第二课时 直线与抛物线的位置关系
课标要求
1.会判断直线与抛物线的位置关系（逻辑推理、直观想象）. 2.会求解抛物线中的弦长及中点弦等问题（数学运算）.
知识点一｜直线与抛物线的位置关系
问题1 （1）类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，抛物线与直线有哪几种位置关系？
（2）试通过作图分析，我们能否用公共点的个数来判定直线与抛物线的位置关系呢？
【知识梳理】
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px（p＞0），将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2（km－p）x＋m2＝0.
（1）若k≠0，当 时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当 时，直线与抛物线相切，有一个切点；
当 时，直线与抛物线相离，没有公共点.
（2）若k＝0，直线与抛物线有 交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
提醒：研究直线与抛物线的位置关系时要注意直线斜率不存在的情况.
【例1】 已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点.
【规律方法】
判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于零时，直线与抛物线相交于一点.
训练1 （1）已知抛物线x2＝ay（a≠0）与倾斜角为45°的直线l相切于点（1，），则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A.（0，1） B.（0，）
C.（0，－1） D.（0，－）
（2）已知点A（0，2）和抛物线C：y2＝6x，求过点A且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程.
知识点二｜弦长问题
问题2 上一节课我们学习了抛物线的焦点弦公式，那么抛物线的一般弦长怎么计算？
【例2】 已知抛物线C：y2＝4x，过此抛物线焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且｜AB｜＝5，求AB所在直线的方程.
变式 若将本例中的条件“过此抛物线焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且｜AB｜＝5”改为“过点M（2，0）且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点”，求AB的长.
【规律方法】
当直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px（p＞0）相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）时，弦长｜AB｜＝·｜x1－x2｜＝·＝｜y1－y2｜＝.
提醒：直线与对称轴垂直时，可用坐标法求弦长.
训练2 已知抛物线x2＝4y，焦点为F，若直线x－y＋3＝0与抛物线交于A，B，则S△FAB＝（ ）
A.4 B.8
C.8 D.16
知识点三｜中点弦问题
问题3 已知A（x1，y1），B（x2，y2）为抛物线y2＝2px上两点，AB的中点为M（x0，y0），直线AB的斜率为k，你能求出k吗？
【例3】 过点P（4，1）作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度.
【规律方法】
解决中点弦问题常用方法
训练3 （1）若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是 ；
（2）已知抛物线y2＝2x，过点Q（2，1）作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点的轨迹方程.
1.已知直线l与抛物线y2＝2px（p＞0）只有一个交点，则直线l与抛物线的位置关系是（ ）
A.相交 B.相切
C.相离 D.相交或相切
2.已知斜率为k的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，线段AB的中点为M（2，1），则直线l的方程为（ ）
A.2x－y－3＝0 B.2x－y－5＝0
C.x－2y＝0 D.x－y－1＝0
3.已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q（－2，0）的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 .
4.设直线y＝2x＋b与抛物线y2＝4x交于A，B两点.已知弦AB的长为3，则b＝ .
课堂小结
1.理清单 （1）直线与抛物线的位置关系； （2）弦长问题； （3）中点弦问题. 2.应体会 解决直线与抛物线的问题，常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样可以避免求交点，尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用. 3.避易错 （1）涉及直线与抛物线位置关系时，应注意斜率不存在和斜率为零两种特殊情况； （2）当k＝0时，直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px（p＞0）只有一个交点.
提示：完成课后作业 第三章 3.3 3.3.2 第二课时
2 / 2第二课时 直线与抛物线的位置关系
课标要求
1.会判断直线与抛物线的位置关系（逻辑推理、直观想象）. 2.会求解抛物线中的弦长及中点弦等问题（数学运算）.
知识点一｜直线与抛物线的位置关系
问题1 （1）类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，抛物线与直线有哪几种位置关系？
提示：位置关系有3种：相交、相切、相离.
（2）试通过作图分析，我们能否用公共点的个数来判定直线与抛物线的位置关系呢？
提示：不能.如图1，相切时有一个公共点；如图2，相交时也有一个公共点.
【知识梳理】
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px（p＞0），将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2（km－p）x＋m2＝0.
（1）若k≠0，当 Δ＞0 时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当 Δ＝0 时，直线与抛物线相切，有一个切点；
当 Δ＜0 时，直线与抛物线相离，没有公共点.
（2）若k＝0，直线与抛物线有 一个 交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
提醒：研究直线与抛物线的位置关系时要注意直线斜率不存在的情况.
【例1】已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点.
解：联立消去y，得k2x2＋（2k－4）x＋1＝0.（*）
当k＝0时，（*）式只有一个解x＝，此时直线l与C只有一个公共点，此时直线l平行于x轴.
当k≠0时，（*）式是一个一元二次方程，Δ＝（2k－4）2－4k2＝16（1－k）.
①当Δ＞0，即k＜1，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ＜0，即k＞1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离.
综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；当k＜1，且k≠0时，l与C有两个公共点；当k＞1时，l与C没有公共点.
【规律方法】
判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于零时，直线与抛物线相交于一点.
训练1 （1）已知抛物线x2＝ay（a≠0）与倾斜角为45°的直线l相切于点（1，），则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A.（0，1） B.（0，）
C.（0，－1） D.（0，－）
解析：B 由题意得，直线方程为y－＝x－1，即y＝x－1＋，将直线方程代入抛物线方程得x2－ax＋a－1＝0，由Δ＝a2－4a＋4＝0得a＝2，所以抛物线方程为x2＝2y，焦点坐标为（0，）.故选B.
（2）已知点A（0，2）和抛物线C：y2＝6x，求过点A且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程.
解：当直线l的斜率不存在时，由直线l过点A（0，2）可知，直线l就是y轴，其方程为x＝0.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋2.
与抛物线C的方程联立得
消去x得，ky2－6y＋12＝0. ①
当k＝0时，得－6y＋12＝0，可知此时直线l与抛物线相交于点（，2），即直线l的方程为y＝2.
当k≠0时，关于y的一元二次方程①的判别式Δ＝36－48k.
由Δ＝0得k＝，可知此时直线l与抛物线C有且仅有一个公共点，直线l的方程为y＝x＋2，即3x－4y＋8＝0.
综上，直线l的方程为x＝0或y＝2或3x－4y＋8＝0.
知识点二｜弦长问题
问题2 上一节课我们学习了抛物线的焦点弦公式，那么抛物线的一般弦长怎么计算？
提示：与椭圆、双曲线一样，用弦长公式计算，注意运用设而不求的方法.
【例2】已知抛物线C：y2＝4x，过此抛物线焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且｜AB｜＝5，求AB所在直线的方程.
解：由题意知焦点F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）.若AB⊥x轴，则｜AB｜＝4＜5，
不满足题意.所以直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y＝k（x－1）（k≠0）.
法一 与抛物线方程联立消去x，整理得ky2－4y－4k＝0.Δ＞0，y1＋y2＝，y1y2＝－4.
所以｜AB｜＝｜y1－y2｜＝·＝·＝4（1＋）＝5，解得k＝±2.所以AB所在直线的方程为2x＋y－2＝0或2x－y－2＝0.
法二 与抛物线方程联立消去y，整理得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0.Δ＞0，x1＋x2＝2＋.
所以｜AB｜＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝4＋＝5，解得k＝±2.
所以AB所在直线的方程为2x＋y－2＝0或2x－y－2＝0.
变式 若将本例中的条件“过此抛物线焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且｜AB｜＝5”改为“过点M（2，0）且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点”，求AB的长.
解：直线AB的方程为y＝2（x－2），设A（x1，y1），B（x2，y2），由
法一 解得
则｜AB｜＝＝3.
法二 消去y整理得x2－5x＋4＝0，则Δ＝9＞0，x1＋x2＝5，x1x2＝4，
｜AB｜＝｜x1－x2｜＝·＝3.
【规律方法】
当直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px（p＞0）相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）时，弦长｜AB｜＝·｜x1－x2｜＝·＝｜y1－y2｜＝.
提醒：直线与对称轴垂直时，可用坐标法求弦长.
训练2 已知抛物线x2＝4y，焦点为F，若直线x－y＋3＝0与抛物线交于A，B，则S△FAB＝（ ）
A.4 B.8
C.8 D.16
解析：B 联立解得x1＝－2，x2＝6，∴｜AB｜＝·｜－2－6｜＝8，又F（0，1）到直线x－y＋3＝0的距离为d＝＝，∴S△FAB＝×8×＝8.
知识点三｜中点弦问题
问题3 已知A（x1，y1），B（x2，y2）为抛物线y2＝2px上两点，AB的中点为M（x0，y0），直线AB的斜率为k，你能求出k吗？
提示：由已知得＝2px1，＝2px2，相减后整理得＝＝，即k＝.
【例3】过点P（4，1）作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度.
解：法一 设A（x1，y1），B（x2，y2），则有＝8x1，＝8x2，
两式相减，得（y1－y2）（y1＋y2）＝8（x1－x2）.因为P是AB的中点，
所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，则k＝＝＝4，
所以所求直线AB的方程为y－1＝4（x－4），即4x－y－15＝0.
由
消去x整理得y2－2y－30＝0，因为Δ＞0，所以y1＋y2＝2，y1y2＝－30.
由弦长公式得｜AB｜＝·｜y1－y2｜＝·＝.
法二 由题意知AB所在直线的斜率存在且不为0.
设AB所在直线的方程为y＝k（x－4）＋1（k≠0），
由消去x整理得ky2－8y－32k＋8＝0，则Δ＞0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝，因为P是AB的中点，所以＝1，
所以＝2，解得k＝4.所以所求直线AB的方程为4x－y－15＝0.
由消去x整理得y2－2y－30＝0，因为Δ＞0，所以y1＋y2＝2，y1y2＝－30，由弦长公式得｜AB｜＝·｜y1－y2｜
＝·
＝.
【规律方法】
解决中点弦问题常用方法
训练3 （1）若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是（4，2）；
解析：由得x2－8x＋4＝0，Δ＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x0，y0），则x1＋x2＝8，∴x0＝4，y0＝2，∴AB的中点的坐标为（4，2）.
（2）已知抛物线y2＝2x，过点Q（2，1）作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点的轨迹方程.
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点为M（x，y），则y1＋y2＝2y，当直线AB的斜率存在时，kAB＝＝.
易知
①－②，得（y1＋y2）（y1－y2）＝2（x1－x2），
所以2y＝2，即2y＝2，即（y－）2＝x－（y≠0）.
当直线AB的斜率不存在，即AB⊥x轴时，AB的中点为（2，0），适合上式，故所求轨迹方程为（y－）2＝x－.
1.已知直线l与抛物线y2＝2px（p＞0）只有一个交点，则直线l与抛物线的位置关系是（ ）
A.相交 B.相切
C.相离 D.相交或相切
解析：D 当直线l与x轴平行或重合时，直线l与抛物线只有一个交点；当直线l与抛物线相切时，也只有一个交点，故选D.
2.已知斜率为k的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，线段AB的中点为M（2，1），则直线l的方程为（ ）
A.2x－y－3＝0 B.2x－y－5＝0
C.x－2y＝0 D.x－y－1＝0
解析：A 设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ＝＝2，所以k＝2，因为直线过点M（2，1），所以直线l的方程为2x－y－3＝0.故选A.
3.已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q（－2，0）的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是[－1，1].
解析：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x＋2），代入抛物线方程，消去y并整理，得k2x2＋（4k2－8）x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝（4k2－8）2－4k2·4k2＝64（1－k2）≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1.因此直线l的斜率的取值范围是[－1，1].
4.设直线y＝2x＋b与抛物线y2＝4x交于A，B两点.已知弦AB的长为3，则b＝－4.
解析：由消去y得4x2＋4（b－1）x＋b2＝0，由Δ＞0，解得b＜，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝1－b，x1x2＝，所以｜x1－x2｜＝＝，所以｜AB｜＝·｜x1－x2｜＝·＝3.所以1－2b＝9，即b＝－4.
课堂小结
1.理清单 （1）直线与抛物线的位置关系； （2）弦长问题； （3）中点弦问题. 2.应体会 解决直线与抛物线的问题，常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样可以避免求交点，尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用. 3.避易错 （1）涉及直线与抛物线位置关系时，应注意斜率不存在和斜率为零两种特殊情况； （2）当k＝0时，直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px（p＞0）只有一个交点.
1.若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝x只有一个公共点，则实数k＝（ ）
A. B.0
C.或0 D.8或0
解析：C 由可知若k＝0，直线与抛物线只有一个交点（4，2）；若k≠0，则ky2－y＋2＝0，Δ＝1－8k＝0，所以k＝.综上可知k＝0或，故选C.
2.已知A，B为抛物线y2＝2x上两点，且A与B的纵坐标之和为4，则直线AB的斜率为（ ）
A.－1 B.－
C. D.1
解析：C 设A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1＋y2＝4，因为A，B在抛物线上，所以两式相减得－＝2（x1－x2），即kAB＝＝＝＝.
3.已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为（ ）
A.x2＝8y B.x2＝4y
C.x2＝2y D.x2＝y
解析：C 由解得或则交点坐标为（0，0），（4p，8p），则＝4，解得p＝1.故所求抛物线C的方程为x2＝2y.
4.抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是（ ）
A. B. C. D.3
解析：A 法一 设与抛物线相切，且与直线4x＋3y－8＝0平行的直线方程为4x＋3y＋m＝0.与抛物线y＝－x2联立，消去y可得3x2－4x－m＝0，由题意知，Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－.∴最小值为两平行线之间的距离d＝＝.
法二 设抛物线y＝－x2上一点为（m，－m2），该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为，当m＝时，取得最小值.
5.设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线相交于A，B两点，若线段AB的中点为E，O为坐标原点，且｜OE｜＝，则p＝（ ）
A.2 B.3
C.6 D.12
解析：A 由题意可知F（，0），则直线AB的方程为y＝x－，设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得相减得－＝2p（x1－x2） y1＋y2＝2p，因为E为线段AB的中点，所以E（，），即E（，p），因为E在直线AB：y＝x－上，所以E（，p），又因为｜OE｜＝，所以p＝2.
6.〔多选〕已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线l的距离为2，则（ ）
A.焦点F的坐标为（1，0）
B.过点A（－1，0）恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点
C.直线x＋y－1＝0与抛物线C相交所得弦长为8
D.若抛物线C与圆x2＋y2＝5交于M，N两点，则｜MN｜＝4
解析：ACD 由题可知抛物线C的方程为y2＝4x.对于A，焦点F的坐标为（1，0），故A正确；对于B，过点A（－1，0）可作抛物线的2条切线，且直线y＝0与抛物线C有且只有一个公共点，故过点A（－1，0）共有3条直线与抛物线C有且只有一个公共点，故B错误；对于C，由得y2＋4y－4＝0，设弦的两个端点分别为D（x1，y1），E（x2，y2），则y1＋y2＝－4，y1y2＝－4，所以弦长｜DE｜＝｜y1－y2｜＝·＝×＝8，故C正确；对于D，由得x2＋4x－5＝0，解得x＝1或x＝－5（舍去），将x＝1代入y2＝4x，得y＝±2，故交点为（1，±2），所以｜MN｜＝4，故D正确.
7.〔多选〕已知直线l：x＝ty＋4与抛物线C：y2＝4x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别记为k1，k2，则（ ）
A.y1y2为定值
B.k1k2为定值
C.y1＋y2为定值
D.k1＋k2＋t为定值
解析：ABD 由得y2－4ty－16＝0，则对于A，y1y2＝－16为定值，故A正确；对于B，k1k2＝＝＝＝－1为定值，故B正确；对于C，y1＋y2＝4t，不为定值，故C错误；对于D，k1＋k2＋t＝＋＋t＝＋t＝＋t＝＋t＝＋t＝－t＋t＝0为定值，故D正确.
8.已知抛物线C：y2＝16x，倾斜角为的直线l过焦点F交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO的面积为64.
解析：依题意，抛物线C：y2＝16x的焦点为F（4，0），直线l的方程为x＝y＋4.由消去x，整理得y2－16y－64＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝16，y1y2＝－64.S△ABO＝｜y1－y2｜·｜OF｜
＝2
＝2＝64.
9.已知抛物线C：x2＝4y，F为其焦点，若直线l：y＝x＋1与抛物线C在第一象限交于点M，则｜MF｜＝4.
解析：由题意得F（0，1），p＝2，准线方程为y＝－1，对于直线l：y＝x＋1，当x＝0时，y＝1，即直线l过点F（0，1），联立得3y2－10y＋3＝0，解得y＝3或y＝，由于M在第一象限，且l：y＝x＋1的斜率大于0，故M的纵坐标为3，则｜MF｜＝yM＋＝3＋1＝4.
10.设点P（x，y）（y≥0）为平面直角坐标系xOy内的一个动点（其中O点为坐标原点），点P到定点M（0，）的距离比点P到x轴的距离大.
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且｜AB｜＝2，求实数k的值.
解：（1）过点P作x轴的垂线且垂足为点N（图略），则｜PN｜＝y，
由题意知｜PM｜－｜PN｜＝，
∴＝y＋，
化简得x2＝2y.
故点P的轨迹方程为x2＝2y.
（2）由题意设A（x1，y1），B（x2，y2），联立消去y化简得x2－2kx－2＝0，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∵｜AB｜＝·＝·＝2，
∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，
∴k2＝1，∴k＝±1.
11.M是抛物线y2＝x上一点，N是圆（x＋1）2＋（y－4）2＝1关于直线x－y＋1＝0的对称曲线C上的一点，则｜MN｜的最小值是（ ）
A.2 B.－1
C. D.－1
解析：D 设圆心（－1，4）关于直线x－y＋1＝0对称的点为C（x，y），则解得曲线C的方程为（x－3）2＋y2＝1，设M（a2，a），故｜MC｜＝＝＝，当a2＝时，｜MC｜有最小值，故｜MN｜的最小值为－1.
12.〔多选〕已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离是2，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，M为线段AB的中点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A.C的准线方程为x＝－1
B.线段AB的长度的最小值为4
C.M的坐标可能是（4，2）
D.存在直线l，使得OA与OB垂直
解析：AB 由已知可得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，则点F（1，0），准线的方程为x＝－1，A正确；当AB⊥x轴时，｜AB｜有最小值，令x＝1，代入抛物线方程解得y＝±2，所以｜AB｜min＝｜2－（－2）｜＝4，B正确；设直线l的方程为x＝my＋1，代入抛物线方程可得y2－4my－4＝0，则yA＋yB＝4m，所以xA＋xB＝m（yA＋yB）＋2＝4m2＋2，当m＝1时，可得M（3，2），C错误；因为yAyB＝－4，所以xAxB＝1，所以·＝xAxB＋yAyB＝1－4＝－3，D错误.故选A、B.
13.如图，圆锥底面半径为，体积为π，AB，CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其准线的距离等于1.
解析：由V＝πr2h＝π×（）2×｜PO｜＝π，得｜PO｜＝，则｜PB｜＝2，｜OE｜＝1，｜OC｜＝｜OD｜＝，以E为坐标原点，OE所在直线为x轴，与CD平行的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则C（－1，），设抛物线的方程为y2＝－2px（p＞0），∴（）2＝－2p×（－1），解得p＝1，故焦点到其准线的距离等于1.
14.（2025·洛阳质检）已知抛物线y2＝4x，其焦点为F.
（1）求以M（1，1）为中点的抛物线的弦所在的直线方程；
（2）若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线分别相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值.
解：（1）由题意知，中点弦所在的直线斜率存在.
设所求直线交抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，
则＝4x1，＝4x2，kPQ＝＝＝2，∴所求直线方程为2x－y－1＝0.
（2）依题意知，直线m，n的斜率存在且均不为0，设直线m的方程为y＝k（x－1），
与抛物线方程联立，得消去y，整理得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0，
设其两根为x3，x4，则x3＋x4＝＋2.由抛物线的定义可知，｜AB｜＝2＋x3＋x4＝＋4，
同理可得｜CD｜＝4k2＋4，
∴四边形ACBD的面积S＝（4k2＋4）·（＋4）＝8（2＋k2＋）≥32，当且仅当k＝±1时等号成立，∴所求四边形ACBD面积的最小值为32.
15.（2025·广州质检）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），焦点为F，O为坐标原点，过点F的直线（不垂直于x轴）且与抛物线C交于A，B两点，直线OA与OB的斜率之积为－p.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若M为线段AB的中点，射线OM交抛物线C于点D，求证：＞2.
解：（1）因为过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，F（，0），
设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB（不垂直于x轴）的方程可设为y＝k（x－）（k≠0），
所以＝2px1，＝2px2，因为直线OA与OB的斜率之积为－p，
所以＝－p，所以（）2＝p2，得x1x2＝4，
由得k2x2－（k2p＋2p）x＋＝0，其中Δ＝（k2p＋2p）2－k4p2＞0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，所以p＝4，抛物线C的方程为y2＝8x.
（2）证明：设M（x0，y0），D（x3，y3），因为M为线段AB的中点，
所以x0＝（x1＋x2）＝＝，y0＝k（x0－2）＝，
所以直线OD的斜率kOD＝＝，直线OD的方程为y＝kODx＝x，
代入抛物线C：y2＝8x的方程，得x3＝，所以＝k2＋2，
因为k2＞0，所以＝＝k2＋2＞2.
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