第一课时 空间向量及其线性运算
课标要求
1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念（数学抽象、直观想象）. 2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程（数学抽象、直观想象）. 3.掌握空间向量的线性运算及其运算律，体会数学运算在研究几何问题中的作用（逻辑推理、数学运算）.
知识点一｜空间向量的有关概念
问题1 （1）在必修第二册中我们已经学面向量，回忆一下平面向量是如何定义的，平面向量如何表示，什么是相等向量？
（2）你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？
【知识梳理】
1.空间向量的概念与表示
（1）概念：在空间，具有 和 的量叫做空间向量；空间向量的 叫做空间向量的长度或 ；
（2）表示法：
2.几个特殊的空间向量
特殊向量 定义 表示法
零向量 长度为 的向量 0
单位向量 模为 的向量 ｜a｜＝1或｜｜＝1
续表
特殊向量 定义 表示法
相反向量 与向量a长度 而方向 的向量叫做a的相反向量 －a
相等向量 方向 且模 的向量 a＝b或＝
共线向量或平行向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合（规定：零向量与任意向量平行） a∥b或∥
提醒：（1）单位向量、零向量都只规定了向量的大小而没有规定方向，单位向量有无数多个，它们的方向并不一定相同，故不一定相等，而零向量的方向是任意的，且所有的零向量都相等；（2）两个空间向量相等，则它们的方向相同，模相等，但起点和终点未必相同；（3）空间两向量同样不能比较大小.
【例1】 （1）〔多选〕下列命题为真命题的是（ ）
A.若空间向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，则a＝b
B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有＝
C.若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p
D.将空间中所有的单位向量移到同一起点，则它们的终点构成一个圆
（2）如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中：
①试写出与是相等向量的所有向量；
②试写出的相反向量.
【规律方法】
空间向量的概念与平面向量的概念类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.
训练1 下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A.方向相反的两个向量是相反向量
B.空间向量就是空间中的一条有向线段
C.相等向量其方向必相同
D.空间中，若a∥b，b∥c，则a∥c
知识点二｜空间向量的加、减运算
问题2 （1）平面向量的加、减法运算有哪些？满足哪些运算律？
（2）上面的平面向量的加、减法运算及运算律放在空间中还适用吗？为什么？
【知识梳理】
名称 代数形式 几何形式 运算律
加法 ＝ ＝a＋b 交换律：a＋b＝ ； 结合律：a＋（b＋c） ＝
减法 ＝ ＝a－b
提醒：（1）求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，必须共起点；（2）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即＋＋＋…＋＝；（3）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即＋＋＋…＋＝0；（4）一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O为起点，a，b，c为邻边作平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量.
【例2】 （1）化简－＋所得的结果是（ ）
A. B.
C.0 D.
（2）如图，已知四面体ABCD，E，F，G分别是边BC，CD，DB的中点，化简以下式子：
①＋－＝ ；
②－－＝ .
【规律方法】
空间向量加、减运算的两个技巧
（1）巧用相反向量：灵活运用相反向量实现向量加、减运算的相互转化；
（2）巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
训练2 （链接教材P5练习2题）在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，化简以下式子，并在图中标出化简结果的向量.
（1）＋－＋；
（2）－＋＋＋.
知识点三｜空间向量的数乘运算
问题3 平面向量的数乘运算是如何定义的，有什么运算律？空间向量也满足上述运算及运算律吗？
【知识梳理】
名称 代数形式 几何形式 运算律
数乘 当λ＞0时，λa＝λ＝； 当λ＜0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝ 结合律：λ（μa）＝ ； 分配律：（λ＋μ）a＝ ， λ（a＋b）＝
提醒：（1）λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度；（2）向量λa与向量a一定是共线向量.
【例3】 （1）（链接教材P9习题2题）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点.
①化简：－－＝ ；
②用，，表示，则＝ .
（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点P在A1C上，且＝.若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝ .
【规律方法】
利用数乘运算进行向量表示的技巧
（1）明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质；
（2）数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.
训练3 （1）已知m，n是实数，a，b是空间任意向量，下列命题正确的是（ ）
A.m（a－b）＝ma－mb
B.若ma＝mb，则a＝b
C.若ma＝na，则m＝n
D.若ma＝0，则m＝0
（2）如图，在四面体ABCD中，M，N分别是AD，CD的中点，则（＋）－（＋）＝（ ）
A. B. C. D.
1.下列说法正确的是（ ）
A.若｜a｜＜｜b｜，则a＜b
B.若a，b为相反向量，则a＋b＝0
C.共线的单位向量都相等
D.在四边形ABCD中，－＝
2.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，＋＋＝（ ）
A. B.
C. D.
3.已知空间向量a，b，c，化简（a＋2b－3c）＋5（a－b＋c）－3（a－2b＋c）＝ .
4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y（＋），则x＝ ，y＝ .
课堂小结
1.理清单 （1）空间向量的相关概念； （2）空间向量的线性运算（加法、减法和数乘）； （3）空间向量线性运算的运算律. 2.应体会 （1）由平面向量推广到空间向量采用了类比的思想； （2）借助空间几何体进行空间向量的加、减运算时体现了数形结合思想. 3.避易错 应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数.
提示：完成课后作业 第一章 1.1 1.1.1 第一课时
4 / 4第一课时 空间向量及其线性运算
课标要求
1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念（数学抽象、直观想象）.
2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程（数学抽象、直观想象）.
3.掌握空间向量的线性运算及其运算律，体会数学运算在研究几何问题中的作用（逻辑推理、数学运算）.
情境导入
章前图展示的是一个做滑翔伞运动的场景，可以想象，在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等.显然这些力不在同一个平面内.联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？这就是今天我们要学习的内容.
知识点一｜空间向量的有关概念
问题1 （1）在必修第二册中我们已经学面向量，回忆一下平面向量是如何定义的，平面向量如何表示，什么是相等向量？
提示：平面内既有大小又有方向的量叫做平面向量；平面向量有两种表示法：①字母表示法：用字母a，b，c，…表示；②几何表示法：用有向线段表示.方向相同且模相等的向量称为相等向量.
（2）你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？
提示：能.空间向量是平面向量的推广，其表示方法及一些相关概念与平面向量一致.
【知识梳理】
1.空间向量的概念与表示
（1）概念：在空间，具有 大小 和 方向 的量叫做空间向量；空间向量的 大小 叫做空间向量的长度或 模 ；
2.几个特殊的空间向量
特殊向量 定义 表示法
零向量 长度为 0 的向量 0
单位向量 模为 1 的向量 ｜a｜＝1或｜｜＝1
相反向量 与向量a长度 相等 而方向 相反 的向量叫做a的相反向量 －a
特殊向量 定义 表示法
相等向量 方向 相同 且模 相等 的向量 a＝b或＝
共线向量或平行向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合（规定：零向量与任意向量平行） a∥b或∥
提醒：（1）单位向量、零向量都只规定了向量的大小而没有规定方向，单位向量有无数多个，它们的方向并不一定相同，故不一定相等，而零向量的方向是任意的，且所有的零向量都相等；（2）两个空间向量相等，则它们的方向相同，模相等，但起点和终点未必相同；（3）空间两向量同样不能比较大小.
【例1】（1）〔多选〕下列命题为真命题的是（ ）
A.若空间向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，则a＝b
B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有＝
C.若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p
D.将空间中所有的单位向量移到同一起点，则它们的终点构成一个圆
解析：BC A为假命题，根据相等向量的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；B为真命题，与的方向相同，模也相等，故＝；C为真命题，向量的相等满足传递性；D为假命题，其终点构成一个球面.故选B、C.
（2）如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中：
①试写出与是相等向量的所有向量；
②试写出的相反向量.
解析：①与向量是相等向量（除它自身之外）的有，，.
②向量的相反向量为，，，.
【规律方法】
空间向量的概念与平面向量的概念类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.
训练1 下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A.方向相反的两个向量是相反向量
B.空间向量就是空间中的一条有向线段
C.相等向量其方向必相同
D.空间中，若a∥b，b∥c，则a∥c
解析：C 相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误；空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，故B错误；相等向量其方向必相同，故C正确；平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行.故选C.
知识点二｜空间向量的加、减运算
问题2 （1）平面向量的加、减法运算有哪些？满足哪些运算律？
提示：平面向量的加、减法运算有平行四边形和三角形法则；满足交换律与结合律.
（2）上面的平面向量的加、减法运算及运算律放在空间中还适用吗？为什么？
提示：适用.因为空间中任意两个向量都可以通过平移转化到同一个平面内.
【知识梳理】
名称 代数形式 几何形式 运算律
加法 ＝ ＋ ＝a＋b 交换律： a＋b＝ b＋a ； 结合律：a＋（b＋c） ＝ （a＋b）＋c
减法 ＝ － ＝a－b
提醒：（1）求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，必须共起点；（2）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即＋＋＋…＋＝；（3）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即＋＋＋…＋＝0；（4）一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O为起点，a，b，c为邻边作平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量.
【例2】（1）化简－＋所得的结果是（ C ）
A. B.
C.0 D.
解析：－＋＝＋－＝－＝0，故选C.
（2）如图，已知四面体ABCD，E，F，G分别是边BC，CD，DB的中点，化简以下式子：
①＋－＝；
②－－＝.
解析：①＋－＝＋＋＝＋＝.
②－－＝＋＋＝＋＝.
【规律方法】
空间向量加、减运算的两个技巧
（1）巧用相反向量：灵活运用相反向量实现向量加、减运算的相互转化；
（2）巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
训练2 （链接教材P5练习2题）在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，化简以下式子，并在图中标出化简结果的向量.
（1）＋－＋；
解：根据六棱柱的性质知四边形BB1C1C，DD1E1E都是平行四边形，
所以＝，－＝＝，
所以＋－＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝，如图.
（2）－＋＋＋.
解：在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，四边形AA1F1F是平行四边形，所以＝.
同理易得＝，＝，＝，
所以－＋＋＋＝＋＋＋＋＝，如图.
知识点三｜空间向量的数乘运算
问题3 平面向量的数乘运算是如何定义的，有什么运算律？空间向量也满足上述运算及运算律吗？
提示：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘；向量的数乘运算满足结合律及分配律；满足.
【知识梳理】
名称 代数形式 几何形式 运算律
数乘 当λ＞0时，λa＝λ＝； 当λ＜0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝ 0 结合律：λ（μa）＝ （λμ）a ； 分配律： （λ＋μ）a＝ λa＋μa ， λ（a＋b）＝ λa＋λb
提醒：（1）λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度；（2）向量λa与向量a一定是共线向量.
【例3】（1）（链接教材P9习题2题）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点.
①化简：－－＝；
②用，，表示，则＝＋＋.
解析：①－－＝－＝－＝.
②＝＋＝＋＝（＋）＋＝＋＋.
（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点P在A1C上，且＝.若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝.
解析：如图，＝＋＝＋＝＋（－）＝＋（＋）＝＋＋，所以x＝，y＝，z＝，所以x＋y＋z＝.
【规律方法】
利用数乘运算进行向量表示的技巧
（1）明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质；
（2）数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.
训练3 （1）已知m，n是实数，a，b是空间任意向量，下列命题正确的是（ A ）
A.m（a－b）＝ma－mb
B.若ma＝mb，则a＝b
C.若ma＝na，则m＝n
D.若ma＝0，则m＝0
解析：m（a－b）＝ma－mb，A正确；若m＝0，则a，b不一定相等，B错误；若a＝0，则m，n不一定相等，C错误；若ma＝0，则m＝0或a＝0，故D错误.故选A.
（2）如图，在四面体ABCD中，M，N分别是AD，CD的中点，则（＋）－（＋）＝（ C ）
A. B. C. D.
解析：连接BM，BN，如图所示.
因为M，N分别是AD，CD的中点，所以（＋）－（＋）＝－＝.故选C.
1.下列说法正确的是（ ）
A.若｜a｜＜｜b｜，则a＜b
B.若a，b为相反向量，则a＋b＝0
C.共线的单位向量都相等
D.在四边形ABCD中，－＝
解析：D 向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，A错；相反向量的和为0，不是0，B错；共线的单位向量是相等向量或相反向量，C错；由向量的减法法则，D正确.
2.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，＋＋＝（ ）
A. B.
C. D.
解析：D 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，＋＋＝（＋）＋＝＋＝.故选D.
3.已知空间向量a，b，c，化简（a＋2b－3c）＋5（a－b＋c）－3（a－2b＋c）＝a＋b－c.
解析：原式＝a＋b－c＋a－b＋c－3a＋6b－3c＝a＋b－c.
4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y（＋），则x＝1，y＝.
解析：因为＝＋＝＋＝＋（＋），且＝x＋y（＋），所以x＝1，y＝.
课堂小结
1.理清单 （1）空间向量的相关概念； （2）空间向量的线性运算（加法、减法和数乘）； （3）空间向量线性运算的运算律. 2.应体会 （1）由平面向量推广到空间向量采用了类比的思想； （2）借助空间几何体进行空间向量的加、减运算时体现了数形结合思想. 3.避易错 应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数.
1.下列命题中为真命题的是（ ）
A.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
B.若｜a｜＝｜b｜，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C.在四边形中，一定有＋＝
D.不相等的两个空间向量的模必不相等
解析：A 两个相等的向量，若起点相同，则终点必相同，A正确；｜a｜＝｜b｜只能说明a，b的长度相等，而方向不确定，B错误；满足＋＝的一定是平行四边形，一般四边形不满足，C错误；两个不相等的空间相量，其模可以相等，D错误，故选A.
2.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，＝，则下列向量相等的是（ ）
A.与 B.与
C.与 D.与
解析：D ∵＝，又ABCD-A1B1C1D1为四棱柱，∴＝，故选D.
3.已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则－＋＝（ ）
A. B.3
C.3 D.2
解析：B －＋＝－（－）＝－＝＋＝＋2＝3.
4.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝a，＝c，＝b，则＝（ ）
A.－a＋b＋c
B.a＋b＋c
C.－a－b＋c
D.a－b＋c
解析：A 因为M是A1C1的中点，所以＝＋－＝－＋＝－＋＝－＋（＋）＝－＋＝－a＋b＋c.故选A.
5.〔多选〕已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，则下列选项中正确的有（ ）
A.－＝
B.＝＋＋
C.＝
D.＋＋＋＝
解析：ABC 作出平行六面体ABCD-A'B'C'D'如图，可得－＝＋＝，故A正确；＋＋＝＋＋＝，故B正确；C显然正确；＋＋＋＝＋＝，故D不正确.
6.〔多选〕对于空间中的非零向量，，两两不等，其中可能成立的是（ ）
A.＋＝
B.－＝
C.｜｜＋｜｜＝｜｜
D.｜｜－｜｜＝｜｜
解析：ACD 对于A，根据空间向量的加法运算，＋＝恒成立；对于B，由向量减法可知－＝，又为非零向量，所以B一定不成立；对于C，当，方向相同时，有｜｜＋｜｜＝｜｜；对于D，当，方向相同且｜｜≥｜｜时，有｜｜－｜｜＝｜｜.
7.空间中任意四个点A，B，C，D，则＋－＋2＝.
解析：＋－＋2＝＋＋2＝＋2＝2－＝.
8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是AA1的中点，已知＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则＝－a－b＋c.
解析：∵＝＋＋＝－－＋，又∵M是AA1的中点，∴＝，∴＝－－＋，∵＝a，＝b，＝c，∴＝－a－b＋c.
9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC1与A1C的交点，且（＋＋）＝λ，则λ＝ .
答案：
解析：如图，因为O为AC1与A1C的交点，
所以O为AC1的中点，所以＝2，则（＋＋）＝＝，故λ＝.
10.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是棱BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量.
（1）＋；
（2）＋＋；
（3）－－－.
解：（1）＋＝.如图.
（2）∵M是BB1的中点，
∴＝，又＝，
∴＋＋＝＋＝.如图.
（3）－－－＝（＋）－（＋）＝－＝.如图.
11.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若＝x＋2y＋3z，则x＋y＋z＝（ ）
A.1 B.
C. D.2
解析：B 因为＝＋＋＝＋＋＝＋＋（－），所以2＝＋＋，所以＝＋＋，所以x＝，2y＝，3z＝，解得x＝，y＝，z＝，所以x＋y＋z＝＋＋＝.
12.〔多选〕已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中正确的有（ ）
A.＋与＋是一对相反向量
B.－与－是一对相反向量
C.＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量
D.－与－是一对相反向量
解析：ACD ∵O为正方体的中心，∴＝－，＝－，故＋＝－（＋），同理可得＋＝－（＋），故＋＋＋＝－（＋＋＋），∴A、C正确；∵－＝，－＝，∴－与－是两个相等的向量，∴B不正确；∵－＝，－＝＝－，∴－＝－（－），∴D正确.
13.在空间四边形ABCD中，连接AC，BD.若△BCD是正三角形，且E为其中心，则＋－－＝0.
解析：如图，取BC的中点F，连接DF，则＝，故＋－－＝＋－＋＝＋＋＝0.
14.如图，在空间四边形SABC中，AC，BS为其对角线，O为△ABC的重心.
（1）求证：＋＋＝0；
（2）化简：＋－－.
解：（1）证明：＝－（＋）， ①
＝－（＋）， ②
＝－（＋）， ③
由①＋②＋③得＋＋＝0.
（2）因为＝×（＋）＝（＋），
所以＋－－
＝（－）＋（－）－×（＋）＝＋（－）－（＋）＝0.
15.在平面四边形ABCD中，E，F分AB，DC所成的比为λ，即＝＝λ，则有＝＋.
（1）拓展到空间，写出空间四边形ABCD类似的命题，并加以证明；
（2）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点，利用上述（1）的结论表示.
解：（1）在空间四边形ABCD中，E，F分AB，DC所成的比为λ，即＝＝λ，则有＝＋.证明如下：
＝＋＋＝＋＋＝（＋）＋＋（＋）＝＋·＋＋＋＝＋.
（2）由（1）的结论可得＝＋＝＋.
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