第二课时 双曲线的标准方程及性质的应用
课标要求
1.理解判断直线与双曲线位置关系的方法（直观想象）. 2.会求解有关弦长问题（数学运算）. 3.会解决直线与双曲线的综合问题（逻辑推理、数学运算）.
知识点一｜直线与双曲线的位置关系
问题1 （1）类比直线与椭圆的位置关系，可知直线与双曲线有几种位置关系？
（2）画出一条双曲线，观察并探索我们可否用公共点个数来区分三种位置关系？
【知识梳理】
直线与双曲线位置关系的判断
设直线l：y＝kx＋m（m≠0）， ①
双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）， ②
将①代入②，
得Ax2＋Bx＋C＝0.
（1）当A＝0时，直线l与双曲线的 平行，直线与双曲线C相交于一点.
（2）当A≠0时，
①Δ＞0，直线与双曲线有 公共点，此时直线与双曲线相交；
②Δ＝0，直线与双曲线有 公共点，此时直线与双曲线相切；
③Δ＜0，直线与双曲线 公共点，此时直线与双曲线相离.
提醒：（1）相交时可能有一个或两个公共点；有一个公共点时，直线与双曲线可能相切或相交；（2）消元后注意二次项的系数，二次项系数可能为0，此时，直线与双曲线的渐近线平行.
【例1】 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k（x－1），直线l与双曲线有两个不同的交点，确定满足条件的实数k的取值范围.
变式 在本例条件不变的情况下，若直线l与双曲线有且只有一个公共点，确定满足条件的实数k的取值范围.
【规律方法】
1.解决直线与双曲线的交点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况.
2.双曲线与直线只有一个交点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
3.注意对直线的斜率是否存在进行讨论.
训练1 （1）已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点，若A，B在双曲线的同一支上，则a的取值范围是 ；
（2）已知双曲线C：2x2－y2＝2与点P（1，2），讨论过点P的直线l的斜率的情况，使l与双曲线C分别有一个公共点、两个公共点、没有公共点.
知识点二｜双曲线的弦长及中点弦问题
问题2 （1）双曲线的弦长公式与椭圆的弦长公式一样吗？
（2）若过双曲线焦点的弦与双曲线同支相交，则弦长有没有最小值？
（3）类比椭圆，已知A（x1，y1），B（x2，y2）为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）上两点，AB的中点为M（x0，y0），直线AB的斜率为k，你能求出k·kOM（O为坐标原点）的值吗？
【知识梳理】
1.弦长公式：若斜率为k（k≠0）的直线与双曲线相交于A（x1，y1），B（x2，y2），则｜AB｜＝ .
2.已知弦AB的中点为P（x0，y0），若双曲线方程为－＝1，则直线AB的斜率为k＝·；若双曲线方程为－＝1，则直线AB的斜率为k＝·.
【例2】 已知双曲线的方程是－y2＝1.
（1）直线l的倾斜角为，被双曲线截得的弦长为，求直线l的方程；
（2）过点P（3，1）作直线l'，使其被双曲线截得的弦恰被点P平分，求直线l'的方程.
【规律方法】
双曲线中有关弦长问题，解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围.
训练2 （1）已知双曲线C：x2－y2＝2，过右焦点的直线交双曲线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为4，则弦AB的长为（ ）
A.3 B.4
C.6 D.6
（2）（2025·金华月考）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0），过点P（3，6）的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB的中点为Q（12，15），则双曲线C的离心率为（ ）
A.2 B.
C. D.
提能点｜直线与双曲线的综合问题
【例3】 已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1（－2，0），F2（2，0），点P（5，）在双曲线C上.
（1）求双曲线C的方程；
（2）记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若△OAB的面积为2，求直线l的方程.
【规律方法】
解决综合问题时，可以仿照椭圆的处理思路，借助于方程思想，将问题进行化归，然后利用直线与双曲线相交时的有关性质进行求解.
训练3 已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，右顶点为（1，0）.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过点E（0，2）的直线l与双曲线C的一支交于M，N两点，求·的取值范围.
1.直线y＝x＋3与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的交点个数是（ ）
A.1 B.2 C.1或2 D.0
2.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16有两个公共点，则实数k的取值范围为（ ）
A.（－2，2） B.[－2，2）
C.（－2，2] D.[－2，2]
3.（2025·开封月考）经过双曲线x2－y2＝8的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长为 .
4.过点M（2，1）作斜率为1的直线，交双曲线－＝1（a＞0，b＞0）于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为 .
课堂小结
1.理清单 （1）直线与双曲线的位置关系； （2）双曲线的弦长及中点弦问题； （3）直线与双曲线的综合问题. 2.应体会 （1）要注意设而不求点差法在双曲线的弦长、中点弦问题中的应用； （2）直线与双曲线的综合问题要注意数形结合思想的应用. 3.避易错 判断直线与双曲线交点个数时，方程联立消元后，切记要对含参数的二次项系数进行分类讨论.
提示：完成课后作业 第三章 3.2 3.2.2 第二课时
3 / 3第二课时 双曲线的标准方程及性质的应用
课标要求
1.理解判断直线与双曲线位置关系的方法（直观想象）. 2.会求解有关弦长问题（数学运算）. 3.会解决直线与双曲线的综合问题（逻辑推理、数学运算）.
知识点一｜直线与双曲线的位置关系
问题1 （1）类比直线与椭圆的位置关系，可知直线与双曲线有几种位置关系？
提示：三种.分别为相交、相切、相离.
（2）画出一条双曲线，观察并探索我们可否用公共点个数来区分三种位置关系？
提示：不能.当直线与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点，但并非相切关系，所以不能用公共点个数来区分三种位置关系.
【知识梳理】
直线与双曲线位置关系的判断
设直线l：y＝kx＋m（m≠0）， ①
双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）， ②
将①代入②，
得Ax2＋Bx＋C＝0.
（1）当A＝0时，直线l与双曲线的 渐近线 平行，直线与双曲线C相交于一点.
（2）当A≠0时，
①Δ＞0，直线与双曲线有 两个 公共点，此时直线与双曲线相交；
②Δ＝0，直线与双曲线有 一个 公共点，此时直线与双曲线相切；
③Δ＜0，直线与双曲线 没有 公共点，此时直线与双曲线相离.
提醒：（1）相交时可能有一个或两个公共点；有一个公共点时，直线与双曲线可能相切或相交；（2）消元后注意二次项的系数，二次项系数可能为0，此时，直线与双曲线的渐近线平行.
【例1】已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k（x－1），直线l与双曲线有两个不同的交点，确定满足条件的实数k的取值范围.
解：联立消去y得（1－k2）x2＋2k2x－k2－4＝0.
当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝（2k2）2－4（1－k2）（－k2－4）＝4（4－3k2）.
由得－＜k＜且k≠±1，
故直线l与双曲线有两个不同的交点时，实数k的取值范围为{k｜＜k＜，且k≠±1}.
变式 在本例条件不变的情况下，若直线l与双曲线有且只有一个公共点，确定满足条件的实数k的取值范围.
解：联立消去y得（1－k2）x2＋2k2x－k2－4＝0.（*）
当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝（2k2）2－4（1－k2）·（－k2－4）＝4（4－3k2）.
由得k＝±，此时方程（*）有两个相同的实数解，即直线l与双曲线有且只有一个公共点；
当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程（*）化为2x＝5，
故方程（*）只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，有且只有一个公共点.
故当k＝±或±1时，直线l与双曲线有且只有一个公共点.
【规律方法】
1.解决直线与双曲线的交点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况.
2.双曲线与直线只有一个交点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
3.注意对直线的斜率是否存在进行讨论.
训练1 （1）已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点，若A，B在双曲线的同一支上，则a的取值范围是（－，－）∪（，）；
解析：由消去y得（3－a2）x2－2ax－2＝0.当a≠±时，Δ＝24－4a2.由Δ＞0得－＜a＜且a≠±，此时有两解，直线与双曲线有两个交点.若A，B在双曲线的同一支上，需x1x2＝＞0，所以a＜－或a＞，故当－＜a＜－或＜a＜时，A，B在双曲线的同一支上.
（2）已知双曲线C：2x2－y2＝2与点P（1，2），讨论过点P的直线l的斜率的情况，使l与双曲线C分别有一个公共点、两个公共点、没有公共点.
解：①当l垂直于x轴时，直线l与双曲线C相切，有一个公共点.
②当l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y－2＝k（x－1），
代入双曲线C的方程，得（2－k2）x2＋2（k2－2k）x－k2＋4k－6＝0.
当k2＝2，即k＝或－时，方程有一个解.
当k2≠2时，Δ＝48－32k，
令Δ＝0，可得k＝；令Δ＞0，可得k＜且k≠±；令Δ＜0，可得k＞.
综上所述，当直线l的斜率k∈{，－，}或直线l的斜率不存在时，直线l与双曲线C有一个公共点；
当直线l的斜率k∈（－∞，－）∪（－，）∪（，）时，直线l与双曲线C有两个公共点；
当直线l的斜率k∈（，＋∞）时，直线l与双曲线C没有公共点.
知识点二｜双曲线的弦长及中点弦问题
问题2 （1）双曲线的弦长公式与椭圆的弦长公式一样吗？
提示：一样.
（2）若过双曲线焦点的弦与双曲线同支相交，则弦长有没有最小值？
提示：有.过焦点且与焦点轴垂直的弦长最短，最短为.
（3）类比椭圆，已知A（x1，y1），B（x2，y2）为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）上两点，AB的中点为M（x0，y0），直线AB的斜率为k，你能求出k·kOM（O为坐标原点）的值吗？
提示：由－＝1，－＝1，
两式相减得－＝0，
即＝，所以k·kOM＝.
【知识梳理】
1.弦长公式：若斜率为k（k≠0）的直线与双曲线相交于A（x1，y1），B（x2，y2），则｜AB｜＝ .
2.已知弦AB的中点为P（x0，y0），若双曲线方程为－＝1，则直线AB的斜率为k＝·；若双曲线方程为－＝1，则直线AB的斜率为k＝·.
【例2】已知双曲线的方程是－y2＝1.
（1）直线l的倾斜角为，被双曲线截得的弦长为，求直线l的方程；
解：设直线l的方程为y＝x＋m，
代入双曲线方程，
得3x2＋8mx＋4（m2＋1）＝0，
Δ＝（8m）2－4×3×4（m2＋1）＝16（m2－3）＞0，
∴m2＞3.
设直线l与双曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
则x1＋x2＝－m，x1x2＝.
由弦长公式得｜AB｜＝｜x1－x2｜
＝＝，
∴＝，
即m＝±5，满足m2＞3，
∴直线l的方程为y＝x±5.
（2）过点P（3，1）作直线l'，使其被双曲线截得的弦恰被点P平分，求直线l'的方程.
解：设直线l'与双曲线交于A'（x3，y3），B'（x4，y4）两点，点P（3，1）为A'B'的中点，
则x3＋x4＝6，y3＋y4＝2.
由－4＝4，－4＝4，
两式相减得（x3＋x4）（x3－x4）－4（y3＋y4）（y3－y4）＝0，
∴k'＝＝，
∴l'的方程为y－1＝（x－3），即3x－4y－5＝0.
把此方程代入双曲线方程，整理得5y2－10y＋＝0，满足Δ＞0，
即所求直线l'的方程为3x－4y－5＝0.
【规律方法】
双曲线中有关弦长问题，解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围.
训练2 （1）已知双曲线C：x2－y2＝2，过右焦点的直线交双曲线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为4，则弦AB的长为（ D ）
A.3 B.4
C.6 D.6
解析：双曲线C：－＝1，则c2＝4，∴右焦点为F（2，0），根据题意易得过F的直线斜率存在，设方程为y＝k（x－2），A（xA，yA），B（xB，yB），联立化简得（1－k2）x2＋4k2x－4k2－2＝0，∴xA＋xB＝，xAxB＝.∵线段AB中点的横坐标为4，∴xA＋xB＝＝8，解得k2＝2，∴xAxB＝＝10，则（xA－xB）2＝（xA＋xB）2－4xAxB＝82－4×10＝24，则｜AB｜＝＝＝6.
（2）（2025·金华月考）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0），过点P（3，6）的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB的中点为Q（12，15），则双曲线C的离心率为（ B ）
A.2 B.
C. D.
解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），由线段AB的中点为Q（12，15），得x1＋x2＝24，y1＋y2＝30.由两式相减得＝，则＝＝.由直线l的斜率k＝＝1，得＝1，则＝.则双曲线C的离心率e＝＝＝.故选B.
提能点｜直线与双曲线的综合问题
【例3】已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1（－2，0），F2（2，0），点P（5，）在双曲线C上.
（1）求双曲线C的方程；
解：依题意，c＝2，所以a2＋b2＝4，则双曲线C的方程为－＝1（0＜a2＜4），
将点P（5，）代入上式，得－＝1，解得a2＝50（舍去）或a2＝2，
故所求双曲线的方程为－＝1.
（2）记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若△OAB的面积为2，求直线l的方程.
解：依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2，代入双曲线C的方程并整理，
得（1－k2）x2－4kx－6＝0.
因为直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，
所以
解得（*）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝，
x1x2＝－，所以｜AB｜＝·＝·.
又原点O到直线l的距离d＝，
所以S△OAB＝d·｜AB｜＝××·＝.又S△OAB＝2，
即＝1，所以k4－k2－2＝0，解得k＝±，满足（*）.故满足条件的直线l有两条，
其方程分别为y＝x＋2和y＝－x＋2.
【规律方法】
解决综合问题时，可以仿照椭圆的处理思路，借助于方程思想，将问题进行化归，然后利用直线与双曲线相交时的有关性质进行求解.
训练3 已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，右顶点为（1，0）.
（1）求双曲线C的标准方程；
解：由渐近线方程为y＝±x，
所以b＝a，右顶点为（1，0），所以a2＝1，b2＝3，
故双曲线C的标准方程为x2－＝1.
（2）过点E（0，2）的直线l与双曲线C的一支交于M，N两点，求·的取值范围.
解：如图所示，根据题意易知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋2，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线和双曲线方程消去y可得（3－k2）x2－4kx－7＝0，
因为直线与双曲线一支交于M，N两点，
所以解得3＜k2＜7，
因此·＝（x1，y1－2）·（x2，y2－2）
＝x1x2＋（y1－2）·（y2－2）
＝x1x2＋k2x1x2＝（k2＋1）x1x2
＝7×＝7×（1＋）.
因为3＜k2＜7，所以0＜k2－3＜4，
所以＞1，所以·＝7×（1＋）＞14，
故·的取值范围是（14，＋∞）.
1.直线y＝x＋3与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的交点个数是（ ）
A.1 B.2 C.1或2 D.0
解析：A 因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有一个交点，故选A.
2.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16有两个公共点，则实数k的取值范围为（ ）
A.（－2，2） B.[－2，2）
C.（－2，2] D.[－2，2]
解析：A 易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程（4－k2）x2－16＝0，由Δ＞0可得－2＜k＜2.
3.（2025·开封月考）经过双曲线x2－y2＝8的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长为.
解析：双曲线x2－y2＝8的右焦点为（4，0），经过双曲线x2－y2＝8的右焦点且斜率为2的直线方程为y＝2（x－4），代入x2－y2＝8并整理得3x2－32x＋72＝0，设交点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝，x1x2＝24，所以直线被双曲线截得的线段的长为×＝.
4.过点M（2，1）作斜率为1的直线，交双曲线－＝1（a＞0，b＞0）于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为.
解析：设点A（x1，y1），B（x2，y2），则有两式作差后整理得·＝，由已知得＝1，x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，所以＝，又c2＝a2＋b2，所以＝，得＝.
课堂小结
1.理清单 （1）直线与双曲线的位置关系； （2）双曲线的弦长及中点弦问题； （3）直线与双曲线的综合问题. 2.应体会 （1）要注意设而不求点差法在双曲线的弦长、中点弦问题中的应用； （2）直线与双曲线的综合问题要注意数形结合思想的应用. 3.避易错 判断直线与双曲线交点个数时，方程联立消元后，切记要对含参数的二次项系数进行分类讨论.
1.“直线与双曲线有唯一公共点”是“直线与双曲线相切”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：B 直线与双曲线有唯一公共点时，直线与双曲线不一定相切（也可能直线与双曲线的渐近线平行）；直线与双曲线相切时，直线与双曲线一定有唯一公共点.
2.（2025·周口月考）直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是（ ）
A.（1，2） B.（－2，－1）
C.（－1，－2） D.（2，1）
解析：C 将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，由此可得弦的中点的横坐标为＝＝－1，纵坐标为－1－1＝－2，即中点坐标为（－1，－2）.
3.已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（ ）
A. B. C. D.
解析：D 由c2＝a2＋b2＝4得c＝2，所以F（2，0），将x＝2代入x2－＝1，得y＝±3，所以｜PF｜＝3.又A的坐标是（1，3），故△APF的面积为×3×（2－1）＝.
4.已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若｜AB｜＝2，则该双曲线的方程为（ ）
A.x2－y2＝6 B.x2－y2＝9
C.x2－y2＝16 D.x2－y2＝25
解析：B 设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2（a＞0），与y＝x联立，得x2－a2＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝0，x1·x2＝－，∴｜AB｜＝×a＝2，∴a＝3，故选B.
5.（2025·扬州月考）若直线y＝kx与双曲线x2－y2＝1的两支各有一个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A.（－1，0） B.（0，1）
C.（－1，1） D.（1，＋∞）
解析：C 直线y＝kx过原点，且与双曲线x2－y2＝1的两支各有一个交点，如图.因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以k∈（－1，1）.
6.〔多选〕已知双曲线C：－＝1过点（3，），则下列结论正确的是（ ）
A.C的焦距为4
B.C的离心率为
C.C的渐近线方程为y＝±x
D.直线2x－y－1＝0与C有两个公共点
解析：AC 由双曲线C：－＝1过点（3，），可得m＝1，则双曲线C的标准方程为－y2＝1.所以a＝，b＝1，c＝＝2，因为双曲线C的焦距为2c＝4，所以选项A正确；因为双曲线C的离心率为＝＝，所以选项B不正确；因为双曲线C的渐近线方程为y＝±x，所以选项C正确；将直线2x－y－1＝0与双曲线－y2＝1联立，消去y可得3x2－4x＋4＝0，Δ＝（－4）2－4×3×4＝－32＜0，所以直线2x－y－1＝0与双曲线C没有公共点，所以选项D不正确.
7.〔多选〕已知直线l经过双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左焦点，且与C交于A，B两点，若存在两条直线，使得｜AB｜的最小值为4，则下列四个点中，C经过的点为（ ）
A.（4，2） B.（－2，2）
C.（－2，－2） D.（3，－）
解析：ACD 若直线l与C的两支交于顶点A，B，则｜AB｜min＝2a，若直线l与C的一支交于A，B两点，则通径最短，｜AB｜min＝，由题意得＝2a＝4，解得a＝b＝2，故双曲线C的方程为－＝1，把选项A，B，C，D中点的坐标分别代入方程，得B选项表示的点不在双曲线上，A、C、D选项表示的点在双曲线上.故选A、C、D.
8.若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）与直线y＝2x无交点，则离心率e的取值范围是（1，].
解析：由题意可得，≤2，所以e＝≤.又e＞1，所以离心率e的取值范围是（1，].
9.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx与C交于P，Q两点，·＝0，且△PF2Q的面积为4a2，则C的离心率为.
解析：如图，若点P在第一象限，因为·＝0，所以PF1⊥QF1，由图形的对称性知四边形PF1QF2为矩形，因为△PF2Q的面积为4a2，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝8a2，又因为｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，所以｜PF1｜＝4a，｜PF2｜＝2a，在Rt△PF1F2中，（4a）2＋（2a）2＝（2c）2，解得e＝＝.
10.双曲线的两条渐近线的方程为y＝±x，且经过点（3，－2）.
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线的右焦点F且倾斜角为60°的直线交双曲线于A，B两点，求｜AB｜.
解：（1）因为双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，
所以可设双曲线的方程为2x2－y2＝λ（λ≠0）.
又因为双曲线经过点（3，－2），代入方程可得λ＝6，
所以所求双曲线的方程为－＝1.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
过F且倾斜角为60°的直线方程为y＝（x－3），
联立消去y得x2－18x＋33＝0，因为Δ＞0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝18，x1x2＝33，
所以｜AB｜＝·｜x1－x2｜＝·＝2＝16.
11.已知双曲线E：－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，直线l的斜率为－，且过点M（a，b），直线l与x轴交于点C，点D在E的右支上，且满足＝λ，则λ＝（ ）
A. B. C. D.
解析：D 由题意知e＝＝，所以a＝2b，所以M（2b，b），故直线l的方程为y－b＝－（x－2b）.令y＝0，得x＝4b，所以C（4b，0）.又因为＝λ，所以D（（2λ＋2）b，（1－λ）b），代入－＝1，化简得4（λ＋1）2（）2－（1－λ）2＝1，解得λ＝.故选D.
12.〔多选〕在平面直角坐标系Oxy中，动点P与两个定点F1（－，0）和F2（，0）连线的斜率之积等于，记点P的轨迹为曲线E，直线l：y＝x－2与E交于A，B两点，则（ ）
A.E的方程为－y2＝1（x≠±）
B.E的离心率为
C.E的渐近线与圆（x－2）2＋y2＝1相切
D.｜AB｜＝2
解析：ACD 设点P（x，y），由直线PF1与PF2的斜率之积为，可得·＝，整理得－y2＝1，即曲线E的方程为－y2＝1（x≠±），所以A正确；曲线E的离心率e＝＝，所以B不正确；由圆（x－2）2＋y2＝1，可得圆心为（2，0），可得圆心到曲线E的渐近线y＝±x的距离d＝＝1，又由圆的半径为1，所以曲线E的渐近线与圆（x－2）2＋y2＝1相切，所以C正确；联立方程组整理得2x2－12x＋15＝0，则x1＋x2＝6，x1x2＝，所以｜AB｜＝·＝×＝2，所以D正确.故选A、C、D.
13.已知双曲线C：－＝1（a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝x＋2与双曲线C的一条渐近线平行，过点F2作MF2⊥l，垂足为M，则△MF1F2的面积为2.
解析：由题意可知所以a＝1，c2＝a2＋b2＝4，即c＝2，所以F1（－2，0），F2（2，0），直线l：y＝x＋2，令y＝0，得x＝－2，故直线l过点F1，因为直线l的斜率为，且MF2⊥l，所以∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，又点F2到直线l的距离｜MF2｜＝＝2，所以△MF1F2的面积为｜MF2｜·｜F1F2｜·sin 30°＝2.
14.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A（2，2），且△AF1F2的面积为2.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）直线l：x＝my＋1交x轴于点B，与双曲线C的左、右两支分别交于点E，F（不同于点A），记直线AE，AF分别与直线x＝1交于点M，N，证明：B是MN的中点.
解：（1）由题知
解得
∴双曲线C的标准方程为－＝1.
（2）证明：将l：x＝my＋1代入双曲线C：－＝1，得（2m2－1）y2＋4my－2＝0.
设E（x1，y1），F（x2，y2），则2m2－1≠0，Δ＝32m2－8＞0，
y1＋y2＝－，y1y2＝－.
直线AE的方程为y＝（x－2）＋2，
令x＝1，得yM＝＋2；
直线AF的方程为y＝（x－2）＋2，
令x＝1，得yN＝＋2.
∵＋
＝＝－4，
∴yM＋yN＝0，
又B（1，0），∴｜BM｜＝｜BN｜，即B是MN的中点.
15.（2025·郑州月考）祖暅，祖冲之之子，是我国南宋时期的数学家.他提出了体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”.意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得两个几何体的截面积总相等，
那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线C的焦点在y轴上，离心率为，且过点（，2）.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线x＝0，x＝1在第一象限内与C及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，求阴影图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积.
解：（1）∵双曲线C的离心率e＝＝，∴c＝a，∴c2＝a2＋b2＝a2，∴b2＝a2，
∴双曲线的方程为－＝1，过点（，2），即－＝1，a2＝3，b2＝1，
∴双曲线方程为－x2＝1.
（2）由（1）知双曲线的渐近线方程为y＝±x，
取直线x＝m（0≤m≤1），代入－x2＝1，得y＝，代入y＝x，得y＝m，
∴直线x＝m与阴影部分旋转一周所得圆环的面积S＝（3＋3m2）π－3m2π＝3π.
又高度为1，故根据祖暅原理，该图形绕x轴旋转一周所得几何体与底面半径为，高为1的圆柱“幂势相同”，故它绕x轴旋转一圈所得几何体的体积为3π.
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