第二课时 共线向量与共面向量
课标要求
1.理解共线向量、共面向量的定义（数学抽象）. 2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件（逻辑推理）. 3.会证明空间三点共线、四点共面（逻辑推理、数学运算）.
知识点一｜共线向量
问题1 （1）两个平面向量a，b（b≠0）共线的充要条件是什么？
（2）你认为两个平面向量a，b（b≠0）共线的充要条件适用于空间向量吗？为什么？
【知识梳理】
1.两个空间向量共线的充要条件
对任意两个空间向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ，使 .
提醒：（1）0与空间任意向量a都是共线向量；（2）向量共线的充要条件中的b≠0不可去掉，否则实数λ可能不唯一；（3）向量a，b共线时，表示向量a，b的有向线段不一定在同一条直线上.
2.直线的方向向量
如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的 ，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的 表示.
【例1】 如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则与是否共线？
【规律方法】
判断两个非零向量共线的方法
判断或证明两个向量a，b（b≠0）共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表示.
训练1 （1）设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是（ ）
A.平行四边形 B.空间四边形
C.等腰梯形 D.矩形
（2）已知空间四边形ABCD，点E，F分别是AB与AD边上的点，M，N分别是BC与CD边上的点，若＝λ，＝λ，＝μ，＝μ，则向量与满足的关系为（ ）
A.＝ B.∥
C.｜｜＝｜｜ D.｜｜≠｜｜
知识点二｜共面向量
问题2 （1）空间任意两个向量是共面向量，那么空间任意三个向量是否共面？
（2）对两个不共线的空间向量a，b，如果p＝xa＋yb，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，p＝xa＋yb？
【知识梳理】
1.定义：如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l ，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于 的向量，叫做共面向量.
2.向量共面的充要条件
如果两个向量a，b ，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使 .
提醒：（1）共面向量不一定在同一平面内，共面向量所在直线可能相交、平行或异面；（2）向量p与a，b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立.
【例2】 对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点.试证：与，共面.
【规律方法】
向量共面的判定方法
充分利用题目条件将其中一个向量表示成另两个不共线向量的线性组合，即若p＝xa＋yb（a，b不共线），则向量p，a，b共面.
训练2 （1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量共面的是（ ）
A.，， B.，，
C.，， D.，，
（2）已知向量a，b，c不共面，且p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c，n＝a＋b－c，试判断p，m，n是否共面.
提能点｜共线、共面向量的应用
角度1 三点共线问题
【例3】 （1）若O，P，A，B为空间四点，且有＝x＋y，则x＋y＝1是P，A，B三点共线的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
（2）（2025·福州月考）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.求证：E，F，B三点共线.
【规律方法】
证明空间三点P，A，B共线的方法
（1）＝λ（λ∈R）；
（2）对空间任一点O，＝＋t（t∈R）；
（3）对空间任一点O，＝x＋y（x＋y＝1）.
角度2 四点共面问题
【例4】 （1）对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式＝x＋y＋z，求证：点P在平面ABC内的充要条件是x＋y＋z＝1；
（2）（链接教材P5例1）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面.
【规律方法】
四点共面的证明方法
（1）先证三向量共面，即＝x＋y，又三向量过同一点P，则P，A，B，C四点共面；
（2）若对空间任意一点O，有＝＋x＋y，则P，A，B，C四点共面；
（3）若对空间任意一点O，有＝x＋y＋z（其中x＋y＋z＝1），则P，A，B，C四点共面；
（4）若∥（或∥或∥），则P，A，B，C四点共面.
训练3 （1）设向量e1，e2，e3不共面，已知＝e1＋e2＋e3，＝e1＋λe2＋e3，＝4e1＋8e2＋4e3，若A，C，D三点共线，则λ＝（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
（2）已知O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，且＝m＋＋，则m＝（ ）
A.－1 B.2
C.－2 D.－3
1.对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是（ ）
A.共面向量
B.共线向量
C.不共面向量
D.既不共线也不共面的向量
2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有＝x＋＋，则x＝（ ）
A.1 B.0
C.3 D.
3.〔多选〕下列命题中是真命题的是（ ）
A.若向量p＝xa＋yb，则p与a，b共面
B.若p与a，b共面，则p＝xa＋yb
C.若＝x＋y，则P，M，A，B四点共面
D.若P，M，A，B四点共面，则＝x＋y
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D的中心，若＋λ＝0（λ∈R），则λ＝ .
课堂小结
1.理清单 （1）直线的方向向量； （2）空间向量共线的充要条件； （3）空间向量共面的充要条件； （4）三点共线、四点共面的证明方法. 2.应体会 证明空间向量的共线或共面问题，体现了转化与化归思想. 3.避易错 混淆向量共线与线段共线、点共线.
提示：完成课后作业 第一章 1.1 1.1.1 第二课时
3 / 4第二课时 共线向量与共面向量
课标要求
1.理解共线向量、共面向量的定义（数学抽象）.
2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件（逻辑推理）.
3.会证明空间三点共线、四点共面（逻辑推理、数学运算）.
情境导入
李老师下班回家，
先从学校大门口骑自行车向北行驶1 000 m，再向东行驶1 500 m，最后乘电梯上升15 m到5楼的住处.在这个过程中，李老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成（如图所示）.以上三个位移是同一个平面内的向量吗？
知识点一｜共线向量
问题1 （1）两个平面向量a，b（b≠0）共线的充要条件是什么？
提示：对任意两个平面向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
（2）你认为两个平面向量a，b（b≠0）共线的充要条件适用于空间向量吗？为什么？
提示：由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量.
【知识梳理】
1.两个空间向量共线的充要条件
对任意两个空间向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ，使 a＝λb .
提醒：（1）0与空间任意向量a都是共线向量；（2）向量共线的充要条件中的b≠0不可去掉，否则实数λ可能不唯一；（3）向量a，b共线时，表示向量a，b的有向线段不一定在同一条直线上.
2.直线的方向向量
如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的 方向向量 ，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的 方向向量 表示.
【例1】如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则与是否共线？
解：法一 ∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
∴＝＋＋＝＋＋. ①
又∵＝＋＋＋＝－＋－－， ②
①＋②得2＝，
∴∥，即与共线.
法二 ∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
∴＝－＝（＋）－＝（＋）－（＋）＝（－）＝（－）＝.
∴∥，即与共线.
【规律方法】
判断两个非零向量共线的方法
判断或证明两个向量a，b（b≠0）共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表示.
训练1 （1）设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是（ A ）
A.平行四边形 B.空间四边形
C.等腰梯形 D.矩形
解析：∵＋＝＋，∴＝.∴∥且｜｜＝｜｜.∴四边形ABCD为平行四边形.
（2）已知空间四边形ABCD，点E，F分别是AB与AD边上的点，M，N分别是BC与CD边上的点，若＝λ，＝λ，＝μ，＝μ，则向量与满足的关系为（ B ）
A.＝ B.∥
C.｜｜＝｜｜ D.｜｜≠｜｜
解析：由＝λ，＝λ，得＝－＝λ（－）＝λ，所以，共线，同理，由＝μ，＝μ，得＝μ，所以，共线，所以，共线，即∥.故选B.
知识点二｜共面向量
问题2 （1）空间任意两个向量是共面向量，那么空间任意三个向量是否共面？
提示：不一定，如图所示，空间中的三个向量不共面.
（2）对两个不共线的空间向量a，b，如果p＝xa＋yb，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，p＝xa＋yb？
提示：如果p＝xa＋yb，那么向量p与向量a，b共面.反过来，向量p与向量a，b共面时，p＝xa＋yb.
【知识梳理】
1.定义：如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l 平行或重合 ，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于 同一个平面 的向量，叫做共面向量.
2.向量共面的充要条件
如果两个向量a，b 不共线 ，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使 p＝xa＋yb .
提醒：（1）共面向量不一定在同一平面内，共面向量所在直线可能相交、平行或异面；（2）向量p与a，b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立.
【例2】对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点.试证：与，共面.
证明：如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，则＝＋＋， ①
＝＋＋. ②
又E，F分别是AB，CD的中点，
故有＝－，＝－. ③
将③代入②中，并与①相加，
得2＝＋，
所以＝＋，
即与，共面.
【规律方法】
向量共面的判定方法
充分利用题目条件将其中一个向量表示成另两个不共线向量的线性组合，即若p＝xa＋yb（a，b不共线），则向量p，a，b共面.
训练2 （1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量共面的是（ ）
A.，， B.，，
C.，， D.，，
解析：C 由正方体的性质可得，＝，由图形（图略）易知，，共面.
（2）已知向量a，b，c不共面，且p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c，n＝a＋b－c，试判断p，m，n是否共面.
解析：即3a＋2b＋c＝x（a－b＋c）＋y（a＋b－c）＝（x＋y）a＋（－x＋y）b＋（x－y）c.
因为a，b，c不共面，所以
而此方程组无解，所以p不能用m，n表示，即p，m，n不共面.
提能点｜共线、共面向量的应用
角度1 三点共线问题
【例3】（1）若O，P，A，B为空间四点，且有＝x＋y，则x＋y＝1是P，A，B三点共线的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：C 充分性：若x＋y＝1，则－＝y（－），即＝y，显然，P，A，B三点共线；必要性：若P，A，B三点共线，则有＝λ，故－＝λ（－），整理得＝（1＋λ）－λ，令x＝1＋λ，y＝－λ，则x＋y＝1.故x＋y＝1是P，A，B三点共线的充要条件.
（2）（2025·福州月考）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.求证：E，F，B三点共线.
证明：设＝a，＝b，＝c，
因为＝2，＝，
所以＝，＝，
所以＝＝b，
＝（－）＝（＋－）＝a＋b－c，
所以＝－＝a－b－c＝.
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
所以＝，又EF，EB有公共点E，所以E，F，B三点共线.
【规律方法】
证明空间三点P，A，B共线的方法
（1）＝λ（λ∈R）；
（2）对空间任一点O，＝＋t（t∈R）；
（3）对空间任一点O，＝x＋y（x＋y＝1）.
角度2 四点共面问题
【例4】 （1）对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式＝x＋y＋z，求证：点P在平面ABC内的充要条件是x＋y＋z＝1；
证明：①充分性
∵＝x＋y＋z，
可变形为＝（1－y－z）＋y＋z，
∴－＝y（－）＋z（－），
∴＝y＋z，
∴点P与A，B，C共面.
②必要性
∵点P在平面ABC内，A，B，C三点不共线，
∴存在有序实数对（m，n），使＝m＋n，
∴－＝m（－）＋n（－），
∴＝（1－m－n）＋m＋n，
又∵＝x＋y＋z，点O在平面ABC外，
∴，，不共面，
∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n，
∴x＋y＋z＝1.
（2）（链接教材P5例1）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面.
证明：设＝a，＝b，＝c，则＝b－a，
∵M为DD1的中点，∴＝c－a.
又∵AN∶NC＝2∶1，∴＝＝（b＋c）.
∴＝－＝（b＋c）－a＝（b－a）＋（c－a）＝＋.
∴，，为共面向量.
又三向量过同一点A1，∴A1，B，N，M四点共面.
【规律方法】
四点共面的证明方法
（1）先证三向量共面，即＝x＋y，又三向量过同一点P，则P，A，B，C四点共面；
（2）若对空间任意一点O，有＝＋x＋y，则P，A，B，C四点共面；
（3）若对空间任意一点O，有＝x＋y＋z（其中x＋y＋z＝1），则P，A，B，C四点共面；
（4）若∥（或∥或∥），则P，A，B，C四点共面.
训练3 （1）设向量e1，e2，e3不共面，已知＝e1＋e2＋e3，＝e1＋λe2＋e3，＝4e1＋8e2＋4e3，若A，C，D三点共线，则λ＝（ C ）
A.1 B.2
C.3 D.4
解析：若A，C，D三点共线，则∥，即＝μ.因为＝＋＝2e1＋（1＋λ）e2＋2e3，所以解得λ＝3.
（2）已知O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，且＝m＋＋，则m＝（ C ）
A.－1 B.2
C.－2 D.－3
解析：由＝－＝m＋＋，得＝m＋2＋，∵O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，∴m＋2＋1＝1，∴m＝－2.
1.对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是（ ）
A.共面向量
B.共线向量
C.不共面向量
D.既不共线也不共面的向量
解析：A 由共面向量定理可知，三个向量a，b，2a－b为共面向量.
2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有＝x＋＋，则x＝（ ）
A.1 B.0
C.3 D.
解析：D ∵＝x＋＋，且M，A，B，C四点共面，∴x＋＋＝1，∴x＝.
3.〔多选〕下列命题中是真命题的是（ ）
A.若向量p＝xa＋yb，则p与a，b共面
B.若p与a，b共面，则p＝xa＋yb
C.若＝x＋y，则P，M，A，B四点共面
D.若P，M，A，B四点共面，则＝x＋y
解析：AC 由平面向量基本定理得p与a，b共面，A是真命题；若a，b共线，p不一定能用a，b表示出来，B是假命题；若＝x＋y，则，，三个向量在同一个平面内，P，M，A，B四点共面，C是真命题；若M，A，B共线，点P不在此直线上，则＝x＋y不成立，D是假命题.故选A、C.
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D的中心，若＋λ＝0（λ∈R），则λ＝－.
解析：如图，连接A1C1，C1D，则点E在A1C1上，点F在C1D上，易知EF∥A1D，且EF＝A1D，∴＝，即－＝0，∴λ＝－.
课堂小结
1.理清单 （1）直线的方向向量； （2）空间向量共线的充要条件； （3）空间向量共面的充要条件； （4）三点共线、四点共面的证明方法. 2.应体会 证明空间向量的共线或共面问题，体现了转化与化归思想. 3.避易错 混淆向量共线与线段共线、点共线.
1.（2025·商丘月考）若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则（ ）
A.m，n，p共线 B.m与p共线
C.n与p共线 D.m，n，p共面
解析：D 由于（a＋b）＋（a－b）＝2a，即m＋n＝2p，即p＝m＋n，又知m与n不共线，所以m，n，p共面.
2.已知x，y，z是不共面的空间向量，若p＝3x－2y－4z与q＝（m＋1）x＋8y＋nz（m，n是实数）是共线向量，则m＋n＝（ ）
A.16 B.－13
C.3 D.－3
解析：C 因为x，y，z是不共面的空间向量且p与q共线，则有q＝λp，则解得m＝－13，n＝16，所以m＋n＝3.故选C.
3.对于空间四个不重合的点，“四点共面”是“有三点共线”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：B 空间四个不重合的点，例如平行四边形ABCD的顶点四点共面，但没有三点共线，所以充分性不成立；反之，空间四个不重合的点，若三点共线，则四点一定共面，即必要性成立，所以空间四个不重合的点，“四点共面”是“有三点共线”的必要不充分条件.故选B.
4.下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是（ ）
A.＋＝ B.－＝
C.＝ D.｜｜＝｜｜
解析：C 对于空间中的任意向量，都有＋＝，选项A错误；若－＝，则＋＝，而＋＝，据此可知＝，即B，C两点重合，选项B错误；＝，则A，B，C三点共线，选项C正确；｜｜＝｜｜，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A，B，C三点共线，选项D错误.故选C.
5.已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且＝－x＋，则实数x的值为（ ）
A. B.－
C. D.－
解析：A ＝－x＋＝－x＋（－）＝－x－.又∵P是空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，∴－x－＝1，解得x＝.
6.〔多选〕下列条件中，点P与A，B，C三点一定共面的是（ ）
A.＝＋
B.＝＋＋
C.＝＋＋
D.＋＋＋＝0
解析：AB 由＝＋得点A，B，C共线，故P，A，B，C共面；对于B，＋＋＝1，故P，A，B，C共面；对于C、D，显然不满足，故C、D错误.故选A、B.
7.〔多选〕在以下命题中，不正确的命题是（ ）
A.已知A，B，C，D是空间任意四点，则＋＋＋＝0
B.｜a｜－｜b｜＝｜a＋b｜是a，b共线的充要条件
C.若与共线，则AB与CD所在直线平行
D.对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z（其中x，y，z∈R），则P，A，B，C四点共面
解析：BCD ＋＋＋＝＋＋＝＋＝0，A正确；若a，b同向共线，则｜a｜－｜b｜＜｜a＋b｜，故B不正确；由向量平行知C不正确；D中只有x＋y＋z＝1时，才有P，A，B，C四点共面，故D不正确.故选B、C、D.
8.设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝1.
解析：＝＋＋＝（e1＋ke2）＋（5e1＋4e2）＋（e1＋2e2）＝7e1＋（k＋6）e2.设＝λ，则7e1＋（k＋6）e2＝λ（e1＋ke2），∴解得k＝1.
9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是棱CC1上靠近点C的三等分点，点N满足＝t，若N为AM与平面BDA1的交点，则t＝.
解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由点M是棱CC1上靠近点C的三等分点，得＝＋＋＝＋＋，即＝t＝t＋t＋，由N为AM与平面BDA1的交点，则N，B，D，A1四点共面，则t＋t＋＝1，所以t＝.
10.（2025·金华月考）如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形.
证明：∵E，H分别是边AB，AD的中点，
∴＝，＝，
则＝－＝－＝＝（－）＝（－）
＝（－）＝，
∴∥且｜｜＝｜｜≠｜｜.
又点F不在直线EH上，
∴四边形EFGH是梯形.
11.〔多选〕若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则下列结论正确的有（ ）
A.P∈直线AB
B.P 直线AB
C.O，A，B，P四点共面
D.P，A，B三点共线
解析：ACD 因为m＋n＝1，所以m＝1－n，所以＝（1－n）＋n，即－＝n（－），即＝n，所以与共线.又，有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB.因为＝m＋n，故O，A，B，P四点共面.故选A、C、D.
12.已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不同为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n＝0.
解析：∵A，B，C三点共线，∴存在实数k，使得＝k，∵＝－，＝－，∴－＝k（－），化简整理得－（k＋1）＋k＝0.∵λ＋m＋n＝0，①当k＝－1时，比较系数得m＝0且λ＝－n，∴λ＋m＋n＝0；②当k＝0时，比较系数得n＝0，λ＝－m，∴λ＋m＋n＝0；③当k≠0且k≠－1时，可得＝＝，得m＝（－k－1）λ，n＝kλ.由此可得λ＋m＋n＝λ＋（－k－1）λ＋kλ＝0，综上所述，λ＋m＋n＝0.
13.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M和N分别是正方形ABCD和BB1C1C的中心，点P为正方体表面及其内部的点，若点P满足＝m＋n＋k，其中m，n，k∈R，且m＋n＋k＝1，则满足条件的所有点P构成的图形的面积是.
解析：因为点P满足＝m＋n＋k，其中m，n，k∈R，且m＋n＋k＝1，所以A，M，N，P四点共面，又因为点M和N分别是正方形ABCD和BB1C1C的中心，所以CN＝B1N，AM＝MC，连接MN，AB1，则MN∥AB1，所以△AB1C即为经过A，M，N三点的平面与正方体的截面，故P点可以是正方体表面上线段AB1，B1C，AC上及其围成的三角形内部的点.所以所有点P构成的图形的面积为×××sin 60°＝.
14.如图，已知M，N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线.
证明：设＝a，＝b，＝c，
＝＋＝＋×（＋）＝＋（－＋－）＝（＋＋）＝（a＋b＋c），
则＝＋＝＋＝－a＋（a＋b＋c）＝－a＋b＋c，
＝＋＝＋（＋）＝－a＋b＋c＝，
∴∥.
又BN∩BG＝B，
∴B，G，N三点共线.
15.如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且＝，点G在AH上，且＝m.
（1）试用向量，，表示；
（2）G，B，P，D四点共面，求m的值.
解：（1）如图，连接BG.
因为＝－，＝，
所以＝－.
因为＝＋，
所以＝＋－＝－＋＋.
因为＝，所以＝，
所以＝（－＋＋）＝－＋＋.
又因为＝－，
所以＝－＋＋.
（2）因为＝m，
所以＝m＝－＋＋.
因为＝－＋＝－＋，
所以＝（1－）＋（－1）·＋.
又因为G，B，P，D四点共面，
所以1－＝0，m＝，即m的值是.
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