一、空间向量的概念及运算
空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，可以通过类比进行学习.
【例1】（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，P分别是AA1，C1D1的中点，则＝（ C ）
A.a＋b＋c B.a＋c
C.a＋b＋c D.a＋b＋c
解析：如图，由题意，M，P分别是AA1，C1D1的中点，∴＝＋＝＋（＋）＝＋（＋）＝a＋b＋c.故选C.
（2）已知不共面的三个向量a，b，c都是单位向量，且夹角都是，则向量a－b－c和b的夹角为（ C ）
A. B. C. D.
解析：由题意，得｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，a·b＝a·c＝b·c＝，∴｜a－b－c｜＝
＝＝，（a－b－c）·b＝a·b－b2－b·c＝－1.设向量a－b－c和b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，又θ∈[0，π]，∴θ＝.
（3）已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足＝＋＋，则点M∈（填“∈”或“ ”）平面ABC.
解析：＝＋＋＝＋＋（－）＝＋＋，∵＋＋＝1，∴M，A，B，C四点共面，即点M∈平面ABC.
【反思感悟】
1.空间向量数量积的3个应用
（1）求夹角：设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角；
（2）求长度（距离）：利用公式｜a｜2＝a·a，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；
（3）解决垂直问题：利用a⊥b a·b＝0（a≠0，b≠0），可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.
2.证明三点共线和空间四点共面的方法比较
三点（P，A，B）共线 空间四点（M，P，A，B）共面
＝λ且同过点P ＝x＋y
对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y
对空间任一点O，＝x＋（1－x） 对空间任一点O，＝x＋y＋（1－x－y）
二、利用空间向量证明线面位置关系
用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；证明线面位置关系的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明.
【例2】如图所示，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点，求证：
（1）MN∥平面PAD；
证明：由题意得AB，AD，AP两两垂直.如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz.
设PA＝AD＝a，AB＝b，则有P（0，0，a），A（0，0，0），D（0，a，0），C（b，a，0），B（b，0，0），
因为M，N分别为AB，PC的中点，
所以M（，0，0），N（，，）.
所以＝（0，，），＝（0，0，a），＝（0，a，0）.
所以＝＋，所以，，共面，
又因为MN 平面PAD，所以MN∥平面PAD.
（2）平面PMC⊥平面PDC.
证明：由（1）可知＝（b，a，－a），＝（，0，－a），＝（0，a，－a）.
设平面PMC的法向量为n1＝（x1，y1，z1），
则
所以令z1＝b，则n1＝（2a，－b，b）.
设平面PDC的法向量为n2＝（x2，y2，z2），
则所以
令z2＝1，则n2＝（0，1，1）.
因为n1·n2＝0－b＋b＝0，
所以n1⊥n2.
所以平面PMC⊥平面PDC.
【反思感悟】
利用空间向量证明平行、垂直的一般步骤
三、利用空间向量求距离
能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题.
【例3】如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点.
（1）求点N到直线AB的距离；
解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），C1（0，4，4），A1（0，0，4），∵N是CC1的中点，∴N（0，4，2）.
＝（0，4，2），＝（2，2，0），则｜｜＝2，｜｜＝4，·＝8.
设点N到直线AB的距离为d1，
则d1＝＝＝4.
（2）求点C1到平面ABN的距离.
解：设平面ABN的一个法向量为n＝（x，y，z），由n⊥，n⊥，得
令z＝2，则y＝－1，x＝，即n＝（，－1，2）.
易知＝（0，0，－2），设点C1到平面ABN的距离为d2，
则d2＝｜｜＝｜｜＝.
【反思感悟】
1.向量法求点到平面的距离，一般转化为平面外一点与平面内一点构成的向量在平面的法向量方向上的投影向量的长度问题.
2.求直线到平面、平面到平面的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以易于求解为准则.
四、利用空间向量求空间角（考教衔接）
空间中三种角的计算公式
（1）两条异面直线所成的角θ：cos θ＝｜cos＜u，v＞｜＝｜｜＝（其中u，v分别是两异面直线的方向向量）；
（2）直线和平面所成的角θ：sin θ＝｜cos＜u，n＞｜＝｜｜＝（其中u是直线的方向向量，n是平面的法向量）；
（3）两个平面的夹角θ：cos θ＝｜cos＜n1，n2＞｜＝｜｜＝（其中n1，n2分别是两平面的法向量）.
教材原题 （链接教材P39例10）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
（1）求证：PA∥平面EDB；
（2）求证：PB⊥平面EFD；
（3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
变式1 真题检验 已知空间角的大小求线段长度（2024·新高考Ⅰ卷17题）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝.
（1）若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC；
解：证明：因为PA⊥平面ABCD，而AD 平面ABCD，所以PA⊥AD，
又AD⊥PB，PB∩PA＝P，PB，PA 平面PAB，所以AD⊥平面PAB，
而AB 平面PAB，所以AD⊥AB.
因为BC2＋AB2＝AC2，所以BC⊥AB，根据平面知识可知AD∥BC，
又AD 平面PBC，BC 平面PBC，所以AD∥平面PBC.
（2）若AD⊥DC，且二面角A-CP-D的正弦值为，求AD.
解：法一 如图所示，过点D作DE⊥AC于E，再过点E作EF⊥CP于F，连接DF，
因为PA⊥平面ABCD，所以平面PAC⊥平面ABCD，而平面PAC∩平面ABCD＝AC，
所以DE⊥平面PAC，又EF⊥CP，所以CP⊥平面DEF，所以CP⊥DF，
根据二面角的定义可知，∠DFE即为二面角A-CP-D的平面角，
即sin∠DFE＝，即tan∠DFE＝.
因为AD⊥DC，设AD＝x，则CD＝，
由等面积法可得，DE＝，
又CE＝＝，而△EFC为等腰直角三角形，所以EF＝，
故tan∠DFE＝＝，解得x＝，即AD＝.
法二 以DA，DC分别为x轴，y轴，过D作与平面ABCD垂直的直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，
令AD＝t，则A（t，0，0），P（t，0，2），D（0，0，0），DC＝，C（0，，0），
设平面ACP的法向量为n1＝（x1，y1，z1），
则
所以
不妨设x1＝，则y1＝t，z1＝0，n1＝（，t，0）.
设平面CPD的法向量为n2＝（x2，y2，z2），
则所以
不妨设z2＝t，则x2＝－2，y2＝0，n2＝（－2，0，t）.
因为二面角A-CP-D的正弦值为，则余弦值为，
所以＝｜cos＜n1，n2＞｜＝＝，
所以t＝，所以AD＝.
变式2 真题检验 空间角与折叠问题
（2024·新高考Ⅱ卷17题）如图，平面四边形ABCD中，AB＝8，CD＝3，AD＝5，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，点E，F满足＝，＝.将△AEF沿EF翻折至△PEF，使得PC＝4.
（1）证明：EF⊥PD；
解：证明：由AB＝8，AD＝5，＝，＝，得AE＝2，AF＝4，
又∠BAD＝30°，在△AEF中，
由余弦定理得
EF＝
＝＝2，
所以AE2＋EF2＝AF2，
则AE⊥EF，即EF⊥AD，
由翻折的性质知EF⊥PE，EF⊥DE，又PE∩DE＝E，PE，DE 平面PDE，
所以EF⊥平面PDE，又PD 平面PDE，
故EF⊥PD.
（2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值.
解：连接CE，由∠ADC＝90°，ED＝3，CD＝3，则CE2＝ED2＋CD2＝36，
在△PEC中，PC＝4，PE＝2，EC＝6，得EC2＋PE2＝PC2，
所以PE⊥EC，由（1）知PE⊥EF，又EC∩EF＝E，EC，EF 平面ABCD，
所以PE⊥平面ABCD，又ED 平面ABCD，
所以PE⊥ED，则PE，EF，ED两两垂直，建立如图空间直角坐标系Exyz，
则P（0，0，2），D（0，3，0），C（3，3，0），F（2，0，0），A（0，－2，0），
由F是AB的中点，得B（4，2，0），
所以＝（3，3，－2），＝（0，3，－2），＝（4，2，－2），＝（2，0，－2），
设平面PCD和平面PBF的一个法向量分别为n＝（x1，y1，z1），m＝（x2，y2，z2），
则
令y1＝2，x2＝，得x1＝0，z1＝3，y2＝－1，z2＝1，
所以n＝（0，2，3），m＝（，－1，1），
所以｜cos ＜m，n＞｜＝＝＝，
设平面PCD和平面PBF所成二面角为θ，则sin θ＝＝，
即平面PCD与平面PBF所成二面角的正弦值为.
变式3 空间角与探索性问题
如图，在三棱锥A-BCD中，AC＝AD＝BC＝BD＝2，AB＝CD＝4.
（1）证明：AB⊥CD；
解：证明：如图，取CD的中点E，连接AE，BE，
因为AC＝AD＝BC＝BD，所以AE⊥CD，BE⊥CD，
因为AE∩BE＝E，AE，BE 平面ABE，
所以CD⊥平面ABE，又AB 平面ABE，所以CD⊥AB.
（2）在棱AB上是否存在点F（不与端点重合），使得直线AF与平面FCD所成角的正弦值为？若存在，求出点F的位置，若不存在，请说明理由.
解：存在点F，位于棱AB上靠近点A或点B的四等分点处，使直线AF与平面FCD所成角的正弦值为，证明如下：
如图，因为AC＝AD＝BC＝BD，易知△ACD≌△BCD，则AE＝BE，
取AB的中点G，连接GE，易知GE⊥AB，又CD⊥平面ABE，易知CD，GE，AB两两垂直，
以G为坐标原点，分别以GE，GA所在直线为y轴，z轴，过点G作CD的平行线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
由题设，易得AE＝2，GE＝2，则A（0，0，2），B（0，0，－2），C（2，2，0），D（－2，2，0），
则＝（0，0，－4），＝（4，0，0），设＝λ＝（0，0，－4λ），0＜λ＜1，
则F（0，0，2－4λ），故＝（2，2，4λ－2），
设平面FCD的法向量为n＝（x，y，z），则
令z＝－1，则n＝（0，2λ－1，－1），
设直线AF与平面FCD所成角为θ，
则sin θ＝｜cos＜，n＞｜＝＝＝，解得λ＝或λ＝，
故在棱AB上存在点F，使得直线AF与平面FCD所成角的正弦值为，
此时点F位于棱AB上靠近点A或点B的四等分点处.
【反思感悟】
用向量法求空间角应注意的问题
（1）两异面直线所成角的范围为0°＜θ≤90°，两异面直线的方向向量所成角的范围为0°＜θ＜180°；
（2）要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a夹角的余弦值cos＜n，a＞，而θ＝＜n，a＞－或－＜n，a＞；
（3）平面与平面的夹角与二面角的范围不同，若求二面角大小，需先判断二面角是锐角还是钝角.
1 / 8一、空间向量的概念及运算
空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，可以通过类比进行学习.
【例1】 （1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，P分别是AA1，C1D1的中点，则＝（ ）
A.a＋b＋c B.a＋c
C.a＋b＋c D.a＋b＋c
（2）已知不共面的三个向量a，b，c都是单位向量，且夹角都是，则向量a－b－c和b的夹角为（ ）
A. B. C. D.
（3）已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足＝＋＋，则点M （填“∈”或“ ”）平面ABC.
【反思感悟】
1.空间向量数量积的3个应用
（1）求夹角：设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角；
（2）求长度（距离）：利用公式｜a｜2＝a·a，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；
（3）解决垂直问题：利用a⊥b a·b＝0（a≠0，b≠0），可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.
2.证明三点共线和空间四点共面的方法比较
三点（P，A，B）共线 空间四点（M，P，A，B）共面
＝λ且同过点P ＝x＋y
对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y
对空间任一点O，＝x＋（1－x） 对空间任一点O，＝x＋y＋（1－x－y）
二、利用空间向量证明线面位置关系
用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；证明线面位置关系的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明.
【例2】 如图所示，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点，求证：
（1）MN∥平面PAD；
（2）平面PMC⊥平面PDC.
【反思感悟】
利用空间向量证明平行、垂直的一般步骤
三、利用空间向量求距离
能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题.
【例3】 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点.
（1）求点N到直线AB的距离；
（2）求点C1到平面ABN的距离.
【反思感悟】
1.向量法求点到平面的距离，一般转化为平面外一点与平面内一点构成的向量在平面的法向量方向上的投影向量的长度问题.
2.求直线到平面、平面到平面的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以易于求解为准则.
四、利用空间向量求空间角（考教衔接）
空间中三种角的计算公式
（1）两条异面直线所成的角θ：cos θ＝｜cos＜u，v＞｜＝｜｜＝（其中u，v分别是两异面直线的方向向量）；
（2）直线和平面所成的角θ：sin θ＝｜cos＜u，n＞｜＝｜｜＝（其中u是直线的方向向量，n是平面的法向量）；
（3）两个平面的夹角θ：cos θ＝｜cos＜n1，n2＞｜＝｜｜＝（其中n1，n2分别是两平面的法向量）.
教材原题 （链接教材P39例10）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
（1）求证：PA∥平面EDB；
（2）求证：PB⊥平面EFD；
（3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
变式1 真题检验 已知空间角的大小求线段长度
（2024·新高考Ⅰ卷17题）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝.
（1）若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC；
（2）若AD⊥DC，且二面角A-CP-D的正弦值为，求AD.
变式2 真题检验 空间角与折叠问题
（2024·新高考Ⅱ卷17题）如图，平面四边形ABCD中，AB＝8，CD＝3，AD＝5，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，点E，F满足＝，＝.将△AEF沿EF翻折至△PEF，使得PC＝4.
（1）证明：EF⊥PD；
（2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值.
变式3 空间角与探索性问题
如图，在三棱锥A-BCD中，AC＝AD＝BC＝BD＝2，AB＝CD＝4.
（1）证明：AB⊥CD；
（2）在棱AB上是否存在点F（不与端点重合），使得直线AF与平面FCD所成角的正弦值为？若存在，求出点F的位置，若不存在，请说明理由.
【反思感悟】
用向量法求空间角应注意的问题
（1）两异面直线所成角的范围为0°＜θ≤90°，两异面直线的方向向量所成角的范围为0°＜θ＜180°；
（2）要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a夹角的余弦值cos＜n，a＞，而θ＝＜n，a＞－或－＜n，a＞；
（3）平面与平面的夹角与二面角的范围不同，若求二面角大小，需先判断二面角是锐角还是钝角.
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