1.1.2 空间向量的数量积运算
课标要求
1.了解空间向量的夹角，掌握空间向量的数量积（数学抽象、数学运算）.
2.了解空间向量投影的概念及投影向量的意义（直观想象）.
3.能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题（数学运算、逻辑推理）.
情境导入
如果一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所作的功W＝F·S＝｜F｜｜S｜cos θ，为了在数学中体现“功”这样一个标量，我们引入了“数量积”的概念，那么在空间中向量的数量积又是如何定义的呢？这就是这节课我们要学习的内容.
知识点一｜空间向量的夹角
问题1 （1）回忆一下，两个平面向量a和b的夹角的定义是什么？
提示：已知两个非零向量a，b，在平面任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作＜a，b＞.
（2）两个平面向量夹角的定义能推广到空间中吗？为什么？
提示：能.因为任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量.
【知识梳理】
定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则 ∠AOB 叫做向量a，b的夹角，记作 ＜a，b＞
范围 [0，π]
向量垂直 如果＜a，b＞＝ ，那么向量a，b互相垂直，记作 a⊥b
【例1】（1）＜a，b＞与＜b，a＞，＜－a，b＞与＜a，－b＞，＜a，b＞与＜－a，b＞，＜a，b＞与＜－a，－b＞，之间分别有什么关系？
解：＜a，b＞＝＜b，a＞，＜－a，b＞＝＜a，－b＞，＜－a，b＞＝π－＜a，b＞，＜－a，－b＞＝＜a，b＞.
（2）如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求向量分别与向量，，，，的夹角.
解：连接BD（图略），
则在正方体ABCD-A'B'C'D'中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD'＝CD'，
所以＜，＞＝＜，＞＝45°，
＜，＞＝180°－＜，＞＝135°，
＜，＞＝∠D'AC＝60°，
＜，＞＝180°－＜，＞＝180°－60°＝120°，
＜，＞＝＜，＞＝90°.
【规律方法】
对两个空间向量夹角的理解
（1）求两个空间向量的夹角时，要结合夹角的定义和图形，以防出错；
（2）两个非零向量才有夹角，当两个非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π.
训练1 （1）对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“＜a，b＞＝0”的（ B ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：因为a∥b包括向量a和b同向共线和反向共线两种情况，所以当a∥b时，有＜a，b＞＝0或＜a，b＞＝π，不能得到＜a，b＞＝0，充分性不成立；＜a，b＞＝0，则a和b方向相同，有a∥b，必要性成立，故“a∥b”是“＜a，b＞＝0”的必要不充分条件.故选B.
（2）在正四面体ABCD中，与的夹角等于120°；与的夹角等于60°.
解析：由正四面体每个面都是正三角形可知，＜，＞＝180°－＜，＞＝180°－60°＝120°；＜，＞＝＜，＞＝60°.
知识点二｜空间向量的数量积
问题2 平面向量的数量积的定义是什么？平面向量的数量积运算满足哪些运算律？能将其推广到空间中吗？
提示：已知两个非零向量a，b，则｜a｜｜b｜cos＜a，b＞叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝｜a｜｜b｜·cos＜a，b＞；平面向量的数量积运算满足：（1）数乘向量与向量数量积的结合律：（λa）·b＝λ（a·b），λ∈R；（2）交换律：a·b＝b·a；（3）分配律：（a＋b）·c＝a·c＋b·c；能.
【知识梳理】
1.定义：已知两个非零向量a，b，则 ｜a｜｜b｜cos＜a，b＞ 叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝ ｜a｜｜b｜cos＜a，b＞ .
2.性质：（1）若a，b为非零向量，则a⊥b a·b＝0 ；
（2）a·a＝ ｜a｜｜a｜cos＜a，a＞ ＝ ｜a｜2 ＝a2；
（3）a·e＝｜a｜cos＜a，e＞（其中e为单位向量）；
（4）若a，b为非零向量，则cos＜a，b＞＝；
（5）特别地，零向量与任意向量的数量积为0.
3.运算律：（1）（λa）·b＝ λ（a·b） ，λ∈R；
（2）交换律：a·b＝ b·a ；
（3）分配律：（a＋b）·c＝ a·c＋b·c .
提醒：向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或ab.
【例2】（1）思考下列问题：①由a·b＝0，能否得到a＝0或b＝0？
②对于向量a，b，c，由a·b＝a·c能得到b＝c吗？如果不能，请举出反例？对于非零向量a，b，c，由a·b＝a·c能得到b＝c吗？
③对于向量a，b，若a·b＝k，能否写成a＝（ 或b＝）的形式？
④对于向量a，b，c，（a·b）c＝a（b·c）成立吗？也就是说，向量的数量积满足结合律吗？
解：①不一定.因为a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝0，所以｜a｜＝0或｜b｜＝0或cos＜a，b＞＝0.即a＝0或b＝0或a⊥b.
②不能.数量积运算不满足消去律，例如a＝0；不一定，只能得到｜b｜cos＜a，b＞＝｜c｜cos＜a，c＞.
③不能.数量积不是单纯的乘法，向量没有除法.
④不满足.（a·b）和（b·c）都是实数，而a和c方向也不一定相同.
（2）（链接教材P9习题4题）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，E，F分别是AB，AD的中点，计算：
①·；
②·；
③·；
④·.
解：①·＝·＝｜｜·｜｜·cos＜，＞＝×1×1×cos 60°＝.
②·＝·＝｜｜·｜｜·cos＜，＞＝×1×1×cos 0°＝.
③·＝·＝｜｜·｜｜·cos＜，＞＝×1×1×cos 120°＝－.
④·＝（＋）·（＋）
＝[·（－）＋·（－）＋·＋·]＝[－·－·＋（－）·＋·]
＝×（ －－＋－＋）＝－.
【规律方法】
求空间向量数量积的步骤
（1）将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清；
（2）利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的乘积；
（3）代入a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞求解.
训练2 （1）（2025·扬州月考）如图，在棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1中，·＝（ A ）
A.2 B.1 C.2 D.
解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，所以AB⊥AD1，所以·＝（＋）·＝（＋）·＝·＋·＝0＋×2×cos 45°＝2.故选A.
（2）若a，b，c为空间中两两夹角为的单位向量，＝2a－2b，＝b－c，则·＝－1.
解析：由题意得，a·b＝b·c＝c·a＝12×cos＝，则·＝2（a－b）·（b－c）＝2（a·b－a·c－b2＋b·c）＝2（ －－1＋）＝－1.
知识点三｜投影向量
问题3 如图，在平面向量中，我们学习了向量的投影向量，类似地，对于空间任意两个非零向量a，b，怎样得到向量a在向量b上的投影向量呢？
提示：在空间中，由于向量a与向量b是自由向量，可将向量a与向量b平移到同一个平面内，进而利用平面上求投影向量的方法， 得到向量a在向量b上的投影向量.
【知识梳理】
作法 图形表示 符号表示
向量a在向量b上的投影向量 将向量a，b（直线l）平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b（直线l的方向向量）共线的向量c c＝｜a｜·cos＜a，b＞
向量a在直线l上的投影向量
向量a在平面β上的投影向量 分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，得到向量
【例3】（2025·温州月考）已知向量a，b，｜a｜＝6，｜b｜＝8，＜a，b＞＝120°，则a在b上的投影向量为－b，b在a上的投影向量为－a.
解析：由题可得与向量a，b同方向的单位向量分别为，，由｜a｜＝6，｜b｜＝8，＜a，b＞＝120°，根据投影向量的定义，则a在b上的投影向量为｜a｜cos＜a，b＞＝＝－b，b在a上的投影向量为｜b｜cos＜a，b＞＝＝－a.
【规律方法】
投影向量中的两点注意
（1）在投影向量公式中，是向量b的单位向量，不可以省去；
（2）向量a在向量b上的投影向量也可以表示为·.
训练3 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB＝BC＝a，PA＝b.
（1）确定在平面ABC上的投影向量；
解：因为PA⊥平面ABC，所以在平面ABC上的投影向量为.
（2）确定在上的投影向量.
解：因为PA⊥平面ABC，AB 平面ABC，
可得PA⊥AB，所以·＝0.
因为CB⊥AB，所以·＝0，
所以·＝（＋＋）·
＝·＋·＋·
＝0＋a2＋0＝a2，
又｜｜＝a，所以在上的投影向量为
｜｜·cos＜，＞·＝｜｜··＝·＝·＝.
提能点｜空间向量数量积的应用
角度1 利用数量积求夹角和模
【例4】 （1）已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为（ B ）
A.6 B.
C.3 D.
解析：设＝a，＝b，＝c，则｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，且＜a，b＞＝＜b，c＞＝＜c，a＞＝60°，因此a·b＝b·c＝c·a＝.由＝a＋b＋c，得｜｜2＝＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝6.所以｜｜＝.
（2）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，＜，＞＝（ B ）
A.30° B.60°
C.90° D.120°
解析：不妨设正方体的棱长为1，则·＝（＋）·（＋）＝（＋）·（＋）＝·＋＋·＋·＝0＋＋0＋0＝＝1，又∵｜｜＝，｜｜＝，∴cos＜，＞＝＝＝，∴＜，＞＝60°.
【规律方法】
1.利用数量积求夹角或其余弦值的步骤
2.利用数量积求两点间的距离或线段的长度的步骤
（1）将此线段用向量表示；
（2）用其他已知夹角和模的向量表示该向量；
（3）利用｜a｜＝，计算出｜a｜，即得所求距离.
角度2 利用数量积证明垂直问题
【例5】 如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，M，N分别是AB，CD的中点.证明：MN⊥AB.
证明：由题意可知，｜｜＝｜｜＝｜｜＝a，且向量，，两两的夹角均为60°，连接AN（图略），
则＝－＝（＋）－，
所以·＝（·＋·－）＝（a2cos 60°＋a2cos 60°－a2）＝0，
所以⊥，即MN⊥AB.
【规律方法】
利用数量积证明垂直问题的步骤
（1）把几何问题转化为向量问题；
（2）用已知向量表示所证向量；
（3）结合数量积公式和运算律证明数量积为0；
（4）将向量问题回归到几何问题.
训练4 （1）已知空间四边形OABC各边及对角线长都等于2，E，F分别为AB，OC的中点，则异面直线OE与BF所成角的余弦值为；
解析：由已知得＝（＋），＝－＝－，因此｜｜＝｜＋｜＝＝，｜｜＝｜－｜
＝＝.又因为·＝（＋）·（ －）＝×2－×2＋×2－2＝－2，所以cos＜，＞＝＝＝－.故异面直线OE与BF所成角的余弦值为.
（2）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1.求证：⊥.
证明：＝＋＝－＋，
＝＋＝－（＋），
所以·＝－（·＋·－－·＋·＋）＝－×（0＋0－1－0＋0＋1）＝0，
所以⊥.
三垂线定理
通过教材P10习题8题的证明，我们可得到三垂线定理：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直.
该定理用数学语言描述为：如图，已知点P是平面α外一点，PA是平面α的斜线，交α于点A，过点P作平面α的垂线PO，垂足是O，直线OA是PA在平面α上的投影，对平面α上的任一直线l，若直线l⊥OA，则直线l⊥PA.
【问题探究】
1.保持上述定理的已知条件不变，若已知直线l⊥PA，能否得到直线l⊥OA？
提示：能.取直线l的方向向量a，同时取向量，，.因为l⊥PA，所以a ⊥，所以a·＝0.又因为PO⊥平面α，所以l⊥PO，所以a⊥，所以a·＝0.所以a·＝a·（－）＝a·－a·＝0，所以l⊥OA.
2.保持上述定理的已知条件不变，你认为直线l⊥OA是直线l⊥PA的什么条件？
提示：充要条件.
【迁移应用】
1.已知点P是△ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，则点P在平面ABC上的射影一定是△ABC的（ ）
A.内心 B.外心
C.垂心 D.重心
解析：B 如图所示，设点P在平面ABC上的射影为O，连接OA，OB，OC.所以PO⊥平面ABC.因为PA＝PB＝PC，且∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，所以△PAO≌△PBO≌△PCO，所以AO＝BO＝CO.即点O到三角形三个顶点的距离相等，所以点O为△ABC的外心.
2.在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则点P到BC的距离是4.
解析：由PA⊥平面ABC，在△ABC中，作AD⊥BC于点D，连接PD（图略），由三垂线定理知，PD⊥BC，即PD就是点P到BC的距离.在△ACD中，AC＝5，CD＝3，所以AD＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，所以PD＝＝4.
3.等腰直角△ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则斜边上的中线CM与α所成的角为45°.
解析：如图，设C在平面α内的射影为点O，连接AO，MO，则∠CAO＝30°，∠CMO就是CM与α所成的角.设AC＝BC＝1，则AB＝，所以CM＝，CO＝，所以sin∠CMO＝＝，所以∠CMO＝45°.
1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是（ ）
A.与 B.与
C.与 D.与
解析：A 选项A中向量的夹角为45°，选项B、C、D中的向量的夹角为135°.
2.已知空间向量｜a｜＝，｜b｜＝5，且a与b夹角的余弦值为－，则a在b上的投影向量为（ ）
A.－b B.b
C.b D.－b
解析：D a在b上的投影向量为·＝·＝－·＝－b.
3.在三棱锥P-ABC中，∠PAB＝∠ABC＝，＜，＞＝，PA＝2，AB＝1，BC＝3，则｜｜＝（ ）
A. B.2 C. D.1
解析：C 由已知得＝＋＋，所以｜｜2＝（＋＋）2＝｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋2·＋2·＋2·＝22＋12＋32＋2×2×1×（ －）＋2×2×3×（ －）＋2×1×3×（ －）＝3，所以｜｜＝.故选C.
4.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是 C1D1的中点，则与所成角的大小为60°；·＝1.
解析：法一 连接A1D（图略），则∠PA1D就是与所成的角，连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即与所成角的大小为60°，因此·＝××cos 60°＝1.
法二 根据向量的线性运算可得·＝（＋）·（ ＋）＝＝1.由题意可得PA1＝B1C＝，则××cos＜，＞＝1，cos＜，＞＝，从而＜，＞＝60°.
课堂小结
1.理清单 （1）空间向量的夹角； （2）空间向量的数量积； （3）投影向量； （4）空间向量数量积的应用. 2.应体会 （1）求空间向量的夹角、数量积及投影向量时常用到数形结合思想； （2）空间向量数量积的应用中注意转化与化归思想的应用. 3.避易错 当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.
1.在正四面体ABCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则与的夹角为（ ）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
解析：C 由题意，可得＝，所以＜，＞＝＜，＞＝180°－＜，＞＝180°－60°＝120°.
2.已知向量a和b的夹角为120°，且｜a｜＝2，｜b｜＝5，则（2a－b）·a＝（ ）
A.12 B.8＋
C.4 D.13
解析：D （2a－b）·a＝2a2－b·a＝2｜a｜2－｜a｜｜b｜·cos 120°＝2×4－2×5×（ －）＝13.
3.在空间四边形ABCD中，∠ABD＝∠BDC＝90°，AC＝2BD，则在上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
解析：B 在空间四边形ABCD中，因为∠ABD＝∠BDC＝90°，AC＝2BD，设AC＝2，BD＝1，且·＝·＝0，＝＋＋，则·＝（＋＋）·＝｜｜2，在上的投影向量为·＝·＝.故选B.
4.设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知（＋－2）·（－）＝0，则△ABC是（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
解析：B 因为＋－2＝（－）＋（－）＝＋，所以（＋）·（－）＝｜｜2－｜｜2＝0，所以｜｜＝｜｜，即△ABC是等腰三角形.
5.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， AC＝AB＝AA1＝，BC＝2AE＝2，则向量与的夹角是（ ）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
解析：C ∵A1A⊥平面ABC，AB 平面ABC，AC 平面ABC，∴A1A⊥AB，A1A⊥AC.∵AC＝AB＝，BC＝2，∴AB2＋AC2＝BC2，∴AB⊥AC，又BC＝2AE＝2，∴E为BC的中点，∴＝（＋）.∵AC＝AA1＝，∴A1C＝2.∵·＝（＋）·（－）＝＝1，∴cos＜，＞＝＝，又0°≤＜，＞≤180°，∴＜，＞＝60°.故选C.
6.〔多选〕设a，b，c是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题，其中正确的是（ ）
A.（a·b）·c－（c·a）·b＝0
B.｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜
C.（b·a）·c－（c·a）·b一定不与c垂直
D.（3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2
解析：BD A项，∵（a·b）·c是表示与向量c共线的向量，而（c·a）·b是表示与向量b共线的向量，∴A错误；B项，∵a，b是两个不共线的向量，根据三角形任意两边之差小于第三边可得｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜，∴B正确；C项，∵[（b·a）·c－（c·a）·b]·c＝（b·a）·c·c－（c·a）·b·c＝0可能成立，∴C错误；D项，∵向量的运算满足平方差公式，∴（3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2，∴D正确，故选B、D.
7.〔多选〕如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是（ ）
A.2· B.2·
C.2· D.2·
解析：BC 对于A，2·＝2a2cos 120°＝－a2，错误；对于B，2·＝2·＝2a2cos 60°＝a2，正确；对于C，2·＝·＝a2，正确；对于D，2·＝·＝－·＝－a2，错误.
8.已知｜a｜＝13，｜b｜＝19，｜a＋b｜＝24，则｜a－b｜＝22.
解析：∵｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，∴2a·b＝46，｜a－b｜2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故｜a－b｜＝22.
9.已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则cos＜a，b＞＝.
解析：由条件知（a＋3b）·（7a－5b）＝7｜a｜2－15｜b｜2＋16a·b＝0，（a－4b）·（7a－2b）＝7｜a｜2＋8｜b｜2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23｜b｜2，所以a·b＝｜b｜2，代入上面两个式子中的任意一个，得｜a｜＝｜b｜，所以cos＜a，b＞＝＝＝.
10.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，PC＝4，∠ABC＝∠BCP＝∠DCP＝120°.
（1）利用空间向量证明PA⊥BD；
（2）求AP的长.
解：（1）证明：设＝a，＝b，＝c，则＝－＝b－a，＝＋＋＝a＋b＋c，所以·＝（b－a）·（a＋b＋c）＝b2－a2＋b·c－a·c＝32－32＋3×4×cos 60°－3×4×cos 60°＝0，所以⊥，故PA⊥BD.
（2）由（1）知＝a＋b＋c，
所以＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c
＝32＋32＋42＋2×3×3×cos 60°＋2×3×4×cos 60°＋2×3×4×cos 60°＝9＋9＋16＋9＋12＋12＝67.
所以AP＝｜｜＝.
11.已知a，b是异面直线，点A，B∈a，点C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是（ ）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
解析：C ∵＝＋＋，∴·＝（＋＋）·＝·＋＋·＝0＋12＋0＝1，又｜｜＝2，｜｜＝1.∴cos＜，＞＝＝＝.∵异面直线所成的角是锐角或直角，∴a与b所成的角是60°.
12.〔多选〕在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有下列说法，其中正确的有（ ）
A.（＋＋）2＝3
B.·（－）＝0
C.与的夹角为60°
D.正方体的体积为｜··｜
解析：AB 如图，（＋＋）2＝（＋＋）2＝＝3，故A正确；·（－）＝·＝（－＋＋）·＝0，故B正确；与的夹角是与夹角的补角，而△ACD1为正三角形，所以与的夹角为60°，故与的夹角为120°，故C错误；正方体的体积为｜｜·｜｜·｜｜，故D错误.故选A、B.
13.在四面体OABC中，已知OA，OB，OC两两垂直，且OA＝3，OB＝6，OC＝9，若G是△ABC的重心，则OG＝.
解析： 如图所示，取BC的中点D，根据三角形重心的性质，可得AG＝AD，根据向量的运算法则，可得＝＋＝＋＝＋（ ＋）＝＋［（－）＋（－）］＝（＋＋），所以｜｜2＝（＋＋＋2·＋2·＋2·）＝（9＋36＋81＋0＋0＋0）＝14，所以｜｜＝，即OG＝.
14.如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，点Q是BC上的动点，点P是B1C1上的动点，AB＝BC＝2，AA1＝1.
（1）求·；
（2）求·的取值范围.
解：（1）·＝（＋＋）·＝·＋·＋·，
因为AD⊥AB，AD⊥AA1，
所以⊥，⊥，
即·＝0，·＝0，
因此·＝＝｜｜2＝4.
（2）·＝（＋＋）·（＋）＝·＋·＋·＋·＋·＋·，
因为AA1⊥AB，C1P⊥AB，AA1⊥BQ，
AB⊥BQ，
所以·＝0，·＝0，·＝0，·＝0，
因此·＝·＋·＝｜｜2－｜｜·｜｜，
设｜｜＝x，｜｜＝y， 0≤x≤2，0≤y≤2，
则·＝4－xy，
由于0≤xy≤4，所以－4≤－xy≤0，
所以0≤4－xy≤4，
故·的取值范围为[0，4].
15.如图，在矩形ABCD和ABEF中，AB＝4，AD＝AF＝3，∠DAF＝，＝λ，＝λ，0＜λ＜1，记＝a，＝b，＝c.
（1）将用a，b，c表示出来，并求｜｜的最小值；
（2）是否存在λ使得MN⊥平面ABCD？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.
解：（1）＝－＝－（＋）＝λ－（＋λ）＝λ（a＋c）－[b＋λ（a－b）]＝（λ－1）b＋λc.
所以｜｜＝
＝
＝
＝3，
故当λ＝时，｜｜有最小值为.
（2）假设存在λ使得MN⊥平面ABCD，故MN⊥AB，MN⊥AD.
因为·＝[（λ－1）b＋λc]·a＝0，
所以MN⊥AB恒成立；
由·＝0，得[（λ－1）b＋λc]·b＝0，
即（λ－1）b2＋λb·c＝0，
所以9（λ－1）＋λ＝0，解得λ＝，满足条件.
故存在λ＝使得MN⊥平面ABCD.
1 / 141.1.2 空间向量的数量积运算
课标要求
1.了解空间向量的夹角，掌握空间向量的数量积（数学抽象、数学运算）. 2.了解空间向量投影的概念及投影向量的意义（直观想象）. 3.能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题（数学运算、逻辑推理）.
知识点一｜空间向量的夹角
问题1 （1）回忆一下，两个平面向量a和b的夹角的定义是什么？
（2）两个平面向量夹角的定义能推广到空间中吗？为什么？
【知识梳理】
定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则 叫做向量a，b的夹角，记作
范围
向量垂直 如果＜a，b＞＝ ，那么向量a，b互相垂直，记作
【例1】 （1）＜a，b＞与＜b，a＞，＜－a，b＞与＜a，－b＞，＜a，b＞与＜－a，b＞，＜a，b＞与＜－a，－b＞，之间分别有什么关系？
（2）如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求向量分别与向量，，，，的夹角.
【规律方法】
对两个空间向量夹角的理解
（1）求两个空间向量的夹角时，要结合夹角的定义和图形，以防出错；
（2）两个非零向量才有夹角，当两个非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π.
训练1 （1）对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“＜a，b＞＝0”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
（2）在正四面体ABCD中，与的夹角等于 ；与的夹角等于 .
知识点二｜空间向量的数量积
问题2 平面向量的数量积的定义是什么？平面向量的数量积运算满足哪些运算律？能将其推广到空间中吗？
【知识梳理】
1.定义：已知两个非零向量a，b，则 叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝ .
2.性质：（1）若a，b为非零向量，则a⊥b ；
（2）a·a＝ ＝ ＝a2；
（3）a·e＝｜a｜cos＜a，e＞（其中e为单位向量）；
（4）若a，b为非零向量，则cos＜a，b＞＝；
（5）特别地，零向量与任意向量的数量积为0.
3.运算律：（1）（λa）·b＝ ，λ∈R；
（2）交换律：a·b＝ ；
（3）分配律：（a＋b）·c＝ .
提醒：向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或ab.
【例2】 （1）思考下列问题：①由a·b＝0，能否得到a＝0或b＝0？
②对于向量a，b，c，由a·b＝a·c能得到b＝c吗？如果不能，请举出反例？对于非零向量a，b，c，由a·b＝a·c能得到b＝c吗？
③对于向量a，b，若a·b＝k，能否写成a＝（ 或b＝）的形式？
④对于向量a，b，c，（a·b）c＝a（b·c）成立吗？也就是说，向量的数量积满足结合律吗？
（2）（链接教材P9习题4题）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，E，F分别是AB，AD的中点，计算：
①·；②·；
③·；④·.
【规律方法】
求空间向量数量积的步骤
（1）将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清；
（2）利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的乘积；
（3）代入a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞求解.
训练2 （1）（2025·扬州月考）如图，在棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1中，·＝（ ）
A.2 B.1
C.2 D.
（2）若a，b，c为空间中两两夹角为的单位向量，＝2a－2b，＝b－c，则·＝ .
知识点三｜投影向量
问题3 如图，在平面向量中，我们学习了向量的投影向量，类似地，对于空间任意两个非零向量a，b，怎样得到向量a在向量b上的投影向量呢？
【知识梳理】
作法 图形表示 符号表示
向量a在向量b上的投影向量 将向量a，b（直线l）平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b（直线l的方向向量）共线的向量c c＝｜a｜·cos＜a，b＞
向量a在直线l上的投影向量
向量a在平面β上的投影向量 分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，得到向量
【例3】 （2025·温州月考）已知向量a，b，｜a｜＝6，｜b｜＝8，＜a，b＞＝120°，则a在b上的投影向量为 ，b在a上的投影向量为 .
【规律方法】
投影向量中的两点注意
（1）在投影向量公式中，是向量b的单位向量，不可以省去；
（2）向量a在向量b上的投影向量也可以表示为·.
训练3 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB＝BC＝a，PA＝b.
（1）确定在平面ABC上的投影向量；
（2）确定在上的投影向量.
提能点｜空间向量数量积的应用
角度1 利用数量积求夹角和模
【例4】 （1）已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为（ ）
A.6 B.
C.3 D.
（2）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，＜，＞＝（ ）
A.30° B.60°
C.90° D.120°
【规律方法】
1.利用数量积求夹角或其余弦值的步骤
2.利用数量积求两点间的距离或线段的长度的步骤
（1）将此线段用向量表示；
（2）用其他已知夹角和模的向量表示该向量；
（3）利用｜a｜＝，计算出｜a｜，即得所求距离.
角度2 利用数量积证明垂直问题
【例5】 如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，M，N分别是AB，CD的中点.证明：MN⊥AB.
【规律方法】
利用数量积证明垂直问题的步骤
（1）把几何问题转化为向量问题；
（2）用已知向量表示所证向量；
（3）结合数量积公式和运算律证明数量积为0；
（4）将向量问题回归到几何问题.
训练4 （1）已知空间四边形OABC各边及对角线长都等于2，E，F分别为AB，OC的中点，则异面直线OE与BF所成角的余弦值为 ；
（2）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1.求证：⊥.
三垂线定理
通过教材P10习题8题的证明，我们可得到三垂线定理：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直.
该定理用数学语言描述为：如图，已知点P是平面α外一点，PA是平面α的斜线，交α于点A，过点P作平面α的垂线PO，垂足是O，直线OA是PA在平面α上的投影，对平面α上的任一直线l，若直线l⊥OA，则直线l⊥PA.
【问题探究】
1.保持上述定理的已知条件不变，若已知直线l⊥PA，能否得到直线l⊥OA？
2.保持上述定理的已知条件不变，你认为直线l⊥OA是直线l⊥PA的什么条件？
【迁移应用】
1.已知点P是△ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，则点P在平面ABC上的射影一定是△ABC的（ ）
A.内心 B.外心
C.垂心 D.重心
2.在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则点P到BC的距离是 .
3.等腰直角△ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则斜边上的中线CM与α所成的角为 .
1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是（ ）
A.与 B.与
C.与 D.与
2.已知空间向量｜a｜＝，｜b｜＝5，且a与b夹角的余弦值为－，则a在b上的投影向量为（ ）
A.－b B.b
C.b D.－b
3.在三棱锥P-ABC中，∠PAB＝∠ABC＝，＜，＞＝，PA＝2，AB＝1，BC＝3，则｜｜＝（ ）
A. B.2
C. D.1
4.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是 C1D1的中点，则与所成角的大小为 ；·＝ .
课堂小结
1.理清单 （1）空间向量的夹角； （2）空间向量的数量积； （3）投影向量； （4）空间向量数量积的应用. 2.应体会 （1）求空间向量的夹角、数量积及投影向量时常用到数形结合思想； （2）空间向量数量积的应用中注意转化与化归思想的应用. 3.避易错 当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.
提示：完成课后作业 第一章 1.1 1.1.2
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