1.3.2 空间向量运算的坐标表示
课标要求
1.掌握空间向量运算的坐标表示（数学运算）. 2.会判断两个向量是否共线或垂直（逻辑推理、数学运算）. 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单的几何问题（数学运算、逻辑推理）.
知识点一｜空间向量运算的坐标表示
问题1 （1）类比平面向量运算的坐标表示，若空间向量a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），能得出a＋b，a－b，λa（λ∈R），a·b的坐标表示吗？
（2）你能证明空间向量数量积运算的坐标表示吗？
【知识梳理】
1.设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则有
向量运算 坐标表示
加法 a＋b＝
减法 a－b＝
数乘 λa＝ （λ∈R）
数量积 a·b＝
2.设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则＝ .即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标 起点坐标.
【例1】 已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是（－1，2，1），（1，3，4），（0，－1，4），（2，－1，－2）.若p＝，q＝，求下列各式的值：
（1）p＋2q；
（2）3p－q；
（3）（p－q）·（p＋q）.
【规律方法】
空间向量坐标运算的规律及注意点
（1）由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定；
（2）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算；
（3）由条件求向量或点的坐标：把所求向量或点的坐标设出来，通过解方程（组），求出其坐标.
训练1 （1）已知A（1，－2，0）和向量a＝（－3，4，12），且＝2a，则点B的坐标为（ ）
A.（－7，10，24） B.（7，－10，－24）
C.（－6，8，24） D.（－5，6，24）
（2）已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是（2，－1，2），（4，5，－1），（－2，2，3），则适合条件＝（－）的点P的坐标为 .
知识点二｜空间向量平行、垂直的坐标表示
问题2 类比平面向量平行和垂直的坐标表示，设空间向量a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），a，b均为非零向量，你能得出a∥b及a⊥b的坐标表示吗？
【知识梳理】
设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则有：
（1）平行关系：当b≠0时，a∥b a＝λb ， ， （λ∈R）；
（2）垂直关系：当a≠0，b≠0时，a⊥b a·b＝0 .
提醒：（1）要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb（b≠0）；（2）当b的坐标中b1，b2，b3都不等于0时，a与b平行的条件还可以表示为a∥b ＝＝.
【例2】 （链接教材P20例2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD，A1C1的中点.
求证：（1）AB1∥GE，AB1⊥EH；
（2）A1G⊥平面EFD.
【规律方法】
向量平行、垂直的应用
（1）已知向量平行、垂直，可构造方程（组）求参数；
（2）利用向量法证明空间线面的平行、垂直关系
①证明平行的关键是构造向量之间的线性关系；
②证明垂直的关键是根据线线、线面、面面垂直的判定定理，将垂直问题转化为线线垂直，然后利用向量的数量积为零证明.
训练2 （1）已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝（ ）
A.1 B. C. D.
（2）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点.求证：AM∥平面BDE.
知识点三｜空间夹角、距离的计算
问题3 类比平面两点间的距离公式，你能利用空间向量运算的坐标表示推导出空间两点的距离公式吗？
【知识梳理】
1.若a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），cos＜a，b＞＝＝ .
2.空间两点间的距离公式
设P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2），则P1P2＝｜｜＝ .
提醒：（1）空间两直线夹角可转化为两向量的夹角，设直线AB与CD所成的角为θ，则cos θ＝｜cos＜，＞｜；（2）求空间中线段的长度即对应空间向量的模，因此空间两点间的距离公式就是空间向量模的计算公式.
【例3】 （链接教材P21例3）如图所示，三棱柱ABC-A'B'C'中，侧棱与底面垂直，CA＝CB＝1，∠BCA＝，AA'＝2，点N是A'A的中点.
（1）求｜｜；
（2）求cos＜，＞的值.
【规律方法】
利用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题的一般步骤
第一步，建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系；
第二步，求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标；
第三步，计算：结合公式进行计算；
第四步，转化：转化为夹角与距离问题.
训练3 在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.
（1）求BP的长；
（2）求异面直线PA与BC所成角的余弦值.
向量概念的推广
向量的概念可由一维推广到二维、三维向量，那么对于现实生活中的实际问题，涉及到需要四个或四个以上的量来表示，此时向量的概念是否可以再进一步推广？
结论：用n元有序实数组（a1，a2，…，an）表示n维向量，它构成了n维向量空间，a＝（a1，a2，…，an）.
对于n维向量空间的向量也可以定义加、减、数乘、数量积及模运算.
设a＝（a1，a2，…，an），b＝（b1，b2，…，bn），则
a±b＝（a1±b1，a2±b2，…，an±bn）；
λa＝λ（a1，a2，…，an）＝（λa1，λa2，…，λan），λ∈R；
a·b＝（a1，a2，…，an）·（b1，b2，…，bn）＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn；
｜a｜＝.
n维向量空间中A（a1，a2，…，an），B（b1，b2，…，bn）两点间的“距离”｜AB｜＝.
【迁移应用】
某班共有30位同学，则该班期末考试的五门课程成绩可以用30个5维向量表示，即ai＝（ai1，ai2，ai3，ai4，ai5）（i＝1，2，…，30），其中aij表示成绩，i不同表示不同的同学，j不同表示不同的课程，如何用简单明了的数学表达式表示该班五门课程各自的平均成绩.
1.〔多选〕已知向量a＝（1，－2，－2），b＝（6，－3，2），则下列结论正确的是（ ）
A.a＋b＝（7，－5，0）
B.a－b＝（5，－1，4）
C.a·b＝8
D.｜a｜＝
2.〔多选〕已知a＝（2，3，－1），b＝（2，0，4），c＝（－4，－6，2），则下列结论不正确的是（ ）
A.b∥c B.a∥b
C.a⊥b D.a⊥c
3.已知A（2，－5，1），B（2，－2，4），C（1，－4，1），则向量与的夹角为 .
4.如图，在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.
（1）写出点E，F的坐标；
（2）求证：A1F⊥C1E.
课堂小结
1.理清单 （1）空间向量的坐标运算； （2）空间向量平行、垂直的坐标表示； （3）空间向量夹角、模的坐标表示. 2.应体会 （1）在探究空间向量运算的坐标表示时，运用了类比联想的数学思想； （2）在证平行与垂直、求长度及夹角时要注意数形结合思想的应用. 3.避易错 （1）两向量对应坐标的比相等是a∥b的充分不必要条件，而非充要条件； （2）讨论向量夹角时，易忽略向量共线的情况； （3）要注意异面直线所成的角与向量夹角的区别.
提示：完成课后作业 第一章 1.3 1.3.2
4 / 41.3.2 空间向量运算的坐标表示
课标要求
1.掌握空间向量运算的坐标表示（数学运算）.
2.会判断两个向量是否共线或垂直（逻辑推理、数学运算）.
3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单的几何问题（数学运算、逻辑推理）.
情境导入
前面我们通过引入空间直角坐标系，将空间向量的坐标与空间点的坐标一一对应起来，那么有了空间向量的坐标表示，类比平面向量的坐标运算，能否可以探究出空间向量运算的坐标表示呢？
知识点一｜空间向量运算的坐标表示
问题1 （1）类比平面向量运算的坐标表示，若空间向量a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），能得出a＋b，a－b，λa（λ∈R），a·b的坐标表示吗？
提示：若空间向量a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3），a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3），λa＝（λa1，λa2，λa3）（λ∈R），a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
（2）你能证明空间向量数量积运算的坐标表示吗？
提示：设{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，则a＝a1i＋a2j＋a3k，b＝b1i＋b2j＋b3k，所以a·b＝（a1i＋a2j＋a3k）·（b1i＋b2j＋b3k）.利用向量数量积的分配律以及i·i＝j·j＝k·k＝1，i·j＝j·k＝k·i＝0，得a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
【知识梳理】
1.设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则有
向量运算 坐标表示
加法 a＋b＝ （a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）
减法 a－b＝ （a1－b1，a2－b2，a3－b3）
数乘 λa＝ （λa1，λa2，λa3） （λ∈R）
数量积 a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3
2.设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则＝ （x2－x1，y2－y1，z2－z1） .即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标 减去 起点坐标.
【例1】 已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是（－1，2，1），（1，3，4），（0，－1，4），（2，－1，－2）.若p＝，q＝，求下列各式的值：
（1）p＋2q；
解：由于A（－1，2，1），B（1，3，4），C（0，－1，4），D（2，－1，－2），
所以p＝＝（2，1，3），q＝＝（2，0，－6）.
p＋2q＝（2，1，3）＋2（2，0，－6）＝（6，1，－9）.
（2）3p－q；
解：3p－q＝3（2，1，3）－（2，0，－6）＝（6，3，9）－（2，0，－6）＝（4，3，15）.
（3）（p－q）·（p＋q）.
解：（p－q）·（p＋q）＝p2－q2＝｜p｜2－｜q｜2＝（22＋12＋32）－[22＋02＋（－6）2]＝－26.
【规律方法】
空间向量坐标运算的规律及注意点
（1）由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定；
（2）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算；
（3）由条件求向量或点的坐标：把所求向量或点的坐标设出来，通过解方程（组），求出其坐标.
训练1 （1）已知A（1，－2，0）和向量a＝（－3，4，12），且＝2a，则点B的坐标为（ D ）
A.（－7，10，24） B.（7，－10，－24）
C.（－6，8，24） D.（－5，6，24）
解析：∵a＝（－3，4，12），且＝2a，∴＝（－6，8，24）.∵A的坐标为（1，－2，0），∴＝（1，－2，0），＝＋＝（－6＋1，8－2，24＋0）＝（－5，6，24），∴点B的坐标为（－5，6，24）.故选D.
（2）已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是（2，－1，2），（4，5，－1），（－2，2，3），则适合条件＝（－）的点P的坐标为（5，，0）.
解析：法一（直接法） 因为＝（－），所以－＝，＝＋（－）＝（2，－1，2）＋[（4，5，－1）－（－2，2，3）]＝（5，，0），所以点P的坐标为（5，，0）.
法二（间接法） 设P（x，y，z），则＝（x－2，y＋1，z－2）.因为＝（－）＝（3，，－2），所以解得则点P的坐标为（5，，0）.
知识点二｜空间向量平行、垂直的坐标表示
问题2 类比平面向量平行和垂直的坐标表示，设空间向量a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），a，b均为非零向量，你能得出a∥b及a⊥b的坐标表示吗？
提示：a∥b （a1，a2，a3）＝λ（b1，b2，b3）（λ∈R） a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3；a⊥b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
【知识梳理】
设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则有：
（1）平行关系：当b≠0时，a∥b a＝λb a1＝λb1 ， a2＝λb2 ， a3＝λb3 （λ∈R）；
（2）垂直关系：当a≠0，b≠0时，a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 .
提醒：（1）要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb（b≠0）；（2）当b的坐标中b1，b2，b3都不等于0时，a与b平行的条件还可以表示为a∥b ＝＝.
【例2】（链接教材P20例2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD，A1C1的中点.
求证：（1）AB1∥GE，AB1⊥EH；
证明：如图，以A为坐标原点，以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），C1（1，1，1）.由中点坐标公式，得E（1，1，），F（1，，0），G（，1，0），H（，，1）.
＝（1，0，1），＝（，0，），＝（－，－，）.
因为＝2，·＝1×（－）＋1×＝0，
所以∥，⊥，即AB1∥GE，AB1⊥EH.
（2）A1G⊥平面EFD.
证明：＝（，1，－1），＝（1，－，0），＝（1，0，）.
因为·＝－＋0＝0，·＝＋0－＝0，
所以A1G⊥DF，A1G⊥DE.
因为DF∩DE＝D，DF，DE 平面EFD，所以A1G⊥平面EFD.
【规律方法】
向量平行、垂直的应用
（1）已知向量平行、垂直，可构造方程（组）求参数；
（2）利用向量法证明空间线面的平行、垂直关系
①证明平行的关键是构造向量之间的线性关系；
②证明垂直的关键是根据线线、线面、面面垂直的判定定理，将垂直问题转化为线线垂直，然后利用向量的数量积为零证明.
训练2 （1）已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝（ ）
A.1 B.
C. D.
解析：D ka＋b＝（k－1，k，2），2a－b＝（3，2，－2），（ka＋b）·（2a－b）＝3（k－1）＋2k－4＝0，解得k＝.
（2）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点.求
证：AM∥平面BDE.
证明：如图，建立空间直角坐标系，
设AC∩BD＝N，连接NE，
则点N，E的坐标分别为（，，0），（0，0，1）.
∴＝（－，－，1）.
又点A，M的坐标分别是（，，0），（，，1），
∴＝（－，－，1）.
∴＝.又NE与AM不共线，
∴NE∥AM.
又∵NE 平面BDE，AM 平面BDE，
∴AM∥平面BDE.
知识点三｜空间夹角、距离的计算
问题3 类比平面两点间的距离公式，你能利用空间向量运算的坐标表示推导出空间两点的距离公式吗？
提示：如图，建立空间直角坐标系Oxyz，设P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）是空间中任意两点，＝－＝（x2－x1，y2－y1，z2－z1），
于是｜｜＝＝
，
所以P1P2＝｜｜＝
，
因此，空间中已知两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），
则AB＝｜｜＝
.
【知识梳理】
1.若a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），cos＜a，b＞＝＝ .
2.空间两点间的距离公式
设P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2），则P1P2＝｜｜＝ .
提醒：（1）空间两直线夹角可转化为两向量的夹角，设直线AB与CD所成的角为θ，则cos θ＝｜cos＜，＞｜；（2）求空间中线段的长度即对应空间向量的模，因此空间两点间的距离公式就是空间向量模的计算公式.
【例3】（链接教材P21例3）如图所示，三棱柱ABC-A'B'C'中，侧棱与底面垂直，CA＝CB＝1，∠BCA＝，AA'＝2，点N是A'A的中点.
（1）求｜｜；
解：如图所示，以点C为原点，CA，CB，CC'所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
由题意，得B（0，1，0），N（1，0，1）.
则＝（1，－1，1），
｜｜＝＝.
（2）求cos＜，＞的值.
解：由题意，得B（0，1，0），C（0，0，0），A'（1，0，2），B'（0，1，2）.
因为＝（1，－1，2），＝（0，1，2），
所以｜｜＝＝，
｜｜＝＝，
·＝1×0＋（－1）×1＋2×2＝3，
cos＜，＞＝＝＝.
【规律方法】
利用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题的一般步骤
第一步，建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系；
第二步，求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标；
第三步，计算：结合公式进行计算；
第四步，转化：转化为夹角与距离问题.
训练3 在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.
（1）求BP的长；
解：如图，建立空间直角坐标系.
∵∠ADC＝∠DAB＝90°，
AB＝4，CD＝1，AD＝2，
∴A（2，0，0），C（0，1，0），B（2，4，0）.
由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角，
∴∠PAD＝60°.
在Rt△PAD中，由AD＝2，得PD＝2.
∴P（0，0，2）.
∴BP＝＝4.
（2）求异面直线PA与BC所成角的余弦值.
解：由（1）得，＝（2，0，－2），
＝（－2，－3，0），
∴cos＜，＞＝
＝＝－，
∴异面直线PA与BC所成角的余弦值为.
向量概念的推广
向量的概念可由一维推广到二维、三维向量，那么对于现实生活中的实际问题，涉及到需要四个或四个以上的量来表示，此时向量的概念是否可以再进一步推广？
结论：用n元有序实数组（a1，a2，…，an）表示n维向量，它构成了n维向量空间，a＝（a1，a2，…，an）.
对于n维向量空间的向量也可以定义加、减、数乘、数量积及模运算.
设a＝（a1，a2，…，an），b＝（b1，b2，…，bn），则
a±b＝（a1±b1，a2±b2，…，an±bn）；
λa＝λ（a1，a2，…，an）＝（λa1，λa2，…，λan），λ∈R；
a·b＝（a1，a2，…，an）·（b1，b2，…，bn）＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn；
｜a｜＝.
n维向量空间中A（a1，a2，…，an），B（b1，b2，…，bn）两点间的“距离”｜AB｜＝.
【迁移应用】
某班共有30位同学，则该班期末考试的五门课程成绩可以用30个5维向量表示，即ai＝（ai1，ai2，ai3，ai4，ai5）（i＝1，2，…，30），其中aij表示成绩，i不同表示不同的同学，j不同表示不同的课程，如何用简单明了的数学表达式表示该班五门课程各自的平均成绩.
解：为了得到该班五门课程各自平均成绩，只需将30个向量对应坐标分别加起来，然后再乘以，即
ai＝（ai1，ai2，ai3，ai4，ai5），
其中aij为第j门课程的平均成绩.
1.〔多选〕已知向量a＝（1，－2，－2），b＝（6，－3，2），则下列结论正确的是（ ）
A.a＋b＝（7，－5，0） B.a－b＝（5，－1，4）
C.a·b＝8 D.｜a｜＝
解析：AC 因为a＝（1，－2，－2），b＝（6，－3，2），所以a＋b＝（7，－5，0），故A正确；a－b＝（－5，1，－4），故B不正确；a·b＝1×6＋2×3－2×2＝8，故C正确；｜a｜＝＝3，故D不正确.故选A、C.
2.〔多选〕已知a＝（2，3，－1），b＝（2，0，4），c＝（－4，－6，2），则下列结论不正确的是（ ）
A.b∥c B.a∥b
C.a⊥b D.a⊥c
解析：ABD 对于A，由向量b＝（2，0，4），c＝（－4，－6，2），可得≠≠，所以向量b与c不共线，所以A不正确；对于B，由向量a＝（2，3，－1），b＝（2，0，4），可得≠≠，所以向量a与b不共线，所以B不正确；对于C，由向量a＝（2，3，－1），b＝（2，0，4），可得a·b＝2×2＋3×0＋（－1）×4＝0，所以a⊥b，所以C正确；对于D，由a＝（2，3，－1），c＝（－4，－6，2），可得a·c＝2×（－4）＋3×（－6）＋（－1）×2≠0，所以向量a与c不垂直，所以D不正确.故选A、B、D.
3.已知A（2，－5，1），B（2，－2，4），C（1，－4，1），则向量与的夹角为.
解析：∵＝（0，3，3），＝（－1，1，0），∴｜｜＝3，｜｜＝，·＝0×（－1）＋3×1＋3×0＝3，∴cos＜，＞＝＝，又∵＜，＞∈[0，π]，∴＜，＞＝.
4.如图，在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.
（1）写出点E，F的坐标；
（2）求证：A1F⊥C1E.
解：（1）E（a，x，0），F（a－x，a，0）.
（2）证明：∵A1（a，0，a），C1（0，a，a），
∴＝（－x，a，－a），＝（a，x－a，－a），
∴·＝－ax＋a（x－a）＋a2＝0，
∴⊥，∴A1F⊥C1E.
课堂小结
1.理清单 （1）空间向量的坐标运算； （2）空间向量平行、垂直的坐标表示； （3）空间向量夹角、模的坐标表示. 2.应体会 （1）在探究空间向量运算的坐标表示时，运用了类比联想的数学思想； （2）在证平行与垂直、求长度及夹角时要注意数形结合思想的应用. 3.避易错 （1）两向量对应坐标的比相等是a∥b的充分不必要条件，而非充要条件； （2）讨论向量夹角时，易忽略向量共线的情况； （3）要注意异面直线所成的角与向量夹角的区别.
1.已知A（3，－2，4），B（0，5，－1），若＝（O为坐标原点），则点C的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
解析：B ∵＝（－3，7，－5），∴＝（－3，7，－5）＝.∴点C的坐标为.故选B.
2.已知向量a＝（1，2，3），b＝（－2，－4，－6），｜c｜＝，若（a＋b）·c＝7，则a与c的夹角为（ ）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
解析：C a＋b＝（－1，－2，－3）＝－a，故（a＋b）·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，而｜a｜＝＝，所以cos＜a，c＞＝＝－，所以＜a，c＞＝120°.
3.已知＝（1，5，－2），＝（3，1，z），若⊥，＝（x－1，y，－3），且BP⊥平面ABC，则实数x＋y＝（ ）
A. B.
C.1 D.
解析：D 由BP⊥平面ABC，可得BP⊥AB，BP⊥BC，又⊥，∴即解得x＝，y＝－，z＝4，∴x＋y＝－＝.
4.在空间直角坐标系中，已知三点O（0，0，0），A（1，2，1），B（1，－1，0），若点C在平面OAB内，则点C的坐标可能是（ ）
A.（－1，－1，3） B.（3，0，1）
C.（1，1，2） D.（1，－1，2）
解析：B 由＝（1，2，1），＝（1，－1，0），显然，不共线，根据平面向量基本定理可得＝λ＋μ＝（λ＋μ，2λ－μ，λ），故C点坐标为（λ＋μ，2λ－μ，λ），经验算只有B选项符合条件，此时λ＝1，μ＝2.故选B.
5.在空间直角坐标系中，已知点A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），则△ABC一定是（ ）
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
解析：C ∵＝（3，4，－8），＝（5，1，－7），＝（2，－3，1），∴｜｜＝＝，｜｜＝＝，｜｜＝＝，∴｜｜2＋｜｜2＝｜｜2，∴△ABC一定是直角三角形.
6.〔多选〕已知空间向量a＝（－2，－1，1），b＝（3，4，5），则下列结论正确的有（ ）
A.（2a＋b）∥a
B.5｜a｜＝｜b｜
C.a⊥（5a＋6b）
D.a与b夹角的余弦值为
解析：BC 因为2a＋b＝（－1，2，7），a＝（－2，－1，1），而≠≠，所以2a＋b与a不共线，故A不正确；因为｜a｜＝，｜b｜＝5，所以5｜a｜＝｜b｜，故B正确；因为a·（5a＋6b）＝5a2＋6a·b＝5×（4＋1＋1）＋6×（－6－4＋5）＝0，所以a⊥（5a＋6b），故C正确；因为a·b＝－5，所以cos＜a，b＞＝＝－，故D不正确.
7.〔多选〕已知向量a＝（1，－1，m），b＝（－2，m－1，2），则下列结论中正确的是（ ）
A.若｜a｜＝2，则m＝±
B.若a⊥b，则m＝－1
C.不存在实数λ，使得a＝λb
D.若a·b＝－1，则a＋b＝（－1，－2，－2）
解析：AC 由｜a｜＝2，可得＝2，解得m＝±，故A选项正确；由a⊥b，可得－2－m＋1＋2m＝0，解得m＝1，故B选项错误；若存在实数λ，使得a＝λb，则显然λ无解，即不存在实数λ，使得a＝λb，故C选项正确；若a·b＝－1，则－2－m＋1＋2m＝－1，解得m＝0，于是a＋b＝（－1，－2，2），故D选项错误.
8.已知a＝（1－t，1－t，t），b＝（2，t，t），则｜b－a｜的最小值是.
解析：由已知，得b－a＝（2，t，t）－（1－t，1－t，t）＝（1＋t，2t－1，0）.∴｜b－a｜＝＝＝ .∴当t＝时，｜b－a｜取最小值，最小值为.
9.在空间直角坐标系中，已知A（1，－2，－3），B（2，－1，－1），则直线AB与坐标平面Oxz的交点坐标为（3，0，1）.
解析：设直线AB与平面Oxz的交点为P（a，0，b），因为A，B，P三点共线，则∥，因为A（1，－2，－3），B（2，－1，－1），所以＝（a－1，2，b＋3），＝（1，1，2），则＝＝，解得则P（3，0，1）.
10.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点.
（1）求证：CF⊥平面DEF；
（2）求异面直线EF与CG所成角的余弦值.
解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则D（0，0，0），E（0，0，），B（1，1，0），C（0，1，0），F（，，0），G（1，1，）.
所以＝（1，1，0），＝（，，－），＝（，－，0），＝（1，0，），＝（0，－1，）.
（1）证明：因为·＝×1－×1＝0，·＝×－×＝0，
所以⊥，⊥，即CF⊥DB，CF⊥EF，
又DB，EF 平面DEF，DB∩EF＝F，
故CF⊥平面DEF.
（2）因为·＝×1＋×0＋（－）×＝，｜｜＝＝，｜｜＝＝，
所以cos＜，＞＝＝＝.
所以异面直线EF与CG所成角的余弦值为.
11.已知向量a＝（2，－1，3），b＝（－4，2，t）的夹角为钝角，则实数t的取值范围为（ ）
A.（－∞，－6）
B.（－∞，－6）∪（－6，）
C.（，＋∞）
D.（－∞，）
解析：B 因为向量a＝（2，－1，3），b＝（－4，2，t）的夹角为钝角，所以a·b＜0，且a，b不共线，则a·b＝－10＋3t＜0，解得t＜.当a∥b时，t＝－6，所以实数t的取值范围为（－∞，－6）∪（－6，）.故选B.
12.已知向量a＝（－2，1，1），点A（－3，－1，4），B（－2，－2，2）.在直线AB上，存在一点E，使得⊥a，其中O为坐标原点，则点E的坐标为（ ）
A.（，－，） B.（，－，－）
C.（－，－，） D.（－，－，－）
解析：C 设＝λ，因为A（－3，－1，4），B（－2，－2，2），所以＝（1，－1，－2），＝（λ，－λ，－2λ），＝（3，1，－4），＝－＝（λ－3，－λ－1，－2λ＋4），因为⊥a，所以－2（λ－3）＋（－λ－1）＋（－2λ＋4）＝0，解得λ＝，又A（－3，－1，4），＝（，－，－），所以点E的坐标为（－，－，）.
13.已知空间三点A（0，1，2），B（－4，－1，8），C（2，－5，6），则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为28.
解析：由已知得＝（2，－6，4），＝（－4，－2，6），所以｜｜＝＝2，｜｜＝＝2，所以cos＜，＞＝＝＝，又＜，＞∈[0，π]，则sin＜，＞＝＝，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为S＝×2×2××2＝28.
14.在①（＋）⊥（－）；②｜｜＝；③0＜cos＜，＞＜1这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并完成问题.
问题：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz.已知点D1的坐标为（0，0，2），E为棱D1C1上的动点，F为棱B1C1上的动点， ，试问是否存在点E，F满足EF⊥A1C？若存在，求·的值；若不存在，请说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解：由题意，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则A（2，0，0），B（2，2，0），A1（2，0，2），D（0，0，0），C（0，2，0），设E（0，a，2）（0≤a≤2），F（b，2，2）（0≤b≤2），则＝（b，2－a，0），＝（－2，2，－2），＝（－2，a，2），＝（b－2，0，2），所以·＝4－2（a＋b），·＝8－2b.
选择①：因为（＋）⊥（－），
所以（＋）·（－）＝0，＝，得a＝b，
若·＝0，得4－2（a＋b）＝0，则a＝b＝1，
故存在点E（0，1，2），F（1，2，2），满足EF⊥A1C，此时·＝8－2b＝6.
选择②：因为｜｜＝，所以＝，得a＝，
若·＝0，即4－2（a＋b）＝0，得b＝.
故存在点E（0，，2），F（，2，2），满足EF⊥A1C，此时·＝8－2b＝5.
选择③：因为0＜cos＜，＞＜1，所以与不共线，
所以b≠2－a，即a＋b≠2，
则·＝4－2（a＋b）≠0，
故不存在点E，F满足EF⊥A1C.
15.空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：i，j，k分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴，y轴，z轴）正方向的单位向量，若向量n＝xi＋yj＋zk，则n与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量n的斜60°坐标为[x，y，z]，记作n＝[x，y，z].
（1）若a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]，求a＋b的斜60°坐标；
（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，如图，以{，，}为基底建立“空间斜60°坐标系”.
①若＝，求向量的斜60°坐标；
②若＝[2，t，0]，且⊥，求｜｜.
解：（1）由a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]，知a＝i＋2j＋3k，b＝－i＋j＋2k，
所以a＋b＝（i＋2j＋3k）＋（－i＋j＋2k）＝3j＋5k，
所以a＋b＝[0，3，5].
（2）设i，j，k分别为与，，同方向的单位向量，
则＝2i，＝2j，＝3k，
①＝－
＝（＋）－（＋）
＝－＋＋
＝－2i＋2j＋k＝［－2，2，］.
②由题得＝＋＋＝2i＋2j＋3k，
因为＝[2，t，0]，所以＝2i＋tj，
由⊥知·＝（2i＋2j＋3k）·（2i＋tj）＝0 4i2＋2tj2＋（4＋2t）i·j＋6k·i＋3tk·j＝0 4＋2t＋（4＋2t）·＋3＋＝0 t＝－2.
则｜｜＝｜2i－2j｜＝
＝＝＝2.
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