第一课时 双曲线的简单几何性质
课标要求
1.理解双曲线的几何图形及简单几何性质（数学抽象、直观想象）.
2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程（直观想象、数学运算）.
情境导入
在研究椭圆的几何性质时，我们从图形、方程、范围、顶点、轴长、焦点、对称性、离心率等多方面进行了研究，下面我们类比研究椭圆几何性质的方法来研究双曲线的几何性质.
知识点一｜双曲线的几何性质
问题1 （1）类比对椭圆几何性质的研究，探究双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的几何性质；
提示：①范围：利用双曲线的方程求出它的范围，由方程－＝1可得＝1＋≥1，于是，≥1，y∈R，即x2≥a2，y∈R，
所以x≥a或x≤－a，y∈R.
②对称性：－＝1（a＞0，b＞0）的图象关于x轴、y轴和原点都对称.
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心.
③顶点：双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点.
顶点是A1（－a，0），A2（a，0），只有两个.
④离心率：e＝.因为c＞a＞0，所以可以看出e＞1.
（2）如图，线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长.据此，你能发现双曲线的范围还受怎样的限制？与矩形对角线y＝±x有什么关系？
提示：双曲线在第一象限部分的方程为y＝·，
它与y＝x的位置关系：曲线在y＝x的下方.
它与y＝x的位置的变化趋势：慢慢靠近.
【知识梳理】
双曲线的几何性质
标准方程 －＝1（a＞0，b＞0） －＝1（a＞0，b＞0）
图形
标准方程 －＝1（a＞0，b＞0） －＝1（a＞0，b＞0）
性质 焦点 F1（－c，0），F2（c，0） F1（0，－c），F2（0，c）
焦距 ｜F1F2｜＝ 2c
范围 x≤－a 或 x≥a ， y∈ R y≤－a 或 y≥a ， x∈ R
对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点
标准方程 －＝1（a＞0，b＞0） －＝1（a＞0，b＞0）
顶点 A1（－a，0），A2（a，0） A1（0，－a），A2（0，a）
轴 实轴：线段 A1A2 ，长： 2a ； 虚轴：线段 B1B2 ，长： 2b ； 实半轴长： a ，虚半轴长： b
离心率 e＝ ∈ （1，＋∞）
渐近线 y＝ ±x y＝ ±x
提醒：（1）椭圆与双曲线的离心率都是e，但其范围不一样，椭圆的离心率0＜e＜1，而双曲线的离心率e＞1；（2）当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线对应着无数条双曲线；（3）实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程可写为x2－y2＝m（m＞0），它的渐近线方程为y＝±x.
【例1】求双曲线25y2－4x2＋100＝0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程.
解：双曲线的方程25y2－4x2＋100＝0可化为－＝1，
所以焦点在x轴上，a2＝25，b2＝4，因此实半轴长a＝5，虚半轴长b＝2，顶点坐标为（－5，0），（5，0）.由c＝＝，得焦点坐标为（，0），（－，0）.离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.
变式 若将本例中双曲线的方程变为nx2－my2＝mn（m＞0，n＞0），求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
解：把方程nx2－my2＝mn（m＞0，n＞0）化为标准方程为－＝1（m＞0，n＞0），
由此可知，实半轴长a＝，虚半轴长b＝，c＝，
焦点坐标为（，0），（－，0），离心率e＝＝＝，
顶点坐标为（－，0），（，0），所以渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.
【规律方法】
由双曲线的方程研究几何性质
（1）把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键；
（2）由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；
（3）由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.
训练1 （1）〔多选〕已知双曲线C：－y2＝1的焦点在x轴上，且实轴长是虚轴长的3倍，则下列说法正确的是（ AB ）
A.双曲线C的实轴长为6
B.双曲线C的虚轴长为2
C.双曲线C的焦距为2
D.双曲线C的离心率为
解析：由题设知2a＝3×2b＝6b，即a＝3b，又b＝1，所以a＝3，则m＝a2＝9，所以双曲线的标准方程为－y2＝1，实轴长为2a＝6，虚轴长为2b＝2，焦距为2c＝2，离心率为＝，所以A、B正确，C、D错误.故选A、B.
（2）已知双曲线C：－＝1，则C的左焦点的坐标为（－2，0），C的渐近线方程为y＝±x.
解析：由双曲线方程－＝1，得a＝2，b＝2，所以c＝＝2，则C的左焦点的坐标为（－2，0），渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.
知识点二｜由双曲线的几何性质求标准方程
【例2】求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分；
解：由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3.
由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，
于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.
由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
（2）渐近线方程为y＝±x，且经过点A（2，－3）.
解：法一 ∵双曲线的渐近线方程为y＝±x.
当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0），则＝. ①
∵点A（2，－3）在双曲线上，∴－＝1. ②
①②联立，无解.
当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0），则＝. ③
∵点A（2，－3）在双曲线上，∴－＝1. ④
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
法二 由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ（λ≠0），
∵A（2，－3）在双曲线上，∴－（－3）2＝λ，即λ＝－8.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
【规律方法】
由双曲线的性质求双曲线的标准方程
（1）根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程（组），但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式；
（2）巧设双曲线方程的技巧
①与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1（λ≠0，－b2＜λ＜a2）；
②与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ（λ≠0）；
③渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ（λ≠0）；
④与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）离心率相等的双曲线方程可设为－＝λ（λ＞0）或－＝λ（λ＞0），这是因为由离心率不能确定焦点位置.
训练2 求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）求过点（2，－2）且与双曲线－y2＝1有共同渐近线的双曲线的标准方程；
解：因为所求双曲线与双曲线－y2＝1有相同的渐近线，所以可设所求双曲线的方程为－y2＝λ（λ≠0），代入点（2，－2），得λ＝－2，所以所求双曲线的方程为－y2＝－2，化成标准方程为－＝1.
（2）过点（2，0），与双曲线－＝1的离心率相等.
解：当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为－＝λ（λ＞0），将点（2，0）的坐标代入方程得λ＝，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1；
当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为－＝λ（λ＞0），
将点（2，0）的坐标代入方程得λ＝－＜0（舍去）.
综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
提能点｜双曲线的渐近线和离心率
问题2 （1）椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画了双曲线的什么几何特征？
提示：双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小.
（2）椭圆的离心率越大越扁平，双曲线的离心率与张口大小有什么关系？
提示：e＝＝＝＝，又为双曲线渐近线方程的斜率，因此越小，e越小，双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄，即e越小，双曲线的“张口”越小.
（3）在双曲线－＝1（a＞0，b＞0）中，焦点F1（c，0）到渐近线的距离是多少？
提示：双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，则点F1（c，0）到渐近线y＝x的距离为＝＝b.
角度1 渐近线
【例3】（1）若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ A ）
A.x±y＝0 B.x±y＝0
C.x±y＝0 D.x±y＝0
解析：由题意可知，e＝2，则＝＝＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0.故选A.
（2）已知双曲线－＝1（b＞0）的焦点到渐近线的距离为5，则该双曲线的渐近线方程为5x±2y＝0.
解析：由题意，知b＝5，故该双曲线的渐近线方程为5x±2y＝0.
【规律方法】
求渐近线方程的步骤
（1）定类型：确定双曲线的焦点位置，若不明确，应分类讨论；
（2）求参数：利用已知条件建立a，b的关系式，求出a，b的值或其比值；
（3）写方程：若双曲线的焦点在x上，其渐近线方程为y＝±x；若双曲线的焦点在y上，其渐近线方程为y＝±x.
角度2 离心率
【例4】 （1）如果椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，那么双曲线－＝1的离心率为；
解析：由椭圆的离心率为，得＝，∴a2＝4b2.∴双曲线的离心率e＝＝＝＝.
（2）（2025·东营月考）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为.
解析：不妨设焦点F（c，0），虚轴的端点B（0，b），则kFB＝－.又渐近线的斜率为±，所以由直线垂直得－·＝－1（斜率为－的直线显然不符合），即b2＝ac.又c2－a2＝b2，故c2－a2＝ac，两边同除以a2，得方程e2－e－1＝0，解得e＝（负值舍去）.
【规律方法】
求双曲线离心率的两种方法
（1）直接法：若已知a，c，可直接利用e＝求解；若已知a，b，可利用e＝求解；
（2）方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程（不等式），借助于e＝，转化为关于e的方程（不等式）求解.
训练3 （1）如果双曲线－＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是（ C ）
A.（1，＋∞） B.（，＋∞）
C.（2，＋∞） D.（3，＋∞）
解析：如图，因为｜AO｜＝｜AF｜，F（c，0），所以xA＝，因为A在右支上且不在顶点处，所以＞a，所以e＝＞2.
（2）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F1，M为C的渐近线上一点，M关于原点的对称点为N，若∠MF1N＝90°，且｜F1N｜＝｜F1M｜，则C的渐近线方程为（ B ）
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
解析：如图所示，根据对称性，不妨设M在第三象限，由于∠MF1N＝90°，且｜F1N｜＝｜F1M｜，所以∠F1MN＝60°，｜MN｜＝2｜MF1｜，由于M，N关于原点对称，所以｜OM｜＝｜ON｜，结合∠MF1N＝90°可得｜F1O｜＝｜OM｜＝｜ON｜，所以∠MOF1＝60°，故渐近线MN的倾斜角为60°，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.故选B.
椭圆（双曲线）的第二定义
通过教材P113例6、P125例5我们可以得到如下结论：
（1）椭圆（双曲线）准线的标准方程为x＝±；
（2）椭圆（双曲线）上任意一点到左焦点的距离与到左准线x＝－的距离的比或到右焦点的距离与到右准线x＝的距离的比是椭圆（双曲线）的离心率；
（3）显然当0＜e＜1时为椭圆，当e＞1时为双曲线.
【迁移应用】
1.（2025·烟台质检）点M（x，y）到定点F（5，0）的距离和它到定直线l：x＝的距离的比是常数，则点M的轨迹方程为－＝1.
解析：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P＝，由此得＝.将上式两边平方并化简，得9x2－16y2＝144，即－＝1.
2.点M与定点F（2，0）的距离和它到定直线x＝8的距离的比是1∶2，则点M的轨迹方程为＋＝1.
解析：设M（x，y），d是点M到直线l：x＝8的距离，根据题意，点M的轨迹就是集合P＝，由此得＝，将上式两边平方并化简，得3x2＋4y2＝48，即＋＝1.
1.（2025·南通月考）已知双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，则m2＝（ ）
A.5 B.
C. D.25
解析：A 双曲线x2－＝1的焦点在x轴上，其渐近线方程为y＝±｜m｜x，由渐近线方程为y＝±x，可得｜m｜＝，可得m2＝5.故选A.
2.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是（ ）
A.x2－y2＝8 B.x2－y2＝4
C.y2－x2＝8 D.y2－x2＝4
解析：A 令y＝0，得x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点为（－4，0），∴c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，故选A.
3.〔多选〕已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则（ ）
A.实轴长为8 B.虚轴长为4
C.焦距为6 D.离心率为
解析：ABD 双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6，所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为.
4.已知双曲线的离心率e＝，且与椭圆＋＝1有共同的焦点，则该双曲线的标准方程为－＝1.
解析：在椭圆中，a2＝13，b2＝3，所以c＝＝，焦点坐标为F1（－，0），F2（，0），焦点在x轴上，所以双曲线的焦点也在x轴上，且c1＝c＝.由e＝，得＝，所以a1＝2，所以＝8，＝－＝10－8＝2.故该双曲线的标准方程为－＝1.
课堂小结
1.理清单 （1）双曲线的几何性质； （2）由双曲线的几何性质求标准方程； （3）双曲线的渐近线和离心率问题. 2.应体会 （1）由双曲线的几何性质求标准方程时，要注意待定系数法及分类讨论思想的应用； （2）求双曲线的离心率时，要注意方程思想及数形结合思想的应用. 3.避易错 由双曲线的几何性质求其方程时，对于焦点的位置应考虑全面.
1.双曲线x2－4y2＝－8的渐近线方程为（ ）
A.y＝±2x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
解析：B 由题意双曲线的标准方程为－＝1，则其焦点在y轴上，a＝，b＝2，则其渐近线方程为y＝±x＝±x.
2.已知双曲线－＝1（b＞0）的离心率是2，则b＝（ ）
A.12 B.2
C. D.
解析：B 由题意可得e＝＝＝＝＝2，解得b＝2.故选B.
3.已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（ ）
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：A 由题意，得点P（2，1）在双曲线的渐近线y＝x上，∴＝，即a＝2b.又2c＝10，∴c＝5.由a2＋b2＝c2，解得a2＝20，b2＝5.故所求双曲线方程为－＝1.
4.如图，双曲线C：－＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则｜P2F1｜－｜P1F1｜＝（ ）
A.2 B.3
C.4 D.6
解析：D 设F2为右焦点，连接P2F2（图略），由双曲线的对称性，知｜P1F1｜＝｜P2F2｜，所以｜P2F1｜－｜P1F1｜＝｜P2F1｜－｜P2F2｜＝2×3＝6.
5.已知F是双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线FD，垂足为D，若｜FD｜＝｜OF｜（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）
A. B.2
C.3 D.
解析：A 易知△OFD是直角三角形，双曲线的渐近线方程为y＝±x，设F（c，0），由｜FD｜＝｜OF｜可知∠DOF＝30° tan∠DOF＝＝，所以a2＝3b2＝3（c2－a2） e2＝ e＝.故选A.
6.〔多选〕关于双曲线C1：4x2－9y2＝－36与双曲线C2：4x2－9y2＝36的说法正确的是（ ）
A.有相同的焦点 B.有相同的焦距
C.有相同的离心率 D.有相同的渐近线
解析：BD 两方程均化成标准方程为－＝1和－＝1，这里均有c2＝4＋9＝13，所以有相同的焦距，而焦点一个在y轴上，另一个在x轴上，所以A错误，B正确；又两方程的渐近线均为y＝±x，故D正确；C1的离心率e1＝，C2的离心率e2＝，故C错误，故选B、D.
7.〔多选〕若双曲线C的一个焦点为F（5，0），P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是（ ）
A.C的方程为－＝1
B.C的离心率为
C.焦点到渐近线的距离为3
D.｜PF｜的最小值为2
解析：AD 由双曲线C的一个焦点为F（5，0），且渐近线方程为y＝±x，可得c＝5，焦点在x轴上，所以＝，因为c＝5，所以b＝4，a＝3，所以C的方程为－＝1，A正确；离心率为e＝，B不正确；焦点到渐近线的距离为d＝＝4，C不正确；｜PF｜的最小值为c－a＝2，D正确.
8.能说明“若mn≠0，则方程＋＝1表示的曲线为焦点在y轴上且一条渐近线方程为y＝2x的双曲线”的一组m，n的值是（答案不唯一）.
解析：设焦点在y轴上且渐近线方程为y＝2x的双曲线的方程为－x2＝λ（λ＞0），即－＝1（λ＞0），所以（λ＞0），不妨令λ＝1，所以
9.已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0），O为坐标原点，F1，F2分别为其左、右焦点，若左支上存在一点P，使得F2P的中点M满足｜OM｜＝c，则双曲线的离心率e的取值范围是（1，］.
解析：因为O，M分别为F1F2，PF2的中点，所以｜PF1｜＝2｜OM｜＝c.又双曲线上的点到焦点的最小距离为c－a，所以c≥c－a＞0，解得1＜≤，因此双曲线的离心率e的取值范围是（1，］.
10.已知双曲线C的中心在原点，且过点P（－，3），分别根据下列条件求C的标准方程：
（1）C的离心率为；
（2）焦点在x轴上，且点Q（－1，3）在C的渐近线上.
解：（1）由离心率为，得＝2，又因为c2＝a2＋b2，得a2＝b2，
所以可设C的方程为x2－y2＝λ（λ≠0），
因为C过点P（－，3），所以5－9＝λ，即λ＝－4，
所以C的标准方程为－＝1.
（2）由题意设C的方程为－＝1（a＞0，b＞0），因为点Q（－1，3）在C的渐近线上，所以＝3，又C过点P（－，3），所以－＝1，两式联立解得a＝2，b＝6，
所以C的标准方程为－＝1.
11.已知P为双曲线－x2＝1上任意一点，过点P向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则｜PA｜·｜PB｜的值为（ ）
A.4 B.5
C. D.与点P的位置有关
解析：C 设点P（x0，y0），则有－＝1，所以－4＝4.易知双曲线－x2＝1的渐近线方程为2x±y＝0，所以｜PA｜·｜PB｜＝·＝＝.
12.〔多选〕已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1的上、下焦点，以线段F1F2为直径的圆M与双曲线C的渐近线的一个交点为P，则（ ）
A.圆M的方程为x2＋y2＝10
B.双曲线C的离心率为
C.双曲线C的渐近线方程为y＝±x
D.△PF1F2的面积为2
解析：ABD 由双曲线方程C：－＝1，得实半轴长a＝2，虚半轴长b＝，半焦距c＝＝，圆M的圆心为（0，0），半径为，方程为x2＋y2＝10，A正确；双曲线C的离心率e＝＝，B正确；双曲线C：－＝1的渐近线方程为y＝±2x，C错误；由解得则点P横坐标xP满足｜xP｜＝，而｜F1F2｜＝2，于是＝·｜F1F2｜·｜xP｜＝2，D正确，故选A、B、D.
13.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2，B（0，b）的直线与双曲线右支在第一象限相交于点P，若＝3，则双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
解析：设P（x0，y0），x0＞0，y0＞0，因为B（0，b），F2（c，0），所以直线BF2的方程为＋＝1，又＝3，＝×2c·b＝bc，＝×2c·y0＝cy0，则bc＝3cy0，解得y0＝，将y0＝代入＋＝1中，得x0＝，则P（，），所以－＝1，又a2＋b2＝c2，解得＝，故双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
14.已知双曲线E：－＝1（m＞0）.
（1）若m＝4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；
（2）若双曲线E的离心率e∈（，），求实数m的取值范围.
解：（1）当m＝4时，双曲线方程为－＝1，
所以a＝2，b＝，c＝3，所以双曲线E的焦点坐标为（－3，0），（3，0），
顶点坐标为（－2，0），（2，0），渐近线方程为y＝±x.
（2）因为e2＝＝＝1＋，e∈（，），所以＜1＋＜2，解得5＜m＜10，所以实数m的取值范围是（5，10）.
15.已知F1，F2分别为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围.
解：因为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点，所以｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，｜PF1｜＝2a＋｜PF2｜，
所以＝＝＋4a＋｜PF2｜≥8a，当且仅当＝｜PF2｜，
即｜PF2｜＝2a时取等号，所以｜PF1｜＝2a＋｜PF2｜＝4a，
因为｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＜2c，｜PF1｜＋｜PF2｜＝6a≥2c e＝≤3，所以e∈（1，3].
1 / 11第一课时 双曲线的简单几何性质
课标要求
1.理解双曲线的几何图形及简单几何性质（数学抽象、直观想象）. 2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程（直观想象、数学运算）.
知识点一｜双曲线的几何性质
问题1 （1）类比对椭圆几何性质的研究，探究双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的几何性质；
（2）如图，线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长.据此，你能发现双曲线的范围还受怎样的限制？与矩形对角线y＝±x有什么关系？
【知识梳理】
双曲线的几何性质
标准方程 －＝1（a＞0，b＞0） －＝1（a＞0，b＞0）
图形
性质 焦点 F1（－c，0），F2（c，0） F1（0，－c），F2（0，c）
焦距 ｜F1F2｜＝
范围 或 ， y∈ 或 ， x∈
对称性 对称轴： ；对称中心：
标准方程 －＝1 （a＞0，b＞0） －＝1 （a＞0，b＞0）
性质 顶点 A1（－a，0）， A2（a，0） A1（0，－a）， A2（0，a）
轴 实轴：线段 ，长： ； 虚轴：线段 ，长： ； 实半轴长： ，虚半轴长：
离心率 e＝ ∈
渐近线 y＝ y＝
提醒：（1）椭圆与双曲线的离心率都是e，但其范围不一样，椭圆的离心率0＜e＜1，而双曲线的离心率e＞1；（2）当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线对应着无数条双曲线；（3）实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程可写为x2－y2＝m（m＞0），它的渐近线方程为y＝±x.
【例1】 求双曲线25y2－4x2＋100＝0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程.
变式 若将本例中双曲线的方程变为nx2－my2＝mn（m＞0，n＞0），求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
【规律方法】
由双曲线的方程研究几何性质
（1）把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键；
（2）由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；
（3）由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.
训练1 （1）〔多选〕已知双曲线C：－y2＝1的焦点在x轴上，且实轴长是虚轴长的3倍，则下列说法正确的是（ ）
A.双曲线C的实轴长为6
B.双曲线C的虚轴长为2
C.双曲线C的焦距为2
D.双曲线C的离心率为
（2）已知双曲线C：－＝1，则C的左焦点的坐标为 ，C的渐近线方程为 .
知识点二｜由双曲线的几何性质求标准方程
【例2】 求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分；
（2）渐近线方程为y＝±x，且经过点A（2，－3）.
【规律方法】
由双曲线的性质求双曲线的标准方程
（1）根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程（组），但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式；
（2）巧设双曲线方程的技巧
①与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1（λ≠0，－b2＜λ＜a2）；
②与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ（λ≠0）；
③渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ（λ≠0）；
④与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）离心率相等的双曲线方程可设为－＝λ（λ＞0）或－＝λ（λ＞0），这是因为由离心率不能确定焦点位置.
训练2 求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）求过点（2，－2）且与双曲线－y2＝1有共同渐近线的双曲线的标准方程；
（2）过点（2，0），与双曲线－＝1的离心率相等.
提能点｜双曲线的渐近线和离心率
问题2 （1）椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画了双曲线的什么几何特征？
（2）椭圆的离心率越大越扁平，双曲线的离心率与张口大小有什么关系？
（3）在双曲线－＝1（a＞0，b＞0）中，焦点F1（c，0）到渐近线的距离是多少？
角度1 渐近线
【例3】 （1）若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A.x±y＝0 B.x±y＝0
C.x±y＝0 D.x±y＝0
（2）已知双曲线－＝1（b＞0）的焦点到渐近线的距离为5，则该双曲线的渐近线方程为 .
【规律方法】
求渐近线方程的步骤
（1）定类型：确定双曲线的焦点位置，若不明确，应分类讨论；
（2）求参数：利用已知条件建立a，b的关系式，求出a，b的值或其比值；
（3）写方程：若双曲线的焦点在x上，其渐近线方程为y＝±x；若双曲线的焦点在y上，其渐近线方程为y＝±x.
角度2 离心率
【例4】 （1）如果椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，那么双曲线－＝1的离心率为 ；
（2）（2025·东营月考）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 .
【规律方法】
求双曲线离心率的两种方法
（1）直接法：若已知a，c，可直接利用e＝求解；若已知a，b，可利用e＝求解；
（2）方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程（不等式），借助于e＝，转化为关于e的方程（不等式）求解.
训练3 （1）如果双曲线－＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A.（1，＋∞） B.（，＋∞）
C.（2，＋∞） D.（3，＋∞）
（2）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F1，M为C的渐近线上一点，M关于原点的对称点为N，若∠MF1N＝90°，且｜F1N｜＝｜F1M｜，则C的渐近线方程为（ ）
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
椭圆（双曲线）的第二定义
通过教材P113例6、P125例5我们可以得到如下结论：
（1）椭圆（双曲线）准线的标准方程为x＝±；
（2）椭圆（双曲线）上任意一点到左焦点的距离与到左准线x＝－的距离的比或到右焦点的距离与到右准线x＝的距离的比是椭圆（双曲线）的离心率；
（3）显然当0＜e＜1时为椭圆，当e＞1时为双曲线.
【迁移应用】
1.（2025·烟台质检）点M（x，y）到定点F（5，0）的距离和它到定直线l：x＝的距离的比是常数，则点M的轨迹方程为 .
2.点M与定点F（2，0）的距离和它到定直线x＝8的距离的比是1∶2，则点M的轨迹方程为 .
1.（2025·南通月考）已知双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，则m2＝（ ）
A.5 B.
C. D.25
2.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是（ ）
A.x2－y2＝8 B.x2－y2＝4
C.y2－x2＝8 D.y2－x2＝4
3.〔多选〕已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则（ ）
A.实轴长为8 B.虚轴长为4
C.焦距为6 D.离心率为
4.已知双曲线的离心率e＝，且与椭圆＋＝1有共同的焦点，则该双曲线的标准方程为 .
课堂小结
1.理清单 （1）双曲线的几何性质； （2）由双曲线的几何性质求标准方程； （3）双曲线的渐近线和离心率问题. 2.应体会 （1）由双曲线的几何性质求标准方程时，要注意待定系数法及分类讨论思想的应用； （2）求双曲线的离心率时，要注意方程思想及数形结合思想的应用. 3.避易错 由双曲线的几何性质求其方程时，对于焦点的位置应考虑全面.
提示：完成课后作业 第三章 3.2 3.2.2 第一课时
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