｜或把双曲线的一支误认为是两支.
提示：完成课后作业 第三章 3.2 3.2.1 第一课时
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