第一课时 抛物线的几何性质
课标要求
1.了解抛物线的几何图形及简单几何性质（直观想象）. 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的问题（逻辑推理、数学运算）.
知识点一｜抛物线的几何性质
问题1 （1）类比研究椭圆、双曲线的几何性质，你认为抛物线应研究其哪些几何性质？
（2）试以抛物线y2＝2px（p＞0）为研究对象，类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程及方法，探讨其范围、对称性、顶点及离心率.
【知识梳理】
抛物线的简单几何性质
标准方程 y2＝2px （p＞0） y2＝－2px （p＞0） x2＝2py （p＞0） x2＝－2py （p＞0）
图形
性质 焦点 F（，0） F（－，0） F（0，） F（0，－）
准线 x＝ x＝ y＝ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
对称轴 轴 轴
顶点 O
离心率 e＝
开口方向 向 向 向 向
提醒：影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小.
【例1】 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）只有焦点在坐标轴上，顶点在坐标原点的抛物线的方程才是标准方程.（ ）
（2）有的抛物线的离心率不为1.（ ）
（3）抛物线x2＝2py（p＞0）有一条对称轴为y轴.（ ）
（4）抛物线y＝－x2的准线方程是x＝.（ ）
（5）抛物线是中心对称图形.（ ）
【规律方法】
掌握抛物线的性质，注意把握两个要点：（1）开口方向：由抛物线的标准方程看图象开口方向，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负；（2）关系：准线垂直于对称轴，垂足与焦点关于顶点对称，它们与顶点的距离都等于一次项系数的绝对值的.
训练1 （1）若点M（a，b）在抛物线x2＝8y上，则下列点中一定在该抛物线上的是（ ）
A.（－a，－b） B.（a，－b）
C.（－a，b） D.（－b，－a）
（2）关于抛物线y2＝－2x，下列说法正确的是（ ）
A.开口向下
B.焦点坐标为（－1，0）
C.准线方程为x＝1
D.对称轴为x轴
知识点二｜由抛物线的几何性质求标准方程
【例2】 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M（m，－3）到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程.
【规律方法】
由抛物线的几何性质求标准方程的方法
（1）代数法：将几何性质转化为坐标表达式，解方程（组）求出未知数；
（2）几何法：将几何性质与抛物线定义相结合，采用几何法求出焦距，从而得到抛物线的标准方程.
训练2 （1）边长为1的等边△AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是（ ）
A.y2＝x B.y2＝－x
C.y2＝±x D.y2＝±x
（2）若抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的标准方程为 .
提能点｜抛物线几何性质的应用
问题2 我们将抛物线上过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦.以y2＝2px（p＞0）为例，若弦端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），试分析弦长与坐标的关系.
【知识梳理】
抛物线的焦点弦公式
标准方程 y2＝2px（p＞0） y2＝－2px（p＞0） x2＝2py（p＞0） x2＝－2py（p＞0）
图形
焦点弦 x1＋x2＋p p－x1－x2 y1＋y2＋p p－y1－y2
提醒：当焦点弦垂直于对称轴时，其长度为2p，为最短焦点弦长，称为通径.
【例3】 （1）过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点，若y1＋y2＝6，则｜P1P2｜＝（ ）
A.5 B.6
C.8 D.10
（2）设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若｜OA｜＝｜OB｜，且△AOB的面积为16，则∠AOB＝（ ）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
【规律方法】
利用抛物线的性质可以解决的问题
（1）对称性：解决抛物线的内接三角形问题；
（2）焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题；
（3）范围：解决与抛物线有关的最值问题；
（4）焦点弦：解决焦点弦问题.
训练3 （1）已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝ax（a＜0）在第二象限内有一点A，且｜AF｜＝4，设点M为抛物线C准线l上的动点.若△MAF为正三角形，则a＝（ ）
A.－8 B.－6 C.－4 D.－2
（2）已知抛物线C的方程为y2＝2px（p＞0），若倾斜角为锐角的直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，且｜AF｜＝3｜BF｜，则直线l的倾斜角为 .
1.（2025·台州月考）若抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则实数a＝（ ）
A.－ B.－ C.－4 D.－2
2.已知抛物线y2＝2px（p＞0），直线x＝m与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则y1＋y2＝（ ）
A.0 B.p C.2p D.4p
3.〔多选〕以y轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（ ）
A.y2＝8x B.y2＝－8x
C.x2＝8y D.x2＝－8y
4.已知点A（－2，3）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率等于 .
课堂小结
1.理清单 （1）抛物线的几何性质； （2）由抛物线的几何性质求标准方程； （3）抛物线几何性质的应用. 2.应体会 （1）由抛物线的几何性质求标准方程时要注意待定系数法的应用； （2）抛物线几何性质的应用要注意数形结合思想的应用. 3.避易错 求抛物线方程时焦点的位置易判断错误，应熟练掌握判断方法（开口方向）.
提示：完成课后作业 第三章 3.3 3.3.2 第一课时
1 / 3第一课时 抛物线的几何性质
课标要求
1.了解抛物线的几何图形及简单几何性质（直观想象）.
2.会利用抛物线的性质解决一些简单的问题（逻辑推理、数学运算）.
情境导入
生活中不乏以抛物线为原型的例子，信号接收塔、太阳灶、石拱桥、抛物线型灯具等.除了美观外，主要也是借用了抛物线的一些性质.比如信号接收塔、太阳灶的设计利用了抛物线的聚集性，抛物线型石拱桥利用了其跨距大的特点等等.就如前面学习椭圆、双曲线一样，下面我们来研究一下抛物线的一些几何性质.
知识点一｜抛物线的几何性质
问题1 （1）类比研究椭圆、双曲线的几何性质，你认为抛物线应研究其哪些几何性质？
提示：范围、对称性、顶点及离心率等.
（2）试以抛物线y2＝2px（p＞0）为研究对象，类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程及方法，探讨其范围、对称性、顶点及离心率.
提示：①范围：当x＞0时，抛物线y2＝2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，｜y｜的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，y∈R.
②对称性：
观察图象，不难发现，抛物线y2＝2px（p＞0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线只有一条对称轴.
③顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线的顶点坐标是坐标原点（0，0）.
④离心率：抛物线上的点M与焦点F的距离和点M到准线的距离d的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知，e＝1.
【知识梳理】
抛物线的简单几何性质
标准方程 y2＝2px（p＞0） y2＝－2px（p＞0） x2＝2py（p＞0） x2＝－2py（p＞0）
图形
性质 焦点 F（，0） F（－，0） F（0，） F（0，－）
准线 x＝ － x＝ y＝ － y＝
标准 方程 y2＝2px （p＞0） y2＝－2px （p＞0） x2＝2py （p＞0） x2＝－2py （p＞0）
性质 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
对称轴 x 轴 y 轴
顶点 O （0，0）
离心率 e＝ 1
开口方向 向 右 向 左 向 上 向 下
提醒：影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小.
【例1】判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）只有焦点在坐标轴上，顶点在坐标原点的抛物线的方程才是标准方程.（ √ ）
（2）有的抛物线的离心率不为1.（ × ）
（3）抛物线x2＝2py（p＞0）有一条对称轴为y轴.（ √ ）
（4）抛物线y＝－x2的准线方程是x＝.（ × ）
（5）抛物线是中心对称图形.（ × ）
【规律方法】
掌握抛物线的性质，注意把握两个要点：（1）开口方向：由抛物线的标准方程看图象开口方向，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负；（2）关系：准线垂直于对称轴，垂足与焦点关于顶点对称，它们与顶点的距离都等于一次项系数的绝对值的.
训练1 （1）若点M（a，b）在抛物线x2＝8y上，则下列点中一定在该抛物线上的是（ C ）
A.（－a，－b） B.（a，－b）
C.（－a，b） D.（－b，－a）
解析：由抛物线关于y轴对称可知，点（－a，b）一定在抛物线上，故选C.
（2）关于抛物线y2＝－2x，下列说法正确的是（ D ）
A.开口向下 B.焦点坐标为（－1，0）
C.准线方程为x＝1 D.对称轴为x轴
解析：易知抛物线y2＝－2x的开口向左，故A中说法错误；焦点坐标为（－，0），故B中说法错误；准线方程为x＝，故C中说法错误；对称轴为x轴，故D中说法正确.故选D.
知识点二｜由抛物线的几何性质求标准方程
【例2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M（m，－3）到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程.
解：法一 由题意知抛物线开口方向向下，可设抛物线方程为x2＝－2py（p＞0），则焦点为F（0，－）.
因为M（m，－3）在抛物线上，且｜MF｜＝5，
所以
解得
所以m＝±2，抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.
法二 由题意可设抛物线方程为x2＝－2py（p＞0），则焦点为F（0，－），准线l：y＝，如图所示，作MN⊥l，垂足为N，则｜MN｜＝｜MF｜＝5，而｜MN｜＝3＋，所以3＋＝5，即p＝4.又因为点M在抛物线上，所以m2＝24，所以m＝±2，抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.
【规律方法】
由抛物线的几何性质求标准方程的方法
（1）代数法：将几何性质转化为坐标表达式，解方程（组）求出未知数；
（2）几何法：将几何性质与抛物线定义相结合，采用几何法求出焦距，从而得到抛物线的标准方程.
训练2 （1）边长为1的等边△AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是（ C ）
A.y2＝x B.y2＝－x
C.y2＝±x D.y2＝±x
解析：设抛物线方程为y2＝ax（a≠0）.又A（±，）（取点A在x轴上方），则有＝±a，解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.
（2）若抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝36x.
解析：∵点M到对称轴的距离为6，∴设点M的坐标为（x，6）.又∵点M到准线的距离为10，∴解得或故当点M的横坐标为9时，抛物线方程为y2＝4x；当点M的横坐标为1时，抛物线方程为y2＝36x.
提能点｜抛物线几何性质的应用
问题2 我们将抛物线上过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦.以y2＝2px（p＞0）为例，若弦端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），试分析弦长与坐标的关系.
提示：由上一节焦半径公式可知，｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝（x1＋）＋（x2＋）＝x1＋x2＋p.
【知识梳理】
抛物线的焦点弦公式
标准 方程 y2＝2px （p＞0） y2＝－2px （p＞0） x2＝2py （p＞0） x2＝－2py （p＞0）
图形
焦点弦 x1＋x2＋p p－x1－x2 y1＋y2＋p p－y1－y2
提醒：当焦点弦垂直于对称轴时，其长度为2p，为最短焦点弦长，称为通径.
【例3】（1）过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点，若y1＋y2＝6，则｜P1P2｜＝（ C ）
A.5 B.6
C.8 D.10
解析：抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，因为P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点是过抛物线焦点的直线l与抛物线的交点，所以P1（x1，y1），P2（x2，y2）到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1.所以｜P1P2｜＝y1＋y2＋2＝8.
（2）设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若｜OA｜＝｜OB｜，且△AOB的面积为16，则∠AOB＝（ D ）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
解析：由｜OA｜＝｜OB｜，知抛物线上点A，B关于y轴对称，设A，B，则S△AOB＝×2a×＝16，解得a＝4，所以｜AB｜＝8，｜OA｜＝｜OB｜＝4，所以∠AOB＝90°.
【规律方法】
利用抛物线的性质可以解决的问题
（1）对称性：解决抛物线的内接三角形问题；
（2）焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题；
（3）范围：解决与抛物线有关的最值问题；
（4）焦点弦：解决焦点弦问题.
训练3 （1）已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝ax（a＜0）在第二象限内有一点A，且｜AF｜＝4，设点M为抛物线C准线l上的动点.若△MAF为正三角形，则a＝（ C ）
A.－8 B.－6
C.－4 D.－2
解析：因为△MAF为正三角形，所以｜AF｜＝｜AM｜＝4，又因为抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，所以AM与准线l垂直，∠MFO＝，设准线l与x轴交于点N，因此有cos∠MFO＝＝＝，所以a＝－4.
（2）已知抛物线C的方程为y2＝2px（p＞0），若倾斜角为锐角的直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，且｜AF｜＝3｜BF｜，则直线l的倾斜角为60°.
解析：如图，直线m为抛物线的准线，过点A，B分别作AM，BN垂直于m，垂足为M，N，作BE⊥AM于点E，因为｜AF｜＝｜AM｜，｜BF｜＝｜BN｜，且｜AF｜＝3｜BF｜，所以｜AM｜＝3｜BN｜，则｜AB｜＝4｜BF｜，｜AE｜＝｜AM｜－｜ME｜＝2｜BF｜，所以cos∠BAE＝，则∠BAE＝60°，即直线l的倾斜角为60°.
1.（2025·台州月考）若抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则实数a＝（ ）
A.－ B.－
C.－4 D.－2
解析：A 因为抛物线y＝ax2的方程可化为x2＝y，所以准线方程为y＝－，由题意可知－＝1，解得a＝－.故选A.
2.已知抛物线y2＝2px（p＞0），直线x＝m与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则y1＋y2＝（ ）
A.0 B.p
C.2p D.4p
解析：A 因为抛物线y2＝2px（p＞0）关于x轴对称，x＝m与x轴垂直，故y1＝－y2，即y1＋y2＝0.
3.〔多选〕以y轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（ ）
A.y2＝8x B.y2＝－8x
C.x2＝8y D.x2＝－8y
解析：CD 设抛物线方程为x2＝2py（p＞0）或x2＝－2py（p＞0），2p＝8，p＝4.∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y.
4.已知点A（－2，3）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率等于－.
解析：因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，且点A（－2，3）在准线上，所以＝－2，解得p＝4，所以y2＝8x，所以焦点F的坐标为（2，0），故直线AF的斜率k＝＝－.
课堂小结
1.理清单 （1）抛物线的几何性质； （2）由抛物线的几何性质求标准方程； （3）抛物线几何性质的应用. 2.应体会 （1）由抛物线的几何性质求标准方程时要注意待定系数法的应用； （2）抛物线几何性质的应用要注意数形结合思想的应用. 3.避易错 求抛物线方程时焦点的位置易判断错误，应熟练掌握判断方法（开口方向）.
1.若抛物线y2＝2x上有两点A，B，且AB垂直于x轴，若｜AB｜＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为（ ）
A. B.
C. D.
解析：A 易知线段AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1－＝.
2.在同一坐标系中，方程＋＝1与ax＋by2＝0（a＞b＞0）的曲线大致是（ ）
解析：A 由a＞b＞0，则方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，方程ax＋by2＝0可化为y2＝－x，由于－＜0，则方程表示焦点在x轴上开口向左的抛物线.
3.若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为（ ）
A.（，±） B.（，±）
C.（，） D.（，）
解析：B 设抛物线的焦点为F，原点为O，P（x0，y0），由条件及抛物线的定义知，｜PF｜＝｜PO｜，又F（，0），所以x0＝，所以＝，所以y0＝±.
4.已知圆x2＋y2＝1与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则p＝（ ）
A. B.
C. D.
解析：D 设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，因为四边形ABCD是矩形，所以由抛物线与圆的对称性知｜AF｜＝｜AD｜＝p，则（）2＋p2＝1，解得p＝.
5.如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若｜BC｜＝2｜BF｜，且｜AF｜＝3，则抛物线的方程为（ ）
A.y2＝x B.y2＝9x
C.y2＝x D.y2＝3x
解析：D 如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设｜BF｜＝a，则｜BC｜＝2a，由抛物线的定义得｜BD｜＝a，故∠BCD＝30°，∴在Rt△ACE中，2｜AE｜＝｜AC｜，∵｜AE｜＝｜AF｜＝3，｜AC｜＝3＋3a，∴3＋3a＝6，解得a＝1，∵BD∥FG，∴＝，∴p＝，因此抛物线的方程为y2＝3x.
6.〔多选〕已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），若M（m，2）是线段AB的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.p＝4
B.抛物线方程为y2＝16x
C.直线l的方程为y＝2x－4
D.｜AB｜＝10
解析：ACD 由焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确；则抛物线的方程为y2＝8x，焦点F（2，0），故B错误；则＝8x1，＝8x2，若M（m，2）是线段AB的中点，则y1＋y2＝4，∴－＝8x1－8x2，即＝＝＝2，∴直线l的方程为y＝2x－4，故C正确；又由y1＋y2＝2（x1＋x2）－8＝4，得x1＋x2＝6，∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋4＝10，故D正确.
7.〔多选〕设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在抛物线C上，｜MF｜＝5，若y轴上存在点A（0，2），使得·＝0，则p的值可以为（ ）
A.2 B.4
C.6 D.8
解析：AD 由题意可得，以MF为直径的圆过点（0，2），设点M（x，y），由抛物线定义知｜MF｜＝x＋＝5，可得x＝5－.因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为＝，由已知可得圆的半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点A（0，2），故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，即点M（5－，4），代入抛物线方程得p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8.
8.设抛物线的焦点到顶点的距离为6，则抛物线上的点到准线距离的最小值为6.
解析：∵抛物线的焦点到顶点的距离为6，∴＝6，即p＝12.又抛物线上的点到准线距离的最小值为，∴抛物线上的点到准线距离的最小值为6.
9.已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，抛物线C的准线与y轴交于点A，点M（1，y0）在抛物线C上，｜MF｜＝，则tan∠FAM＝.
解析：如图，过点M向抛物线的准线作垂线，垂足为点N，则｜MN｜＝y0＋＝，故y0＝2p.又M（1，y0）在抛物线上，故y0＝，于是2p＝，解得p＝，∴｜MN｜＝＝.∴tan∠FAM＝tan∠AMN＝＝.
10.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且｜AM｜＝，｜AF｜＝3.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若焦点在直线y＝的上方，通径为CD，求△OCD的面积.
解：（1）设所求抛物线的标准方程为x2＝2py（p＞0），
设A（x0，y0），由题意知M（0，－）.
因为｜AF｜＝3，所以y0＋＝3，
因为｜AM｜＝，所以＋（y0＋）2＝17，
所以＝8，代入方程＝2py0得，
8＝2p（3－），解得p＝2或p＝4.
所以所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
（2）由（1）知x2＝8y符合题意.
通径｜CD｜＝8，原点到通径的距离为2，
S△OCD＝×8×2＝8.
11.已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则｜FN｜＝（ ）
A.2 B.3
C.5 D.6
解析：D 如图，过点M作MM'⊥y轴，垂足为M'，易知｜OF｜＝2，∵M为FN的中点，∴｜MM'｜＝1，∴M到准线距离d＝｜MM'｜＋＝3，∴｜MF｜＝3，∴｜FN｜＝6.
12.（2025·南通质检）在内壁光滑的抛物线型容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在y轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是x2＝4y，圆的半径为r，当圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点O，则圆的半径r的取值范围是（ ）
A.（2，＋∞） B.（1，＋∞）
C.[2，＋∞） D.[1，＋∞）
解析：A 设圆心为P（0，a）（a＞0），半径为r，Q（x，y）是抛物线上任意一点，｜PQ｜2＝x2＋（y－a）2＝4y＋（y－a）2＝（y－a＋2）2＋4a－4，若｜PQ｜2的最小值不在O（0，0）处取得，则圆P不过原点，所以a－2＞0，即a＞2，此时圆的半径为r＝＝2＞2.因此当r＞2时，圆无法触及抛物线的顶点O.
13.已知曲线C由抛物线y2＝2x及抛物线y2＝－2x组成，A（1，2），B（－1，2），M，N是曲线C上关于y轴对称的两点（A，B，M，N四点不共线，且点M在第一象限），则四边形ABNM周长的最小值为1＋.
解析：设抛物线y2＝2x的焦点为F（，0），则四边形ABNM的周长l＝｜AB｜＋2｜AM｜＋2xM＝2＋2｜AM｜＋2｜MF｜－1＝1＋2（｜AM｜＋｜MF｜）≥1＋2｜AF｜＝1＋，当且仅当A，M，F三点共线时取等号.故四边形ABNM周长的最小值为1＋.
14.已知抛物线y2＝8x.
（1）求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；
（2）以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰△OAB，｜OA｜＝｜OB｜，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长.
解：（1）抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为（0，0），（2，0），x＝－2，x轴，x≥0.
（2）如图所示，由｜OA｜＝｜OB｜可知AB⊥x轴，垂足为点M，
又焦点F是△OAB的重心，则｜OF｜＝｜OM｜.
因为F（2，0），所以｜OM｜＝｜OF｜＝3，
所以M（3，0），故设A（3，m），代入y2＝8x得m2＝24，所以m＝2或m＝－2，
所以A（3，2），B（3，－2），
所以｜OA｜＝｜OB｜＝，所以△OAB的周长为2＋4.
15.如图，A地在B地东偏北45°方向，相距2 km处，B地与东西走向的高铁线（近似看成直线）l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M（变电房与公路之间的距离忽略不计），分别向A地、B地送电.
（1）试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程；
（2）问变电房M建在相对A地的什么位置（方位和距离），才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度.
解：（1）如图，以经过点B且垂直于l（垂足为K）的直线为y轴，线段BK的中点O为原点，建立直角坐标系xOy，则B（0，2），A（2，4）.
因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，所以PQ所在的曲线是以B（0，2）为焦点，l为准线的抛物线.
设抛物线方程为x2＝2py（p＞0），则p＝4，故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x2＝8y.
（2）要使架设电路所用电线长度最短，即使｜MA｜＋｜MB｜的值最小.
如图，过M作MH⊥l，垂足为H，依题意得｜MB｜＝｜MH｜，
所以｜MA｜＋｜MB｜＝｜MA｜＋｜MH｜，故当A，M，H三点共线时，｜MA｜＋｜MH｜取得最小值，即｜MA｜＋｜MB｜取得最小值，此时M（2，）.
故变电房M建在A地正南方向且与A地相距 km时，所用电线长度最短，最短长度为6 km.
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