第三课时 空间中直线、平面的垂直
课标要求
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系（数学抽象、逻辑推理）. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系（逻辑推理、数学运算）.
知识点一｜直线与直线垂直
问题1 如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，当直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？
【知识梳理】
线线垂直的向量表示：设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2 .
提醒：两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直.
【例1】 （链接教材P33练习2题）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.
【规律方法】
证明两直线垂直的方法及步骤
（1）坐标法：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直；
（2）基向量法：确定基向量→表示直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.
训练1 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PB与底面所成的角是30°，∠BAD＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝a，AB＝2a.若AE⊥PB于E，求证：DE⊥PB.
知识点二｜直线与平面垂直
问题2 如图，设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直于平面α时，u，n之间有什么关系？
【知识梳理】
线面垂直的向量表示：设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α λ∈R，使得 .
【例2】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.
【规律方法】
用向量法证明直线与平面垂直的方法和步骤
基向量法 把直线的方向向量和平面内两个不共线向量用同一个基底表示，分别证明它们垂直
坐标法 利用线 线垂直 （1）建系后，将直线的方向向量用坐标表示； （2）找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量； （3）分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0
利用平面 的法向量 （1）建系后，将直线的方向向量用坐标表示； （2）求出平面的法向量； （3）判断直线的方向向量与平面的法向量平行
训练2 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1＝2，D，E分别是线段AC，CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D.求证：A1C⊥平面BDE.
知识点三｜平面与平面垂直
问题3 设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直于平面β时，n1，n2之间有什么关系？
【知识梳理】
面面垂直的向量表示：设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β .
【例3】 在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点.求证：平面BDE⊥平面ABCD.
【规律方法】
向量法证明面面垂直的两种思路
（1）证明两个平面的法向量互相垂直；
（2）根据面面垂直的判定定理，证明一个平面内的向量垂直于另一个平面.
训练3 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E是CD的中点，F是BC的中点.求证：平面EAD1⊥平面EFD1.
提能点｜垂直关系中的探索性问题
【例4】 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BC的中点.
（1）在平面AA1B1B上是否存在一点N，使D1N⊥平面B1AE？
（2）在B1D1上是否存在一点P，使平面PAE⊥平面ABCD？
【规律方法】
有关是否存在一点，使得直线、平面之间满足垂直关系的探索性问题，解答时，一般先假设存在这样的点，再建立空间直角坐标系，设出该点的坐标，将直线、平面的垂直关系转化为直线的方向向量、平面的法向量之间关系，利用向量坐标运算建立关于所求点坐标的方程（组）.若方程（组）有解，则点存在；否则，点不存在.
训练4 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝1，PC＝PD＝，在棱PD上是否存在点M，使得AM⊥BD？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两条直线的方向向量垂直，则这两条直线垂直.（ ）
（2）直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直.（ ）
（3）两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直.（ ）
（4）若直线l的方向向量与平面α内两条相交直线的方向向量垂直，则l⊥α.（ ）
2.已知空间中直线l的一个方向向量为a＝（1，2，4），平面α的一个法向量为n＝（2，4，8），则（ ）
A.直线l与平面α平行
B.直线l在平面α内
C.直线l与平面α垂直
D.直线l与平面α不相交
3.平面α的法向量为（3，1，－2），平面β的法向量为（－1，1，k），若α⊥β，则k＝ .
4.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是棱D1D上一点，N是A1B1的中点，则当＝ 时，ON⊥AM.
课堂小结
1.理清单 （1）直线与直线垂直的向量表示及应用； （2）直线与平面垂直的向量表示及应用； （3）平面与平面垂直的向量表示及应用. 2.应体会 利用直线的方向向量与平面的法向量证明空间中的垂直关系，体现了转化与化归的思想方法. 3.避易错 直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混淆.
提示：完成课后作业 第一章 1.4 1.4.1 第三课时
4 / 4第三课时 空间中直线、平面的垂直
课标要求
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系（数学抽象、逻辑推理）.
2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系（逻辑推理、数学运算）.
情境导入
观察图片，都知道图中旗杆所在直线和地面垂直.那么如何用向量来表示二者的关系呢？
知识点一｜直线与直线垂直
问题1 如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，当直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？
提示：垂直.
【知识梳理】
线线垂直的向量表示：设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2＝0 .
提醒：两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直.
【例1】（链接教材P33练习2题）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.
证明：设AB的中点为O，作OO1∥AA1交A1B1于点O1，连接OC.以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
由已知得A（－，0，0），B（，0，0），C（0，，0），N（0，，），B1（，0，1），
∵M为BC的中点，∴M（，，0）.
∴＝（－，，），＝（1，0，1），
∴·＝－＋0＋＝0.
∴⊥，
∴AB1⊥MN.
【规律方法】
证明两直线垂直的方法及步骤
（1）坐标法：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直；
（2）基向量法：确定基向量→表示直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.
训练1 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PB与底面所成的角是30°，∠BAD＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝a，AB＝2a.若AE⊥PB于E，求证：DE⊥PB.
证明：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
因为PA⊥平面ABCD，所以∠PBA就是PB与底面ABCD所成的角，所以∠PBA＝30°，
所以PA＝a.
所以A（0，0，0），B（2a，0，0），D（0，a，0），P（0，0，a）.
所以＝（0，a，0），＝（2a，0，－a）.
因为·＝（0，a，0）·（2a，0，－a）＝0，
所以PB⊥AD.又PB⊥AE，且AD∩AE＝A，AD，AE 平面ADE，所以PB⊥平面ADE，所以PB⊥DE.
知识点二｜直线与平面垂直
问题2 如图，设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直于平面α时，u，n之间有什么关系？
提示：平行（共线）.
【知识梳理】
线面垂直的向量表示：设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α u∥n λ∈R，使得 u＝λn .
【例2】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.
证明：法一 设＝a，＝c，＝b，
则＝＋＝（＋）＝（＋）＝（＋－）＝（－a＋b＋c）.
因为＝＋＝a＋b，
所以·＝（－a＋b＋c）·（a＋b）＝（b2－a2＋c·a＋c·b）＝（｜b｜2－｜a｜2＋0＋0）＝0.
所以⊥，即EF⊥AB1.
同理，EF⊥B1C.又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C 平面B1AC，
所以EF⊥平面B1AC.
法二 设正方体的棱长为2，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），B1（2，2，2），E（2，2，1），F（1，1，2）.
所以＝（－1，－1，1），＝（0，2，2），＝（－2，2，0）.
所以·＝（－1，－1，1）·（0，2，2）＝（－1）×0＋（－1）×2＋1×2＝0，
·＝（－1，－1，1）·（－2，2，0）＝2－2＋0＝0，
所以⊥，⊥，
所以EF⊥AB1，EF⊥AC.
又AB1∩AC＝A，AB1，AC 平面B1AC，
所以EF⊥平面B1AC.
法三 由法二得＝（0，2，2），＝（－2，2，0），＝（－1，－1，1）.
设平面B1AC的法向量为n＝（x，y，z），则·n＝0，·n＝0，
即
取x＝1，则y＝1，z＝－1，
所以n＝（1，1，－1），所以＝－n，
所以∥n，所以EF⊥平面B1AC.
【规律方法】
用向量法证明直线与平面垂直的方法和步骤
基向量法 把直线的方向向量和平面内两个不共线向量用同一个基底表示，分别证明它们垂直
坐标法 利用线 线垂直 （1）建系后，将直线的方向向量用坐标表示； （2）找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量； （3）分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0
利用平面 的法向量 （1）建系后，将直线的方向向量用坐标表示； （2）求出平面的法向量； （3）判断直线的方向向量与平面的法向量平行
训练2 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1＝2，D，E分别是线段AC，CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D.求证：A1C⊥平面BDE.
证明：连接C1D，
∵C1在平面ABC内的射影为D，
∴C1D⊥平面ABC，
又BD，AC 平面ABC，
∴C1D⊥BD，C1D⊥AC，
又△ABC为等边三角形，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，
则以D为坐标原点，DB，DA，DC1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D（0，0，0），B（，0，0），C（0，－1，0），C1（0，0，），E（0，－，），A1（0，2，），
∴＝（，0，0），＝（0，－，），＝（0，－3，－）.
法一 设平面BDE的法向量为m＝（x，y，z），
∵即
不妨取z＝1，则y＝，则m＝（0，，1），
∴平面BDE的一个法向量为m＝（0，，1），
∵＝（0，－3，－），
∴＝－m，∴∥m，
∴A1C⊥平面BDE.
法二 ∵·＝0，·＝－＝0，
∴⊥，⊥，
即BD⊥A1C，DE⊥A1C，
又BD∩DE＝D，BD，DE 平面BDE，
∴A1C⊥平面BDE.
知识点三｜平面与平面垂直
问题3 设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直于平面β时，n1，n2之间有什么关系？
提示：垂直.
【知识梳理】
面面垂直的向量表示：设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0 .
【例3】在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点.求证：平面BDE⊥平面ABCD.
证明：设AS＝AB＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（0，1，0），A（0，0，0），C（1，1，0），S（0，0，1），E（，，）.
法一 连接AC，交BD于点O，连接OE，则点O的坐标为（，，0）.
易知＝（0，0，1），＝（0，0，），
∴＝，∴OE∥AS.
又AS⊥底面ABCD，∴OE⊥平面ABCD.
又OE 平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD.
法二 设平面BDE的法向量为n1＝（x，y，z）.
易知＝（－1，1，0），＝（－，，），
∴
即
取x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝（1，1，0）.∵AS⊥平面ABCD，
∴平面ABCD的一个法向量为n2＝＝（0，0，1）.
∵n1·n2＝0，∴平面BDE⊥平面ABCD.
【规律方法】
向量法证明面面垂直的两种思路
（1）证明两个平面的法向量互相垂直；
（2）根据面面垂直的判定定理，证明一个平面内的向量垂直于另一个平面.
训练3 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E是CD的中点，F是BC的中点.求证：平面EAD1⊥平面EFD1.
证明：如图，建立空间直角坐标系，则E（0，1，0），A（1，0，0），D1（0，0，1），F（，2，0），＝（－1，1，0），＝（0，－1，1），＝（，1，0），设平面EAD1的法向量为n＝（x，y，z），
则即令x＝1，则y＝z＝1，所以n＝（1，1，1）.
设平面EFD1的法向量为m＝（x'，y'，z'），
则
即令x'＝2，则y'＝z'＝－1，
所以m＝（2，－1，－1）.
因为n·m＝2×1＋1×（－1）＋1×（－1）＝0，所以n⊥m，
所以平面EAD1⊥平面EFD1.
提能点｜垂直关系中的探索性问题
【例4】 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BC的中点.
（1）在平面AA1B1B上是否存在一点N，使D1N⊥平面B1AE？
解：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），E（，1，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1），
＝（0，－1，－1），＝（－，0，－1）.
假设在平面AA1B1B上存在点N，使D1N⊥平面B1AE，设N（1，b，c），
则因为＝（1，b，c－1），
所以解得
故平面AA1B1B上存在点N（1，，），使D1N⊥平面B1AE.
（2）在B1D1上是否存在一点P，使平面PAE⊥平面ABCD？
解：假设在B1D1上存在点P，使平面PAE⊥平面ABCD，故可设P（λ，λ，1），
则＝（λ－1，λ，1），＝（λ－，λ－1，1），
设平面AEP的法向量为n＝（x，y，z），
则
即
令x＝1，则n＝（1，，1－λ），
又平面ABCD的法向量为＝（0，0，1），
由平面PAE⊥平面ABCD，得n·＝0，
即1－λ＝0，解得λ＝，
故在B1D1上存在点P（，，1），使平面PAE⊥平面ABCD.
【规律方法】
有关是否存在一点，使得直线、平面之间满足垂直关系的探索性问题，解答时，一般先假设存在这样的点，再建立空间直角坐标系，设出该点的坐标，将直线、平面的垂直关系转化为直线的方向向量、平面的法向量之间关系，利用向量坐标运算建立关于所求点坐标的方程（组）.若方程（组）有解，则点存在；否则，点不存在.
训练4 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝1，PC＝PD＝，在棱PD上是否存在点M，使得AM⊥BD？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
解：连接AC，交BD于点F，因为底面ABCD为矩形，所以F为BD的中点，
假设在棱PD上存在点M，使得AM⊥BD.
取CD的中点为O，连接PO，FO，
因为底面ABCD为矩形，故BC⊥CD，
而F为BD的中点，故OF∥BC，所以OF⊥DC.
因为PC＝PD＝，故PO⊥CD，又平面PCD⊥平面ABCD，PO 平面PCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，故PO⊥平面ABCD，
故以O为坐标原点，OF，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A（1，－1，0），D（0，－1，0），B（1，1，0），P（0，0，1），
设＝λ（λ∈[0，1]），M（x，y，z），则＝λ，
即（x，y，z－1）＝λ（0，－1，－1），则可得M（0，－λ，1－λ），
故＝（－1，1－λ，1－λ），＝（－1，－2，0），
因为AM⊥BD，故·＝0，即1－2（1－λ）＝0，解得λ＝，即在棱PD上存在点M，使得AM⊥BD，此时＝.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两条直线的方向向量垂直，则这两条直线垂直.（ √ ）
（2）直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直.（ √ ）
（3）两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直.（ √ ）
（4）若直线l的方向向量与平面α内两条相交直线的方向向量垂直，则l⊥α.（ √ ）
2.已知空间中直线l的一个方向向量为a＝（1，2，4），平面α的一个法向量为n＝（2，4，8），则（ ）
A.直线l与平面α平行
B.直线l在平面α内
C.直线l与平面α垂直
D.直线l与平面α不相交
解析：C 由a＝（1，2，4），n＝（2，4，8），可得n＝2a，所以n∥a，故a＝（1，2，4）是平面α的一个法向量，故直线l与平面α垂直.故选C.
3.平面α的法向量为（3，1，－2），平面β的法向量为（－1，1，k），若α⊥β，则k＝－1.
解析：因为α⊥β，所以3×（－1）＋1×1＋（－2）×k＝0，解得k＝－1.
4.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是棱D1D上一点，N是A1B1的中点，则当＝时，ON⊥AM.
解析：以A为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系（图略），设正方体的棱长为1，则A（0，0，0），O（，，0），N （，0，1），设M（0，1，a）（0≤a≤1），则·＝（0，1，a）·（0，－，1）＝－＋a＝0，∴a＝.∴当＝时，ON⊥AM.
课堂小结
1.理清单 （1）直线与直线垂直的向量表示及应用； （2）直线与平面垂直的向量表示及应用； （3）平面与平面垂直的向量表示及应用. 2.应体会 利用直线的方向向量与平面的法向量证明空间中的垂直关系，体现了转化与化归的思想方法. 3.避易错 直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混淆.
1.若平面α，β的法向量分别为a＝（2，－1，0），b＝（－1，－2，0），则α与β的位置关系是（ ）
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.无法确定
解析：B ∵a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β.
2.已知v为直线l的一个方向向量，n为平面α的一个法向量，则下列选项中正确的是（ ）
A.v∥n l∥α B.v∥n l⊥α
C.v⊥n l∥α D.v⊥n l⊥α
解析：B 已知v为直线l的一个方向向量，n为平面α的一个法向量，由于v∥n，所以l⊥α，故A错误，B正确；由于v⊥n，所以l∥α或l α，故C、D错误.故选B.
3.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E是棱AB的中点，点F（0，y，z）是正方体的面AA1D1D上一点，且CF⊥B1E，则点F（0，y，z）满足方程（ ）
A.y－z＝0 B.2y－z－1＝0
C.2y－z－2＝0 D.z－1＝0
解析：D 由题意知E（1，0，0），B1（2，0，2），C（2，2，0），所以＝（－1，0，－2），＝（－2，y－2，z），因为CF⊥B1E，所以·＝0，即2－2z＝0，即z＝1.
4.已知点A（0，1，0），B（－1，0，－1），C（2，1，1），P（x，0，z），若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为（ ）
A.（1，0，－2） B.（1，0，2）
C.（－1，0，2） D.（2，0，－1）
解析：C 由题意知＝（－1，－1，－1），＝（2，0，1），＝（x，－1，z），又PA⊥平面ABC，所以有·＝（－1，－1，－1）·（x，－1，z）＝0，得－x＋1－z＝0 ①.·＝（2，0，1）·（x，－1，z）＝0，得2x＋z＝0 ②，联立①②得x＝－1，z＝2，故点P的坐标为（－1，0，2）.
5.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，＝（ ）
A. B.1 C.2 D.3
解析：B 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，PA＝a，则B（1，0，0），E（，1，0），P（0，0，a）.设F（0，y，0），则＝（－1，y，0），＝（，1，－a）.因为BF⊥PE，即·＝（－1）×＋y＝0，解得y＝，即F（0，，0）是AD的中点，故＝1.
6.〔多选〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM（ ）
A.和AC垂直
B.和AA1垂直
C.和MN垂直
D.与AC，MN都不垂直
解析：AC 以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（图略）.设正方体的棱长为2a，则M（0，0，a），A（2a，0，0），C（0，2a，0），O（a，a，0），N（0，a，2a）.∴＝（－a，－a，a），＝（0，a，a），＝（－2a，2a，0）.∴·＝0，·＝0，∴OM⊥MN，OM⊥AC，OM和AA1显然不垂直.
7.〔多选〕给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A.若直线l的方向向量a＝（1，－1，2），直线m的方向向量b＝（2，1，－），则l与m垂直
B.若直线l的方向向量a＝（0，1，－1），平面α的法向量n＝（1，－1，－1），则l⊥α
C.若平面α，β的一个法向量分别为n1＝（0，1，3），n2＝（1，0，2），则α⊥β
D.若平面α经过三点A（1，0，－1），B（0，1，0），C（－1，2，0），向量n＝（1，u，t）是平面α的法向量，则u＋t＝1
解析：AD 对于A，a·b＝1×2－1×1＋2×（－）＝0，则a⊥b，所以直线l与m垂直，故A是真命题；对于B，a·n＝0，则a⊥n，所以l∥α或l α，故B是假命题；对于C，n1·n2＝6，所以α⊥β不成立，故C是假命题；对于D，易得＝（－1，1，1），＝（－1，1，0），因为向量n＝（1，u，t）是平面α的法向量，所以即得u＋t＝1，故D是真命题.
8.已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u＝（1，－3，z），向量v＝（3，－2，1）与平面α平行，则z＝－9.
解析：由题意得u⊥v，∴u·v＝3＋6＋z＝0，∴z＝－9.
9.在△ABC中，A（1，－2，－1），B（0，－3，1），C（2，－2，1）.若向量n与平面ABC垂直，且｜n｜＝，则n的坐标为（－2，4，1）或（2，－4，－1）.
解析：由题意，得＝（－1，－1，2），＝（1，0，2）.设n＝（x，y，z），∵n与平面ABC垂直，∴即可得∵｜n｜＝，∴＝，解得y＝4或y＝－4.当y＝4时，x＝－2，z＝1；当y＝－4时，x＝2，z＝－1.∴n的坐标为（－2，4，1）或（2，－4，－1）.
10.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，CB＝1，CA＝2，AA1＝，M是CC1的中点.
（1）求AM的长；
（2）求证：AM⊥BA1.
解：（1）以B为坐标原点，以BC，BA，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.所以B（0，0，0），A1（0，，），A（0，，0），M（1，0，），
则＝（1，－，），AM＝｜｜＝＝.
（2）证明： 由（1）知，＝（1，－，），＝（0，，），
则·＝（1，－，）·（0，，）＝0，
所以AM⊥BA1.
11.如图，在正三棱锥D-ABC中，AB＝，DA＝2，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且＝λ，若PA⊥平面PBC，则实数λ＝（ ）
A. B.
C. D.
解析：D 由题设知△ABC为边长为的等边三角形，且DA＝DB＝DC＝2，等边△ABC的高为＝，在正三棱锥中，以O为原点，平行为x轴，垂直为y轴，为z轴建系，如图所示，则A（0，－1，0），B（，，0），C（－，，0），D（0，0，），且P（0，0，λ），所以＝（0，1，λ），＝（，，－λ），＝（，0，0），设m＝（x，y，z）为平面PBC的法向量，则即令z＝1，得m＝（0，2λ，1），又PA⊥平面PBC，则＝km且k为实数，故λ＝.故选D.
12.〔多选〕如图，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下结论，其中正确的是（ ）
A.·＝0
B.AB⊥DC
C.BD⊥AC
D.平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直
解析：BC 建立以D为坐标原点，分别以DB，DC，DA所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系（图略），设等腰直角三角形ABC的斜边BC＝2，则B（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A（0，0，1），所以＝（1，0，－1），＝（0，1，－1），＝（0，1，0），＝（－1，0，0），从而有·＝0＋0＋1＝1，故A错误；·＝0，故B正确；·＝0，故C正确；易知平面ADC的一个法向量为＝（－1，0，0），设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z），由·n＝x－z＝0，·n＝y－z＝0，取z＝1，则x＝1，y＝1，故n＝（1，1，1），·n＝－1，故D错误.
13.已知空间三点A（－1，1，1），B（0，0，1），C（1，2，－3）.若直线AB上存在一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为（－，，1）；若空间中点N满足BN⊥平面ABC，则符合条件的一个点N的坐标是（4，4，4）（答案不唯一，满足（4k，4k，3k＋1）（k≠0）即可）.
解析：设M（x，y，z）.∵＝（1，－1，0），＝（2，1，－4），＝（x，y，z－1），＝（x－1，y－2，z＋3），∴由题意，得∴∴点M的坐标为（－，，1）.设平面ABC的法向量为n＝（x1，y1，z1），则n·＝x1－y1＝0，n·＝2x1＋y1－4z1＝0.令x1＝1，则y1＝1，z1＝，∴n＝（1，1，）.设点N的坐标为（a，b，c），则＝（a，b，c－1）.由题知，∥n，即＝＝.∴点N的坐标满足（4k，4k，3k＋1），其中k≠0.
14.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD，垂足为A，AC⊥CD，垂足为C，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.
（1）求证：AE⊥CD；
（2）求证：PD⊥平面ABE.
证明：（1）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设PA＝AB＝BC＝1，则A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，1）.
因为∠ABC＝60°，AB＝BC，所以△ABC为正三角形.
所以C（，，0），E（，，），＝（，，0），
设D（0，y1，0），则＝（－，y1－，0），
由AC⊥CD得·＝0，
即－＋（y1－）＝0，解得y1＝，则D（0，，0），
所以＝（－，，0）.
又＝（，，），
所以·＝－×＋×＝0，
所以⊥，即AE⊥CD.
（2）法一 由（1）知＝（1，0，0），＝（，，），
设平面ABE的法向量为n＝（x，y，z），
则
即
令y＝2，则n＝（0，2，－）.
又＝（0，，－1），显然＝n，所以∥n，
所以⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.
法二 由（1）知＝（，，），＝（0，，－1）.
所以·＝×＋×（－1）＝0，
所以⊥，即PD⊥AE.
由（1）知＝（1，0，0），所以·＝0，所以PD⊥AB.
又AB∩AE＝A，AB，AE 平面ABE，所以PD⊥平面ABE.
15.如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2.
（1）求证：AC⊥BF；
（2）在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）证明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF 平面ADEF，
∴AF⊥平面ABCD.
∵AC 平面ABCD，
∴AF⊥AC.
过A作AH⊥BC于H（图略），则BH＝1，AH＝，CH＝3，
∴AC＝2，
∴AB2＋AC2＝BC2，∴AC⊥AB.
∵AB∩AF＝A，AB，AF 平面FAB，
∴AC⊥平面FAB.
∵BF 平面FAB，∴AC⊥BF.
（2）存在.理由如下：
由（1）知，AF，AB，AC两两垂直.以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），E（－1，，2）.
假设在线段BE上存在一点P满足题意，
则易知点P不与点B，E重合，
设＝λ，λ＞0，则＝λ，
设P（a，b，c），则（a－2，b，c）＝λ（－1－a，－b，2－c），得P（，，）.
设平面PAC的法向量为m＝（x，y，z）.
由＝（，，），＝（0，2，0），得
即
令x＝1，则z＝，
∴m＝（1，0，）为平面PAC的一个法向量.
同理，可求得n＝（1，，1）为平面BCEF的一个法向量.
当m·n＝0，即λ＝时，平面PAC⊥平面BCEF，
故存在满足题意的点P，此时＝.
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