3.3.1 抛物线及其标准方程
课标要求
1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用（数学抽象）.
2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程（直观想象、数学运算）.
3.会求简单的抛物线方程，并能应用它解决有关问题（数学运算、数学建模）.
情境导入
通过前面的学习可以发现，如果动点M到定点F的距离与M到定直线l（不过点F）的距离之比为k，当0＜k＜1时，点M的轨迹为椭圆；当k＞1时，点M的轨迹为双曲线.一个自然的问题是：当k＝1时，即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状？下面我们来研究这个问题.
知识点一｜抛物线的定义
问题1 如图，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，截取一根绳子的长度等于AC的长度，现将绳子的一端固定在三角板的顶点A处，另一端用图钉固定在F处；用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样粉笔就描出了一条曲线，这条曲线是什么曲线？
提示：抛物线.
【知识梳理】
1.定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离 相等 的点的轨迹叫做抛物线.
2.焦点：点 F 叫做抛物线的焦点.
3.准线：直线l叫做抛物线的 准线 .
【例1】判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若点P到点F（1，0）的距离和到直线x＝－2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线.（ √ ）
（2）若点P到点F（1，0）的距离和到直线x＋y－1＝0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线.（ × ）
（3）若点P到点F（1，0）的距离比到直线x＝－2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线.（ √ ）
（4）抛物线的方程都是二次函数.（ × ）
【规律方法】
对抛物线定义的理解
（1）“一动三定”：一动点M；一定点F（即焦点），一定直线l（即准线），一定值1（即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1）；
（2）定义中要注意强调定点F不在定直线l上.当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线.
训练1 已知点F（1，0），直线l：x＝－1，B是l上的动点.若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是（ ）
A.双曲线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线
解析：D 如图，连接MF，由中垂线性质知｜MB｜＝｜MF｜，即M到定点F的距离与它到定直线l的距离相等，且点F不在直线l上，因此，点M的轨迹是抛物线.故选D.
知识点二｜抛物线的标准方程
问题2 （1）比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，才能使所求抛物线的方程形式简单？
提示：我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy.
（2）按照上面建立的坐标系，设｜KF｜＝p（p＞0），焦点F（，0），准线l的方程为x＝－，你能推导出抛物线的标准方程吗？
提示：设M（x，y）是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线是点的集合P＝{M｜｜MF｜＝d}.因为｜MF｜＝，
d＝，所以＝，将上式两边平方并化简，得y2＝2px（p＞0）.
【知识梳理】
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2px（p＞0） （，0） x＝－
y2＝－2px（p＞0） x＝
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
x2＝2py（p＞0） （0，） y＝－
x2＝－2py（p＞0） y＝
提醒：四个标准方程的区分方法：焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向.
角度1 由标准方程求焦点坐标及准线方程
【例2】求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）y2＝x；
解：对于y2＝x，焦点在x轴正半轴上，
焦点坐标为（，0），
准线方程为x＝－.
（2）x2＝－y；
解：对于x2＝－y，焦点在y轴负半轴上，
焦点坐标为（0，－），
准线方程为y＝.
（3）x2＋12y＝0.
解：对于x2＋12y＝0，即x2＝－12y，
焦点在y轴负半轴上，
焦点坐标为（0，－3），准线方程为y＝3.
【规律方法】
求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由方程得到参数p，从而得到焦点坐标与准线方程.
角度2 求抛物线的标准方程
【例3】根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：
（1）焦点在y轴上，并且焦点到准线的距离等于6；
解：由已知得p＝6且焦点在y轴上，所以抛物线的标准方程是x2＝±12y.
（2）准线方程为x＝；
解：由题意知＝，所以p＝，所以抛物线的标准方程是y2＝－x.
（3）焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点.
解：对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，
所以抛物线的焦点为（0，－3）或（4，0）.
当焦点为（0，－3）时，＝3，所以p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；
当焦点为（4，0）时，＝4，所以p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x.
故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.
【规律方法】
用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
提醒：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx（m≠0）或x2＝ny（n≠0），这样可以减少讨论情况的个数.
训练2 （1）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），则p＝2，准线方程为x＝－1；
解析：因为抛物线的焦点坐标为（1，0），所以＝1，p＝2，准线方程为x＝－＝－1.
（2）过点（3，－4）的抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
解析：当焦点在x轴上时，设所求抛物线的标准方程为y2＝mx（m≠0），于是（－4）2＝3m，解得m＝；当焦点在y轴上时，设所求抛物线的标准方程为x2＝ny（n≠0），于是32＝－4n，解得n＝－，所以抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
知识点三｜抛物线的实际应用问题
【例4】 如图是抛物线形拱桥，设水面宽｜AB｜＝18 m，拱顶距离水面8 m，一货船在水面上的部分的横截面为一矩形CDEF.若｜CD｜＝9 m，那么｜DE｜不超过多少米才能使货船通过拱桥？
解：如图所示，以点O为坐标原点，过点O且平行于AB的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则B（9，－8）.
设抛物线方程为x2＝－2py（p＞0）.因为点B在抛物线上，
所以81＝－2p·（－8），所以p＝，
所以抛物线的方程为x2＝－y.
当x＝时，y＝－2，
即｜DE｜＝8－2＝6（m）.所以｜DE｜不超过6 m才能使货船通过拱桥.
【规律方法】
求解抛物线实际应用题的步骤
训练3 为响应“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个可以利用太阳光能源的太阳灶，如图所示.集光板由抛物面（抛物线绕对称轴旋转得到）形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果（容器灶圈在抛物面对应轴截面的抛物线焦点处），容器灶圈到集光板顶点的距离应为（ ）
A.0.5 m B.1 m C.1.5 m D.2 m
解析：B 若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，设抛物线方程为x2＝2py（p＞0），集光板端点A（1，0.25），代入抛物线方程可得2×0.25p＝1，解得p＝2，所以抛物线方程为x2＝4y，故焦点坐标是F（0，1），所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m.
提能点｜抛物线定义的应用
问题3 若点M（x0，y0）是抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，抛物线的焦点为F，准线为l，则线段MF叫做抛物线的焦半径.试探求焦半径的长度与点M坐标的关系.
提示：如图所示，过点M作l的垂线段MH，由抛物线的定义可知｜MF｜＝｜MH｜＝x0＋.
【知识梳理】
图形
方程 y2＝2px y2＝－2px
焦半径（｜MF｜） x0＋ －x0
图形
方程 x2＝2py x2＝－2py
焦半径（｜MF｜） y0＋ －y0
提醒：由焦半径公式｜MF｜＝x0＋可知｜MF｜的最小值为，此时M在顶点.
【例5】 （1）抛物线x2＝4y上的点P到焦点的距离是10，则P点的坐标为（ ）
A.（6，9） B.（－4，4）
C.（±6，9） D.（±4，4）
解析：C 设点P（x0，y0），由抛物线方程x2＝4y，知焦点坐标为（0，1），准线方程为y＝－1.由抛物线的定义，得｜PF｜＝y0＋1＝10，所以y0＝9，代入抛物线方程得x0＝±6.所以P点坐标为（±6，9）.
（2）已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值.
解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离.由图可知，当点P，点（0，2）和抛物线的焦点F（，0）三点共线时距离之和最小，所以最小距离d＝＝.
变式 （1）若将本例（2）中的点（0，2）改为点A（5，3），求｜PA｜＋｜PF｜的最小值；
解：将x＝5代入y2＝2x，
得y＝±.所以点A在抛物线内部.设点P到准线x＝－的距离为d，则｜PA｜＋｜PF｜＝｜PA｜＋d.由图可知，当PA⊥l时，｜PA｜＋d最小，最小值是，
即｜PA｜＋｜PF｜的最小值是.
（2）若将本例中（2）的点（0，2）换为直线l1：3x－4y＋6＝0，求点P到直线3x－4y＋6＝0的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值.
解：如图，作PQ垂直于准线l于点Q，
｜PA1｜＋｜PQ｜＝｜PA1｜＋｜PF｜≥｜A1F｜min.
｜A1F｜的最小值为点F到直线3x－4y＋6＝0的距离，设点F到直线l1的距离为d，
d＝＝，即所求最小值为.
【规律方法】
抛物线定义的两种应用
（1）实现距离转化：根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题；
（2）解决最值问题：在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.
训练4 （1）已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，｜AF｜＝x0，则x0＝（ A ）
A.1 B.2
C.4 D.8
解析：∵＋x0＝x0，∴x0＝1.
（2）已知点P是抛物线C：x2＝12y上的一点，过点P作直线y＝－1的垂线，垂足为M，若G（4，0），则｜PG｜＋｜PM｜的最小值为3.
解析：由抛物线C：x2＝12y可知其焦点坐标为（0，3），准线方程为y＝－3，记抛物线C的焦点为F（0，3），所以｜PG｜＋｜PM｜＝｜PG｜＋｜PF｜－2≥｜FG｜－2＝－2＝3，当且仅当点P为线段FG与抛物线的交点时等号成立，所以｜PG｜＋｜PM｜的最小值为3.
1.若动点P到定点F（－4，0）的距离与到直线x＝4的距离相等，则P点的轨迹是（ ）
A.抛物线 B.线段
C.直线 D.射线
解析：A 动点P的条件满足抛物线的定义.故选A.
2.已知抛物线y＝2px2过点（1，4），则抛物线的焦点坐标为（ ）
A.（1，0） B.（，0）
C.（0，） D.（0，1）
解析：C 由抛物线y＝2px2过点（1，4），可得p＝2，∴抛物线的标准方程为x2＝y，则焦点坐标为（0，），故选C.
3.已知抛物线的焦点在x轴的负半轴上，若p＝2，则其标准方程为（ ）
A.y2＝－2x B.x2＝－2y
C.y2＝－4x D.x2＝－4y
解析：C 因为抛物线的焦点在x轴的负半轴上，所以设抛物线的标准方程为y2＝－2px.又因为p＝2，所以抛物线的标准方程为y2＝－4x.故选C.
4.石拱桥是世界桥梁史上出现较早、形式优美、结构坚固的一种桥型.如图是一座石拱桥，桥洞弧线可近似看成是焦点在y轴负半轴上的抛物线C的一部分，当水平面距离拱顶4米时，水面的宽度是8米，则抛物线C的焦点到准线的距离为2米.
解析：设抛物线C：x2＝－2py（p＞0），由题意可知点（4，－4）在抛物线C上，则－2p×（－4）＝42，解得p＝2，故抛物线C的焦点到准线的距离是2米.
课堂小结
1.理清单 （1）抛物线的定义； （2）抛物线的标准方程； （3）抛物线的实际应用问题； （4）抛物线定义的应用. 2.应体会 （1）求抛物线的标准方程时，常用待定系数法； （2）求与抛物线有关的数值问题时，要注意数形结合思想、转化与化归思想的应用. 3.避易错 求抛物线方程时不要混淆抛物线的焦点位置和方程形式.
1.过点A（3，0）且与y轴相切的圆的圆心轨迹为（ ）
A.圆 B.椭圆
C.直线 D.抛物线
解析：D 由题意可知，动圆的圆心到点A的距离与到y轴的距离相等，满足抛物线的定义.
2.抛物线y＝－x2的准线方程为（ ）
A.x＝ B.x＝1
C.y＝1 D.y＝2
解析：C 抛物线的标准方程为x2＝－4y，则准线方程为y＝1.
3.准线与x轴垂直，且经过点（1，－）的抛物线的标准方程是（ ）
A.y2＝－2x B.y2＝2x
C.x2＝2y D.x2＝－2y
解析：B 由题意可设抛物线的标准方程为y2＝mx（m≠0），则（－）2＝m，解得m＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x.
4.若抛物线x2＝16y上一点（x0，y0）到焦点的距离是该点到x轴距离的3倍，则y0＝（ ）
A. B.
C.1 D.2
解析：D 抛物线x2＝16y的准线方程为y＝－4，由抛物线的定义知，抛物线x2＝16y上一点（x0，y0）到焦点的距离为y0＋4，所以y0＋4＝3y0，解得y0＝2.
5.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）
A.2 B.3
C. D.
解析：A 易知直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为PF的长度，其中F（1，0）为抛物线y2＝4x的焦点.由图可知，距离之和的最小值即F到直线l1的距离d＝＝2.
6.〔多选〕已知F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上的一点，｜AF｜＝2，则下列说法正确的是（ ）
A.焦点F（1，0）
B.准线方程为y＝－1
C.点A（1，2）或A（1，－2）
D.焦点到准线的距离为4
解析：AC 由y2＝4x可知2p＝4，即p＝2，所以抛物线的焦点为F（1，0），准线方程为x＝－1，故A正确，B错误；由抛物线定义可知｜AF｜＝xA－（－1）＝2，即xA＝1，代入抛物线方程可得＝4，即yA＝±2，所以点A（1，2）或A（1，－2），故C正确；由抛物线方程可知，焦点到准线的距离为p＝2，故D错误，故选A、C.
7.〔多选〕经过点P（4，－2）的抛物线的标准方程为（ ）
A.y2＝x B.x2＝8y
C.x2＝－8y D.y2＝－8x
解析：AC 若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为y2＝mx（m≠0），因为抛物线经过点P（4，－2），所以（－2）2＝4m，解得m＝1，所以抛物线的标准方程为y2＝x.若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为x2＝ny（n≠0），因为抛物线经过点P（4，－2），所以42＝－2n，解得n＝－8，所以抛物线的标准方程为x2＝－8y.故选A、C.
8.设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么｜PF｜＝8.
解析：如图，设准线l与x轴交于点E，∠AFE＝60°，因为F（2，0），所以E（－2，0），则＝tan 60°，即｜AE｜＝4，所以点P的坐标为（6，4），故｜PF｜＝｜PA｜＝6＋2＝8.
9.平面上一动点P到定点F（1，0）的距离比点P到y轴的距离大1，则动点P的轨迹方程为y2＝4x（x≥0）或y＝0（x＜0）.
解析：由题意，动点P到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离大1，由于点F（1，0）到y轴的距离为1，故当x＜0时，直线y＝0上的点符合题意；当x≥0时，题中条件等价于点P到点F（1，0）与到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，轨迹方程为y2＝4x.故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x（x≥0）或y＝0（x＜0）.
10.根据下列条件分别求抛物线的标准方程：
（1）抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
（2）抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，｜AF｜＝5.
解：（1）双曲线方程可化为－＝1，左顶点为（－3，0），
由题意设抛物线方程为y2＝－2px（p＞0）且＝－3，
∴p＝6，∴抛物线的方程为y2＝－12x.
（2）设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px（p≠0），A（m，－3），
由抛物线定义得5＝｜AF｜＝｜m＋.
又（－3）2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9，
故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
11.若抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点的横坐标为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：B 由抛物线方程y2＝2x可知，＝，设点A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的定义知点A到焦点F的距离等于点A到准线的距离，即｜AF｜＝x1＋＝x1＋，同理｜BF｜＝x2＋＝x2＋.故｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋1＝5，即x1＋x2＝4，得＝2.故线段AB的中点的横坐标是2.
12.〔多选〕设抛物线y2＝4x，F为其焦点，P为抛物线上一点，则下列结论正确的是（ ）
A.抛物线的准线方程是x＝－1
B.当PF⊥x轴时，｜PF｜取最小值
C.若A（2，3），则｜PA｜＋｜PF｜的最小值为
D.以线段PF为直径的圆与y轴相切
解析：ACD 对于A，抛物线的准线方程为x＝－＝－1，故A正确；对于B，设P（x0，y0），则x0≥0，＝4x0，F（1，0），则｜PF｜＝＝x0＋1≥1，当x0＝0时取得最小值，此时P（0，0）在原点，故B错误；对于C，A在抛物线外部，故当P，A，F三点共线时｜PA｜＋｜PF｜取得最小值，为｜AF｜＝＝，故C正确；对于D，过点P作准线的垂线，垂足为Q，设P（m，n），线段PF的中点为B（x1，y1），可得x1＝（1＋m），由抛物线的定义，得｜PF｜＝｜PQ｜＝m＋1，∴x1＝｜PF｜，即点B到y轴的距离等于以PF为直径的圆的半径，因此，以PF为直径的圆与y轴相切，故D正确.故选A、C、D.
13.清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征.如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为3 cm，碗盖口直径为8 cm，碗体口直径为10 cm，碗体深6.25 cm，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为7cm（碗体和碗盖的厚度忽略不计）.
解析：以碗体的最低点为原点，向上方向为y轴的正方向，建立平面直角坐标系，如图所示.设碗体的抛物线方程为x2＝2py（p＞0），将点（5，6.25）代入，得52＝2p×6.25，解得p＝2，则x2＝4y，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为h cm，则两抛物线在第一象限的交点为（4，h－3），代入到x2＝4y，得42＝4（h－3），解得h＝7.
14.（2025·青岛月考）如图所示，已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标.
解：（1）抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，
于是4＋＝5，p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x.
（2）由题意得A（4，4），B（0，4），M（0，2）.
又F（1，0），所以kAF＝，
则直线FA的方程为y＝（x－1）.
因为MN⊥FA，所以kMN＝－，
则直线MN的方程为y＝－x＋2.
解方程组
得所以N.
15.已知抛物线y2＝4ax（a＞0）的焦点为A，以B（a＋4，0）为圆心，｜BA｜为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同两点M，N，点P为线段MN的中点.
（1）求｜AM｜＋｜AN｜的值；
（2）是否存在这样的a，使2｜AP｜＝｜AM｜＋｜AN｜？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）设M（xM，yM），N（xN，yN），由抛物线的定义，得｜AM｜＋｜AN｜＝xM＋xN＋2a.
又圆的方程为[x－（a＋4）]2＋y2＝16，
将y2＝4ax代入，得x2－2（4－a）x＋a2＋8a＝0，
∴xM＋xN＝2（4－a），∴｜AM｜＋｜AN｜＝8.
（2）不存在.理由如下：
假设存在这样的a，使得2｜AP｜＝｜AM｜＋｜AN｜.过点P作PP'垂直抛物线的准线，垂足为P'（图略）.
∵｜AM｜＋｜AN｜＝2｜PP'｜，∴｜AP｜＝｜PP'｜.
由抛物线的定义知点P必在抛物线上，
这与点P是线段MN的中点矛盾，
∴这样的a不存在.
1 / 33.3.1 抛物线及其标准方程
课标要求
1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用（数学抽象）. 2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程（直观想象、数学运算）. 3.会求简单的抛物线方程，并能应用它解决有关问题（数学运算、数学建模）.
知识点一｜抛物线的定义
问题1 如图，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，截取一根绳子的长度等于AC的长度，现将绳子的一端固定在三角板的顶点A处，另一端用图钉固定在F处；用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样粉笔就描出了一条曲线，这条曲线是什么曲线？
【知识梳理】
1.定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离 的点的轨迹叫做抛物线.
2.焦点：点 叫做抛物线的焦点.
3.准线：直线l叫做抛物线的 .
【例1】 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若点P到点F（1，0）的距离和到直线x＝－2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线.（ ）
（2）若点P到点F（1，0）的距离和到直线x＋y－1＝0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线.（ ）
（3）若点P到点F（1，0）的距离比到直线x＝－2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线.（ ）
（4）抛物线的方程都是二次函数.（ ）
【规律方法】
对抛物线定义的理解
（1）“一动三定”：一动点M；一定点F（即焦点），一定直线l（即准线），一定值1（即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1）；
（2）定义中要注意强调定点F不在定直线l上.当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线.
训练1 已知点F（1，0），直线l：x＝－1，B是l上的动点.若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是（ ）
A.双曲线 B.椭圆
C.圆 D.抛物线
知识点二｜抛物线的标准方程
问题2 （1）比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，才能使所求抛物线的方程形式简单？
（2）按照上面建立的坐标系，设｜KF｜＝p（p＞0），焦点F（，0），准线l的方程为x＝－，你能推导出抛物线的标准方程吗？
【知识梳理】
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
（p＞0） x＝－
（p＞0）
（p＞0） y＝－
（p＞0）
提醒：四个标准方程的区分方法：焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向.
角度1 由标准方程求焦点坐标及准线方程
【例2】 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）y2＝x；（2）x2＝－y；（3）x2＋12y＝0.
【规律方法】
求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由方程得到参数p，从而得到焦点坐标与准线方程.
角度2 求抛物线的标准方程
【例3】 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：
（1）焦点在y轴上，并且焦点到准线的距离等于6；
（2）准线方程为x＝；
（3）焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点.
【规律方法】
用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
提醒：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx（m≠0）或x2＝ny（n≠0），这样可以减少讨论情况的个数.
训练2 （1）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），则p＝ ，准线方程为 ；
（2）过点（3，－4）的抛物线的标准方程为 .
知识点三｜抛物线的实际应用问题
【例4】 如图是抛物线形拱桥，设水面宽｜AB｜＝18 m，拱顶距离水面8 m，一货船在水面上的部分的横截面为一矩形CDEF.若｜CD｜＝9 m，那么｜DE｜不超过多少米才能使货船通过拱桥？
【规律方法】
求解抛物线实际应用题的步骤
训练3 为响应“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个可以利用太阳光能源的太阳灶，如图所示.集光板由抛物面（抛物线绕对称轴旋转得到）形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果（容器灶圈在抛物面对应轴截面的抛物线焦点处），容器灶圈到集光板顶点的距离应为（ ）
A.0.5 m B.1 m
C.1.5 m D.2 m
提能点｜抛物线定义的应用
问题3 若点M（x0，y0）是抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，抛物线的焦点为F，准线为l，则线段MF叫做抛物线的焦半径.试探求焦半径的长度与点M坐标的关系.
【知识梳理】
图形
方程 y2＝2px y2＝－2px
焦半径（｜MF｜） x0＋ －x0
图形
方程 x2＝2py x2＝－2py
焦半径（｜MF｜） y0＋ －y0
提醒：由焦半径公式｜MF｜＝x0＋可知｜MF｜的最小值为，此时M在顶点.
【例5】 （1）抛物线x2＝4y上的点P到焦点的距离是10，则P点的坐标为（ ）
A.（6，9） B.（－4，4）
C.（±6，9） D.（±4，4）
（2）已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值.
变式 （1）若将本例（2）中的点（0，2）改为点A（5，3），求｜PA｜＋｜PF｜的最小值；
（2）若将本例中（2）的点（0，2）换为直线l1：3x－4y＋6＝0，求点P到直线3x－4y＋6＝0的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值.
【规律方法】
抛物线定义的两种应用
（1）实现距离转化：根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题；
（2）解决最值问题：在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.
训练4 （1）已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，｜AF｜＝x0，则x0＝（ ）
A.1 B.2
C.4 D.8
（2）已知点P是抛物线C：x2＝12y上的一点，过点P作直线y＝－1的垂线，垂足为M，若G（4，0），则｜PG｜＋｜PM｜的最小值为 .
1.若动点P到定点F（－4，0）的距离与到直线x＝4的距离相等，则P点的轨迹是（ ）
A.抛物线 B.线段
C.直线 D.射线
2.已知抛物线y＝2px2过点（1，4），则抛物线的焦点坐标为（ ）
A.（1，0） B.（，0）
C.（0，） D.（0，1）
3.已知抛物线的焦点在x轴的负半轴上，若p＝2，则其标准方程为（ ）
A.y2＝－2x B.x2＝－2y
C.y2＝－4x D.x2＝－4y
4.石拱桥是世界桥梁史上出现较早、形式优美、结构坚固的一种桥型.如图是一座石拱桥，桥洞弧线可近似看成是焦点在y轴负半轴上的抛物线C的一部分，当水平面距离拱顶4米时，水面的宽度是8米，则抛物线C的焦点到准线的距离为 米.
课堂小结
1.理清单 （1）抛物线的定义； （2）抛物线的标准方程； （3）抛物线的实际应用问题； （4）抛物线定义的应用. 2.应体会 （1）求抛物线的标准方程时，常用待定系数法； （2）求与抛物线有关的数值问题时，要注意数形结合思想、转化与化归思想的应用. 3.避易错 求抛物线方程时不要混淆抛物线的焦点位置和方程形式.
提示：完成课后作业 第三章 3.3 3.3.1
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